2020-2021中考数学压轴题专题复习——初中数学旋转的综合及详细答案

1、2020-2021中考数学压轴题专题复习一一初中数学旋转的综合及详细答案一、旋转1 .如图 1,在 DABCD, AB=6, / B=5(60V仃 W90° 点.E 在 BC 上，连接 AE,把 4ABE 沿 AE折叠，使点 B与AD上的点F重合，连接 EF.求证：四边形 ABEF是菱形；(2)如图2,点M是BC上的动点，连接 AM,把线段AM绕点M顺时针旋转口得到线段 MN,连接FN,求FN的最小值(用含值的代数式表示).BE CB M E (图 1)® 2)13 I 【答案】(1)详见解析；(2) FEsin伊 90。) 【解析】 【分析】(1)由四边形ABCD是平行四

2、边形得 AF/ BE,所以/ FAE=Z BEA,由折叠的性质得 / BAE=Z FAE, / BEA=Z FEA所以/ BAE=Z FEA 故有 ABH FE,因此四边形 ABEF是平行四 边形，又BE=EF®此可得结论；11J(2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明/ENG= 90。一寸,利用菱形的性质得到 13/FEN=/90；再根据垂线段最短，求出 FN的最小值即可. 【详解】(1)二.四边形ABCD是平行四边形， .AD/ BC,/ FAE=/ BEA,由折叠的性质得 / BAE=Z FAE, / BEA=Z FEA, BE=EF/ BAE=Z FEA, .AB/ F

3、E 四边形ABEF是平行四边形，又 be=ef 四边形ABEF是菱形；(2)如图1,当点M在线段BE上时，在射线 MC上取点G,使MG = AB,连接GN、EN. / AMN=/B=优,Z AMN+ /2=/1+/BZ 1= Z 2又 AM= NM, AB=MG .ABMAMGN/ B= /3, NG=BM-，mg = ab= beEG= AB= NG11 11.1. / 4=/ ENG亍(180 罔)=90。那 又在菱形 ABEF中，AB/ EF/ FEC= / B=1II 3/ FEN= / FEC- 74=- (90 彳。)= 90BC延长线上截取 MG=AB,连接GN、EN.如图2,当

4、点M在线段EC上时，在(E3)(312)同理可得：/ FEN= / FEC-/4=江一（90/!） =/一90°3综上所述，/FEN=90°当点M在BC上运动日点 N在射线EH上运动（如图3）当FNLEH时，FN最小，其最小值为 FEsin-90)/ FEN本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出 = 1-90°,再运用垂线段最短求出FN的最小值.2.如图 1,在 RtABC中，/ACB= 90°, AC= BC.点 D、E分别在 AC BC边上，DC=EG 连接 DE、AE、BD.点 M、N、P分别是 AE、BD>

5、 AB 的中点，连接 PM、PN、MN.C E B CBCE B国1S2曾用圉(1) PM与BE的数量关系是 , BE与MN的数量关系是 .(2)将ADEC绕点C逆时针旋转到如图 2的位置，判断(1)中BE与MN的数量关系结论 是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；(3)若CB= 6. CE= 2,在将图1中的ADEC绕点C逆时针旋转一周白过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，求 MN的长度.1【答案】(1) PM -BE, BE J2MN ; (2)成立，理由见解析；(3) MN=J17 - 21或折+1【解析】【分析】(1)如图1中，只要证明VPMN的等腰直角三角

6、形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题；(2)如图2中，结论仍然成立，连接 AD、延长BE交AD于点H .由VECB VDCA ,推出BE AD , DAC EBC ,即可推出BH AD ,由M、N、P分另U AE、1 1BD、AB 的中点，推出 PM /BE, PM BE, PN/AD , PN AD ,推出2 2PM PN , MPN 90 ,可得 BE 2PM 2 MN V2MN ;2(3)有两种情形分别求解即可 .【详解】(1)如图1中，S1. AM = ME, AP= PB,1 PM / BE, PM - BE , 2. BN=DN, AP=PB,1 .PN/AD, PN AD,

