2013年考研数学一真题及答案解析

1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）已知极限x arctan xc,其中c,k为常数，且c 0,则（(A)2,c(B)2,c(C)3,c12121(D)3,c(2)曲面cos(xy)yz0在点（0,1, 1）处的切平面方程为（(A)(B)(C)2y(D)(3)设 f(x)(A)(B)(C)(D)3414143(4)设Iibn1,l2f (x)sin n xdx(n 1,2,.),令 S(x)2_2_2_2y 2,I3：x 2y 23:2x9、bn

2、 sin n x ,则 S( 一)()n 142,为四条逆时针的平面曲线，记Ii ?(yi：3(2x3 x )dy(i 1,2,3,4),则 MAX(Ii)( 3(A) I1(B) I2(C) I3(D) I3 (5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB C,则B可逆，则A的行向量组等价 A的列向量组等价 B的行向量组等价 B的列向量组等价(A)矩阵C的行向量组与矩阵 (B)矩阵C的列向量组与矩阵 (C)矩阵C的行向量组与矩阵 (D)矩阵C的行向量组与矩阵1(6)矩阵 a100b 0相似的充分必要条件为00(A) a 0,b 2(B) a 0,b为任意常数(C) a 2,b 0(D) a 2,

3、b为任意常数22 设 Xi, X2, X3是随机变量，且 XrN(0,1), X2N(0,2 ) , X3 - N (5,3 ),PjP 2 Xj 2( j1,2,3)，则()(A)P1 P22B )P2P1P3C )P3P1P2D )P1P3P2(8)设随机变量 X t(n),Y F(1,n),给定 a(0 a 0.5)，常数 c满足 PX c a ,则 PY c2()(A)(B) 1(C) 2(D) 1 2、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸 指定位置上1(9)设函数f (x)由万程y x ex(1 y)确定，则lim n(f (-) 1) n nxe2x是某二

4、阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该3x 2xx 2x(10)已知 y e xe , y2e xe , y 方程的通解为 y .(11)设x sint(t为参数)，则立y tsint costdx t 4(12)1ln x(1 x)2dx(13 )设A )是三阶非零矩阵，| A |为A的行列式，Aj为aj的代数余子式，若a。 Aj 0(i,j 1,2,3)，则IA(14)设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则 PY a 1|Y a 三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答理纸,指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.(15)(本题满分10分)计算:

5、fLx,其中 f(x)：ln(； 1)dt(16)(本题满分10分)设数列an满足条件：a0 3,a1 1,an 2 n(n 1同 0(n 2), S(x)是哥级数anxn的和函数，n 0(I) 证明：S (x) S(x) 0,(II) 求S(x)的表达式.(17)(本题满分10分)x3 x y求函数f (x, y) (y )e 的极值.3(18)(本题满分10分)设奇函数f(x)在卜1,1上具有2阶导数，且f(1) 1,证明：(I) 存在(0,1),使得 f( ) 1(II)存在1,1 ,使得 f( ) f( ) 1(19)(本题满分10分)设直线L过A(1,0,0), B(0,1,1)两点

6、，将L绕Z轴旋转一周得到曲面与平面z 0, z 2所围成的立体为(I)(II)求曲面的方程求 的形心坐标.(20)(本题满分11分)1 a1 0 ,Bb-a, b为何值时，存在矩阵 C使得ACCAB ,并求所有矩阵C 。(21)(本题满分11分)设二次型 f X1, x2, x32 a1x1(I)证明二次型f对应的矩阵为a2x2aaXa2bxb2x2 b3x3,记a1bia2,b2。a3b3(II)若，正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2 y2(22)(本题满分11分)设随机变量的概率密度为f(x)1 2-X40其他(I)求Y的分布函数(II)求概率PX Y(23)(

7、本题满分11分)设总体X的概率密度为f2_xTe X0,23 一,令随机变量Y xx 2,20,其中 为未知参数且大于零,XiLXn为来自总体其它.X的简单随机样本.(1)求的矩估计量；(2)求的最大似然估计量.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)已知极限x arctan xc,其中c, k为常数，且(A)2,c(B)2,c(C)3,c(D)3,c12121313(2)(A)(B)(C)(D).x limx 0曲面x22yarctanxx (x

8、 1x3o(x3)3kx1 3 -xc,x 0 x3,ccos(xy)yz x0在点(0,1, 1)处的切平面方程为(【解析】设F (x, y,z)2x cos(xy) yz x ,1Fx(0,1, 1) 1;贝UFx(x, y,z) 2x y sin(xy)Fy(x, y,z)xsin(xy) zFy(0,1, 1)1；Fz(x,y,z)yFz(0,1, 1)1,所以该曲面在点(0,1, 1)处的切平面方程为 x (y 1) (z 1) 0,化简得x y z 2,选A(3)设 f (x)1一，x 0,1 , b 2i0 f (x)sinn xdx(n1,2,.),令 S(x)bn sin n

