初中数学因式分解的应用培优练习题1(附答案详解)

1、初中数学因式分解的应用培优练习题 1 （附答案详解）1 .已知 a= 2018x + 2018, b= 2018x+ 2019 , c= 2018x + 2020,则 a2+b2+c2 abac 一bc的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 32. （2017重庆市兼善中学八年级上学期联考）在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用 因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式x4 y4,因式分解的结果是 x y x y x2 y2 ,若取x 9, y 9时，则各个因式的值为22x y 0, x y 18, x y 162,于是就可以把 018162 ”作为一个六位 数的密码.对于多项式

2、 x3 xy2,取x=20, y 10时，用上述方法产生的密码不可. 能是（）A. 201030B. 201010C. 301020D, 2030103 .因式分解x2+mx- 12= （x+p） （x+q）,其中m、p、q都为整数，则这样的 m的最大 值是（）A. 1B. 4C. 11D. 124 .已知a, b, c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（）A.大于零 B.等于零 C.小于零 D.不能确定5 .某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有3种方案：第一次提价m%,第二次提价n%；第一次提价n%,第二次提价 m% ；第一次、第二次提价均 为 m%.其中

3、m和n是不相等的正数.下列说法正确的是（）2A .方案提价最多B.方案提价最多C.方案提价最多D.三种方案提价一样多6 .多项式x2-4xy-2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x- 2y,另一个因式是（）A , x+2y+1B , x+2y - 1C. x- 2y+1D , x - 2y- 17 .先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+ y）2+2（x+y）+1.解：将x+y”看成整体，令x+y=A,则原式=A2 + 2A+ 1=（A+1）2.再将A”还原，得原式=（x+ y+1）2上述解题用到的是 整体思想”，整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解 答下列问题：

4、（1）因式分解：1 + 2（x y） + （x y）2 =;(2)因式分解：(a+ b)(a+ b 4) + 4；(3)求证：若n为正整数，则式子(n+ 1)(n + 2)(n2+ 3n)+ 1的值一定是某一个整数的平方.8 .(知识生成)我们已经知道，多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释.例如利用图1的面积可以得到 a b 2 a2 2ab b2,基于此，请解答下列问题：(1)请你写出图2所表示的一个等式： .(2)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为2a b a 2b长方形，则x y z .(知识迁移)(3)事实上，

5、通过计算几何图形的体积也可以表示一些等式，图 4表示的 是一个边长为X的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： .9 .阅读材料：若 m2 - 2mn+2n2 - 8n+16=0 ,求 m、n 的值.解：m2- 2mn+2n2- 8n+16=0 ,(m22mn+n2) + (n28n+16) =0-1 (m-n) 2+ (n-4) 2=0,(m-n) 2=0, (n-4) 2=0, 1. n=4, m=4 .根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知 x2+2xy+2y 2+2y+1=0 ,求 2x+y 的值；(2)已知 a- b=4,

6、ab+c2-6c+13=0,求 a+b+c 的值.10 .已知：abc 1, abbc ca 2, abc1,设 Ga b c,2.223.33n. n n0 abe ,s3ab c, sn a b c(1)计算 S2 , S3 , S4 (2)写出Sn3, Sn2, Sn1, Sn四者之间的关系，并证明你的结论.(3)根据(2)的结论，直接写出 a6 b6 c6的值是11.王华由52328 2,92728 4,152328 27,11252 8 12,152 72 8 22，这些算式发现：任意两个奇数的平方差都是8的倍数(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；(2)请你用含

7、字母的代数式概括王华发现的这个规律(提示：可以使用多个字母)；(3)证明这个规律的正确性.12.阅读下列材料：22利用完全平万公式，可以将多项式ax bx c a 0变形为a x mn的形式,我们把这样的变形方法叫做多项式ax2 bx c的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式.一, cc112112例如：x2 11x 24 x2 11x242211 2 25 x24115115x一x2222x 8 x 3根据以上材料，解答下列问题：2(1)用多项式的配万法将 x2 8x 1化成x m n的形式;(2)利用上面阅读材料的方法，把多项式(3)求证：x , y取任何实数时