7、2 . AC= BC, CD= C匕.AD= BE,.PM = PN, / ACB= 90 °,.-.AC± BC, . PM/BC, PN/ AC, PMXPN, PMN的等腰直角三角形，MN 72PM， MN:2 1BE ,2BE 2MN， 1-故答案为 PM -BE , BE J2MN (2)如图2中，结论仍然成立.理由：连接AD、延长BE交AD于点H. ABC和 CDE是等腰直角三角形，.CD= CE, CA= CB, /ACB=/DCE= 90 °, / ACB- / ACE= / DCE- / ACE/ ACD= / ECB .ECBDCA, .BE=

8、AD, /DAC=/EBC Z AHB=180 - (/HAB+/ABH)= 180°- (45 +Z HAC+ZABH)= /180°- ( 45° + /HBG/ABH)= 180° -90°= 90°, BHXAD, M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，11 .PM/BE, PM BE, PN/AD, PN AD, 22.PM = PN, /MPN=90；BE 2PM 2 MN >/2MN .2当D、E、B共线时,则 CG GE DG J2,BE BG GEV34 亚,，MN -2 BE2而i.当D、E B共线时,GE

9、 DG V2,在 RtAbcg中，bg Jbc2 cg2 j62 & 2 扃,BE BG GE34 2,在 RtABCG中，BG JbC2 CG2 J62 22 2 后，,MN 出 BE 2综上所述，MN=而-1或J万+1.【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问 题，属于中考压轴题.3.如图1,在锐角 4ABC中，/ABC=45°,高线 AD、BE相交于点 F.(1)判断BF与AC的数量关系并说明理由；(2)如图2,将4ACD沿线段AD对折，点 C落在

10、BD上的点 M, AM与BE相交于点 N, 当DE/ AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由.【答案】(1) BF=AC理由见解析；(2) NE=AC,理由见解析.2【解析】试题分析：(1)如图1,证明AADCABDF (AAS),可得BF=AQ(2)如图2,由折叠得：MD=DC,先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC由线段垂直平分线的性质得： AB=BC则/ABE=/ CBE结合(1)得：BDF0ADM,则1/DBF=/ MAD,最后证明 /ANE=/ NAE=45 ,彳# AE=EN,所以 EN=- AC.试题解析：(1) BF=AC理由是：如图 1,AD± BC, BEX

11、 AC, ./ADB=/ AEF=90,° / ABC=45 ,°.ABD是等腰直角三角形，1. AD=BD, / AFE=Z BFD, / DAC=Z EBC在ADC和4BDF中，DAC DBFADC BDF,AD BD.ADCABDF (AAS),BF=AC1，口(2) NE=-AC,理由是：2如图2,由折叠得： MD=DC,1. DE/AM, .AE=EC .BEXAC, .AB=BC, / ABE=Z OBE, 由(1)得：AADOABDF7, .ADOAADM,.,.BDFAADM,/ DBF=Z MAD , / DBA=Z BAD=45 ； / DBA- / D

12、BF=Z BAD- / MAD,即 / ABE=Z - BAN, / ANE=Z ABE+Z BAN=2/ ABE,/ NAE=2/ NAD=2/ OBE/ ANE=Z NAE=45 ；.AE=EN,_ 1 - .EN=-AO.24.如图1, 4ABC是边长为4cm的等边三角形，边 AB在射线OM上，且OA=6cm,点D 从O点出发，沿 OM的方向以1cm/s的速度运动，当 D不与点A重合时，将4ACD绕点C 逆时针方向旋转 60°得到BCE连结DE.(1)求证：4CDE是等边三角形；(2)如图2,当6vtv10时，4BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出 4BDE的最小 周长；若

13、不存在，请说明理由；(3)如图3,当点D在射线OM上运动时，是否存在以 D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时 t的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析 (3)存在【解析】试题分析：(1)由旋转的性质得到 /DCE=60°, DC=EC,即可得到结论；(2)当6vtv10时，由旋转的性质得到 BE=AD,于是得到CadbE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD± AB时，4BDE的周长最小，于是得到结论；(3)存在，当点D于点B重合时，D, B, E不能构成三角形， 当04V

