北师大版八年级上册数学暑假基础班讲义

1、第1讲三角形的证明（一）等边三角形的性质三角形的证明一等边三角形的判定与性质直角三角形的性质直角三角形全等-HL知识点1 :等边三角形的性质1 .定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形;2 .性质：等边三角形的三条边相等，三个角都等于 60。;3 .等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形所具有的一切性质 例题：1.如图，已知等边评BC中，点D、E分别在边AB、BC上，把ABDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分另1J交边 AC于点F、G,若/ ADF=80 °,则/ GEC的度数为 49方法总结：本题主要考查了等边三角形的性质

2、，即它的每个内角都等于60；结合翻折变换后的对应边相等，对应角相等，得到所求角与所给角度数之间的关系.2.如图，那BC是等边三角形，/ABC和/ACD的平分线交于点 Ai, Z AiBC的平分线与Z AiCD的平分线交于点A2,，/ A2015BC的平分线与 / A2015CD的平分线交于点 A 2016,则/ A2016的度数是（）C. 22015D 15.220161，工1是解题的关键.方法总结：本题考查了等边三角形的内角等于60 °,三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的 随堂练习:

3、1 .如图，BC是等边三角形，点 P是三角形内的任意一点， PD/AB, PE/BC, PF/ AC,若BC的周长为 12,则 PD+PE+PF=()A. 12B. 8C. 42 .如图所示， BC是等边三角形，且 BD=CE, 71=15 °,则/ 2的度数为（）S DA. 15°B. 30°C. 45°D. 60°知识点2 :等边三角形的性质与判定 判定方法:1 .三个边都相等的三角形是等边三角形;2 .三个角都相等的三角形是等边三角形;3 .有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形例题：1.已知：在 那BC中，ZA=60 °,如

4、要判定 那BC是等边三角形，还需添加一个条件.现有下面三种说法:如果添加条件“AB=AC ,那么AABC是等边三角形;如果添加条件'Z B=/ C',那么AABC是等边三角形;如果添加条件边AB、BC上的高相等”，那么 那BC是等边三角形.上述说法中，正确的有（A.3个B.2个C.1个D.0个方法总结：本题考查的是等边三角形的判定，熟练掌握以下能使等边三角形成立的条件：1 .三个角都是60。或三个边都相等；2 .一个角是60。的等腰三角形.其余叙述方式，均需要向这两条转化，然后进行判断 3 .如图，在9BC中，/B=60°,延长BC至ij D,延长BA至U E,使AE

5、=BD ,连接CE、DE,使EC=DE ,求证：祥BC 是等边三角形.方法总结：本题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键，要证一个三角形是等边三角形，已知一个60的角，可再证一个角等于 60或一组边相等.4 .如图，在 AABC 中，/ABC= ZC, / EBC= / BED=60° , AD 平分 / BAC ,求证：Z D=30° .方法总结：本题主要考查的是等边三角形的判定和性质，即有两个角是60的三角形是等边三角形，还考查了等腰三角形的三线合一的性质，以及三角形的内角和定理，准确作出辅助线是解题的关键 随堂练习:且

6、 OD/AB, OE/AC.1 .如图.在等边 AABC中，/ABC与/ACB的平分线相交于点 O,(1)试判定 4DE的形状，并说明你的理由；(2)线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程.AD=BE=CF .请你说明 ADEF是正三角形.2 .已知，如图，小BC是正三角形，D, E, F分别是各边上的一点,C作CDLOC,垂足为C,交3 .如图，/AOB=60 , OC平分/AOB, C为角平分线上一点，过点OB于点D, CE/ OA交OB于点E.(1)判断3ED的形状，并说明理由；知识点3 :直角三角形的性质1 .直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；2 .在直角三角形中，3

