2012年高考数学备考之百所名校组合卷系列 专题08 解析几何

1、2012年高考数学备考之百所名校组合卷系列一、选择题：1 (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科5)已知实数4，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） 【答案】C【解析】本题主要考查圆锥曲线的定义及简单性质。实数4，9构成一个等比数列，则，即；当时，曲线方程表示焦点在轴上的椭圆，根据则。当时，曲线方程表示焦点在轴上的双曲线，根据则。因此答案选C.2. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理12)点P在双曲线上，是这条双曲线的两个焦点，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是(A) .2(B) .3(C) .4(D) .5【答案】D【解析】设|PF2|,|PF1

2、|，|F1F2|成等差数列，且分别设为m-d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理可知：m-(m-d)=2a,m+d=2c, (m-d)2+m2=(m+d)2,解得m=4d=8a,故选项为D3. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科11)以为中心，为两个焦点的椭圆上存在一点，满足，则该椭圆的离心率为A.B.C.D.【答案】C【解析】过作轴的垂线，交轴于点，则点坐标为，并设，根据勾股定理可知，得到，而，则.4.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文6)在平面直角坐标系内，若曲线：上所有的点均在第二象限内，则实数的取值范围为（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】

3、曲线：，即表示以为圆心，2为半径的圆，当且，即时，曲线C上所有的点均在第二象限内。5. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科8)已知分别为椭圆的左右顶点，椭圆上异于的点恒满足，则椭圆的离心率为 A B C D【答案】D【解析】设，则化简得可以判断6. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科10)函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线的图象绕原点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象.若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度后，能得到某一个函数的图象，则旋转角可以是A B C D 【答案】C【解析】把双曲线的渐近线旋转到与轴重合时，双曲线图形就变成了函数的图

4、象，则旋转角7. (山东省临沂市2012年3月高三一模文科11)已知长方形的边长，若以为焦点的双曲线恰好过点，则此双曲线的离心率A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知所以8. (河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文10)如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若BC=2BF，且AF=3，则此抛物线方程为A B. C. D. 【答案】C【解析】故抛物线方程为。9. (河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文11) 的离心率是2，则的最小值为A B. 1 C. D. 210. (河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文5)设的两个焦点，P是双曲线上的一

5、点，且 A8 B. 6 C.4 D.2【答案】A【解析】由题意可知且点P在右支上，11. (河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文4)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】由三视图可知该几何体为一放倒的直三棱柱，故12. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测理科10)以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆圆心的抛物线方程是A或 B C或 D或答案：D 解析：由可知圆心坐标为，设抛物线方程为或，将点分别代入得或.13. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测理科11)以双曲线的左焦点为圆心，作半径为的圆，则圆与双曲线的渐近

6、线A相交 B相离 C相切 D不确定答案：C解析：左焦点为(-c,0),渐近线方程为即,圆心到直线的距离为，所以相切.二、填空题：14. (浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科15)已知圆过点的直线将圆分成弧长之比为的两段圆弧，则直线的方程为 .【答案】【解析】本题主要考查直线与圆的问题。设直线的方程为，直线将圆分成弧长之比为的两段，则劣弧的度数为，因此圆心到直线的距离为，即解得，所以直线的方程为。15. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理16)以抛物线.的焦点为圆心，且与双曲线-的两条渐近线都相切的圆的方程为_【答案】【解析】解：由已知可以知道，抛物线的焦点坐标为（5

7、,0），双曲线的渐近线方程为则所求的圆的圆心为（5,0），利用圆心到直线3x-4y=0的距离为半径r，则有,故圆的方程为16. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科14)为双曲线的左右焦点，过点作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，满足，则此双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解析】由双曲线的性质可推得，则在中，由余弦定理可知，又，可得，即，因此渐近线方程为.17.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考6)已知为双曲线的左准线与x轴的交点，点，若满足的点在双曲线上，则该双曲线的离心率为 .【解析】设点，由得， 把点坐标带入到中，整理得18.(江苏省淮阴中学、海门

8、中学、天一中学2012届高三联考14)在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为 设M是抛物线上的动点，则的最大值为 .【解析】焦点，设，则，设到准线的距离等于，则 =令，则=（当且仅当时，等号成立）故的最大值为 19(山东省临沂市2012年3月高三一模文科13)若抛物线的顶点在原点，准线方程为 ，则抛物线方程为_.【答案】【解析】20.21. (河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文13)若直线垂直，则实数的值为 .三、解答题22.(浙江省2012年2月三校联考高三文科22) (本题满分15分) 已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(1)求抛物线的方程;(2)已知动直线过点,

9、交抛物线于、两点.若直线的斜率为1,求的长;是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.【解析】(1)由题意,可设抛物线方程为. 1分 11分即= 13分当时, ,此时直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值. 14分因此存在直线满足题意 15分23. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理22) (本小题满分14分）己知椭圆C ：旳离心率e =,左、.右焦点分别为，点.，点尽在线段PF1的中垂线i.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设直线与椭圆C交于M，N两点，直线、的倾斜角分别为，且，求证：直线/过定点，并求该定点的坐标.【解题