14、6时，由旋 转的性质得到/ABE=60。，/BDE< 60。，求得/ BED=90。，根据等边三角形的性质得到Z DEB=60 ；求得 /CEB=30 ；求得 OD=OA-DA=6-4=2,于是得到 t=2 + 1s?当 6<t< 10s 时，此时不存在；当t>10s时，由旋转的性质得到 / DBE=60°,求得/ BDE>60°,于是得到 t=14+ 1=145.试题解析：（1）证明：二.将ACD绕点C逆时针方向旋转60。得到ABCE/ DCE=60 ； DC=EC, .CDE是等边三角形；（2）存在，当6<t< 10时，由旋转的

15、性质得，BE=AD, Ca dbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知， CDE是等边三角形，DE=CD,Cadbe=CD+4, 由垂线段最短可知，当 CD± AB时，4BDE的周长最小， 此时，CD=2,3 cm, .BDE 的最小周长=CD+4=2 73+4；（3）存在，二当点D与点B重合时，D, B, E不能构成三角形，当点D与点B重合时，不符合题意；当04<6时，由旋转可知，Z ABE=60°, /BDEv 60°,/ BED=90 ；由（1）可知，4CDE是等边三角形，/ DEB=60 ；/ CEB=30 :3 / CEB=Z CD

16、A,/ CDA=30 ;4 / CAB=60 ；/ ACD=ZADC=30 :DA=CA=4,.OD=OA- DA=6-4=2,5 .t=2 + 1=2 当 6vtv 10s时，由 ZDBE=120 °>90°, ，此时不存在；当t>10s时，由旋转的性质可知，Z DBE=60 °,又由（1）知/ CDE=60°,/ BDE=Z CDEnZ BDC=60 +/ BDC,而/ BDC>0°,6 / BDE> 60 ；7 只能 / BDE=90 ；从而 / BCD=30°,.BD=BC=4,1. OD=14cm,

17、- t=14 + 1K4综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代 数的方法求出最值；像第三小问这种探究性的题目，一定要多种情况考虑全面，控制变 量，从某一个方面出发去分类 .5.如图,在等腰 4ABC 和 4ADE 中，AB=AC, AD=AE,且 / BAC=/ DAE=120°.（1）求证：AB4 4ACE;（2）把 ADE绕点A逆时针方向旋转到图 的位置，连接 CD,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接 MN、PN、PM,判断 PMN的形状，并说明理由；（3）在

18、（2）中，把4ADE绕点A在平面内自由旋转，若 AD=4, AB=6,请分别求出 PMN周长的最小值与最大值.图 图【答案】（1）证明见解析；（2） 4PMN是等边三角形.理由见解析；（3） 4PMN周长 的最小值为3,最大值为15.【解析】分析：（1）由 /BAC玄 DAE=120 ,可得 / BAD=/ CAE,再由 AB=AC, AD=AE,利用 SAS 即 可判定AB44ADE; （2） PMN是等边三角形，利用三角形的中位线定理可得PM=1CE） PM/CE, PN=1BD, PN/BD,同（1）的方法可得 BD=CE 即可得 PM=PN,所 22以4PMN是等腰三角形；再由 PM/

19、CE, PN/ BD,根据平行线的性质可得 ZDPM=Z DCE,/ PNC=Z DBC,因为 / DPN=Z DCB+/ PNC=Z DCB+/ DBC, 所以/ MPN=Z DPM+Z DPN=Z DCE+Z DCB+Z DBC=Z BCE+/ DBC=Z ACB+Z ACE叱 DBC=Z ACB+/ ABD+> DBC=Z ACB叱 ABC,再由 / BAC=120可得 / ACB+Z ABC=60 ,° 即可得Z MPN=60 °,所以4PMN是等边三角形；（3）由（2）知，APMN是等边三角形，PM=PN=bD,所以当PM最大时，4PMN周长最大，当点 D在

20、AB上时，BD最小，PM2最小，求得此时 BD的长，即可得 4PMN周长的最小值；当点 D在BA延长线上时，BD最大，PM的值最大，此时求得 4PMN周长的最大值即可.详解：（1）因为 /BAC=/ DAE=120 ,所以 / BAD=Z CAE,又 AB=AC, AD=AE,所以AB4 4ADE;（2） 4PMN是等边三角形.理由：丁点P, M分别是CD, DE的中点, .PM=1CE PM/CE 2 点N, M分别是BC, DE的中点，.PN=1BD, PN/ BD,2同（1）的方法可得 BD=CE.PM=PN, .PMN是等腰三角形，. PM/CE,Z DPM=Z DCE . PN /