7、0 °的角所对的直角边等于斜边的一半.BE与AD相交于点P, BQLAD于例题：1.如图，在等边 评BC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD ,点Q.(1)求证：AABE0ACAD;(2)请问PQ与BP有何关系？并说明理由.BD C30的锐角所对的直角边等于斜方法总结：本题考查了全等三角形的判定以及直角三角形的性质：直角三角形中边的一半.A1B1A2、9282A3、GA3B3A4 一a2,以此类推，若OA1=3,则2 .如图，/ MON=30 ，点Ai、A2、A3在射线 ON上，点Bi、B2、B3在射线 OM上，均为等边三角形，从左起第 1个等边三角形的边长记 ai,第2个

8、等边三角形的长记为a2=2a1=6 , a3=4a1, a4=8a1，a5=16ai进而发现规律是解题关键.AC上找到一点 N ,使NP=MP ,3 .如图，在锐角三角形 ABC中，CM为AB边上的高，P为BC的中点，连接MP,在连接BN，试判断BN与AC的位置关系，并说明理由.方法总结：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记性质并准确识图是解题的关键.能根据该性质和已知条件证得下面这一结论，即如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，并且这条边所对的角是直角.随堂练习：1 .如图，在BC中，/C=90°, AB的垂直平分线交 AC于点D,垂足为

9、E,若/A=30° , CD=2 .(1)求/ BDC的度数；(2)求BD的长.2 . (1)如图1, OB是RtBC斜边上的中线，延长 BO至ID,使OD=OB ,连结DA .利用图1证明：中线OB等于斜边AC的一半.(2)上面(1)中的结论是一个很重要的定理，利用此定理证明下题：如图 2,点E是RtBC的直角边AC上的点，EDLAB于D, F是线段BE的中点，连结 FC、FD、CD,则有/ FCD= / FDC .3 .在四边形 ABCD中，/ ABC= / ADC=90° ,连接AC、BD, E、F分别是AC、BD的中点，连接 EF,试证明 EF± BD.4

10、.如图，在 AABC 中，AB=AC ,/C=30° , AB，AD, AD=4cm ,求 BC 的长.知识点4 :直角三角形全等一HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.例题：1如图，在 AABC中，BDXAC, CE ± AB ,垂足分别为 D、E,且BD=CE , BD与CE相交于点 O,连接AO.求证：AO垂直平分BC.方法总结：在图形中证明三角形全等的时候，若出现直角三角形，然后再给出两边分别对应相等，就一定会有全等,若给出的是两条直角边，则利用SAS证明两三角形全等，若给出的是一条直角边和斜边对应相等，则我们利用HL得全等。随堂练习:1.如图，BE,

11、 CD > AABC的高，且 BD=EC ,判定4BCDCBE的依据是 “综合练习1.如图，已知等边三角形 ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点 A落在BC边上的点D的位置，且 ED ± BC ,贝U/EFD=.2.如图所示，AABC为等边三角形,P 是AABC 内任一点，PD/AB, PE/BC, PF / AC ,若那BC 的周长为 18,贝U PD+PE+PF=为中线，AD=AE , E在AC上，求/ EDC的度数.E3.如图，那BC是等边三角形， ADAABC是正三角形,D, E, F分别是各边上白一点，且 AD=BE=CF .请你说明4DEF是

12、正三角形.4.已知，如图,D5 .如图，已知 AABC和9DE都是等边三角形，连接 CD、BE.求证：CD=BE .6 .如图，等边三角形 ABD和等边三角形 CBD的边长均为a,现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足 AE+CF=a ,则ABEF的形状如何?第2讲三角形的证明（二）三角形的证明二线段的垂直平分线 角平分线知识点1 :线段的垂直平分线1 .定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线2 .性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等3 .判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上例题： 关于线段的垂直平分线有以下说法：一条

13、线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；线段的垂直平分线是一条直线；一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上其中，正确的说法有个方法总结：1.本题考查了垂直平分线的定义，该直线需要满足两个条件：条件1 ,直线和线段垂直；条件2,直线经过线段的中点.2.本题还需要熟练掌握线段垂直平分线的性质和判定随堂练习：1 .三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（）A.三条中线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条高的交点D.三条角平分线的交点例题：1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分

