高考数学总复习专题讲解26---两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式

1、高考数学总复习专题讲解26两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式考点要求1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角 差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正 弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角包等变换（包括导出积 化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）.必备知识埴充1 .两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin (o± 8=sin ocos B± cos osin B；(2)cos (a± 份=cos ocos 依sin osi

2、n 6;, tan 在 tan B (3)tan ("一份=1?tan otan B,2 .二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 a= 2sin ocos a;(2)cos 2a= cos2 a sin2 a= 2cos2 a 1 = 1 - 2sin2 g2tantanZaTan23 .辅助角公式a sina+ b cos a= /a2+ b2sin (a+ (其中 sin()= . 2；b2cos()=.)常用结论1 .公式的常用变式tan a±tan 片 tan (a± ®(1?tan otan 肌, 2sin ocos a _ 2tana

3、Sin k sin2 什 cos2 a 1 ± tanLa'cos2 a sin2 a 1Ta£aC0S c cos2 a+ sin2 a 1 土.tan2a2 .降幕公式10A丁 cos a=sin2 a=1 C0S2 aCOs a=1+ cos2asin 0cos 后 2sin 2 a3 .开幕公式1 +cos a= 2co$ 2t ；1 - cos a= 2sin2 2；1 + sin 后 sin 2+ cos 2 ;1sin 后 sin 习一cos 22.4.半角正切公式a sin a 1 - cos a tan 2=1+cos a = sin a .、思考

4、辨析(正确的打“M”，错误的打“x”)(1)存在实数 就使等式sin (a+ f) = sin a+ sin B成立.()(2)公式a sin x+b cos x=Ma2+ b2sin (x+中小的取值与a, b的值无关.(3)cos 4 28居-1 = 1 2sin22.()当a是第一象限角时，sin 2= 1-20s。.()答案，X ，X二、教材改编3一，* 一.冗 1 .已知cos a= 5, a是用二象限角，则cos 4+/为()2A.10B.210C.7,210D.7.235'a是第三象限角 sin 后一cos2 a= - 5.冗42J23 4. cos U a = 2 (c

5、os a sin 0=2 5+5=噜.故选A.2. sin 347° cos 148° + sin 77° cos 58° =2。2 sin 347 cos 148 Hsin 77 cos 58= sin (270° 干7 )cos (90° 458 ) +sin 77 cos 58=(cos 77) (一 sin 58 ) + sin 77 cos 58°=sin 58°cos 77 Heos 58 sin 77°= sin (58。W7 ) = sin 1350 警.3. 计算：sin 108

6、6; cos 42° cos 72° - sin 42° =12 原式=sin (180 -72 )cos 42 40s 72 sin 42= sin 72°cos 42° -cos 72 sin 42° =sin (72°-42)0 1= sin 30 =.4. tan 20° + tan 40° + V3tan 20° tan 403 v tan 60°tan 20°4an 40°4an (20° 10°) =,1-tan 20tan 40&

7、#176;tan 20° 4tan 40° Man 60 (1tan 20 tan 40 ) =g也tan 20tan 40°,.原式=.3 3tan 20 tan 40° +,3tan 20° tan 40° =3.-1 .一 1 -5.右 tan a= 3, tan (a+ ® = 2，贝U tan 片考点1公式的直接应用法（1）使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.（2）使用公式求值,应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.1（201 1.（2019全国卷H）已知衣（0,一2), 2sin 2a= C

8、OS 2a+ 1,则 Sin a=()A-5B.D.2.55B由二倍角公式可知4sinocos 0F= 2coS2 a冗 延(0, 2), . cos a区,5 一 ， Sin a= J故选 B.1 .2sin a= cos a, tan a= 2,2.已知sin后3,氐(J, nt) tan ( l份=1,则tan (a的值为()5222A.-11D.11万冗A 氐仿nt tan a=一二-1又tan片一2,tan o tan B tan (a一份=1 + tan otan B3 1_4+22=13 =而1+( 2)x( 4) 九一九1一，九3. (2019太原模拟)若 氐(0, 2)，且

9、sin (a 6) = 3,则 cos (a 3) =2、6+ 1 由于角 a为锐角，且sin (a$=；则 cos (a6) = 232,贝 cos (ajtjt jt3) = cos (a 6) 6cos (a- 6)cos 至+ sin ( a- 6)sin 6=¥x-1 义 1=手1 32 十 3 26.4.计算sin 110° sin 20°cos 155 sin 155°的值为1 sin110sin 20° sin70sin 20°2 ，cos2155° -sin2155°cos 310°1.

10、cos 20 sin 200 2sin 40cos 50°sin 40°12.心评两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用a, B的二角函数表小a±B的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.考点2公式的逆用与变形用制通法公式的一些常用变形(1)sin osin 0+ cos (a+ ® = cos ocos B；(2)cos csin B+ sin (a ® = sin ocos 母,a , a2(3)1 sin o= (sin 2icos 2);、.2sin ocos

11、a 2tanaSin " sin2a+ cos2 a tan2 a+ 1'cos2 a sin2 a(5)8s2"= j sin2 a二1 tan1 + tanI2 aI2 a'(6)tana ±tan 片 tan (a±B)(1?tan otan 肌a sin a+ b cos a= AJa2+ b2sin (a+ (tan考向1公式的逆用.(1)化简焉0k=(2)在AABC 中，若 tan A tan B = tan A+tan B+1,则 cos C =(2) 2sin 10°sin 10° cos 10

12、6;2sin 10° cos 10°tan 10 8s 10。声 而一4(2cos 10。察in 10。)sin 20°14sin (30° T0° )4tan A+ tan B(2)由 tan A tan B = tan A+tan B+ 1,可得=1,1 tan A tan B即 tan (A+B)=1,又 A+ BC(0, nt)所以A+B =芋则C = 4，cos C =#I扇评(1)逆用公式的关键是准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，同时，要注意公式成立的条件和角之间的关系.(2)tan otan B, tan a+ ta

