数学建模的基本技能与方法

1、数学建模讲义之一第一讲数学建模及大学生数学建模竞赛近几十年来，随着科学技术的进步，特别是电子计算机的诞生和不断完善，数学的应用已不再局限于物理学等传统领域，生态学、环境科学、医学、经济学、信息科学、社会科学及一些交叉学科都提出大量有待解决的实际研究课题。要用定量分析的方法解决这些实际问题，十分关键而又十分困难的一步就是要建立恰当的数学模型。建立数学模型的过程需要把错综复杂的实际问题抽象为简单合理的数学结构，要做到这一点，既需要丰富的想象力，又需要去寻找较合适的数学工具，从某种意义上讲，它是能力与知识的综合运用。一、什么是数学建模数学建模（Mathematical Modeling）简单地说就是

2、建立数学模型的过程。可以说数学建模是一种数学的思考方法，是“对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征表示，常常是形象化的或符号的表示。”从科学、工程、经济、管理等角度看数学建模就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具。顾名思义，modeling一词在英文中有“塑造艺术”的意思，从而可以理解从不同的侧面、角度去考察问题就会有不尽相同的数学模型，从而数学建模的创造又带有一定的艺术的特点。而数学建模最重要的特点是要接受实践的检验、多次修改模型渐趋完善的过程，这可以用如下框图来表示：实际问题抽象、简化、假设确定变量、参数建立数学模型并数

3、学、数值地求解、确定参数用实际问题的实测数据等来检验该数学模型 若不符合实际交付使用，从而产生经济、社会效益 若符合实际下面再以流行病学中的一个例子（像流感、艾滋病等传染病的传播规律）为例作一个简单说明。设发生传染病地区的总人口N不变，用x(t)表示患病人数所占的百分比（因而总人口所占百分比为1）。（1）俗话说“一传十，十传百”就是一种简化，设感染率为h，则数学模型为：由此可解得这时易见，显然是不符合实际的。（2）实际情况应是未得病者会感染得病，设感染率为h，而得病者中由于治疗，一部分人会康复，设康复率为r，则得数学模型为：解此方程将初始条件代入上式可求得：，所方程的解为：有，至少定性地看来要

4、合理得多，但用这样的模型于实际情形就会发现仍有许多不符合实际的地方。（3）实际上应把人们分成已感染者，未感染者，已恢复者（包括已死亡者），而，于是可建立所谓的SIR模型：及相应的初始条件。这时人们会发现不容易求到显式解了，而数学分析在一定阶段是重要的。由此可见数学建模的这种迭代的性质正反映了人们运用这种方法逐步逼近、真正认识、掌握实际问题的过程，从而达到预测、预报或指导实验以至指导生产的目的。二、数学建模的起源和发展数学建模并不是新东西（尽管过去很长时间这一术语用得很少），可以说有了数学并要用数学去解决实际问题就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划实际问题，而这种刻划的数学表述就是一个数学模型

5、，其过程就数学建模过程。因而可以说有了数学并用数学去解决实际问题，就有了数学建模，而欧几里得创立的欧氏几何，牛顿、莱布尼兹发明的微积分都是很能好的数学模型。问题是当一个数学模型表达出来后，就要用一定的技术手段（例如推理证明、计算等）求解该数学问题并用实际验证，若需要就要修改数学模型并重复上述过程。如果中间有一步完不成，整个数学建模过程就很难完成。而大量的计算又往往是建模过程中必不可少的，过去在高性能电子计算机尚未产生之前，正是由于缺乏这一技术手段而一定程度上限制了建模这一强有力方法的应用和发展。当然，由于实际应用的需要，数学建模的活动从未停止过。而电子计算机（特别是80年代超级电子计算机）的出

6、现使数学建模这一方法如虎添翼似地得到了飞速发展，掀起了一个高潮。在前面我们已经畅述了数学建模是一个需要多次反复的过程，由此可见数学建模的这种迭代的性质正反映了人们运用这种方法逐步逼近、真正认识、掌握实际问题的过程，从而达到预测、预报或指导实验以至指导生产的目的。这里需要指出的是参数的确定常常是关键的一步。正是由于上述这种特点，有人指出“今天，在技术（科学）中最有用的数学研究领域是数值分析和数学建模。”在某种意义下数学建模已经发展成一个相对独立的数学分支，而且不断向应用数学和纯粹数学提供大量的挑战性问题，从而推进了数学科学的发展。特别要提到的是近年来正在迅速发展的工业数学（industrial