14、线，P为直线CD上一点，若4PAB的周长为14, PA=4 ,则线段AB的长为方法总结：本题考查了垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出相等的线段，再将题中给出的三角形周长表示出来，建立线段之间的关系，进而求解出待求的线段长.随堂练习：1 .如图，MP、NQ分别垂直平分 AB、AC且BC=6cm ,则4APQ的周长为 cm.知识点2:角平分线的性质2 .角平分线上的点到角两边的距离相等.3 .角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 例题：1.如图，在Rt9BC中，/ C=90 ° ,以顶A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC, AB于点M ,

15、N,再分别以点M , N为圆心，大于yMN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D ,若CD=4 ,AB=15 ,则4ABD的面积是方法总结: 本题考查的是角平分线的画法和性质，根据作图可得出角的平分线 已知一个角的平分线，常作辅助线是过角平分线上的点，向角的两边作垂线，且垂线段相等题中要求三角形的面积，已知三角形的底边，只需作这条边上的高，观察可以发现，底边上的高恰好等于CD长,进而求出三角形的面积 注：通常题目中会给出角平分线上的点到角的一边的垂线，我们只需作出另一条垂线即可随堂练习：1.如图，点P是/AOB平分线OC上一点，PDXOB,垂足为D,若PD=2 ,则点P到边OA

16、的距离是例题：1.如图，四边形 ABCD中，/ B=90 ° AB /CD, M 为BC边上的一点，且AM 平分/BAD , DM 平分/ADC .求证：（1 ） AM ± DM ;(2) M为BC的中点.1/方法总结：本题主要是根据角平分线的性质，解决边之间的关系，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等这 一性质，将要证明相等的两条边和同一条边建立等量关系，进而求解 随堂练习:1 .如图，4ABC中，/C=90 AD平分/BAC交BC于点D.已知BD : CD=3 : 2,点D到AB的距离是6,则BC的长是综合练习1 .如图，四边形 ABCD中，AC垂直平分BD,垂足为E

17、,下列结论不一定成立的是(A. AB=ADB. AC 平分/ BCDC. AB=BDD. ABCEA DCE2 .如图，已知在 RtMBC中，/A=90 BD是/ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线.试说明 BC=2AB .3.已知，如图，BD是/ABC的平分线,AB=BC，点P在BD上，PM ±AD , PN XCD ,垂足分别是 M、N .试说明：PM=PN4.如图，BD平分/ABC交AC于点D,DEXAB 于 E, DFLBC 于 F, AB=6 , BC=8 ,若 Smbc=28 ,求 DE 的长.第3讲 不等式及不等式组不等式及不等式组知识点1 :不等式1 .不等式的定义

18、不等式的概念：用或“V”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用号表示不等关系的式子也是不等式.注意：凡是用不等号连接的式子都叫做不等式.常用的不等号有“V”、 外，不等式中可含未知数，也可不含未知数.2 .不等式的性质（1）不等式的基本性质不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若那么 a ±m > b ±m ；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a >b ,且 m > 0,那么am > bm?国> 八？'不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，

19、即：若a >b ,且 m v 0,那么am < bm,?国一 /？'（2）不等式的变形:两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变.3 .不等式的解和解集(1)不等式的解的：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.(2)不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集.(3)解不等式的：求不等式的解集的过程叫做解不等式.例题：1.下列式子：-3<0,4x+3y >0,x=3 ,x2.下列各数中，哪些是不等式2x - 1 >1的解？2

20、-9, 2 , - 0.4 , 6, 0, - 5, 7, 5.1 .3.若avb,用或“V”填空 a - 4 b- 4 ;? (2)55； - 2a 2b .4.不等式x-4<0的解集是 不等式-2x - 1 < - 1的解集是 方法总结：1.不等式的判定方法用“V, >, <, >, W”连接的式子叫做不等式.2.不等式的基本性质不等式两边加(或减)同一个数(或式子) ，不等号的方向不变.不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.3.判断某个数是否为不等式的解法思路将某个数代入不等式，如果不等式成立

