(浙江专用)2020版高考数学新增分大一轮复习第九章平面解析几何9.1直线的方程讲义(含解析)

1、§ 9.1 直线的方程最新考纲考情考向分析1 .理解平面直角坐标系，理解直线的倾 斜角与斜率的概念.2 .掌握直线方程的点斜式、两点式及一 般式，了解直线方程与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角 也是考查的重点.题型主要在解答题中与圆、圆锥 曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中 出现.基础知识自主学习-QHlBUfliR训等砒目-知识梳理1 .直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0° .(2)范围：直线l倾斜角的范

2、围是0 ° , 180 ).2 .斜率公式(1)若直线l的倾斜角aW90° ,则斜率 k=tan a .y2 y12 2) P(xb y1) , P2(x2, y2)在直线 l 上且 xx2,则 l 的斜率 k =-. x2 x13 .直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y y0= k(x x0)不含直线x=xc斜截式y = kx + b不含垂直于x轴的直线两点式y y1 x x1 y2 y1 x2 x1(xwx2, y1Wy2)不含直线x=x1和直线y = y1截距式x y W+b=1(abw0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+ By+ C= 0 (A2+B

3、2W0)平面直角坐标系内的直线都适用:概念方法微思考】1 .直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率 k就越大吗？兀兀提示 倾斜角 a 0 ,兀)，当 a =万时，斜率 k不存在；因为 k=tan a a丰2 .当兀 . 一一.兀.一a 0,时，a越大，斜率k就越大，同样 a C ,兀 时也是如此，但当 a C (0 ,兀)兀且a W5时就不是了 .2 .“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.基础自测题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确(请在括

4、号中打或“X”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( V )(2)若直线的斜率为tan a ,则其倾斜角为 a .( X )(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(X )(4)经过任意两个不同的点Pi(xi,yi),Pz(x2,y2)的直线都可以用方程(y yi)(X2xi) =(x xi)( y2yi)表示.( V )题组二教材改编2 .P86T3若过点M( 2, m) , N(m 4)的直线的斜率等于 i,则m的值为()A.iB.4C.i 或 3D.i 或 4答案 Ami- 4解析 由题意得-m： =1,解得m= 1.一 2 一 m3 .P100A组T9过点R2, 3)且

5、在两坐标轴上截距相等的直线方程为.答案 3x 2y = 0 或 x+y-5= 0解析 当截距为。时，直线方程为3x-2y = 0;当截距不为0时，设直线方程为：+:=1，则2+3= 1,解得a =5.所以直线方程为x + y5=0.a a题组三易错自纠4 .直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是()A. 0,B 3j£答案 B解析由直线方程可得该直线的斜率为-1又一 1 V - r2+ i <0,所以倾斜角的取值氾围TE5 .如果A C<0且B C<0,那么直线 Ax+ By+ C= 0不通过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 C解

6、析 由已知得直线 Ax+ By+ C= 0在x轴上的截距C>0,在y轴上的截距，故直线经 A.B过第一、二、四象限，不经过第三象限.6 .过直线l: y=x上的点R2 , 2）作直线mj若直线l, m与x轴围成的三角形的面积为 2, 则直线m的方程为.答案 x-2y+2= 0或*= 2解析 若直线m的斜率不存在，则直线 m的方程为x=2,直线E直线l和x轴围成的三角形的面积为2,符合题意；若直线m的斜率k=0,则直线m与x轴没有交点，不符合题意；若直线m的斜率kw。,设其方程为y2=k（x 2）,令y = 0,得x= 22,依题意有1x 2一k2 kX2=2,即 11 =1,解得 k=1

7、-,所以直线 m的方程为 y-2 = 1（x-2）,即 x-2y+2=0. k22综上可知，直线 m的方程为x2y + 2=0或x=2.题型分类深度剖析/鹿弱密制度剧折亳点雁点多帮is育题型一直线的倾斜角与斜率"师生扶研例1 （1）直线xsin a + y+2= 0的倾斜角的范围是（）A.0，无）B. 0,三 U 兀44兀兀兀C. 0, -D. 0, U -2, 71答案 B解析设直线的倾斜角为0 ,则有tan 0 = sin a ,又sin a C 1, 1 , 0 C 0 ,兀），_兀，3兀所以0w 9 < "4-或 7-w 8 <兀.（2）直线l过点R1