7、mathematics）中（工业数学首先是数学，但也不是一类新的数学，简言之，它关心的问题是怎样在非数学的领域中应用现有的或发展新的数学方法来解决实际问题以求得更高的经济、社会效益），数学建模是关键的一步。正是由于数学建模的重要性，为了推动数学建模的研究、学术交流，从80年代起就有众多的学术活动、国际会议以及国际性和地区性的数学建模杂志。主要的数学建模期刊有：“数学和计算机建模国际性期刊”（Mathematical and Computer ModelingAn International Journal缩写为Math Comput. Modeling），为国际性数学建模杂志。应用数学建模（A

8、pplied Mathematical Modeling缩写为Appl.Math.Modeling或AMMODL），也是一种国际性数学建模杂志。高校应用数学学报，名誉主编苏步青，主编董光昌，1986年创刊，这是国内一个综合性应用数学刊物。“数学的实践与认识”（中国数学会主办，主编林群），每期都刊登一些数学建模或应用文章，也刊登我国大学生参加国内外数学建模竞赛的优秀论文。数学建模及其教学国际会议有：数学与计算机建模国际会议（International Conference on Mathematical and Computer缩写为ICMM），每隔两年召开一次。数学建模和应用的教学国际会议（I

9、nternational Conference on the Teaching of Mathematical Modeling and Applications缩写为ICTMA），每两年召开一次。三、数学建模的教学与数学素质的培养众所周知人才培养是关键，数学模型方法已成为科学技术中常用的非常重要的方法，它是数学和其他科学技术之间的媒介和桥梁。同时数学建模的研究有了长足的进步，又有得心应手、强有力的计算机作为工具，因而必然会有人考虑到数学教育中一个不可缺少的内容应该是数学建模等数学的应用的内容。数学建模教学要求对学生以下几个方面的能力进行培养：1培养“翻译”的能力，即把经过一定抽象、简化的实际

10、问题用数学语言表达出来形成数学模型（即数学建模过程），对应用数学的方法进行推演或计算得到的结果，能用“常人”能懂的语言“翻译”（表达）出来。2应用已学到的数学方法和思想进行综合应用和分析，并能学习一此新的数学知识，并能理解合理的抽象和简化，特别是进行数学分析的重要性。因为数学建模中数学终究是我们主要的武器，要在数学建模过程中灵活应用、发展使用这个武器的能力。3发展联想能力。因为对于不少完全不同的实际问题，在一定的简化层次下，它们的数学模型是相同的或相似的，这正是数学的应用广泛性的表现。这就要培养学生有广泛的兴趣，多思考，勤奋踏实工作，通过熟能生巧而逐步达到触类旁通的境界。4逐渐发展形成一种洞察

11、力。通俗地说就是一眼就能抓住（或部分抓住）要点的能力。因为真正的实际问题的数学建模过程的参与者（特别是一开始）往往不是很懂数学的人，他们提出的问题更不是数学化的，往往是在和你交谈过程中由你“提问”、“换一种方式表达”或“启示”等等方式（这里往往表现出你的洞察力）使问题逐渐明确的。5熟练使用技术手段，在目前主要是计算机及相应的各种数学软件包，这将帮助你节省时间，在一定阶段能得到直观形象的结果，有利于与用户深入讨论。数学建模的教育，有利于培养数学素质。数学素质是一种理性的思维模式，它包括归纳、演绎、数学建模等方法及人的自由创造本能。大学学生学习数学的理论、思想、方法，不仅是为了培养用所学的数学思想

12、和方法去分析处理实际问题的能力，而且要藉此培养起科学的理性思维模式，这正是数学素质的教育所蕴含的。因此，大学数学的教育要特别重视培养学生的现代数学意识，诸如数学思想及观念、数学方法（建模方法、计算方法、数学软件的使用方法）。数学素质的培养和提高是多方面的，而其中数学建模的教育，是培养数学素质不可缺少的环节。四、大学生数学建模竞赛我国在高校中开设数学建模课程始于1982年，但当时只有少数重点院校作为选修课程来开设，可以说是自发的、民间，因而数学建模课程并未受到人们的重视。数学建模课程真正被许多高校融入主干课程，被国家教委、国家教育部重视，却是得益于大学生数学建模竞赛。可以说数学建模竞赛是目前我国

13、设立的最成功的一项竞赛，它促进了各高校数学建模教学和数学建模活动的逢勃发展。因此我觉得有必要谈一谈大学生数学建模竞赛。·美国大学生数学建模竞赛美国大学生数学建模竞赛（Mathematical Contest in Modeling,简称MCM）是1985年开始举办的通讯比赛，每年一届，一般在2月份的一个周末（周五至周日）举行。竞赛的组织者是美国数学及其应用联合会（Consortium for Mathematics and Its Applications,简称COMAP）,并得到一些单位的协助。1999年起又同时举办美国大学生交叉学科建模竞赛（Interdisciplinary C