8、，多项式x2 3x 40进行因式分解；x2 y2 2x 4y 16的值总为正数.13 .阅读下列材料，然后解答问题:问题：分解因式：x2出m , n的值.再代入x 4x 5 4x2 5.0,由此确定多项式解答：把x 1带入多项式x3 4x2 5,发现此多项式的值为/2x 1 x mx n ,分别求oC32_x3 4x2 5中有因式 x 1 ,于是可设x 4x 5.2一 、一 一 . 一 x 1 x mx n ,就容易分解多项式x3 4x2 5,这种分解因式的方法叫做 试根法(1)求上述式子中m ,n的值;(2)请你用 试根法”分解因式：x3 x2 9x 9.14 .在实数范围内因式分解：-2

9、a2b2 ab 215 .阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式ax2 bx c(a 0)变形为a(x m)2 n的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法.运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如：11x 24 x11x11112411251111 5根据以上材料，解答下列问题：(1)用配方法将x2 8x 1化成(x m)2 n的形式，则x2 8x 1= ;(2)用配方法和平方差公式把多项式x2 2x 8进行因式分解；(3)对于任意实数x, y,多项式x2 y2 2x 4y 16的值总为 (填序号)正数非负数016 .(阅读材料)2因式分斛：x y 2 x y 1.2解：将x

10、 y”看成整体，令x y A,则原式A2 2A 1 A 1 .2再将A还原，原式 x y 1 .上述解题用到的是 整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法(问题解决)2(1)因式分斛：1 5 x y 4 x y ；(2)因式分解：a b a b 4 4；2(3)证明：若n为正整数，则代数式n 1 n 2 n 3n 1的值一定是某个整数的平方.17 .阅读材料：若 m2- 2mn+2n2- 8n+16=0 ,求 m、n 的值.解：m2- 2mn+2n2- 8n+16=0 ,(m22mn+n2) + (n28n+16) =0(m-n) 2+ (n-4) 2=0,(m-n) 2=0, (n

11、-4) 2=0, 1. n=4, m=4 .根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知 x2- 2xy+2y 2+6y+9=0 ,求 xy 的值;(2)已知4ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-10a- 12b+61=0 ,求 ABC 的最大边c的值；(3)已知 a- b=8, ab+c2-16c+80=0,求 a+b+c 的值.18 .先阅读下列材料，然后解后面的问题.材料：一个三位自然数Obc (百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c), 若满足a+c=b,则称这个三位数为 欢喜数”，并规定F (赢)=ac.如374, 因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字

12、7,所以374是欢 喜数”，.F (374) =3X4=12.(1)对于 欢喜数 航，若满足b能被9整除，求证：欢喜数abc”能被99 整除；(2)已知有两个十位数字相同的 欢喜数”叫n (mn),若F (m) -F (n) =3,求m - n的化19 .阅读材料：材料一：对于任意一个正整数n,若n能够被5整除，则n的个位数字是0或5;若n能被3整除，则n的各位数字之和是 3的倍数.材料二：对于任意一个三位正整数 m,我们都可以表示为 m=100a+10b+c (其中1waw,9 0 b 90c62+22,所以9和7为32的最佳平方差分解，F (32) =92+72材料二：若一个四位正整数，它

13、的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同， 则称这个四位数为 南麓数”.例如4334, 5665均为 南麓数根据材料回答：(1)请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；(2)试证明10不是雪松数；(3)若一个数t既是 雪松数”又是 南麓数”，并且另一个 南麓，数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F (t)的最大值.22 .已知 ABC的三边长a, b, c满足a2- 2ab+b2=ac- bc,试判断ABC的形状，并 说明理由.23 . k为何值时，多项式 x2 2xy 3y2 3x

14、5y k能分解为两个一次因式的积？24 .已知 a+b=3, ab=2。(1)求a2+ b2的值；(2)先将a3b2a2b2+ab3分解因式，再求值。25 .若一个整数能表示成 a2+b2 (a、b是正整数)的形式，则称这个数为完美数例如 5 是 完美数，因为 5=22+12,再如 M=x2+2xy+2y2=(x + y)2 +y2 (x、y 是正整 数)，所以M也是完美数”。(1)请你再写一个小于10的 完美数”，并判断29是否为 完美数”；(2)试判断(x2+9y2)(4y2+x2) (x、y是正整数)是否为完美数”，并说明理由；(3)已知S= x2+ 4y2+ 4x - 12y+ k (