21、，那么这个数是该不等式的解；否则，这个数不是不等式的解.-y+1 ,xw5,x-3vy+2 ,其中是不等式的有4 .求不等式的解集的依据解不等式的依据是不等式的基本性质，要熟练掌握不等式的基本性质.随堂练习：1 .若a>b,则下列不等式变形正确的是（）A. ac2>bc2B. >1C. - ca< - cb D. 3a-c>3b-cb2 .已知 a>b,贝卜 4a+5-4b+5.（填>、=或<）3 .比较大小：如果a<b,那么2-3a 2-3b.（填“>” 或“=”）4,若 a<b,那么-2a+9-2b+9 （填“>” 或

22、“="）.知识点2: 一元一次不等式1 . 一元一次不等式的定义（1） 一元一次不等式的定义含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.（2）概念解析一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等 号连接，而一元一次方程是用等号连接.另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数.但两者也有 联系，即一元一次不等式属于不等式.2 .解一元一次不等式解一元一次不等式步骤如下去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1.以上步骤中，只有去分母和化系数为1可能用到不等式性质 3,即可能改变

23、不等号方向，其他都不会改变不等号方向.注意：符号和“w”分别比“>”和各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式.3 .在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”.例题：1.若3x2a+3 - 9>6是关于x的一元一次不等式，则 a=.2.解不等式(1) 8x - 1 >5x - 6(2) - 3 (x+2 ) - 1v5-2 (x-2)(3)解不等式2 (1 - 2x

24、) 与1-1,并把解集在数轴上表示出来.3143.若不等式5 (x-2) +8 <6 (x-1) +7的最小整数解是万程 2x-ax=3的解，求4?-9的值.方法总结：1 .一元一次不等式常考查一元一次不等式的定义，解答这类题目要记住以下两个关键点：含有一个未知数，未知数的次数是1.2 .解一元一次不等式解一元一次不等式关键在于掌握其解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 .注意：以上步骤中，只有去分母和化系数为1可能用到不等式的性质 3,即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向.3 .求一元一次不等式的整数解的解题思路求一元一次不等式的解集；结合题目所给条件，然后在

25、一元一次不等式解集内找出相应的整数，从而解答此类题目.随堂练习：1 .解不等式：2-Z±<y-2dL,并把它的解集在数轴上表示出来. 52-3-2-1012342 .解不等式(1) 8x- 1>5x- 6(2) - 3 (x+2) T<5- 2 (x-2)(3)解不等式2 (1-2x)1,并把解集在数轴上表示出来.(3) 不等式 雪-练L<1,并把它的解集在数轴上表示出来. J£ariiii_111rl。-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5知识点3: 一元一次不等式组1 . 一元一次不等式组的概念由几个含有同一个未知数的一元一次不等式

26、组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.求不等式组的解集的过程叫做解不等式组.注意：一个一元一次不等式组的几个不等式必须符合三个条件：(1)这里的几个可以是两个、三个、；(2)每个不等式都是一元一次不等式；(3)必须都含有同一个未知教.2 .解一元一次不等式组(1) 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.(2)解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.(3) 一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观

27、地表示不等式组的解集.方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求公共部分.解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间夹；大大小小无解答.,一? 3(?- 2) V4例题：1.解不等式组 2?+1，并将解集在数轴上表示出来.>?- 1 32?+2.解不等式组2?_5 < 3(?+ 2)1+3?把它的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解.<1方法总结：1 .解一元一次不等式组方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求公共部分.解集的规律：大大取最大；小小取最小；大小小大中间夹；大大小小无解答.解集的规律如下图所示: 一元一次不等式组的整数解不等式

28、殂在数轴上表示解集口诀(1)4L-ag0 b ax同大阪大(2)x <ax <b'» 0 b & xx<b同小取小(3)rx <ax>b1> bOa xh、二-i大小小大 中间决(4)x >ax<b1,.3fOb ax大大小小 无解答求出一元一次不等式组的解集；在数轴上表示出一元一次不等式组的解集；结合题目所给条件，然后在一元一次不等式组的解集内确定一元一次不等式组的整数解，从而解答此类题目.【随堂练习】1 .解不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来2 .解下列方程组或不等式组QT)综合练习1 .有下列数学式子：3&