14、ontest in Modeling,简称ICM）。·MCM的宗旨、规则和奖励MCM的宗旨是鼓励大学师生对范围不固定的各种实际问题予以阐明、分析并提出解法，通过这样一种结构鼓励师生积极参与并强调实现完整的模型构造的过程。每个参赛队（3人）有一名指导教师，他们在比赛开始前负责对队员的训练和战术指导；并接受考题，然后即由学生自行参赛，指导教师不得参赛。比赛于每年二月或三月的某个周末（大约三天时间进行）。每次只有两个考题（一般是连续和离散各一题），每队只需任选一题。考题是由在工业和政府部门工作的数学家提出建议由命题组选择的没有固定范围的实际问题。在三天的持续时间内参赛队要以有清楚定义的格式

15、写出解法论文（包括问题的适当阐明与重新叙述；假定和假设的清楚说明；对为什么要用所述模型的分析；模型的设计；怎样测试模型的讨论；模型优缺点的讨论，包括误差的讨论；放在论文最前面的不超过一页的论文提要等）。参赛者可以使用包括计算机、软件包，教科书，杂志和手册之类的外部资源，因而在某种意义下也是考核使用外部资源的能力。MCM既没有通过、失败这种记分，也不采用数值记分。评阅人主要感兴趣的是论文的方法、论述的清晰性。评选一些论文为表扬奖，有价值的论文和优秀论文、部分最佳论文将发表在专业性的数学杂志上，以此作为奖励。我国大学生于1989年开始参加美国MCM，当时只有北京大学、清华大学和北京理工大学共4个队

16、参加，到1992年已有国内12所大学24个队参赛，并且都取得了较好的成绩。在这背景下，我国不少高校教师也萌发了组织我国自己大学生数学建模竞赛的想法，由中国工业与应用数学学会（CSIAM）举办的“1992年全国大学生数学建模联赛”（简称CMCM），全国有74所大学的314个队参加，不仅得到各级领导的关心，还得到企业界的支持，特别是宣传部门的广泛支持。于是CSIAM决定今后每年举办一次，并要更多地争取工业、企业界的支持，更好地依靠学术界、工业界的科学家、工程师提供好的竞赛题。到今年，我国已举办了十届数学建模竞赛，参赛的学校发展到有几百所高校，三千多队，从1999年开始又单独设立了大专组竞赛题，大专

17、学校单评奖。现在我国的大学生数学建模竞赛搞得红红火火，相应的数学建模教学和数学建模活动也提高了一个新水平。数学建模的教学作为一项重要的教改，也取得很大的成功。大家也达成了共识，通过大学生数学建模竞赛，不仅仅是为了获奖，同时也使我们的参赛选手得到了锻炼，使他们的各方面能力都得到培养（逻辑思维能力、创新能力、一丝不苟，严肃认真精神、精益求精精神、拼搏精神、团队精神、估计、猜测方法），教师的教学科研水平也得到了提高。第二讲数学建模的基本技能一、数学建模过程是一个多次循环过程由上一讲给出的建模流程图可以看出，数学建模过程是一个多次反复的过程，一般来说，要反复经历以下几个阶段：·澄清问题：现实

18、问题往往是复杂而零乱的，所以有必要认真审题。澄清什么是已知的，什么是要求的，是确定型的还是随机型的问题等等。根据建模的对象和目的充分发掘解题的信息，如事实、数据等。在做这下步时，还要对问题进行抽象和简化，而且这一工作往往不是一次能够完成的，有时需要反复多次。·形成数学模型：首先是寻找最简单的模型，比如用图形说明。可根据建模对象、目的具体地找出所有的相关因素，抓住主要的方面进行定量研究，即参考因素间的关系，提取主要因素。确定出诸因素中哪些是变量，哪些是参量，哪些是常量，并采用适当的符号、单位来标识，如有可能或必要可收集尽可能多的数据。然后考察各信息因素的性态，以及它们之间的关系，使用数

19、学技能或应用某种“规律”建立变量、参量间的明确的数学关系。还可根据问题的要求对模型进行必要的修改。·模型的求解：选择适当的数学方法求得数学模型的解。可以用代数方法、数值方法和分析、图论方法等。如有可能，可以使用各种软件包。值得注意的是许多数学模型往往是很复杂、很难的，有时往往要根据实际情况对模型作简化，使得解析或数值求解成为可能。·解释数学解：考察所得的数学解，是否具有应有的性质。同时把数学的表述解释或翻译成与实际问题相适应的通俗易懂的语言。·模型的检验与评价：建模是否正确还必须验证。常常是用实验或问题提供的信息记录来进行检验；检验解对参数、初始数据的敏感程度；检