15、x、y是正整数，k是常数)，要使S为 完美数”， 试求出符合条件的一个 k值，并说明理由。26 .正数 a,b,c满足 ab 2a 2b bc 2b 2c ac 2a 2c 12,那么a 2 b 2 c 2 .27 .任何一个正整数 n都可以进行这样的分解：n=sX(s, t是正整数，且s4),如果p区 在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p内是n的最佳分解，并规、_ p3 1定：F n 上、例如18可以分解成1X18,2X9,3X6这二种，这时就有F 18-.给q6 21 3出下列关于 F(n)的说法：(1) F 2 ； (2) F 24 ； (3)F(27) = 3； (4

16、)若 n 是一个2 8整数的平方，则 F(n) = 1.其中正确说法的有 . 2228 .因式分解：x y 1 2x=.29 .已知(2019 a)(2017a) = 1000,请猜想(2019 a)2+(2017a)2=30 .如果关于x的二次三项式x2 4x m在实数范围内不能因式分解，那么m的值可以是.(填出符合条件的一个值)参考答案1. D【解析】【分析】 1把已知的式子化成 一(a-b) 2+ (a-c) 2+ (b-c) 2的形式，然后代入求解即可.2【详解】原式=1 (2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc) 21=-(a2-2ab+b2) + (a2-2ac+c2) +

17、 (b2-2bc+c2)2=2 (a-b) 2+ (a-c) 2+ (b-c) 21=-X (1+4+1)2=3,故选D.【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键.2. B【解析】【详解】解：x3-xy2=x (x2-y2) =x (x+y) (x-y),当 x=20, y=10 时，x=20 , x+y=30 , x-y=10 ,组成密码的数字应包括20, 30, 10,所以组成的密码不可能是201010.故选B.3. C分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可.详解：(

18、x+ p)(x +q)= x2+ (p+q) x+pq= x2+mx 12p+q=m , pq=-12.，pq=1X (-12) = (-1) M2= (-2) X6=2X (-6) = (-3) X4=3X (-4) =-12m=-11 或 11 或 4 或-4 或 1 或-1.，m的最大值为11.故选C.点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.4. C【解析】a2-2ab+b2-c2= (a-b) 2-c2= (a+c-b) a- (b+c). a, b, c是三角形的三边.a+c-b0, a- (b+c) 0.a

19、2-2ab+b2-c211故答案为.【点睛】本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键216. (1) 1 x y 1 4x 4y .(2) a b 2 ；(3)见解析.【解析】【分析】(1)把(x-y)看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可；(2)把a+b看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解; 8x 1=x2 8x 16 1 16(x 4)2 17.(2)原式=x2 2x 1 1 8=(x 1)2 9=(x 1 3)(x 1 3)=(x 2)(x 4).(3) x2 y2 2x 4y 162 _,2=x 2x 1 y 4y 411n2+

20、3n+1) 2,根据n为正整(3)将原式转化为 n2 3n 2 n2 3n 1 ,进一步整理为(数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方.【详解】(1)1 5 x y 4 x y 2(2) a b a b 4 422(3)原式n 3n 2 n222n 3n 2 n 3n 122n 3n 1 .n为正整数, n2 3n 1为正整数.2代数 n 1 n 2 n 3n【点睛】本题考查因式分解的应用，法.1 (x y) 1 4(x y) (12(a b) 4(a b) 4 (a b3n 11的值一定是某个整数的平方.解题的关键是仔细读题，理解题意,x y)(1 4x 4y);2)2;掌

21、握整体思想解决问题的方9、10; (3) 8.17. (1)9； (2) AABC的最大边c的值可能是6、7、8、【解析】试题分析：(1)直接利用配方法得出关于x, y的值即可求出答案;(2)直接利用配方法得出关于a, b的值即可求出答案；(3)利用已知将原式变形，进而配方得出答案.试题解析：(1) , x2- 2xy+2y，6y+9=0 ,(x2-2xy+y2) + (y2+6y+9) =0,(x - y) 2+ (y+3) 2=0,x - y=0, y+3=0 , x= - 3, y= 3,xy= (-3) x ( - 3) =9,即xy的值是9.(2) -. a2+b2- 10a- 12