21、BD,/ PNC=Z DBC, / DPN=Z DCB+Z PNC之 DCB+Z DBC,/ MPN=Z DPM+ / DPN=/ DCE+Z DCB+/ DBC之 BCE叱 DBC=/ ACB+Z ACE叱 DBC=Z ACB+/ ABD+Z DBC=Z ACB+/ ABC, / BAC=120 , ° Z ACB+Z ABC=60 ；/ MPN=60 ；.PMN是等边三角形.1（3）由（2）知，4PMN 是等边二角形，PM=PN=BD2PM最大时，4PMN周长最大，.点D在AB上时，BD最小，PM最小，BD=AB-AD=2, PMN周长的最小值为 3;点D在BA延长线上时，BD最

22、大，PM最大，BD=AB+AD=10, PMN 周长的最大值为 15.故答案为 PMN周长的最小值为3,最大值为15点睛：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定，解决第（3）问，要明确点 D在AB上时，BD最小，PM最小，4PMN周长的最小;点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，4PMN周长的最大值为15.6.在平面直角坐标中，边长为 2的正方形OABC的两顶点 A、C分别在y轴、X轴的正 半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当 A点一次落在直线 y X上 时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y X于点M , BC边交X轴于点N （如

23、图）.(1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积；(2)旋转过程中，当 MN和AC平行时，求正方形 OABC旋转的度数；(3)设 MBN的周长为p ,在旋转正方形 OABC的过程中，P值是否有变化？请证明 你的结论.【答案】(1)兀2 (2) 22.5。(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：(1)根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；(2)解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出/AOM的度数；(3)利用全等把4MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.试题解析：(1) ; A点第一次落在直线 y=x上时停止旋转，直线 y=x与y轴的夹角是 45°

24、,OA 旋转了 45：4522.OA在旋转过程中所才3过的面积为45一 3602(2) MN /AC,/ BMN=Z BAC=45 ,° / BNM=Z BCA=45 :Z BMN=Z BNM,，BM=BN.又,. BA=BC, .1. AM=CN.又. OA=OC, /OAM=/OCN, . OAM OCN. ./AOM=/CON=1 (/AOC-/ MON) =- (90 -45°) =22.5 . 22，旋转过程中，当 MN和AC平行时，正方形 OABC旋转的度数为45 -22.5 =22.5 .(3)在旋转正方形 OABC的过程中，p值无变化.证明：延长BA交y轴于

25、E点，贝U / AOE=45 -/ AOM , / CON=90 -45 -Z AOM=45 -/ AOM ,/ AOE=Z CON.又 OA=OC, / OAE=180 -90 =90° = / OCN. .OAEAOCN.OE=ON, AE=CN又 / MOE=Z MON=45 , OM=OM , .OMEAOMN. . MN=ME=AM+AE. - MN=AM+CN ,.p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.，在旋转正方形 OABC的过程中，p值无变化.考点：旋转的性质.7.在 RtACB和 4AEF中，Z ACB= Z AEF= 90°,若点

26、 P 是 BF 的中点，连接 PC, PE.特殊发现：如图1,若点E、F分别落在边AB, AC上，则结论：PC= PE成立(不要求证明).问题探究：把图1中的4AEF绕点A顺时针旋转.(1)如图2,若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若 不成立，请说明理由；(2)如图3,若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成 立，请说明理由；AC(3)记_C=k,当k为何值时，4CPE总是等边三角形？(请直接写出后的值，不必说) BC【答案】1 PC PE成立 2 , PC PE成立 3当k为又3时，VCPE总是等边三 3角形【解析】【分析】(1

27、)过点 P 作 PMLCE 于点 M,由 EF± AE, BC± AC,得到 EF/ MP/CB,从而有PC=PEPD,先证PD=PE最后根据EM FP ，再根据点 P是BF的中点，可得 EM=MC,据此得到MC PB(2)过点F作FD±AC于点D,过点P作PMLAC于点M,连接 DAF0EAF,即可得出 AD=AE；再证 DA彦 EAP,即可得出FD± AC, BC± AC, PMAC,可得 FD/ BC/ PM,再根据点 P是 BF 的中点，推得 PC=PD 再根据PD=PE即可得到结论.(3)因为4CPE总是等边三角形，可得 ZCEP=6