8、, 0）,且与以A（2 , 1）, B（0 ,，3）为端点的线段有公共点，则直线 l斜率 的取值范围为.答案（8,一力U1 , +oo）19人,一 ,一1 0、13 0L解析 如图，- kAP= -= 1, kBP=弓=一 J3,2 一 10 - 1 Yk e( 00, y3 u 1 , + °°).引申探究1.若将本例（2）中P（1 , 0）改为R 1, 0）,其他条件不变，求直线 l斜率的取值范围-P(-1,如图可知，直线i斜率的取值范围为3, V3.2.若将本例（2）中的B点坐标改为（2 , 1）,其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围如图，直线PA的倾斜角为45直线

9、PB的倾斜角为135 由图象知l的倾斜角的范围为0° , 45° U135° , 180° ）.思维升华（1）倾斜角a与斜率k的关系兀当 a C 0, "2-时，ke 0 , +00). .7t .、. .,当a =7时，余率k不存在. 兀当a C"，兀时，kC (巴0).(2)斜率的两种求法定义法：若已知直线的倾斜角a或a的某种三角函数值，一般根据k=tan a求斜率.公式法：若已知直线上两点A(xi,yi),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=y-y-(X1WX2)求X2 Xi斜率.(3)倾斜角a范围与直线斜率范围互求时，要充分

10、利用y= tan a的单调性.跟踪训练1 (1)若平面内三点A(1, a),R2,a2),C(3 ,a3)共线，则a等于()A.1 ± 2或 0B. 24 0D.一或 022答案 A解析 二.平面内三点A(1, a),R2,a2),C(3,a3)共线，.kAB=23即g = *，即 a(a2-2a-1)=0,解得a= 0或a= 1±tJ2.故选A.(2)直线l经过点A(3, 1), B(2 , - m2)( mC R)两点，则直线l的倾斜角a的取值范围是. 兀 兀答案了，7 1 + m2.解析直线l的斜率k=3T2 =1 + m> 1,所以 k= tan a >

11、1.兀一 兀兀又y = tan a在0,万 上是增函数，因此 < a <.题型二求直线的方程,，师生共研例2求适合下列条件的直线方程：(1)求经过点 N 5, 2),且在x轴上的截距等于在 y轴上的截距的2倍的直线方程；1(2)过点A( 1, 3),斜率是直线y= 3x的斜率的一4；(3)过点A(1 , 1)与已知直线l1： 2x+y-6= 0相交于B点且|AB=5.解(1)当直线不过原点时，设所求直线方程为* + ；= 1,将(5, 2)代入所设方程，解得 a1-所以直线方程为 x+2y+1=0；当直线过原点时，设直线方程为y=kx,则5k=2,解得k=-所以直线方程为 y=-x

12、,即2x+5y = 0. 55故所求直线方程为2x+5y= 0或x+2y+1 = 0.(2)设所求直线的斜率为k，依题意"-4x3-4.又直线经过点A(- 1, 3),因此所求直线方程为y+3=3(x+1) 即 3x+4y+ 15=0.x= 1.即x= 1为所求.(3)过点A(1 , 1)与y轴平行的直线为x = 1,解方程组2x+ y 6 = 0,求得B点坐标为(1 , 4),此时| AB = 5,设过A(1 , 1)且与y轴不平行的直线为y+1 = k(x- 1),2x+ y 6 = 0, 解方程组y+1= k x 1 ,k+7x = k+2'得两直线交点为4k 2 y=

13、 k+2.(kw 2,否则与已知直线平行).k+7则B点坐标为k十24k2k + 2 .由已知M-12+4k-222k+7 +1 =5'-，-3解得 k= y+1 = -34(xT)，即 3x+4y+1=0.综上可知，所求直线的方程为x= 1或3x+4y+1 = 0.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件 若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在 的情况.跟踪训练2根据所给条件求直线的方程:(1)直线过点(一4, 0),倾斜角的正弦值为 率;(2)经过点P(4, 1),且在两坐标轴上的截距相等； 直线过点(

14、5, 10),到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 设倾斜角为 a ,因为sin a =-0-(0< a < Tt ), 所以 cos a = ± 0,则 k = tan a = ± g.1故所求直线方程为 y= 土 3( x+ 4).即 x + 3y+4=0或 x-3y+ 4=0.(2)设直线l在x, y轴上的截距均为 a.若a=0,即l过(0 , 0)及(4 , 1)两点，,，、1 r 一1- l 的方程为 y= 4x,即 x 4y= 0.若a”则设1的方程为a+a=1，1 l 过点（4 , 1）, - - + -= 1,a=

