初中数学.圆的概念及性质.教师版

1、圆的概念及性质,中考内容与要求中考内容中考要求ABC圆的有关概念理解圆及其有关概 念会过小在同一直线 上的三点作圆；能利 用圆的有关概念解 决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了 解弧、弦、圆心角的 关系能用弧、弦、圆心角 的关系解决简单问 题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心 角的关系；知道直径 所对的圆周角是直 角会求圆周角的度数， 能用圆周角的知识 解决与角有关的简 单问题能综合运用几何知 识解决与圆周角有 关的问题垂径定理会在相应的图形中 确定垂径定理的条 件和结论能用垂径定理解决 有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置 关系直线与圆的位置关 系了解直线与圆的位 置关系；

2、了解切线的 概念，理解切线与过 切点的半径之间的 关系；会过圆上一点 圆圆的切线；了解切 线长的概念能判定直线和圆的 位置关系；会根据切 线长的知识解决简 单的问题；能利用直 线和圆的位置关系 解决简单问题能解决与切线有关 的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置 关系能利用圆与圆的位 置关系解决简单问 题弧长会计算弧长能利用弧长解决有 关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解 决有关问题圆锥的侧面积和全 面积会求圆锥的侧面积 和全面积能解决与圆锥有关 的简单实际问题中考考点分析圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明， 第2小

3、题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化， 理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法， 会根据条件解决圆中的动态问题。年份2010 年2011 年2012 年题号11, 2020, 258, 20, 25分值9分13分17分考占P八、垂径定理的应用； 切线判定、圆与解 直角三角形综合圆的有美证明，计 算（圆周角定理、 切线、等腰二角形、 相似、解直角三角 形）；直线与圆的 位直大系圆的基本性质，圆 的切线证明，圆同

4、相似和三角函数的 结合；直线与圆的 位直大系模块知识导航OOO圜的概念及性质 垂直F弦的直径垂往定理一圆的基本概念知识互联网流，. 同的基本概念也、弦、那心角和阴周用示例剖析圆OA圆心半径同心圆圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A所形成的图形叫做圆. 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 由圆的定义可知： 圆上的各点到圆心的距离都等于半径长；在一 个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在 同一个圆上.因此，圆是在一个平面内，所有 到一个定点的距离等于定长的点组成的图形.要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆 心的位置，另一个是半径的长短，其中，圆心

5、确定圆的位置，半径长确定圆的大小.圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.城.侬、觊心用的艮系留周为定理优弧表不：劣弧AB优弧ACB或AmB卜面这些都不是圆周角:【例1】如图，若点。为。的圆心，则线段 是圆。的半径；线段 是圆O的弦，其中最长的弦是 ;是劣弧；是半圆.若 A 40 ,则ABO , C , ABC .（西城区教研）【解析】OA , OB , OC ; AB, BC , AC ; AC ; AB , BC ; AC , ABC ; 40 ；50 ； 90弦和弧：1 .连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的 弦叫做直径，并且

6、直径是同一圆中最长的弦， 直径等于半径的2倍.2 .圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作 AB ,读作弧AB.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.3 .圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条 弧，每一条弧都叫做半圆.4 .在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆 的弧叫做劣弧.圆心角和圆周角：1 .顶点在圆心的角叫做圆心角.2 .顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆 周角.【例2】能力提升如图，交于点AB为。O的直径，CD是。O的弦，AB、CD的延长线AB 2DE ,E 18 ,求 AOC的度数.【解析】连结ODAB 是直径， AB 2DE , 1 DE AB

7、 OD 2DOE E 18 ,ODC DOE E 36 OC OD ,OCD ODC 36 ,AOC OCD E 54【解析】模块二垂直于弦的直径 定理示例剖析1.垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两如图，AB是OO的直径，CD是弦条弧.2.平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧.A 工B1 .若 AB CD 于 E ,则 CE DE ;AC AD ； BC BD .2 .若 CE DE ,则 AB CD ;AC AD : BC BD .【例3】1 .如图,求证:M、N分别是OO中长度相等但不平行的两条弦AMN CNM .AB>CD的中点.连结OMON、OB、

8、ODM、OMABOMN分别是弦AB、CD的中点AB , ON CDCD ,ONOMNAMN2.如图， 交射线 MOBANODONMCNM/ PAC=30AP 于 E、,在射线F两点，3.如图，O O的半径为的长为B.如图AB 2屈,ACAD BDM/,NOAC 上顺次截取 AD=3cm, DB=10cm,则线段EF的长是cm.DB为直径作。（2012辽宁锦州2,弦 AB14ab，CDO的半径为22OB=2,C在弦AB上，ACP 2-3C 3AD=BD.OD OB2 BD2 OC CD2 OD2, 7,万.故选D.4 ABOC（2012山东淄博）A - C D能力提升【例4】OO的半径为1 cm