28、0, / CAB=60 ;由/ ACB=90 ,求出/ CBA=30 最后根据-AC k , -AC =tan30 ；求出当 CPE总是等边三角形时，k的值是 BC BC多少即可.【详解】解：(1) PC=PE成立，理由如下：如图 2,过点 P 作 PMLCE于点 M ,EF± AE, BC± AC, . . EF/ MP / CB,EM FPMC PB点 P是 BF的中点，. . EM=MC,又. PMCE, . PC=PE5图2(2) PC=PE立，理由如下：如图3,过点F作FD，AC于点D,过点P作PMLAC于点M,连接PD, < / DAF=/ EAF,/ F

29、DA=Z FEA=90在 DAF 和 EAF中, / DAF=Z EAF, / FDA=Z FEA, AF=AF, .DAFAEAF (AAS ,.AD=AE,在 ADAP和 AEAP 中， . AD=AE, /DAP=/ EAP, AP=AP, .DAPAEAP (SAS , .PD=PE . FD± AC, BC± AC, PMXAC, .FD/ BC/ PM,DM FP-，MC PB点P是BF的中点，.DM=MC,又 PMXAC,PC=PD,又. PD=PE.PC=PEC图3(3)如图4,CPE总是等边三角形,/ CEP=60,°/ CAB=60 ； / A

30、CB=90 ；/ CBA=90 - / ACB=90 - 60 =30 ;.殷 k ,改=tan30 ；BC BCk=tan30当k为Y3时，CPE总是等边三角形.3图4【点睛】考点：1.几何变换综合题；2.探究型；3.压轴题；4.三角形综合题；5.全等三角形的 判定与性质；6.平行线分线段成比例.8.已知：在 ABC中，BC=a, AC=b,以AB为边作等边三角形 ABD.探究下列问题：(1)如图1,当点D与点C位于直线 AB的两侧时，a=b=3,且/ ACB=60 ,则CD=;(2)如图2,当点D与点C位于直线 AB的同侧时，a=b=6,且/ ACB=90 ,则CD=;(3)如图3,当/A

31、CB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的/ ACB的度数.【答案】(1)(2)限63%笈；(3)当/ACB=120时，CD有最大值是a+b.【解析】【分析】(1) a=b=3,且/ACB=60, AABC是等边三角形，且 CD是等边三角形的高线的 2倍，据 此即可求解；(2) a=b=6,且/ACB=90, AABC是等腰直角三角形，且 CD是边长是6的等边三角形的 高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差；(3)以点D为中心，将4DBC逆时针旋转60°,则点B落在点A,点C落在点E.连接AE, CE,当点E、A、C在一条直线上时， CD有最大值，CD=CE=

32、a+b【详解】(1) ,. a=b=3,且 /ACB=60,.ABC是等边三角形，.OC= .CD=3X;3V石-3V4(3)以点D为中心，将ADBC逆时针旋转60°,CE . CD=ED, / CDE=60 ,° AE=CB=a .CDE为等边三角形， .CE=CD当点E、A、C不在一条直线上时，有 CD=C氏 AE+AC=a+b当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b只有当 /ACB=120 时，/CAE=180, 即A、G E在一条直线上，此时 AE最大 ./ACB=120,°s因此当/ACB=120时，CD有最大值是a+b.DCD有最

33、大值的条件,P、Q在边AB上同时从A BfD以2cm/s的速度本题主要考查了等边三角形的性质，以及轴对称的性质，正确理解 是解题的关键.9.如图，4ABC是等边三角形，AB=6cm, D为边AB中点.动点点D出发，点P沿DfA以1cm/s的速度向终点 A运动.点Q沿 运动，回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形 PQN.将4PQN绕QN的中点旋 转180°得到4MNQ.设四边形 PQMN与4ABC重叠部分图形的面积为 S (cm2),点P运 动的时间为t (s) (0vt<3).(1)当点N落在边BC上时，求t的值.(2)当点N到点A、B的距离相等时，求t的值.(3)当