15、 5,a al的方程为x+ y5=0.综上可知，直线l的方程为x 4y = 0或x + y5=0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x 5=0;当斜率存在时，设其为k,则所求直线方程为 y10=k(x5),即 kx-y+(10-5k) = 0.由点到直线的距离公式，得|10 5k| _二/+1一.一 35,斛得k= 4.故所求直线方程为3x-4y+25 = 0.综上可知，所求直线方程为x5= 0或3x 4y+25= 0.题型三直线方程的综合应用命题点1与基本不等式相结合求最值问题例3已知直线l过点M(2, 1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A, B两点，O为坐标原点，求当1MA Mb取得

16、最小值时直线l的方程.解设 A(a, 0), B(0 , b),则 a>0, b>0,x y2 1直线1的方程为a+b=1，所以a+b=1.一 一 一 .一一 一 一 一 _ | MA - I M$ = MA MB= 一 (a-2, -1) (-2, b1)=2( a2) + b-1 = 2a+b-52 12b 2a= (2a+b) a+b 5=>+丁4,当且仅当a=b= 3时取等号，此时直线l的方程为x+y 3=0.命题点2由直线方程解决参数问题例 4 已知直线 11： ax-2y = 2a-4, I2： 2x + a2y= 2a2+4,当 0<a<2 时，直线

17、 11, 12与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a的值.解 由题意知直线11, 12恒过定点P(2 , 2),直线1 1在y轴上的截距为2 a,直线12在x轴 上的截距为a2+2,所以四边形的面积 S= 2X2X(2a)+2x2x( a2 + 2) =a2a+4= a-22+145,当a=2时，四边形的面积最小思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适

18、合直线的方程，再结合函数的单调性或 基本不等式求解.跟踪训练3过点P(4, 1)作直线1分别交x轴，y轴的正半轴于 A B两点，O为坐标原点(1)当AOB!积最小时，求直线1的方程；(2)当| OA + | OB取最小值时，求直线1的方程.解 设直线 1 : x+y=1(a>0, b>0), a b因为直线1经过点R4 , 1),-4 1所以 a+ b=1.所以ab> 16,当且仅当a=8, b= 2时等号成立,所以当a=8, b=2时，AOB勺面积最小，此时直线1 的方程为 x + y=1,即 x+4y-8=0.8 24 1(2)因为a+b=1，a>0s所以 | OA

19、 + | OB = a+b = (a+b) -己+ b = 5+5+"O'5+ 2lb) -a=9,当且仅当 a = 6，b V=3时等号成立，所以当| OA+|OB取最小值时，直线l的方程为X + J=1,即x + 2y6=0. 6 3课时作业”基础保分练1.（2018 浙江省东阳中学期中）下列四条直线中，倾斜角最大的是（）A.y = x+ 1B.y=2x+1C.y= x+1D.x=1答案 C解析 直线方程y= x+1的斜率为1,倾斜角为45。，直线方程y= 2x+ 1的斜率为2,倾斜角为a （60 ° < a <90° ）,直线方程y=x+

20、1的斜率为一1,倾斜角为135° ,直线方程x= 1的斜率不存在，倾斜角为90 .所以直线y=-x+ 1的倾斜角最大.一 兀2 .过点（2 , 1）且倾斜角比直线y= x1的倾斜角小的直线方程是（）A. x= 2B. y= 1C.x= 1D. y= 2答案 A解析直线y= x1的斜率为一1,则倾斜角为依题意，所求直线的倾斜角为 ，斜率不存在，过点（2, 1）的直线方程为x=2.3 .已知过定点 R2, 0）的直线l与曲线y=山x2相交于A, B两点，O为坐标原点，当 AOB 的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为（）B.135°D.不存在A.1500C.120°答案

21、 A以击为半径的圆的一部解析 由y=2x2，得x2+y2=2（y> 0）,它表示以原点 O为圆心,分，其图象如图所示显然直线l的斜率存在，设过点R2 , 0)的直线l为y= k(x 2),则圆心到此直线的距离|-2k| 2，2 2k2弦长1AB=242- 产 =2勺册,2k 2+2 2k2_2 1 + k2=，当且仅当(2 k) 2=2 2k2,即k2 = 1时等号成立,3由图可得k=幸k=y3舍去 33故直线l的倾斜角为150°4 .(2018 舟山调研)在同一平面直角坐标系中，直线 li： ax+y+b= 0和直线I2： bx+y+a=0有可能是()答案 B解析 当a>