29、gt;0;4x+5 >0;x=3 ;x2+x;x w - 4 ;x+2 >x+1 ,其中是不等式的有个.2 .已知2 - 3x3+2k >1 ,关于x的一元一次不等式，则 k=3 .不等式2x-5V7 - (x-5)的解集是 4 .不等式3-子>2+T的非负整数解是485 .若x= -3是关于x的方程x=m+1 的解，则关于x的不等式2(1 - 2x)wi+m的最小整数解为 -6 .不等式组2?+ 1 > - 3的解集为 -? + 3 > 07.不等式组 ?+1? K1的解集是>28.不等式组?+ 5>2的最小整数解是 4 - ?> 35-

30、9.不等式组3?> -2?> - 1?-1的整数解的和为10 .若xvy,比较2-3x与2-3y的大小，并说明理由.11 .解不等式： 兽-要W2,并把它的解集在数轴上表示出来.0.20.512 .已知方程ax+12=0 的解是x=3 ,求满足关于y的不等式(a+2 ) y<7的最小整数解.13 .解下列不等式和不等式组.3?-22?-1 -6- - 1,M2(2?- 1) - 3(5?+ 1) <6(2) 5? 1 < 3(?+ 1)4?> 2?-14.解不等式组：?+1 ？6,并把解集表示在数轴上.15-4 4二2 二1 0 13 g 4 5,2?+15

31、.解不等式组” ?-1-2K5_并判断x=-讨是否为该不等式组的解.1 <2? 3(?- 2X816.解不等式组2?+1,并求其整数解,-7- >? 13第4讲含参的不等式含省的一元一次不等式含参的不等式含参的一元一次不等式组一元一次不等式的应用一元一次不等式组的应用知识点1:含参的一元一次不等式含参的一元一次不等式(1)含未知数项的系数不含参数，如 x>a,(其中a为常数)；(2)含未知数项的系数含参数，如 mx>n,(其中m为参数、n为常数).3例题：1.已知不等式2 (m-x) +1 >3x-2的解集是x<2,则m的值为 .2 .若不等式(a+1 )

32、x>a+1的解集是xv1,则a的取值范围是 3?+?. _3 .关于x的两个不等式 < 1与1 - 3x > 0.(1)若两个不等式的解集相同，求 a的值.(2)若不等式的解都是的解，求a的取值范围.3?+ ?= 1 - ?4.若关于x, y的方程组?+ 3?= 3的解满足x+y <2,则a的取值范围为 方法总结:1.已知一元一次不等式(系数不含参)及其解集，求参数的值的思路.3如已知不等式 2 (m -x) +1 >3x-2的解集是x<-,求m的值，求不等式2 (m-x) +1 >3x-2的解集为xv2?/, 52?+33令三一二2，从而不难求出 m

33、的值，2 .求一元一次不等式 ax>b(a, b是常数)解集的思路.需要借助分类讨论思想，若a>0,则不等式ax>b的解集为x>若a<0,则不等式ax>b的解集为x荔 若a=0 , b<0,则不等式ax>b的解集为任意实数；若 a=0 , b R,则不等式ax >b无解集.3 .已知一元一次不等式和的解集相同，求参数的值的思路.3?+?如关于x的两个不等式-< 1与1 - 3x>0,若两个不等式的解集相同，求 a的值.分别求出不等式和的解集为xv2?和xv；,332-? 1令蔡-=力从而不难求出a的值. 334.已知一元一次不等

34、式的解都是的解，求参数的取值范围的思路. 3?+?如关于x的两个不等式 <1与1 - 3x>0,若不等式的解都是的解，求 a的取值范围的思路.分别求出不等式和的解集为xv2?和x<1,332-99 1令大从而不难求出a的取值氾围. 33随堂练习：1,已知一元一次不等式 mx- 3>2x+m.(1)若它的解集是x<*,求m的取值范围；(2)若它的解集是x>-1,试问：这样的m是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由.知识点2:含参的一元一次不等式组含参的一元一次不等式组常考题型1 .给出不等式组解集的情况，求参数取值范围2 .给出不等式组的解集，