34、点Q沿AB运动时，求S与t之间的函数表达式.(4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是 E、F,直接写出四边形 PEMF 与四边形PQMN的面积比为2: 3时t的值.t=1或【解析】试题分析：(1)由题意知：当点 N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；(2)当点N到点A、B的距离相等时，点 N在边AB的中线上，此时 PD=DQ3131 131(3)当0D细，四边形 PQMN与 ABC重叠部分图形为四边形 PQMN;当、wt如，四 边形PQMN与 ABC重叠部分图形为五边形 PQFEN3112(4) MN、MQ与边BC的有交点时，此时5<t<6 ,列出四边形

35、PEMF与四边形PQMN的 面积表达式后，即可求出 t的值.试题解析：(1)4PQN与4ABC都是等边三角形，当点N落在边BC上时，点Q与点B重合.DQ=3 .-2t=3 .3 .tJ;(2)二当点N到点A、B的距离相等时，点 N在边AB的中线上,PD=DQ,当0vtv时，此时，PD=t, DQ=2t2 .t=2t3 t=0 (不合题意，舍去)，3当3时，此时，PD=t, DQ=6 - 2t4 .t=6 - 2t,解得t=2;t=2;综上所述，当点 N到点A、B的距离相等时, (3)由题意知：此时，PD=t, DQ=2t当点M在BC边上时，5 .MN=BQ6 . PQ=MN=3t, BQ=3-

36、 2t.-3t=3 -2t3，解得t="3如图，当0wt翻寸，史里S>a PNc= " PQ2= * t2；R32.6=$菱形 pqmn=2Sa pnq=t ,3 F如图，当s<t方寸，设MN、MQ与边BC的交点分别是 E、F,MN=PQ=3t, NE=BQ=3 2t, .ME=MN - NE=PQ- BQ=5t- 3,EMF是等边三角形，史4 Sa emf=II忙ME2= 4 (5t3)7yp ? 15%3 9、34 24 .；(4) MN、MQ与边BC的交点分别是 E、F,312此时'tv 'I 151二7t=i 或考点：几何变换综合题10.

37、如图1,在R9ABC中，ZACB=90°, E是边AC上任意一点（点 E与点A, C不重合），以 CE为一直角边作 RtA ECD /ECD=90,连接BE, AD.（1）若 CA=CB CE=CD猜想线段BE, AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； 现将图1中的RtECD绕着点C顺时针旋转锐角 ”，得到图2,请判断 中的结论是否 仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6 CE=3, CD=4,ECD绕着点 C顺时针转锐角 ”，如图3,连接BD,AE,计算1""的值.【答案】（1）BE=AD, BEX AD；见解

38、析；（2） 125.【解析】试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD, BEX AD；设BE与AC的交点为点F, BE与AD的交点为点 G,根据/ ACB=Z ECD=9。得出/ ACD=Z BCE然后结合 AC=BC CD=CE得出AC*4BCE 贝U AD=BE, / CAD=/ CBF,根据 / BFC=/ AFG,/ BFC+Z CBE=90得出/ AFG+Z CAD=90 ,°从而说明垂直；首先根据题意得出 ACDABCE；然后说明/AGE=/BGD=90。，最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线 段转化成已知的线段得出答案.试题解析：（1）解：BE=AD, BE

39、X ADBE=AD, BEX AD仍然成立证明：设BE与AC的交点为点F, BE与AD的交点为点G,如图1. /ACB=/ ECD=90,° ，/ACD=/ BCE ' AC=BC CD=CE. AC* BCE . AD=BE / CAD=/ CBF v / BFC=Z AFG / BFC+Z CBE=90 °，/ AFG+Z CAD=90 ° / AGF=90 °.1. BEX AD(2)证明：设BE与AC的交点为点F, BE的延长线与 AD的交点为点 G,如图2./ACB=/ ECD=90,° ，/ACD=/ BCE ; AC=8,

40、 BC=6, CE=3, CD=4 AACD ABCE/ CAD=Z CBE / BFC=Z AFG / BFC+/ CBE=90 / AFG+/ CAD=90 °/ AGF=90 °.1. BEX AD，/ AGE=/ BGD=90 °，亚三A& +陪,即工=B3+办砂,8解+但W + E& + BG阡D序.依+*二汨EW + DG阴, r?).BD2 + AE2 = AB1 + ED2 = CA2 + C82 + CD2 + CE2 = 125考点：三角形全等与相似、勾股定理.11.我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形