10、说明】本试题主要考察椭圆的标准方程，以及恒过定点的直线，直线与圆锥曲线的综合运用。考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力。（1）根据椭圆的离心率求得a和c的关系，进而根据椭圆C的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）又点F2在线段PF1的中垂线上推断|F1F2|=|PF2|，进而求得c，则a和b可得，进而求得椭圆的标准方程来由已知+=，得,化简，得2kx1x2+（m-k）（x1+x2-2m）=0 整理得m=-2k直线MN的方程为y=k（x-2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）24. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科20)（本小题满分12分）已

11、知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴正半轴上，过的直线与抛物线交于、两点，且满足.求抛物线的方程；在轴负半轴上一点，使得是锐角，求的取值范围；若在抛物线准线上运动，其纵坐标的取值范围是，且，点是以为直径的圆与准线的一个公共点，求点的纵坐标的取值范围.【解析】设抛物线方程，直线方程，联立消去得，即.设，则，进而所以，即，所求抛物线方程为. 因为是锐角，所以恒成立，即，.由得，.所以，而，所以对于恒成立，所以.又，所以，解得的取值范围. 由条件可设的坐标为，则所以或，而，所以或.根据抛物线定义可知，以为直径的圆与抛物线的准线相切，所以点的纵坐标为，从而点的纵坐标的取值范围是.25(江苏省淮阴中学、海

12、门中学、天一中学2012届高三联考18)（本小题满分分）已知椭圆的离心率为，一条准线（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于两点 若，求圆的方程；若是上的动点，求证点在定圆上，并求该定圆的方程【解析】由题设：，椭圆的方程为： 由知：，设，则圆的方程：， 直线的方程：， ， ，圆的方程：或 解法（一）：设， 由知：，即：， 14分 消去得：=2 点在定圆=2上 16分 解法（二）：设， 则直线FP的斜率为，FPOM，直线OM的斜率为， 直线OM的方程为：，点M的坐标为 14 分 MPOP，, =2,点在定圆=2上 26(江苏省淮阴中学、海门

13、中学、天一中学2012届高三联考22)（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，已知点，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA (1)求点P的轨迹C的方程； (2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得PQA和PAM的面积满足?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 【解析】（1）设点为所求轨迹上的任意一点，则由得，整理得轨迹的方程为（且）.3分（2）:学设由可知直线，则，故，即， 5分直线OP方程为： ；直线QA的斜率为：，直线QA方程为：，即 联立，得，点M的横坐标为定值 8分由，得到，因为，所以，由，得，

14、的坐标为存在点P满足，的坐标为10分27.(北京市东城区2012届高三上学期期末考试文19)（本小题共13分）已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形（）求椭圆的方程；（）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为， ，且，证明：直线过定点（）解：（）由是等腰直角三角形，得，故椭圆方程为 5分（）若直线的斜率存在，设方程为，依题意设，由 得 7分则 由已知，所以，即 10分所以，整理得 故直线的方程为，即（）所以直线过定点（） 12分若直线的斜率不存在，设方程为，设，由已知，得此时方程为，显然过点（）综上，直线过定点（） 13分28. (福建省泉州市2012

15、年3月普通高中毕业班质量检查理科16) (本小题满分13分)已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离.（）试判断点的轨迹的形状，并写出其方程.（）是否存在过的直线，使得直线被截得的弦恰好被点所平分？ 【解析】（）因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线， 其方程为. （）解法一：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，依题意，得. 当直线的斜率不存在时，不合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立方程组，消去，得，（*） ，解得. 此时，方程（*）为，其判别式大于零， 存在满足题设的直线,且直线的方程为：即. 解法二：假设存在满足题设的直线

16、.设直线与轨迹交于，依题意，得. 易判断直线不可能垂直轴， 设直线的方程为， 联立方程组，消去，得， , 直线与轨迹必相交. 又，. 存在满足题设的直线, 且直线的方程为：即. 解法三：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，依题意，得. 在轨迹上，有，将，得. 当时，弦的中点不是，不合题意， ，即直线的斜率, 注意到点在曲线的张口内（或：经检验，直线与轨迹相交）, 存在满足题设的直线,且直线的方程为：即.29(山东省临沂市2012年3月高三一模文科22)（本小题满分14分）已知抛物线 的焦点是椭圆 一个顶点，椭圆 的离心率为.另有一圆圆心在坐标原点，半径为 (I)求椭圆和圆的方程； ()已

17、知过点的直线与椭圆在第一象限内只有一个公共点，求直线被圆截得的弦长； ()已知是圆上任意一点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个公共点，求证： .解：（I）由可得抛物线焦点坐标为.由已知得，又，得，.得椭圆的方程为，圆的方程为.(II)因为过点的直线与椭圆只有一个公共点，所以直线斜率存在，设方程为.由得，即.则，又.所以直线方程为.圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为.(III)若点的坐标为，则过这四点分别作满足条件的直线，若一条直线斜率为，则另一条斜率不存在，则若直线，斜率都存在，则设过与椭圆只有一个公共点的直线方程为，由得即，则，化简得，.设直线，斜率为，因为，与椭圆都只有一个公共点，

18、所以满足，.30(江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟18) (本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系中,已知点为椭圆的右顶点, 点,点在椭圆上, . (1)求直线的方程； (2)求直线被过三点的圆截得的弦长；横坐标为1,从而得3分 所以直线BD的方程为5分(2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为,所以圆C的圆心为(0,1),且圆C的半径为8分又圆心(0,1)到直线BD的距离为,所以直线被圆截得的弦长为 10分 (3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线上,当圆和圆是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN12分设,则,根