35、求参数的值3 .给出方程（组）解的情况，转化为不等式（组），求参数的取值范围4 .给出不等式组整数解的个数，确定参数的取值范围? 2?V0例题：1.若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为 ?+ ?> 22? ?箕 12.已知不等式的解集为-ivxvl ,求（a+1 ） （b - 1 ）的值为.?- 2?>33.如果关于X、的方程组?+ ?= 3?- 2?= ?- 2的解都是正数，则a的取值范围是4.不等式组3?- 5>1有2个整数解，则实数 a的取值范围是 5?- ?w 12方法总结：1 .给出不等式组解的情况，求参数取值范围，解题思路如下：分别求出不等式组中每个不

36、等式的解集，确定参数的取值范围，记住：“大小小大有解；大大小小无解.”注意：端点值另外考虑.2 .给出不等式组的解集，求参数的值，解题思路如下:先求出含参不等式组中每个不等式的解集；再利用已知解集和所求解集之间的对应关系，建立方程（组）；解方程（组），从而求出参数的值.3 .给出方程（组）解的情况，转化为不等式（组），求参数的取值范围，解题思路如下：先求含参数的方程组的解，方程组的解用含参的式子表示出来；列出题目中解满足的不等关系，将含参数的式子代入，转化为关于参数的不等式（组），解不等式（组）：从而求出参数的取值范围.4 .给出不等式组整数解的个数，确定参数的取值范围，解题思路如下：先求出不

37、含参数的不等式的解集；再结合题意，在不含参数的不等式解集范围内找出连续的几个整数解；参数的范围就在最后一个整数解差一个单位长度的范围内（借助数轴解决问题），注意：端点值特殊考虑.随堂练习：1.是否存在这样的整数m,使方程组|"旷"2的解满足x>0 y>0；若存在 求m的取值；若不 |.2i-y=5m+4存在，请说明理由.2.若不等式组3b-2x>l的解集为-2Vx<4,求出a、b的值.知识点3 : 一元一次不等式的应用一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案.（2）列不等式

38、解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系.因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：弄清题中数量关系，用字母表示未知数.根据题中的不等关系列出不等式.解不等式，求出解集.写出符合题意的解.例题：1.某中学11划用2500元购买一批名著和辞典作为奖品，其中名著每套 60元，辞典每本40元，现已购买名著24套，学校最多还能买多少本辞典？方法总结：一元一次不等式的应用解决此类问题关键在于掌握解列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：弄清题中数量关系，用字母表示未知数.根据题中的不等关系列出不等式.解不等

39、式，求出解集.写出符合题意的解.随堂练习：1 .小红准备用50元钱买甲、乙两种饮料共 10瓶，已知甲饮料每瓶 7元，乙饮料每瓶 4元，则小红最多能买甲种 饮料的瓶数是()A. 4B. 3C. 2D. 12 .某学校准备购买若干台电脑和打印机，如果购买1台电脑和2台打印机，一共花费 5900元；如果购买2台电脑和1台打印机，一共花费 8200元；(1)求每台电脑和每台打印机的价格分别是多少元？(2)如果学校购买电脑和打印机的预算费用不超过67000元，并且购买打印机的台数要比购买电脑的台数多1台，那么该学校最多能购买多少台打印机？知识点4 : 一元一次不等式组的应用一元一次不等式组的应用对具有多

40、种不等关系的实际应用问题，通常列一元一次不等式组，并求解.一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：(1)分析题意，找出不等关系；(2)设未知数，列出不等式组；(3)解不等式组；(4)从不等式组解集中找出符合题意的答案；(5)作答.例题：1.把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分 5本，那么最后一人就分不到3本.这些书有多少本？学生有多少人？方法总结：一元一次不等式组的应用解题思路将题目中所给信息与数学思想联系起来，读懂题，列出不等式关系；根据不等关系，列一元一次不等式组；解一元一次不等式组；从不等式组解集中找出符合题意的答案，并作答.随堂练习：1. 一幢学生宿舍楼