41、叫做 等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的等底”。（1）概念理解：如图1,在 ABC中，AC 6 ,BC 3. ACB 30 ,试判断 ABC是否是 等高底”三角形，请说明理由.（2）问题探究：如图2, ABC是 等高底”三角形，BC是 等底”，作 ABC关于BC所在直线的对称图形得AC 一一到 ABC,连结AA交直线BC于点D.若点b是乙3 aiz 1 2i的重心，求的值. BC（3）应用拓展：如图3,已知I1/I2I与12之间的距离为2.等高底” ABC的等底” BC在直线11上，点A在直线12上,有一边的长是BC的J2倍.将 ABC绕点C按顺时针方向旋转 45得到【答案】（1）证明见解

42、析；（2） 能 近（3）CD的值为2而，2后,2 BC 23【解析】分析：（1）过点A作ADL直线CB于点D,可以得到AD=BC=3,即可得到结论；(2)根据 MBC是 等高底”三角形，BC是 等底”，得到AD=BC,再由MBC与 MBC关于 直线BC对称，得至ij /ADC=90°,由重心的性质，得至ij BC=2BD.设BD=x,贝U AD=BC=2x, CD=3x,由勾股定理得AC=J13x,即可得到结论；(3)分两种情况讨论即可：当AB=J2BC时，再分两种情况讨论；当AC= J2 BC时，再分两种情况讨论即可.详解：(1)是.理由如下：如图1,过点A作ADL直线CB于点D,

43、MDC为直角三角形，/ ADC=90 ： ZACB=30°, AC=6,AD=1AC=3,2AD=BC=3,即MBC是等高底”三角形.(2)如图2, MBC是 等高底”三角形，BC是 等底"，AD=BC,ABC与 MBC关于直线 BC对称，Z ADC=90 : 点 B 是 MAC 的重心，BO2BD.设 BD=x,贝U AD=BC=2x, . . CD=3x ,由勾股定理得 AC= J13 x,AC. 13x13 -.BC2x2IH3(3)当 AB=72BC时，I .如图3,作AEL1于点E, DFLAC于点F.等高底” ABC的等底”为BC, li 12,11与12之间的

44、距离为2, AB= J2 BC,.BC=AE=2, AB=2 72 ,BE=2,即 EC=4,AC= 275 .ABC绕点C按顺时针方向旋转 45得到 M' B' C,，/CDF=45： 设 DF=CF=x .DFAE 1 . lil2, . / ACE=/DAF, 一，即 AF=2x.AFCE 2_2_2 AC=3x= 2 /5 ,可得 x= - */5, CD= yJ2 x= JlO -33n .如图4,此时 MBC是等腰直角三角形，ABC绕点C按顺时针方向旋转 45得到 M' B' C,ACD是等腰直角三角形，cd=V2ac=2>/2 -当AC= J

45、2bc时，I .如图5,此时4ABC是等腰直角三角形. ABC绕点C按顺时针方向旋转 45得到 M'B'C, .A CL li, .-.CD=AB=BC=2.n .如图6,作AEli于点E,贝U AE=BC, AC=V2bC= V2 AE,/ ACE=45 °, MBC绕点C按顺时针方向旋转 45得到 M'B'C时, 点A '在直线li上, .AC/12,即直线A'C与12无交点.A综上所述：CD的值为2痴，2折，2.3点睛：本题是几何变换-旋转综合题.考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力.解题的关键是对新概念等高底”

46、三角形的理解.12 .正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接 EF.(1)如图1,若点G是边BC的中点，连接FG,则EF与FG关系为： ;(2)如图2,若点P为BC延长线上一动点，连接 FP,将线段FP以点F为旋转中心，逆 时针旋转90°,得到线段FQ,连接EQ,请彳#想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明 你的结论.(3)若点P为CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ BP三者之间的数量关系:【答案】(1)证明见解析(2) BF+EQ=BP(3) BF+BP=EQ试题分析：(1) EF与FG关系为垂直且相等(EF=FG