22、b+61=0,3 (a2- 10a+25) + (b2-12b+36) =0,(a- 5) + (b- 6) =0,4 a - 5=0, b-6=0,a=5, b=6,. 65vcv 6+5, cXj5 .6ga2),F (m) F (n) =a？：i a2?C2=ai? (bai) - a2 (b a2)= (ai a2)(bai a2)=3,ai、a2、b均为整数， ai a2=1ai a2=3. m n=i00 ( a1 一 a2)一 ( ai a2)=99 (ai a2),m - n=99 或 m - n=297 .若 F (m) - F (n) =3,贝U m n 的值为 99 或

23、297.【点睛】做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形19. (i) i06, ii7, i28, i39； (2) 8i0, 3i5, 645, 975【解析】【分析】(i)由于是200以内的所有 梦想数”，则a= i；(2) m既能被3整除，又能被 5整除，可得c= 0时，a- b=7, a+b= 3或a+b= 6或a+b=9 或 a+b= i2 或 a+b= i5 或 a+b= i8;当 c= 5 时，a b= 2, a+b= i 或 a+b= 4 或 a+b= 7或a+b= i0或a+b=i3或a+b=i6；分别求出 a与b即可.【详解】解：(i)二？。以内的

24、所有梦想数”， a= i)，符合条件的梦想数”有i06, ii7, i28, i39；(2) m能被5整除，c= 0 或 c= 5,当 c= 0 时，a b=7,当 c= 5 时，a b=2, m能被3整除，a+b+c是3的倍数，当c= 0时，a+b是3的倍数，a+b=3 或 a+b= 6或 a+b =9 或 a+b= i2 或 a+b= i5或 a+b=i8；当c= 5时，a+b+5是3的倍数，a+b= 1 或 a+b= 4 或 a+b= 7 或 a+b= 10 或 a+b= 13 或 a+b= 16;当 c= 0时，a= 7+b,则 a+b=7+2b, a= 8, b= 1 当 c= 5时

25、，a= b+2,则 a+b=2+2b, a= 3, b= 1 或 a= 6, b = 4 或 a= 9, b= 7 ，符合条件的 梦想数” m有810, 315, 645, 975.【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，由条件得到满足a、b、c之间的代数式，然后再进行求解是解题的关键._一 一_ 222220. (1)是；(2) k=-5； (3) m=279, 279 4845 , 279 2011 .【解析】【分析】根据9=52-42,确定9是明礼崇德数”；(2)根据题意分析N应是两个完全平方式的差，得到k=-5 ,将k=-5代入计算即可将 N平方差分解，得到答案；(3)确定七喜数”

26、m的值，分别将其平方差分解即可.【详解】(1) ,-9=52-42,.9是明礼崇德数”，故答案为：是；(2)当k=-5时，N是 明礼崇德数”，当 k=-5 时， 22_N xy4x 6y 5 ,22=x y 4x 6y 4 9 ,2、， 2_=(x4x 4)(y6y9),_ 2_ 2=(x 2) (y 3),=(x 2 y 3)( x 2 y 3)=(x y 5)( x y 1). x, y是正整数，且x y 1,N是正整数，符合题意，当k=-5时，N是 明礼崇德数”；由题意得：七喜数” m=17喊279,设 m=a2 b2= (a+b) (a-b),当m=178时，178=2 89,a b

27、89a,得a b 2b45.543.5(不合题意，舍去)当m=279时，279=3 93=9 31,b 93,得b 3a 48b 45 .793192011，279 202 112,，既是 七喜数”又是 明礼崇德数”的m是279 , 27 9 482 4 52 , 27 9 202 112.【点睛】此题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提，(3)是此题的难点，解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据，再根据 明礼崇德数”的要求进行平方差分解.21. (1) 112=112 - 32 , 40=72 - 32; (2)见解析；(3) 12020.【解析】【分析】(1

