长沙市一中高一下学期期中考试数学试卷

1、湖南省长沙市第一中学2011级高一下学期期中考试数学试卷、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个答案中，只有一个符合题目要求.1 .已知角的终边有一点P( 3,4),贝U cosA.42 .根据统计显示，某人射击1次，命中8环、9环、10环的概率分别为0.25、则此人射击A. 0.771次，命中不足8环的概率为B . 0.52.0.48)350.15、0.08(.0.373 .下列函数中,周期为-,且为奇函数的是1八A. y tan2x B . y tan - x C 2y sin 2xy cos2 x4 . 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图1

2、所示，时速在50,60汽车大约有(A. 30 辆5 . (已知圆的一条弦的长度等于圆的半径 )则这条弦所对的圆心角的弧度数为A. 1B.D.36.已知下软三G命r题，rr若 a / b, b c,贝u a若四边形ABC时有器兆，则四边形ABCM平行四边形.已知A, B, C是平面内任意三点，则ABuurBCuurCA则其中正确命题的个数为A. 0x = W对称，它的最小正周期为37 .函数f (x) =sin(x+()(>0)的图象关于直线 函数f (x)图象的一个对称中心是冗A (y, 1). (52, 0) D .(一8 .已知函数f(x) lg ax 2vx a(a 0,a 1)满

3、足f(4) f(1) ff (0),则实数a的取值范围是()A. (1,10) B . (1,加 C .(加10)D .沂，炳)二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上.9 . 一次选拔运动员，测得 7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图如图2,记录的平均身 高为177 cm,有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x,那么x的值为.10 .在如图3所示的算法流程图中，若f(x)=2x, g(x)=x3,则h(3)的值为.11 .已知 tan 3 ,则 2sin一3cos-.sin 2cos18 0 117 3 v 8 9图2uuuruuur

4、uuuu12 .若 | AM|=4, |AN|=5 ,则 | MN | 的最大值为.13 .将函数f(x) sinx图像上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍，再将所得图像向左平移一个单位，3然后将所得图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍得函数g(x)的图像，则函数g(x)=.14 .已知函数f(x) 2sin2 x 3cosx 1 (x R),则该函数的值域为.15 .有一种蚂蚁跳跃的小游戏，其游戏规则是：一只蚂蚁在平面直角坐标上从点(1,1)开始按如下规则跳跃：(1)该蚂蚁从任一点(m n)跳到点(2m n)或(m2n);(2)如果m> n,该蚂蚁能从(mn)跳到(m- n , n),如

5、果m< n,该蚂蚁能从(mn)跳到(m, n 一成.则在(2,1 )，(8,5),(10,24),(30,24)四点中，蚂蚁能到达的点是 蚂蚁跳到(400,4),至少要跳跃 次.三、解答题：本大题共75分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16 .(本小题满分12分)cos(x -)已知 f(x) 72-gcos( x).sin(-2 x)(1)化简f(x)的表达式；-5-(2)右 f() 一，求 cos , tan 的值.17 .(本小题满分12分)已知函数 f(x) 3sin(x ). 44(1)用“五点法”做出f(x)在一个周期内的图像;一一 3(2)求使f (x)

6、-的x的集合.218 .(本小题满分12分)设集合 P b,1 , Q c,1,2,若 b,c 2,3,4,5,6,7,8,9，且P Q.(1) 求b = c的概率；(2)求方程x2 bx c 0有实根的概率.19 .(本小题满分13分)已知圆M x2 (y 2)2 1,设点B, C是直线l : x 2y 0上的两点，它们的横坐标分别是t,t 4(t R),点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA切点为A.(1)若t 0 , |MP痣，求直线PA的方程；(2)经过A, P, M三点的圆的圆心是D,求线段| DO长的最小值L(t).20 .(本小题满分13分)有一个调频过滤仪其工作频率y与时间x

7、的关系满足函数 y Asin( x ) b(A 0,0,02 ),在工作中当其接收的信息频率不超过其工作频率时，则使该信息通过，否则过滤该信息(不通过).已知该函数两个相邻的最大值点与最小值点分别为(-,4) ,(-,0).26(1)求该函数的解析式；(2)设函数f (x)的图象与直线x =a, x =b及 x轴所围成图形的面积称为函数f (x) 在a, b上的面积,已知函数y=sinnx在0, _上的面积为2 (nCN*).若在x 0,的时段内有频率 nny 0,4的大量信息被该调频过滤仪接收，求这些信息通过的概率.21.(本小题满分13分)设f(x)是定义在0, 1上的函数，若存在x*e(