22、;0, b>0时，a<0, - b<0.选项B符合.5 .直线MN勺斜率为2,其中点N(1 , 1),点M在直线y=x+ 1上，则()A. M(5 , 7)B. M(4 , 5)C.M(2 , 1)D.M(2 , 3)答案 B解析设M的坐标为(a, b),若点M在直线y = x+1上，则有b= a+1.，. 、. b+1_若直线MN勺斜率为2,则有三二2. 联立可得 a=4, b=5,即M的坐标为(4 , 5).故选B.6 .已知两点M2, 3), N(-3, 2),直线l过点P(1 , 1)且与线段MN1交，则直线l的斜率k的取值范围是()3B.-4< k<43

23、A. kA或 k<- 4C. w kw 44答案 A解析如图所示,kpN=121313kp i _ 2 = 4,.要使直线l与线段MNf交, 当l的倾斜角小于 90°时，k>kPN；当l的倾斜角大于 90。时，kwkPM,3 , .24或豚4.7 .一条直线经过点 代2,m),并且它的倾斜角等于直线y = x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是.答案 J3x y 3-73=0解析 因为直线y=jx的倾斜角为 卷，所以所求直线的倾斜角为"3，即斜率k=tan5=寸3. 又该直线过点A(2 ,-m),故所求直线为y( 。3) =q3(x2),即其-y-3m=0.

24、8 .不论实数 m为何值，直线 mx-y + 2m 1=0恒过定点.答案 (2, 1)x+2= 0,解析 直线 mx-y+ 2m 1 = 0可化为 mx+2) + ( y+1) =0, = m R,，x-y+1 = 0,= 2, y=1,，直线 mx-y + 2m+ 1 = 0恒过定点(一2, 1).9 .已知三角形的三个顶点A( 5, 0), B(3, 3), C(0 , 2),则BC边上中线所在的直线方程为.答案 x+13y + 5=03解析 BC的中点坐标为21-2 , BC边上中线所在的直线方程为x+ 5即 x+ 13y+ 5=0.10 .经过点A(4, 2),且在x轴上的截距等于在

25、y轴上的截距的3倍的直线l的方程的一般式为.答案 x+3y 10=0 或 x-2y=0解析 当截距为0时，设直线方程为 y=kx,则4k=2,1k = 2",直线方程为x 2y=0.当截距不为0时，设直线方程为 在+ y=1, 3a a由题意得+=1,a= . . - x +3y 10 = 0.3a a3综上，直线l的一般式方程为x+3y10= 0或x2y=0.11 .如图，射线 OA OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1 , 0)作直线AB分别交1OA OBT A, B两点，当AB的中点C恰好落在直线y=-x上时，求直线 AB的方程.解由题意可得k

26、OA= tan451, kOA tan(180-30° )=-乎, 3所以直线 l oa： y = x, l ob： 丫 = 一、.设 A( m m), R - mn, n),所以AB的中点。制扇哼 1, 一由点C在直线y=2x±,且 A, P, B三点共线得m n 1m- 3n2 22m- 0 gn1 = n- 0 m- 1解得m所以A(J3,啊又 P(1 , 0),所以 kAEB= kAP=,所以 l ab： y=2(x 1),即直线AB的方程为(3+J3)x 2y3 J3= 0.12 .已知直线 l： kx-y+1 + 2k=0(k R).证明：直线l过定点；(2)若

27、直线l不经过第四象限，求 k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点 A交y轴正半轴于点B, O为坐标原点，设AOB勺面积为S, 求S的最小值及此时直线l的方程.(1)证明 直线l的方程可化为y= k(x+2) + 1,故无论k取何值，直线l总过定点(2, 1).(2)解 直线l的方程可化为y=kx + 2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,k>0,要使直线l不经过第四象限，则1 + 2k>0,故k的取值范围是k>0. 解 依题意，直线l在x轴上的截距为1 + 2kk ，在y轴上的截距为1 + 2k,且k>0,所以 A142s, 0 , B(0, 1 + 2k), k11 1+2k故5= 4OA| O? = -xX(1 + 2k) 22 k111= ；4k+|；+ 4 >-X (4+ 4) = 4, 2k2,11 , _当且仅当4k = -,即k =)时取等号， k 2故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.“技能提升