20、验你的预测是否已经达到精度的要求，是否已经达到预期的目的等。如果还想要更精确地刻划出问题的解，是否要改进你的模型，如果是，则返回到1；否则进入6。一个成功的模型往往是一个多次循环过程。·建模报告：建模报告一般分为准备、主要部分和附录三个部分。需要说明的是，若对模型进行了简化，实质上是改变了原问题，简化后的模型只能说是原问题的一种近似，怎样才能做到正确的近似不仅需要很强的分析问题的能力，而且还需要有很强的洞察力；任何一个模型都能定义为现实系统的某些方面的简化表示，一个数学模型就是用数学概念、函数、方程等建立起来的模型。二、建模的基本技能1 列出相关因素、作出合理假设数学建模往往来源于实

21、际问题，面对一个实际问题如何下手是最困难的事，特别是对初学者更是如此。数学建模的一个基本原则就是认真分析所给的问题，找出相关的因素。这里的因素可以是定量的，即可以由数量来描述，也可以是定性的，如有可能还可以找出各因素间的一些简单关系式。定量的因素可以分为变量、参量、常量。参量是这样的一些量，它对于一个特定的问题可以认为是常量，但对不同的问题这个常量也就不同。变量可分离散的与连续的，也可以分确定的与随机的。在一个实际问题中，往往会有很多因素与之有关，所以在收集好这些相关因素之后，先考虑一些主要的因素，丢弃一些与问题关系不太大的次要因素，并且区分出哪些因素是输入变量（自变量）可以影响模型，但其性状

22、不是该模型所要研究的那些因素，哪些是输出变量（因变量）其性状是这个模型打算研究的那些因素，并给出适当的符号与单位。要做到这一点有时是很困难的，这不仅有赖于对问题的深刻认识而且还有赖于建模的经验，对于有些因素虽然并非认为是无足轻重的，但还是把它略掉了，原因在于建模者不能处理它们，只能寄希望于略去之后不会使结果有太大的影响。为使建模得以进行，我们必须作一些合理的假设。假设的目的在于对给出变量的取舍，即选出主要因素，忽略次要因素，使问题简化以便进行数学描述，又抓住问题的本质。一个模型是否成功很大程度上依赖于假设的合理性，这当然主要取决于建模工作者的经验。一般说来，假设可以分为两类：一类是为简化问题的

23、需要而作的；而另一类是为了沿用某种数学方法之需要而作的。这是由于数学建模本身所决定的。数学建模就是采用或建立某种数学方法来解决具体问题，而每种理论的应用都必需满足一定的条件，因此能否应用所需的数学方法的关键在于所研究的对象是否大体满足相应的条件。在初次建模时，要选择假设使模型尽可能简单，把所有的假设清楚地写下来，使得你自己知道，而且也能使别人确切地知道是在怎样的假设下完成模型的。不同的假设就可能得到不同的模型，所以描述一种情况的最佳模型通常不止一个。在一个模型中不可能同时使普遍性、现实性、精确性都很佳。所以在建模时可根据不同情况作出合理取舍。一旦建好了第一个模型，就要着手考虑问题中的其它因素的

24、影响，对模型进行修正，一个良好的模型不但要刻划出问题的本质，而且还要使得模型不至于太复杂而导致实际上无法求解，这就要看你能否处理好简单与复杂、精确与普适之间的矛盾。特别需要指出的是：在作假设时千万不要图处理问题的方便而忽视了与所给问题的相符性，其实与所给问题的相符性才是最重要的假设准则。例1最优捕鱼策略为了保持人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实际可持续捕获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称1龄组鱼，······，4龄组

25、鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.9（克）；各年龄组鱼的自然死亡均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109 ×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22 ×1011/（1.22 ×1011+n ）。渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比

26、，比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.4：1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。要建该问题的数学模型，必须澄清两个问题：一是如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）；二是该渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为122、29.7、10.1、3.29（×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使收获最高。分析题意不难看出与问题相关的因素有

27、渔池的环境、鱼的生长、繁殖、死亡等情况，以及捕捞方式、强度等。为了使问题简化，可以作如下的假设：（1）只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入与迁出。（2）各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡。（3）所有的鱼都在每年最后的四个月内（后1/3年）完成产卵和孵化的过程。卵化成活的幼鱼在下一年初成一龄鱼进入一龄鱼组。（4）产卵发生于后四个月之初，产卵期鱼的自然死亡发生于产卵之后。（5）相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即：第k年底第i年龄组的鱼的条数等于第k+1年初第i+1年龄组鱼的条数。（6）四龄以上的鱼全部死亡。（7）采用固定努力量捕捞的速度正比于捕捞时