28、)根据雪松数的特征即可得到结论；(2)根据题意即可得到结论；(3)设t= abba (a, b均为正整数，且0va而w”另一个 南麓数为t mnnm(m, n均为正整数，且 0vnvmw9),根据 南麓数”的特征即可得到结论.【详解】 解：(1) 112=112- 32, 40=72 32;(2)若10是雪松数”,则可设a2 - b2=10 (a, b均为正整数，且 a巾)，则(a+b) (a-b) =10.又. 10=2X5=10X 1. a, b均为正整数,a+ba- b,a b 10a b 5，或 a b 1 , a b 211解得:29，2与a, b均为正整数矛盾，故 10不是雪松数;

29、(3)设t= abba (a, b均为正整数，且 0va加wg,另一个南麓数为t mnnm (m, n均为正整数，且 0v nvmwg ,贝U t= (10m+n) 2 ( 10n+m) 2=99 (m2 n2) =99 ( m+n) (m n),1. 99 (m+n) (m-n) =1000a+100b+10b+a=1001 a+110b,整理得，(m+n) (m-n) =10a+b+ a一b .9a, b, m, n均为正整数，a+b=9,a 5a 2经探究 ，b 4,符合题意，b 7，t的值分别为:2772, 5445, t的值分另U为:8668, 8338,由材料一可知，F (t)的最

30、大值为：862+682=12020.【点睛】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键.22 .见解析.【解析】【详解】试题分析：根据因式分解法，把原式进行变形，化为ab=0的形式，然后根据其性质求出a、b、c的关系，然后判断三角形的形状.试题解析：ABC为等腰三角形. a2 - 2ab+b2=ac bc, ( a- b)2=c (a- b),(a- b) 2 - c (a- b) =0,(a b) (a b _ c) =0,.a、b、cAABC 的三边长,. . a b c w qa- b=0,a=b,ABC为等腰三角形.23 . 2.【解析】【分

31、析】先将原式前三项进行因式分解，然后设出原多项式的分解式，根据对应部分系数相等的原则进行求解即可.【详解】22斛：因为x 2xy 3y x 3y x y则设原多项式分解为 x 3y m x y n展“、r22-开为 x 2xy 3y n m x m 3n y mn2222即 x 2xy 3y n m x m 3n y mn=x 2xy 3y 3x 5y k根据对应部分系数相等的原则，m n 3所以 m 3n 5,得 m 1, n 2,mn k从而k mn 2.【点睛】本题考查的是因式分解与整式的乘法，了解对应部分系数相等是解题的关键24. (1) 5； (2) 2.【解析】【分析】(1)将a+

32、b=3两边平方即可解决.(2)提取公因式，然后代入可求解 .【详解】解：(1) Qa+b=3则(a b)2 32即 a2 2ab b2 9将ab=2代入，得到：a2+b2=5(2) a3b-2a2b2+ab3 = ab(a2 2ab b2)将ab=2, a2+b2=5代入可得：ab(a2 2ab b2) = 2 (5 4) =2【点睛】本题属于公式的应用，希望在练习的时候多加注意即可25. (1)小于10的 完美数”可以为8, 29是 完美数”；(2)是 完美数”，理由见解析；(3) k=13,理由见解析.【解析】【分析】(1)利用定义便可求解.(2)利用乘法公式求出乘积，然后配方将其变化与完

33、美数进行比较，从而说明理由利用配方，将S配成完美数，便可求解 k的值.【详解】解：(1) Q 8=22+228是完美数.Q 29=52 2229是完美数.(2) (x2+9y2)(4y2+x2)= x4 36y4 13x2y2 = (6y2 x2 )2 (xy)2 因此也是完美数. S = x2+4y2+4x 12y+k=(x 2)2 (2 y 3)2 k 13因此k-13=0k=13【点睛】本题考查因式分解的应用，答题时理解题目是关键26. 64【解析】【分析】将式子ab 2a 2b bc 2b 2c因式分解为(a-c)(b+2)=0 ,求得a=c,同理可得a=b=c,再 ab 2a 2b =12可化为a2+4a-12=0,求出a的值，再求 a 2 b 2 c 2得值即可.【详解】解： ab 2a 2b bc 2b 2c, ab-bc+2(a-c)=0,即(a-c)(b+2)=0, b 0, b+2w