9、n 1c 9S(一)()434141434(A)(B)(C)(D)根据题意,将函数在1,1上奇延拓f(x)2为周期1,1)且f(x)x 1,它的傅里叶级数为连续时，S(x) f(x),S(x)它S(2)S(1S(4)(4)设卜：x21,l22,l3: x2 c 22y2,14：2x22y 2,为四条逆时针的平面曲线，记Ii ?(yl：3x、)dy(i31,2,3,4),则 MAX(L)(A) I1(B) I2(C)I3(D) I4【解析】Ii?(yl:3y-)dx (2x3 x -)dy(i1,2,3,4)3(1DiOy利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域Di, D4上函

10、数为正值,则区域大，积分A的行向量组等价 A的列向量组等价 B的行向量组等价 B的列向量组等价1a12(6)矩阵aba与01a100 0b 0相似的充分必要条件为0 0大，所以I4 Ii ,在D4之外函数值为负，因此I4 I2,I4 I3,故选D。(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若 AB C ,且C可逆，则()(A)矩阵C的行向量组与矩阵 (B)矩阵C的列向量组与矩阵 (C)矩阵C的行向量组与矩阵 (D)矩阵C的行向量组与矩阵【答案】(B)【解析】由C AB可知C的列向量组可以由 A的列向量组线性表示，又 B可逆，故有 A CB 1 ,从而A的列向量组也可以由 C的列向量组线性表示，故根据

11、向量组等价的定义可知正确选项为( B)。(A) a 0,b 2(B) a0,b为任意常数(C) a 2,b 0(D) a 2,b为任意常数0 0b 0相似的0 0【答案】(B) 【解析】由于 a b a为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而1 a 1充分必要条件为aba的特征值为2,b,0。1 a 1a 1b a (b)(2) 2a2,从而a0,b为任意常数a 122 设 X1, X2, X3是随机变量，且 X1N(0,1), X2N(0,2 ) , X3 N(5,3 ),巳 P 2 Xj 2( j 1,2,3)，则()(A)P1P2E(B) P2P1P3(C) P3 Pi P2(D) Pi

12、 P3 B【答案】(A)【解析】由 X1 : N 0,1 ,X2 : N 0,2，、两边同时对x求导，得y 1(1 y) xy y x将x 0, y 1代入上式，得f (0)13x 2xx2x(10)已知 y1e xe , y2 e xe , y3方程的通解为 y .3xx 2x【答案】y C1eC2e xe ,X3 : N 5,32 知，RP2X12PX1|2221 ,p2P2X22P|X2|2211,故 pi P2.由根据X3 : N 5,32及概率密度的对称性知，P1 P2P3,故选(A)(8)设随机变量 X t(n),Y F(1,n),给定 a(0a 0.5),常数 c满足 PX c

13、a,则 PY c2(A)(B) 1(C) 2(D) 1 2【答案】(C)P X2 c2 P X【解析】由 X t(n),Y F(1,n)得，Y X2 ,故 P Y c2、填空题(914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸 指定位置上).(9)设函数f (x)由方程y x ex(1 y)确定，则lim n( f () 1) n n【答案】11f (x) 1【斛析】lim n( f ( ) 1) limf (0)n n x 0 x由 y x ex(1 ，当 x 0 时，y 1方程两边取对数ln(yx) x(1y)2xxe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该【解析】因y e3x x

14、e2x, y ex xe2x是非齐次线性线性微分方程的解，则 y3x xy2 e e是它所对应的齐次线性微分方程的解，可知对应的齐次线性微分方程的通解为3xypCeC2ex,因此该方程的、p 5_、r- 3xx2 x通解可与为yCeC?exe(11)设x sinty tsintcost,.r d2y(t为参数)，则4 dx2dy sint dtt cost sint,x dx t cost, dtcostdydx(12)1_11 x(1(13 )a A ij ij喷dt1,所以立 dx2In x , 2 dx (1 x)2ln21 (1ln xx7dx x)0(i,j(aij)所以dx由 ai