47、且EF± FG).证明如下:点E、F、G分别是正方形边 AD、AB、BC的中点， AEF和 BGD是两个全等的等腰直角三角形.，EF=FG /AFE=/ BFG=45/ EFG=90即 EF± FG.(2)取BC的中点G,连接FG,则由SAS易证 FQE FPG 从而EQ=GP因此EF 72 BP EQ .(3)同(2)可证FQEFPG (SAS ,得 EQ=GP 因此，EF GF V2BG 4i GP BP / EQ BP .13 . (1)发现如图，点 A为线段BC外一动点，且 BC a, AB b.填空：当点 A位于 时，线段 AC的长取得最大值，且最大值为 (用含a

48、 , b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且 BC 3, AB 1.如图所示，分别以 AB , AC为边，作等 边三角形ABD和等边三角形 ACE ,连接CD , BE .找出图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值.(3)拓展如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为 2, 0，点B的坐标为 5, 0，点P为线段AB外一动点，且PA 2, PM PB, BPM 90 ,求线段AM长的最大值及此时 点P的坐标.产【答案】(1) CB的延长线上，a+b; (2)DC=BE,理由见解析；BE的最大值是4;(3) AM的最大值是3+2 J2,点P的坐标为(2-J2, J

49、2)【解析】【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时，线段 AC的长取得最大值，即可得到结论；(2)根据等边三角形的性质得到AD=AB, AC=AE / BAD=/ CAE=60 ,推出 CADEAB,根据全等三角形的性质得到CD=BE由于线段BE长的最大值二线段CD的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果；(3)连接BM,将4APM绕着点P顺时针旋转90°得至iJPBN,连接AN,得到4APN是等 腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2, BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2 J2+3；如图2,过P作PE±x轴于

50、E,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.【详解】解：(1)二点A为线段BC外一动点，且 BC=a, AB=b,，当点A位于CB的延长线上时，线段 AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b故答案为CB的延长线上，a+b;(2)CD=BE,理由： 4ABD与4ACE是等边三角形，.AD=AB, AC=AE /BAD=/ CAE=60 , °Z BAD+Z BAC=Z CAE+Z BAC,即 / CAD=Z EAB,在ACAD与 EAB中，AD=AB CAD= EAB , AC=AE .CADAEABJ, .CD=BE二线段BE长的最大值二线段CD的最大值，由（1）知，当线段 C

51、D的长取得最大值时，点 D在CB的延长线上, .最大值为 BD+BC=AB+BC=4（3）二.将APM绕着点P顺时针旋转90°得至iJPBN,连接AN, 则 APN是等腰直角三角形，却 .PN=PA=2, BN=AM,.A的坐标为（2, 0）,点B的坐标为（5, 0）,.OA=2, OB=5,.AB=3, 线段AM长的最大值=线段BN长的最大值， 当N在线段BA的延长线时，线段 BN取得最大值, 最大值=AB+AN,. AN=72 AP=2V2 ，最大值为2拒+3;如图2,过P作PE±x轴于E, APN是等腰直角三角形，PE=AE=、, 2 ，.OE=BO-AB-AE=5-

52、3-、2 =2-、2 ， .P （2- .，、5）.【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质.正 确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.14.在正方形 ABCD中，对角线 AC与BD交于点O；在RtA PMN中，/ MPN= 90 °.(1)如图1,若点P与点O重合且PM±AD> PN± AB,分另1J交 AD、AB于点E、F,请直 接写出PE与PF的数量关系；(2)将图1中的RtPMN绕点。顺时针旋转角度 a (0。 <a<45°.如图2,在旋转过程中(1)中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说 明理由； 如图2,在旋转过程中，当 /DOM=15。时，连接EF,若正方形的边长为 2,请直接写出 线段EF的长；如图3,旋转后，若 RtA PMN的顶点P在线段OB上移动(不与点 O、B重合)，当BD=3BP时，猜想此时 PE与PF的数量关系，并给出证明；当 BAm EP时，请直接写出 PE与PF的数量关系.图1图2图3?卡【答案】(1) PE=PF (2) 成立，理由参见解析； 工；PE=2PF,理由参见解析；PE=