8、0, 1),使得f(x)在0, x*上单调 递增，在x*, 1上单调递减，则称f(x)为0, 1上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区 问.(1)若函数f(x)= -x2+x+1,其定义域为0,1,试判断f(x)是否为0, 1上的单 峰函数；若f(x)为0, 1上的单峰函数.(2)证明：对任意的 x，xzC (0,1), x1<x2,若 f (x1) >f (x2),则(0, x2)为含峰区 问；若f (x1)Wf(x2),则(x. 1)为含峰区间;(3)对给定的r (0<r<0.5),证明：存在 治，xzC (0 , 1),满足x2-x1>2r,使得

9、由(2)所确定的含峰区间的长度不大于0.5 +r .湖南省长沙市第一中学2011级高一下学期期中考试数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分CBACD CBD、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分9._812. _915.；10.27._113. 3sin(-x -).14.111417- 4，t , 8三、解答题：本大题共75分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)【解析】(1)cos(x )f(x)- 2sin(-2gpos(x)x)f()513coscos17.在第三象限，12一,tan13在第四象限,121,tan13（

10、本小题满分则5在，则512，12分）【解析】（1）列表sinxg cosx) sinx cosxsin513，或第四象10分12分x11357x 44023-22f(x)030-30，一3(2) f (x) 3sin(x ) 一442sin( x )1,442由图像可知2k 一 一x6 42k45kZ)解得8 k8k3(k1Z) , x的集合为x|8k 13x 8k - (k Z).312分18.（本小题满分12分）【解析】（1） ; P Q,当b2 时，c 3,4,5,6,7,8,9 ;当b 2时，b c 3,4,5,6,7,8,9 .基本事件总数14.其中b = c的事件数为7种.所以b=

11、c的概率为小(2)记“方程有实根”为事件A,若使方程有实根，则.2b 4c 0 ,即 b c 4,5,6,7,8,9 ,共 6 种.所以P(A) 314 712分19.(本小题满分13分)【解析】(1)设P(2a,a)(0M (0 ,2) , MP 卮，J(2a)2 (a 2)2 J5 ,解得 a 由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k.所以直线PA的方程为y 1 k(x 2),即kx y 2k直线PA与圆M相切，| 2_1| - 1 k2PA 直3x 3y 11 043是6分(2)设 P(2a,a)(t 2at 4) ,PA与圆 M相切于点 A, . PA,MA经过A PMm点的圆的圆心D是

12、线段MP的中点0，2),；d的坐标是(a,；设DO2f(a),2, a 25 2 . f (a) a (一 1)- a a245/ 4(aI2:时，f (a)minf (J) 4t252161；当;24即一 t5f (a)min2f(5)当;224|，即t 24时，f (a)min2)3tL(t) . f (a)min1 5t2 42.5, 5Lj!748t16,24548t 128 ,4545245【解析】(1)二.该函数两个相邻的最大值点与最小值点分别为13分20.(本小题满分13分)(,4) , ( , 0) 9 . 周期262k ，又 02 ,T 2(-),263，3,且A 2,b 2

13、 ,又“五点法”可知3 _ 2k _22y 2sin(3x ) 2 5分(2)如图，据题意可知y sin3x在0, _上的面积为2, 33在0 , L上的面积为2 2 433 3 3则y 2sin3x在0，一上的面积为2 2 433 39分函数y 2sin(3x ) 2在x 0,上的图像如图，则图中“S”的面积值均为4,而y 2sin(3x ) 2在x 0, 的面积可表示为S矩-S=24，故信息通过的概率为P=3 13分21.(本小题满分13分)【解析】(1)因为f(x)= x2+x+1在0, 0.5上单调递增，在0.5,1上单调递减，所 以 f(x)= x2+x+1是 0,1 上 的 单 峰

14、 函数.3分(2)证明：设x*为f(x)的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在0, x*上单调递增,在x*, 1上单调递减.当 f (Xi) nf(X2)时，假设 X* (0, X2),则 X1<X2<X* ,从而 f (x*) >f (X2)>f (Xi), 这与f(xi)f(X2)矛盾，所以x*e(0, X2),即(0, X2)是含峰区间.当 f (Xi) Wf(X2)R,假设 X* ( X2, 1),则 X*VWX1<X2,从而 f (x*) >f (Xi)>f (x2),这 与f (Xi)<f(x2)矛盾，所以X* (Xi, 1),即(Xi, 1)是 含峰区问.8分(3)证明：由(2)的结论可知：当f(Xi)f(X2)时，含峰区间的长度为li = x2；当f(X"Wf(X2)时，含峰区间的长度为 I 2=1 Xi