28、各年龄鱼群中鱼的条数，比例系数为捕捞强度系数。在以上的假设下与问题相关的主要因素可以罗列如下：时间t；t时刻i年龄组的鱼群数量xi(t)；鱼的平均死亡率r；i年龄组鱼的产卵力fi；i年龄组鱼的平均重量wi；i年龄组的捕捞强度系数qi；产卵时间t=2/3；捕捞努力量E；i年龄组的年捕捞数量Yi；年捕捞Y等。2数据的作用与收集数据意指在考察现实问题中所收集的一些量化材料，是通过测量或观察得到的，虽然有一定的不确定性、片面性，但它们在某些方面能反映出客观实际，在建模中有以下几个方面的作用：（1）能帮助我们形成建模思想；（2）能确定所建模型中的参数值，即能辨识参数；（3）更重要的是能检验我们的模型。在

29、建模时有些数据可以是给出的，也有些数据要靠自己去收集的，在数据的收集与分析中要注意以下几个问题：（1）要弄清什么数据是你所需的。在动手建模之前要分清哪些数据与你的问题是相关的，哪些是多余的，同时要考虑是否欠缺某些数据。（2）收集你所需的数据。收集的办法有两个：一是向给你问题的人去要，有些可能可以现成的收取到，还有的可以通过实验等手段获得；另一方面是通过查资料索取。（3）处理数据。如何处理所给资料，如果所给数据有一大堆，你就得先把它们处理能上能下你所需要的形式，方法可以通过统计、平均等。要建好一个模型关键往往还体现在对数据的处理上，特别是对一些不规则数据的处理更能体现你的建模能力和创造性思维。3

30、误差与精度我们的数据常常来自经验观察、测量，这就不可避免引起误差，数据的误差常会引起模型的误差。误差的来源大约有以下三个方面：建模假设、近似方法求解、数据。由于有了误差，模型的预测并不是精确的，所以有必要去估计其最大误差，以控制模型的误差，提高其精度。误差的描述方式主要有两种，即绝对误差和相对误差。第三讲一些简单的数学描述与建模一、比例关系在建模过程中常常要把一些语言的表达翻译成适当的数学形式。比如，一个变量与另一个变量有正比关系（有时记为），与之对应的数学表示式可为y=kx，其中k为比例常数。若对某个特定的x可以知道y的话，则能确定出k的值。例1冷却问题将温度为T0=150ºC的物

31、体放在温度为24ºC的空气中冷却。经10分钟后，物体的温度降为T1=100ºC，问t=20分钟，物体的温度是多少？解：问题涉及的是种必然的物理现象，这是一个确定性的数学模型，由牛顿冷却定律可知，物体在空气中的冷却速度与该物体的温度和空气温度之差成正比。设物体的温度T随着时间t的变化规律为T=T(t)，则所要建的数学模型为，其中k>0为比例常数，负号表示温度是下降的。解此微分方程得解为：由初始条件，于是令t=20，得：T（20）40ºC+24Cº=64ºC二、函数关系熟悉一些最常见的函数，如，以及等的图像、性态往往是重要的。在建模过程中，常

32、常会碰到需要构造一适当的函数来刻划某个特定的事件。例2在盛夏的一天销售冰淇淋，当气温最高时需求量最大，要求选取适当的函数来这一事件。初看起来似乎很困难，但仔细分析一下，我们可以假设在一天中的销售总量是已知的，如取1000盒，销售时间可以认为是从上午10时到下午的6时。冰淇淋的销售过程虽然是离散的，但销售量则可以认为是一个连续的过程。销售量从10时的零增加到中午的高峰，然后又降到18时的零，如果用I(t)来描述到时刻t的销售量，其中t用小时来计，则问题就转化为：选择怎样的函数。如果我们选取I(t)=asinwt，这显然有些不妥，因为对某些t,sinwt将会取负数。所以更好的形式应取为。注意到销售

33、的时间以及在两端的销售量，最后我们取其中a是待定的参数。为此，我们积分下式：得a=250所以所构造的函数的最后形式为，这意味着一天中下午2时是销售的最高峰。每小时可以销250盒，即每分钟4盒。三、几何模拟方法把一个复杂析问题抽象成各种意义下的几何问题加以解决，这种方法就叫几何模拟法。这种方法的特点是常常在发现问题解答的同时也就论证了解答的正确性，它是数学中的一种重要的思维方法。例3椅子问题在日常生活中经常会碰到这样一个事实：把椅子往地上一放，通常只有三只脚落地，放不稳，但只要稍挪动几次，就可以四只脚同时落地放稳了。这个问题初看与数学毫不相干，怎样才能把它抽象成一个数学问题，并且将它证实？我们可