15、jAjjHmAi32aijj 1从而有Acostd2y dx21In xd(-11 xIn x1dx x(1 x)dx In x x阶非零矩阵，1,2,3)，则| A0可知,ai2 A232 aiji 1AT(14)设随机变量Xln(1|A|x)ATai3 A3a1jAja2 j A2j2,A ,故 A =-1.a3j A3j, xIn1 x的行列式，Aj为aj的代数余子式，若服从标准正态分布 XN(0,1)，则E(Xe2X) =【答案】2e2【解析】由X : N 0,1及随机变量函数的期望公式知E Xe2X2x 1 xe22Xe 2 dx12x2242xe2 dx 2e .2三、解答题：15

16、-23小题，共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.(15)(本题满分10分)1 计算0.xln(t 1)，其中 f(x)1六一-dt01 0xln(t 1)dtdx0 . xdx1gdt/tg-Ldx21g M00 t x 0 t211nk1) 2dt0t4 01n(t 1)dVT4ln(t 1) 01工0t 1dt4lnarctan u4ln 28(14ln 2 8 2(16)(本题满分10分)设数列an满足条件：a03,a1 1,an 2 n(n 1同 0( n2), S(x)是哥级数anxn的和函数,n 0(III) 证明：S (x) S(x

17、) 0,(IV) 求S(x)的表达式.【解析】(I)设 S(x)anxn , S (x)n 0n 1annx , S (x)n 1ann(n 1)xn 2 , n 2因为 an 2 n(n 1)an 0,因此 S (x)ann(n 1)xn 2n 2an 2xanxn S(x);(II)方程S (x) S(x) 0的特征方程为解得11,1 ,所以S(x)Ge又 a0S(0)GC23,aiS (0) 11,解得c12, c2所以S(x)2e17 (本题满分10分)求函数f (x, y)(y3x xT)ey的极值.fx,【解析】(yfy,ex y(y3X x y)e3X x力(x2+y+3一)ex

18、4解得(1, -),( 1,fxx(2x x2 x)efxyx y . 2e +(x3-)ex yfyyex y(1对于(1,4)点 33e(1,为极小值点,(18)3(1+y+x-)ex yX3 x yT)e33(”2x+y)ex y,x 2 x=(+x +y+1)e33x x y ,x)e(+y332)ex y13,B1e3,CACB20,A 0,极小值为5e 3,B(本题满分10分)设奇函数(III )(IV)5e 3,C=ACB20,不是极值.f(x)在卜1,1上具有2阶导数,存在 (0,1),使得f,( ) 1存在1,1 ,使得 f ()f(1)f()1,证明:【解析】(1)令 F(

19、x) f (x) x, F(0)f(0) 0,F(1) f (1) 1 0,0,1 使得 F() 0,即f() 1令 G(x) ex(f(x)1)5UG( ) 0,又由于f(x)为奇函数，故f(x)为偶函数，可知G( ) 0,1,1 使 G( ) 0,即 e f( ) 1 e f( ) 0,即 f( ) f( ) 1(19)(本题满分10分)设直线L过A(1,0,0), B(0,1,1)两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面,与平面z 0, z 2所围成的立体为 ，(III)(IV)求曲面的方程求 的形心坐标.(1) l过A,B两点，所以其直线方程为:所以其绕着z轴旋转一周的曲面方程为:222y (

20、1 z) zzdxdydz(2)由形心坐标计算公式可得z(1z)2dz(20)(本题满分11分)dxdydz22(1 z) zdz-,所以形心坐标为(0,0,1) 55、几 1 a设A,B1 0当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB ,并求所有矩阵C 。【解析】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设CXix2ACCA B可得线性方程组:X3X4X? ax3ax1X1X2x2 ax4 1X3 X4 1ax3 b(1)由于方程组1)有解，故有1a0,b0,即1,b0,从而有X1k1X2X3X4k2k1k1k2，其中公k2任意.从而有k1k2k1k1k2(21)（本题满分11分)设二次型 f X1,

21、 X2 , X3（I）证明二次型f对应的矩阵为(II)若【解析】（1）2 f(2a；(4 a1a3则f的矩阵为(2)令A=2征值,又由于征值为2,1,0,a?X2a3X3b1X1b2X2a1b1记a2 ,b2。a3b32 b3X3,2T正交且均为单位向量，证明二次型222222b2)X； (2a2 b2)X2 (2a2)X1X3 (4a2a3 2b2b3)X2&2a122a1a2a1aTb12b1b2b1b32a1a2 2a222 a2 a3b1b2 b22 b2b3f在正交变化下的标准形为二次型22 b；）X；2a1a32 a2 a32a32(4a1a2 2b1b2)X1X2b1b3b2b32a1a1a2a1a3T,则A2 ,A2Tr(A) r(2 TT)r(T)r( T)故f在正交变换下的标准形为2 y122 y22 y122y2。*2 a2a1a3