9、 或 7 cm.1 .如图所示,作OM大圆中,小圆中,AM 即ACAB , OMOM CD , CM DMCM BM DMCD的中点.同心圆中，大圆的弦 垂足为M ,I AB , AM BM2 .如图,M、求证： AMN连结OM、ON、N分别是。中长度相等但不平行的两条弦 CNM .OB、OD.- M、. OMN分别是弦AB、CD的中点,ABON CD AB. OMCDON AMOBANODAB、5cm,弦 AB/ CD,且 AB=8 cm, CD=6cm,求 AB 与 C 之间的距离.（2012黑龙江牡丹江）OMNAMN【备选】已知。的半径是5,点A到圆心O的距离为3,求过点A的所有弦中最短

10、弦的长度.连结OA,过A点作OA的垂线交。于B、C两点，则弦BC即为所求.连结OB ,由垂径定理得 AB 1BC .,OB 5, OA 3 ,/在 RtAOB 中，OAB 90ab Job2 oa2 4, BC 2AB 8 .此题是经典的垂径定理的应用，也是一个十分有用的结论.ABC 当然，在使用前需要证明下.这里编辑给出一种常规证法，如果各位老师有更好的证法，希望能提供分享.证明：过A点再任意作一条与BC不同白弦DE ,过O点作OH DE于H .在 RtAAOC 和 RtAEOH 中，显然 OE OC ,又 AOH是直角三角形，OH OA , 222222则 OE OH EH AC OC O

11、AOHBACEDDE BC .模块三弧、弦、圆心角和圆周角知识导航定理弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦也相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆 心角、两条弧、两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量分别相等.示例剖析如图，由定理可知：若 AOB COD ,则 AB CD、AB CD ;若 AB CD ,则 AOB COD、AB CD ; 若 AB CD ,则 AB CD、 AOB COD .圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 的一半.推论1:在同圆或等圆中，如果两个圆周 角相等，它们所对的弧

12、一定相等.推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是 直角，90的圆周角所对的弦是直径.圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶 点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内 接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接 圆.圆内接四边形的对角互补.如图，A B C、D四点都在圆上,则 A C 180 , B D 180【例5】 已知，A B、C分别为。圆周上任意三点,请你判断同弧所对的ACB 与 AOB的大小关系.如果点D在劣弧AB上，此时 以得到什么结论？ADB和ACB的大小关系还一样吗?【解析】应分为三种情况:根据上面的推理，可以发现: 若点D是优弧AB上任意一点，试判断 ADB与 ACB的大小关系.根据上面的推

13、理，可以发现:辅助线如图所示，证明过程不再赘述.可以发现：同弧所对圆周角是圆心角的一半. 由可知， ADB ACB ,可以发现：同弧所对的圆周角相等. 如图， ADB与 ACB互补.可以得到：圆内接四边形的对角互补.【例6】能力提升如图， ACD和 ABE都内接于同一个圆，则/ ADC+/AEB+/BAC=在OO中，直彳仝ABXCD于点 巳连接CO并延长交AD于点F且 CFLAD.则/ D=A（2012黑龙江大庆）O(2012宁夏)(4)如图，点 A、B、C、D在。0上，O点在/ D的内部，四边形OABC为平行四边形，则/ OAD+Z OCD =如图,CA、B、57 ，已知OO的弦【解析】探索

14、创新（2012安徽）（2013东城期末）C、D是。上的点，直径 AB交CD于点E,已知.（北大附中练习）AB长等于圆的半径，则该弦所对的圆周角为 102 ; （4） 2婢； 30 或 150 .E【例7】 已知：在半径为2J5的。内，有互相垂直的两条弦 AB, CD,它们相交于P点.(1)(2)(3)求证：PA - PB=PC - PD;设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证：EF 如果AB=8, CD=6,求O、P两点之间的距离.AD;（2013大兴期末）【解析】(1)证明：.一/A, /C所对的圆弧相同, . A = / C AB CD, RtAAPDRtACPB .AP PDC

15、P PBPA PB=PC PD .PCBNOD（2）证明：二叶为BC的中点，4CPB为 直角三角形，PF=FC, /CPF = / C .又.人 A =ZC, /DPE =ZCPF, ./ A = Z DPE ./ A + / D=90° , ./ DPE +Z D=90° .EF AD . 3)解：作 OM AB 于 M, ON CD 于 N, . OMPN 为矩形.连接 OB, OD, OP,由垂径定理，得 AM=BM=4,CN=DN=3.由勾股定理，得 OM2 (255)2 42 4 , ON2 (2后)2 32 1 11 判断正误半圆是弧半径相等的两个圆是等圆 过圆

16、心的线段是直径(4)两个端点能够重合的弧是等弧圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分(6)长度相等的弧是等弧直径是最大的弦半圆所对的弦是直径两个劣弧的和是半圆(10)圆的半径是R,则弦长的取值范围是大于0且不大于2R【解析】正确的是卫其工不理解圆中相关的概念和定义，或产生概念上的混淆。第07讲精讲：垂径定理的应用；对于垂径定理，我们需要认识以下垂径定理是初中圆章节知识中应用最多且最重要的定理之一,二 T八 、 (1)根据圆的轴对称性，在以下五条结论中，I .直径；n .平分弦；m .垂直弦；W .平分优弧；v .平分劣弧.只要满足其中的两条，另外三条结论一定成立，即“知二推三”(2)使用垂径定