13、n 氐或 tan a tan tan (a十 份(或 tan (a加三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.(3)重视 sin acos & cos osin 3 cos ocos & sin osin B 的整体应用.考向2公式的变形用觑里例(1)化简sin235cos10° cos 80° 2(2)化简 sin2( 06)+$小2(0+6) 5访20的结果是sin2350 -21 cos 70°1102 2cos 70cos10° cos 80° cos 10 sin 101 cos ( 2 a(2)原

14、式=冗3)十冗1 cos (2 orb3sin2 a=1 2cos(2 a 3)冗 .2+ cos (2a+ 3) sin a/ c .5. 2cos2 a 1 cos 2 a=2=1cos2acos 3 sin a注意特殊角的应用,当式子中出现21,鼻馅等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”构造适合公式的形式.1.设 a = cos 50° cos 127 + cos 40° cos 3 , b = 2(sin 56° cos 56° ), c=1-tan23901 tan2390,则a, b, c的大小关系是（）A.a>b>cB

15、. b>a>cC.c>a>bD. a>c>bD 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a=cos50°cos 127°由os 40 cos 37° =cos 50°cos 127 4sin 50 sin 127° wos (50°。2。T27)=cos ( 77) = cos 77 =sin 13 , b=(sin 56 -cos 56 )= 2sin 56° -22cos 56° =sin (56°1-tan2390-45°) = sin 11°

16、;, c=；=1+tan239°sin23901 cos239 °239 =cos239-sin239 =1 + cos239 °cos78° =sin 12 .因为函数 y=sin x,xC 0 , 2为增函数,所以 sin 13° 为in 12° 为in 11°,所以 a>c>B.D.D 法一：43cos 15° Ysin215 cos15=3cos 15°-2sin 15° 2sin 15°cos 15° 用3cos 15° -2sin15

17、6; sin 30° /3cos 15° -sin 15° =2cos (15°书0°) = 2cos 45°/2.故选 D.法二：因为cos 15°6+ ,2加 4 亚,所以V3cos 15 Ysin215 cos 15° 36+ ,2b.2.一题多解，3cos 15 -4sinC.1150 cos15° =(1 A.6+ .2x (273 2)=也.故选 D.衽忆 V6+V2 V6+V2厂 厂-4X (4-)2X 44X 0/3-2+ 73)=,冗一,3 .已知 a+ 片4,则(1 + tan (1+

18、tan 份=2 (1+tan c)(1+tan 9=tan a+tan B+tan otan 0+1= tan (什 3(1 tan otan 3 +tan dan 升 1=1 tan otan 时 tan otan 0+ 1= 2.14 .已知sin ocos片5，则cos osin B的取值氾围11-1 小2 2由题知sin ocos片2，1降2+3设 cos osin B= t, + 得 sin ocos B+ cos osin1即 sin ( a+ 9 =尹t,一 得 sin ocos 0 cos osin_1即 sin (a一份=2' t.彳1 t05+ t< 1,，1

19、 .，1 0 2 t 0 1.考点3公式的灵活运用岛法 三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、 已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2 a=(a+ 9+(a凯a= ( a+ ®片(a一 3 40 毛0 -20 , (4+ 0)+(4- a) = 2, 2= 2X等.(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系 ，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余 弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.考间1三角公式中角的变换思例(1)设的B都是锐角，且cos a= 5,

20、sin ( a+份=5，则cos B=.1(2)已知 cos (75 + 0 = % 则 cos (30 2® 的值为. 3今. (2)9 (1)依题意得 sin a= q 1 - cos2 a= -5,.3 L因为 sin( a+ 份=5<sin a且 a+ A a, 九、，44所以 a+ 即(2, nt,)所以 cos (a+ ® = 5.于是 cos B= cos ( a+ ®= cos (a+ 3cos a+ sin (a+ 於in a= _4x&% 2_J=2_J-55 +55 25 .001(2)cos (75 +x) =sin (15

21、Q = %3= 9.所以 cos (30° -2/= 1 2sin2(15° 9=19评（1）解决三角函数的求值问题的关键是把 “所求角”用“已知角”表示.当“已知角 有两个时，“所求角” 一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.常见的配角技巧:a+ 0 a 0a+ 0 a 0 a 0a= ( a+ 份- 3 片2 2 -，a= 2 - + / , /=(a+ 2) -6+ ®等.等向2三角公式中名的变换.99.(1 + sin 0+ cos ® (sin 2 cos 2)累微例(1

22、)化简：/(0< 9< nt J,2+2cos 91 + cos 201。(2)求值：2sin 20°sin 10 (tan 5。-tan 5 ).5r/口8 九6解(1)由 泥(0,明 得 0<2<2，'cos 2>0,. <2 + 28$ 3=、/4cos22= 2cos 2.又(1 + sin 0+ cos 9(sin 2cos 2)9= (2sin 2cos 2+ 2coJ§(sin2 cos 2)= 2cos /sin2/- cos2皮9=2cos2cos a92cos2cos 0故原式=g= - 8s 0.2cos 2

23、(2)原式=2cos210°cos 5°2X2sin10 cos 10° sin 10 (sin 5°sin 5°cos 5。)cos 10°cos 5° -sin25°2sin 10° S所1° sin5 cos 5cos 10°cos 10°=sin 100 12sin 102sin 10cos 1Ccos 10° -2sin 202sin 10。2cos 10 2sin 10°cos 10° -2sin (30° T0° )2sin 10°13cos 10