34、借助几何。考虑椅子的俯视图，其中A、B、C、D代表4条腿。今取O为坐标原点，OA，OB分另为x，y轴的直角坐标系， B并设椅子绕原点O（中心）逆时针转动时，OA与轴（初始位置） B的夹角为 。在这里我们已经假设了椅子的四角联线呈正方形， A椅脚与地面的接触可视为一点。为合理地解决这个问题，我们 A还假设椅子的四条腿一样长。地面的高度是连续变化的，沿任 C何方向都不会出现间断。对椅子脚的的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。使椅子在任何位置到少有三只脚同时落地。 C D稍加分析我们就会想到是否可以用椅脚与地面的距离来描述椅子着地情况，注意到这距离是由位置唯一确定，而正方形是中心对称的，这样椅

35、子的位置可用绕中心旋转角来唯一确定，所距离是的函数。可椅子有四只脚，因而有四个距离，但又因正方形的中心对称性，所只要设两个距离函数就行了。记A、C两脚与地面的距离之和为f()，B、D两脚与地面距离之和为g()。显然f()0，g()0。由假设f和g都是连续函数，且对任意的，f()g()=0。=0时，不妨设g(0)=0，f(0)>0。这样，这个椅子问题就归结为证明如下的数学问题：已知f和g是的连续函数，对任意的、f()g()=0，且g(0)=0，f(0)>0。则存在0，使f(0)=g(0)=0。将椅子旋转90，对角线AC与BD互换。由g(0)=0和f(0)>0可知g(/2)>

36、;0和f(/2)=0。令h()=f()-g()，则h(0)>0和h(/2)<0。由f和g连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在0（0<0</2）使h(0)=0，即f(0)-g(0)=0。最后，因为f()g()=0，所以f(0)=g(0)=0。结论：当地面连续时，只要把椅子绕中心逆时针转动0角，椅子的四条腿就同时落地了。例4狗、鸡、白菜过河问题一个人要把所带的一只狗、一只鸡和一颗白菜过河，而船除人外，每次只能带一样东西，问该如何运它们，才能使鸡吃不掉菜，而狗吃不掉鸡。从数学上考虑安全渡河问题，它是一个多步决策过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回，都

37、要对船上的东西作出决策，在保证安全的前提下，在有限步内使所运物全部过河。为此，我们把人、狗、鸡和白菜依次用一个四维向量表示，当一物在此岸时，记相应的分量为1，否则记为0，如（1，0，1，0）表示人和鸡都在此岸，并称为一个状态。由题意（1，0，1，0）是一个允许状态，而（0，0，1，1）是一个不允许状态。若用S来记所有允许状态的集合，这个集合共有10个状态，它们是：（1，1，1，1）（0，0，0，0）（1，1，1，0）（0，0，0，1）（1，1，0，1）（0，0，1，0）（1，0，1，1）（0，1，0，0）（1，0，0，1）（0，1，0，1）如果把每次运载情况也用一个四维向量来表示，如用（1，1

38、，0，0）表示人和狗在船上，而鸡和白菜不在船上，这样的允许运载状态D有4个：（1，1，0，0）、（1，0，1，0）、（1，0，0，1）、（1，0，0，0）。规定S和D中的元素相加时按二进制法则进行，这样一次渡河就是一个允许状态向量与一个允许运载向量相加。于时，制定安全渡河方案归结为：求决策dkD，使状态skS按照运算规律，从状态（1，1，1，1）经过多少次才能变成（0，0，0，0）。一个状态如果是可取的就记T，否则就记F，虽然可取但已重复就记R，于是问题可用穷举法按如下方法进行运算：，就这样通过运算即知，经7次运载便可安全地完成。运载的过程可以描述为：去（人，鸡）、回（人）；去（人，狗（或菜）

39、、回（人，鸡）；去（人，菜（或狗），回（人）；去（人，鸡）。四、类比分析方法类比分析方法是根据两个系统的某些属性或关系的相似，去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的一种方法。在建模中若发现两个不同的系统，可以用同一形式的数学模型来描述，则此两个系统就可以互相类比，类比方法应用很广。例5人体肌肉的类比模型我们分析一下人体肌肉的运动就会发现，在施加一个外力（如提一重物）时会使其拉伸，此时肌肉呈弹性机械的特点，肌肉组织的伸缩运动常常伴随着热量的产生和温度的增加，这些效应表明在肌肉组织内有某种类似于摩擦机构的作用，使得肌肉运动时一部分机械能作功，而另一部分则变为热能。可见，可用一个理想的弹簧-阻尼器来