17、理时，常需要作出弦心距，利用“半径、半弦、弦心距”构成的直角三角形结合 勾股定理、三角形全等进行计算、证明；(3)在较复杂的图形中注意准确识别垂径定理的基本图形.【探究一】根据垂径平分弦所对的弧，处理角的关系；【变式1】如图，O O的直径CD过弦EF的中点G/ EOD =40° ,则/ DCF 等于（）A. 80B. 50°C. 40D. 20【探究二】已知弦长或欲求弦长，可构造“半弦、半径、弦心距”组成的直角三角形；【变式2】在半径为1的。O中，弦AB、AC的长分别为曲和J2 ,则 BAC的度数为【解析】此题分两种情况讨论：若AB、AC在圆心O的同侧,连结OA ,过O点分

18、别作 垂足分别为D、EOD则 AD -3, AE2 OAD 30 ,BAC DAE22，OAE454530若AB、AC在圆心O的异侧,15 .如图根据圆的对称性，BAC 75综上所述，BAC的度数为15或75 .如图AB, OEB则EH3 ，EFCBO【变式3】如图，矩形ABCD与圆心在 AB上的0O交于点G、B、F、E , GB 8cm , AG 1cm ,DE 2cm ,则 EF【解析】过O点作OH CD由题意得：OG 4, AG 5 , OH EF , . EH 1EF2【探究三】根据垂径垂直平分弦，证明相关线段相等；【变式4】如图，AB是。的直径，弦 CD与AB相交，过A, B向CD引

19、垂线，垂足分别为 巳F,求证：CE=DF。F. D【解析】过。作OMLCD于M,.CM=DM, AEXCD, BFXCD,AE / OM / FB ,又。是AB中点,M是EF中点（平行线等分线段定理），EM = MF, CE=DF.【探究四】遇垂直弦，根据垂径定理，构造矩形；【变式5】半径为2的圆。中，弦AB与弦CD垂直相交于点A连结OP,若 OP=1 ,求 AB2+CD2.A【解析】28【探究五】遇弧中点，连接圆心和弧中点，构造垂径定理；【变式6】如图，P为。外一点，过点P引两条割线PAB和PCD ,点M , N分别是AB , CD的中点，连结 MN交AB , CD与E , F .求证: P

20、EF为等腰三角形.【解析】 连结OM , ON ,分别交AB, CD于G, H .M , N分别是AB, CD的中点，OM AB , ON CD ,即 MGE NHF 90 .又 OM ON ,M N ,由此得 MEG NFHA.即 PEF PFE ,PE PF ,即 PEF为等腰三角形.思维拓展训练（选讲）且AB OC ,求 A的度数.【解析】连结OBAE交。于B（西城区教研）训练1. 如图，CD是。的直径， EOD 87 , AB OC , OB OC , OB AB 设 A x ,则 BOA x. OBE BOA A 2x . OE OB , OEA OBE 2x. EOD E A 3x

21、 87x 29 ,即 A 29 .训练2.如图，矩形 ABCD与圆心在 AB上的。O交于点G、B、F、E , GB 8cm, AG 1cm,DE 2cm ,贝U EF .【解析】 过O点作OH CD于H .由题意得：OG 4cm , AO AG OG 5cm ,又 DE 2 , DH OA.则 EH 3cm ,1 OH EF , - EH -EF ,EF 6cm . 2训练3. 如图，。的直径为10,弦AB 8, P是线段AB上一点，则OP的取值范围是.（三帆中学月考）如图，将OO沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心 O ,若。O的半 径为6 ,则弦AB的长度等于 .【解析】3<OP<

22、5;6翼 训练4.如图，0O中，AB为直径，弦CD交AB于P ,且OP PC ,试猜想AD与BC之间的关系，并证明你的猜想.【解析】猜想：AD 3BC连结CO并延长交。于E ,连接OD , 则CE为直径. OP PC , POC OCP ,AOE POC , AE BC , DOE 2 OCP , DE 2AE , AD 3BC .知识模块一圆的基本概念课后演练【演练1】 已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C, D两点.求证： AOC BOD ; 试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论.（西城区教研）【解析】 : OA OB , A B , OC OD , ， OCD ODC , AOC BOD . 由可知 AOCBOD,AC BD .知识模块二垂直于弦的直径课后演练【演练2】如图所示，在RHABC中， 圆心、CB的长为半径的圆交【解析】过C作CM PB于M ,即MPC 90 , AC 72AB于P ,则APMB ,设为MBRtA ABC 中，有 AB VACBC2得 BC2 BM AB12 百x , . . x 近3皿3故 AP AB 2x .3【演练3】 如图所示，已知AB为。的直径，CD是弦，且AB求证： ACO BCD , 若EB 8cm , CD 24cm，求。O的直径.CD 于点 E，连接 AC、OC、BC ,【解析】 AB是直径，