41、有一些空宿舍，现有一批学生要入住，若每间住5人，则有25人无法入住；若每间住 10人,则有1间房不空也不满.求空宿舍的间数和这批学生的人数.综合练习1 .若不等式(k-4) x>- 1的解集为xv-则k的取值范围是?-4399+992 .关于x的两个不等式一2 9 1与3-3x>0的解集相同，则 a=3x + y = 1 + 3a 3 .已知关于x, y的方程组x + 3y = 1 - a(1)由方程-，可方便地求得x- y=(2)若方程组的解满足 x+y >0,则a的取值范围是 ?+ 1 <994 .已知不等式组无解，则a的取值范围是399+ 5>99- 79?

42、 99> 05 .关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是1 - 99>099+6.已知不等式组99-2 >99+ 99的解集为1vxv2,则(m+n ) 2018 =1 V 99- 14?+ ?= ?+ 27 .已知关于x，y的二元一次方程组?k4?= 3的解满足0<x+y <1,则k的取值范围是 8 .某种商品的进价为15元，出售时标价是 22.5元.由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于10% ,那么该店最多降价 元出售该商品.9 .某种毛巾的原零售价为每条 6元，凡一次性购买两条以上（含两条），商家推出两种优惠方案：（

43、1）两条按原价，其余按七折优惠；（2）全部按八折优惠.若在购买相同数量的毛巾的情况下，要使方案（1）比方案（2）合算，则最少要购买毛巾条.10 .关于x的两个不等式： 33+23< 1与2 （x-2） >3x-6. 3（1）若两个不等式的解集相同，求 a的值；（2）若不等式的解与不等式的正整数解之和小于4,求a的取值范围.11 .某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢 50节.已知甲种货物 35吨和乙种货物15吨可装满一节 A型货厢，甲种货物 25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排

44、A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请设计出来.12.某工厂生产A、B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表:A种产品R种产品成本（万兀，件）0,60.9利润（万元，件）0.264若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过 16万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？第5讲不等式组的应用知识点1实际应用类问题对具有多种不等关系的问题，应考虑列一元一次不等式组，并求解.一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：(1)分析题意，找出不等关系；(2)设未知数，列出不等式组；(3)解不等式组；(4)从不等式组的解集中找出符合题意的答

45、案；(5)作答.例题：1.某新建成学校举行“美化绿化校园”活动，计划购买A、B两种花木共300棵，其中A花木每棵20元,B花木每棵30元.(1)若购进A, B两种花木刚好用去 7300元，则购买了 A, B两种花木各多少棵？(2)如果购买B花木的数量不少于 A花木的数量的1.5倍，且购买A、B两种花木的总费用不超过7820元，请问学校有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？2.湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市.某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单彳的3倍.(1 )求温

46、馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？(2)该小区至少需要安放 48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？方法总结：这两道题都属于优选方案问题，考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组.随堂练习：1 .某商城销售 A, B两种自行车，A型自行车售价为2100元/辆，B型自行车售价为1750元/辆，每辆A型自行车 的进价比每辆 B型自行车的进价多 400元，商城用80000元购

47、进A型自行车的数量与用 64000元购进B型自行 车的数量相等.(1)求每辆A, B两种自行车的进价分别是多少？(2)现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进 A型自行车m辆，要求购进 B型自行车数量不超过 A型自行车数量的2倍，总利润不低于13200元，求购进方案.2 .学校预备采购一批数学教学用具，已知购买1套立体模型和2套三角板共需300元，购买2套立体模型和3套三角板共需510元.(1)求1套立体模型和1套三角板的价格各是多少元？(2)若学校准备购买这两种数学教学用具共80套，要求每种都要购买，且三角板的数量少于立体模型的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过8500元，请

48、问学校共有几种购买方案？(请写出具体的购买方案)知识点2 :表格图形类问题在不等式组的应用问题中，表格图形类问题也是常考的重点，与实际应用问题类似，这类问题只是把一些条件 用表格或者图形的形式展示出来，在做题过程中，我们需要先转换条件，再计算例题：1.星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表:进价(元/台)售价(元/台)电饭煲200250电压锅160200(1) 一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了 5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱?(2)为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少