40、类比一束肌肉的物理模型，其中弹簧类比于肌肉的弹性，而阻尼器类比于肌肉的摩擦现象。这两种情形可用下图的(a)和(b)来表示。 D K F f(t) (a) (b)图(b)可用如下的数学模型来描述：五、利用物理规律建模牛顿发现万有引力定律是科学史上的伟大事件，而导出它的依据是开普勒关于得星运行的三大定律，所用的工具又仅仅是解析几何和微积分，它是从物理现象建立数学模型的一个典范。开普勒三大定律：（1）行星绕太阳运行的轨迹是一个椭圆，太阳位于一个焦点上。 r太阳（2）从太阳到行星的矢径在相等的时间内所扫过的面积 行星相等。（3）各行星轨道的半长轴立方与周期平方之比为定数。 如右图所示，以太阳（一个焦点

41、）为极点，该椭圆的长轴为极轴建立极坐标，于是有椭圆方程为：，其中是该椭圆的焦参数，是该椭圆的扁率。在极坐标下，矢径所扫过的面积A的微分为进入得到“面积速度是常数”：=常数，其中角速度为，可得：，即：设行星绕太阳运行的周期是T，该椭圆的半长轴为a，半短轴为b。于是，矢径在一个周期内扫过的面积正是该椭圆的面积：=常数为了用牛顿第二定律得到引力，我们必须算出行星的加速度。为此需要建立两种不同的坐标架。第一个坐标架是固定的，以太阳为坐标原点，沿随时长轴方向的单位向量记为i，沿短轴方向的单位向量记为j，于是：进而有：以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是：，由可得：为了得到的表达式，将

42、椭圆方程两边微分两次，得：，将和焦参数代入，得：，即行星加速度为： 由开普勒第三定律知为常数，若记=常数，那么就导出了著名的万有引力定律：其中M是太阳的质量，m为行星的质量，r为行星到太阳的距离，-er表示引力的方向是行星指向太阳，G=6.672×1011米/千克·秒2称为万有引力常数。第四讲用数据直接建模经验模型经验模型是一种完全依靠数据而得到的模型，在这样的模型中，变量之间的关系是通过考察所给数据的变化特点选取的一种数学形式，它既有在数学表达上的简单性又有一定的精确性。这样的经验模型的明显特点是所考察的变量之间的关系并不是来自于假设，也不是基于物理的规律或原理，而是基于

43、建模者认为数据的变化与某个数学关系式表示的关系很吻合而选取的。这样的经验模型常常用在一个复杂模型的子模型中或其一部分。得到经验模型的第一步是把所给的数据画在一个坐标图上，通过图表来判断其数学形式，这是关键的一步，选择数学形式的优劣将直接影响到经验模型的精确程度；第二步是决定数学形式中的待定参数；第三步是求得数学模型后，有时需要将实际测定的数据与用公式求出理论值进行比较，判定其误差程度。若不合精度要求，就得对经验模型进行修正。当然最简单的情形是它们集中于某一条直线附近，要找出这条在某种意义上与这些点最接近的直线，可通过判断、最小二乘法或“回归分析”等方法，而且这些都已有标准的软件包。一、最小二乘

44、法设有n个点（测得的n组数据）（x1，y1），（x2，y2），···，（xn，yn）,在平面直角坐标系内，作出这个n点，称为散点图（如下图），若发现这些点的分布近似于一条直线l：y=ax+b（1.1）若点（xi，yi）在l上，则应有yi -axi-b=0，（xi，yi）在l上，若点（xj，yj）不在l上，则yj -axj-b=j（j=1，···，n）j表示用y=ax-b来反映xj与yj的关系时所产生的偏差。我们期望选取适当的l，即在确定a与b时应使j越小越好。为此，我们取这些偏差的平方和来刻划，即： (1.1)则问题变成求使（a，b）

45、取最小的a及b。一旦确定了a与b也就确定了l，这就是此问题近似的模型，这种方法叫最小二乘法。根据微积分中求极值的方法，容易求得：，其中，(1.2)根据实测数据，按公式（1.2）求得的公式（1.1），称为经验公式，经验公式能否真实反映问题中变量间的关系，还得靠实践的检验。如果所给数据反映的不是直线关系，那么就不能再用直线近似，这时就要作一此处理，如果可以作变换，把问题分解成若干部分，其主要部分为线性部分。例6下表给出的是15个不同年龄的人的身高与重量高H/m重W/kg0.75100.86120.95151.08171.12201.26271.35351.5141高H/m重W/kg1.55481.

