集合与简易逻辑 高考数学专题复习双基 典例 精炼

1、第一章 复习集合与简易逻辑一、 本讲进度 集合与简易逻辑复习二、 复习要求1、 理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、 理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；4、 理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系； 5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。三、 学习指导 1、集合的概念：（1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2） 集合的分类： 按元素个数分：有限集，无限集；按元素特征分；数集，点集。如数集y|y=x2，表示非负实数集，点集(x，y)|y=

2、x2表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3） 集合的表示法：列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+=0，1，2，3，；描述法。2、两类关系：（1） 元素与集合的关系，用或表示； （2）集合与集合的关系，用，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。3、集合运算 （1）交，并，补，定义：AB=x|xA且xB，AB=x|xA，或xB，CUA=x|xU，且xA，集合U表示全集；（2） 运算律，如A（BC）=（AB）（AC），CU（AB）=（CUA）（CUB），CU（AB）=（CUA）（CUB）等。 4、命题：（1） 命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；

3、（2） 复合命题的形式：p且q，p或q，非p； （3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。 （3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。5、 充分条件与必要条件 （1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条

4、件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件； （2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则当AB时，p是q的充分条件。BA时，p是q的充分条件。A=B时，p是q的充要条件；（3） 当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。6、 反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。 7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题

5、。 四、典型例题 例1、已知集合M=y|y=x2+1，xR，N=y|y=x+1，xR，求MN。解题思路分析：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M=y|y=x2+1，xR=y|y1，N=y|y=x+1，xR=y|yR MN=M=y|y1说明：实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合y|y=f(x)，xA应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合（x，y）|y=x2+1，xR是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+

6、1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例y|y1=x|x1。例2、已知集合A=x|x2-3x+2=0，B+x|x2-mx+2=0，且AB=B，求实数m范围。解题思路分析：化简条件得A=1，2，AB=BBA根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=，B=1或2，B=1，2当B=时，=m2-8<0当B=1或2时，m无解当B=1，2时，m=3综上所述，m=3或说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B=1或2时，不能遗漏=0。例3、用反证法证明：已知x、yR，x+y2，求 证x、y中至少有一个大于1。解题思路分析：假设x

7、<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y2矛盾 假设不成立x、y中至少有一个大于1说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。例4、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。解题思路分析：利用“”、“”符号分析各命题之间的关系 DCBA DA，D是A的充分不必要条件说明：符号“”、“”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。例5、求直线l：ax-y+b=0经

8、过两直线l1：2x-2y-3=0和l2：3x-5y+1=0交点的充要条件。解题思路分析：从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。由 得l1，l2交点P（）l过点P17a+4b=11充分性：设a，b满足17a+4b=11代入l方程：整理得：此方程表明，直线l恒过两直线的交点（）而此点为l1与l2的交点 充分性得证 综上所述，命题为真说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。五、同步练习（一） 选择题1、 设M=x|x2+x+2=0，a=lg(lg10)，则a与M的关系是经济界 jjjj

9、jjjjjjjjjjjA、a=MB、MaC、aMD、Ma2、 已知全集U=R，A=x|x-a|<2，B=x|x-1|3，且AB=，则a的取值范围是A、 0，2 B、（-2，2） C、（0，2 D、（0，2）3、 已知集合M=x|x=a2-3a+2，aR，N、x|x=b2-b，bR，则M，N的关系是A、 MN B、MN C、M=N D、不确定 4、设集合A=x|xZ且-10x-1，B=x|xZ，且|x|5，则AB中的元素个数是A、11 B、10 C、16 D、155、集合M=1，2，3，4，5的子集是A、15 B、16 C、31 D、326、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的

10、是 A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真7、“”是coscos”的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 8、集合A=x|x=3k-2，kZ，B=y|y=3l+1，lZ，S=y|y=6m+1，mZ之间的关系是A、SBA B、S=BA C、SB=A D、SB=A9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是A、0<m1或m<0 B、0<m1C、m<1 D、m110、已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C.充要条件

11、 D、既不充分又不必要条件（二） 填空题11、 已知M=，N=x|，则MN=_。 12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是_人。13、 关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是_。14、 命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为_。 15、非空集合p满足下列两个条件：（1）p1，2，3，4，5，（2）若元素ap，则6-ap，则集合p个数是_。（三） 解答题 16、设集合A=(x，y)|y=ax+1，B=(x，y)|y=|x|，若AB是单元素集合，求a取值范围。17、已知抛物线C：y=-x2+mx-1，点M（0，3），N（3，0），求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。18、设A=x|x2+px+q=0，M=1，3，5，7，9，N=1，4，7，10，若AM=，AN=A，求p、q的值。19、已知