49、于电压锅的问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由;(3)在(2)的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多?A、B两种型号的污水处理设备共2 .宁波某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买10台，具体情况如下表:A型B型价格(力兀/台)1512月污水处理能力(吨/月)250200经预算，企业最多支出 136万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于2150吨.(1 )该企业有哪几种购买方案？(2)哪种方案更省钱？并说明理由.3 .某校准备为七年级同学庆祝最后一个“儿童节”，至少需要甲种鲜花266朵，乙种鲜花169朵，制成A、B两种造型共16束.要求A造型用甲种鲜

50、花18朵，乙种鲜花10朵；B造型用甲种鲜花16朵，乙种鲜花11朵，送某 花店制作.(1)花店共有几种制作方案？分别有哪几种？(2)若A种造型每束鲜花可获得利润12元，B种造型每束鲜花可获得利润10元.如果你是店主，你选择哪种制作方案？说明理由.方法总结：本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式组；(2)根据总价=单价X数量，分别求出3种购买方案所需总费用.随堂练习:1 .某学校准备购买 A、B两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买A、B两种型号篮球的情况:购买学校购买型号及数量(个)购买支出款项(

51、元)AB甲38622乙54402(1)求A、B两种型号的篮球的销售单价；(2)若该学校准备用不多于 1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，且A种型号的篮球数量小于 B种型号的篮球，问A种型号的篮球采购多少个？2 .为了加强对校内外安全监控，创建平安校园，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格，有效监控半径如表所示，经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元.甲型乙型价格(元/台)ab有效半径(米/台)150100(1)求a、b的值；(2)若购买该批设备的资金不超过11000元，且要求监控半径覆盖范

52、围不低于1600米，两种型号的设备均要至少买一台，请你为学校设计购买方案，并计算最低购买费用.知识点3:新定义类问题1.阅读以下材料:对于三个数a, b , c,用Ma , b, c表示这三个数的平均数，用 mina , b , c表示这三个数中最小的数.例如:3=7+2+3”.33'min 1,2, 3= - 1 ; min -1,2,解决下列问题:(1)填空:如果min2 , 2x+2 , 4 - 2x=2 ,则x的取值范围为(2)如果 M2 , x+1 , 2x=min2 , x+1 , 2x,求 x.2.阅读以下计算程序:(1)当x=1000 时，输出的值是多少?(2)问经过二

53、次输入才能输出 y的值，求xo的取值范围?方法总结：对于新定义问题而言，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解.随堂练习:1 .先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：对于三个数a、b、c中，我们给出符号来表示其中最大(小)的数，规定 mina, b, c表示这三个数中最小的数，maxa, b, c表示这三个数中最大的数.(注：取英文单词 minimum (最少的)，maximum (最多的)前三个字母)例如：min - 1, 2, 3 = - 1, max - 1, 2, 3 = 3; min - 1, 2, a=I -1(1) min - 2014, - 2015, 2016

54、=; max2 , x2+2, 2x =;(2)若 max2 , x+1 , 2x= 2x,求 x 的取值范围；综合练习1 .某文化用品商店计划同时购进一批A、B两种型号的计算器，若购进 A型计算器10只和B型计算器8只，共需要资金880元；若购进A型计算器2只和B型计算器5只，共需要资金 380元.(1 )求A、B两种型号的计算器每只进价各是多少元？(2)该经销商计划购进这两种型号的计算器共50只，而可用于购买这两种型号的计算器的资金不超过2520元.根据市场行情，销售一只 A型计算器可获利10元，销售一只B型计算器可获利15元.该经销商希望销售完这两种型号的计算器，所获利润不少于620元.则该经销商有哪几种进货方案？2 .某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：甲 乙进价(元/件)1535售价(元/件)2045(1)若商店计划销售完这批商品后能获利 1100元，问甲、乙两种商品应分