46、60501.63511.67541.71591.78661.8575重量W与身高H之间的关系可由散点图（如下图1）描述。不难看出这散点图似乎接近于某条指数曲线。注意到点（0，0）是包含在图中的，如果我们令x=lnH,y=lnW（这时W=0，H=0必须被排除），关于x，y的散点图不可以由图2来描述。 （图1）（图2）用最小二乘法得y=2.30x+2.84或lnW=2.30lnH+2.82于是W=16.78H2.3 二、三次样条插值法样条插值方法起始于60年代初，当时是由航空、造船工程设计的需要，这种方法既保留了分段低次插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑性，所以有广泛的应用。三次样条插值法的插

47、值函数是分段三次多项式，且曲线的函数值、一阶导数、二阶导数都是连续的，而三阶导数是间断的。定义对于给定的函数表xx0，x1，···，xnf(x)y0，y1，···，yn这里a= x0<x1<···<xn=b。若函数s(x)满足：（1）s(x)在每个子区间xi-1，xi（I=1，2，···，n）上都是不高于三次的多项式；（2）s(x)，s(x)，s(x)在区间a，b都连续；（3）s(xi)=yi (i=1,2,···,n)。则称s

48、(x)为函数f(x)关于节点x0，x1，···，xn的三次样条插值函数。要确定这个三次样条插值函数，还得给出s(x)在各节点xi处的一阶、二阶导数的值，分别设为：s(xi)=mi，s(xi)=Mi，(i=1,2,···,n)。(1.3)由于s(x)是分片三次多项式，在每个小区间xi-1，xi上，S(x)的二阶导数都是线性函数，记hi= xi-xi-1，表示区间长度，于是：(1.4）将（1.4）式积分一次，得：（1.5）再将（1.5）式积分一次，得：（1.6）用，代入（1.6）式有：（1.7）而由（1.5）式得(1.8)注意到就有下述n

49、-1个s（x）的M连续性方程成立：（1.9）其中：(1.10)由于（1.9）式有n+1个未知数，仅n-1个方程，为了求出插值三次样条函数s(x)还差两个条件，一般的做法是按具体问题的要求在区间的端点给出约束条件，称为边界条件，边界条件很多，较基本而又常见的有：（1）给出端点处的一阶导数值：s(x0)=y0，s(xn)=yn(1.11)（2）给出端点处的二阶导数值：s(x0)=y0，s(xn)=yn(1.12)作为特例，s(x0)=s(xn)=0称为自然边界条件，这时的s(x)就称为自然样条插值函数。（3）若y=f(x)是以b-a为周期的函数时，则s(x)，s(x)，s(x)都是以b-a为周期的

50、函数，即：，这里要确定的是，边界条件就应用上述（1）的形式给出，由M连续性方程和（1.5）式，在边界上有关系式：（1.13）把的表示代入并整理得：（1.14），则由M连续性方程(1.9)和（1.14），可得关于Mi的方程组：（1.15）例7 给定函数表X0145F(x)0-2-8-4求满足边界条件的三次样条函数s(x)，并分别计算s(x)在x=0.5，3，4.5处的值。解：这是在第一边界条件（已知两端点的斜率）下插值问题，求解步骤如下：（1）先根据给定的函数表，边界条件以及（1.10）求出的值。注意到h1=1-0=1，h2=4-1=3，h3=5-4=1,就可通过（1.10）算出和d0=-27,

51、 d1=0, d2=9, d3=9/2。（2）将数据代入（1.15）,即得确定Mi（i=0，1，2，3）的线性方程组，解些方程组得：（3）将Mi入s(x)的表达式（1.6）可得：，利用此表达式可得：s(0.5)=s1(0.5)=-0.15625，s(3)=s2(3)=-8.5，s(4.5)=s3(4.5)=-6.28125第五讲随机性模型与模拟方法一、随机变量随机变量是一个其值不可预测的变量。虽然一个随机变量在个别实验中其结果是不确定的，但在大量重复试验中其结果是具有统计规律性的，正是随机变量的这种规律性使我们可以利用它来建模例8利用下列数据，给出一个模型。时间t（秒）0123456789变量

52、X1022120102X是一个离散的随机变量并取值于0，1，2，我们不可能给出X与t的关系式，但是可以通过数X的不同值出现次数来描述这随机型的规律列表如下：X012频数334频率0.30.30.4这个表给出了随机变量X的变化规律，频率告诉某个特定的事件发生的频繁程度，如果我们需要构造一个包含这个随机变量的模型，可以假设这个规律总是成立的，模型的假设可以基于这几数据之上。实际操作时可以把频率分布当做概率函数来处理，但应注意概率是频率的极限值，这两者是有差异的。在处理一个简单的理论模型是运载概率函数必须作出合适的选择。在上述问题中的随机变量取三个值是等可能，这样其概率函数为：X012P（x）1/3

53、1/3这个例子说明在处理随机变量模型时有以下两种选择：（1）使用一个理论模型。这在任何一本概率统计的书上都可以找到一些标准的理论模型如二项分布等。每一个都基于一定的假设之下成立的，所不在选用时要特别注意其假设条件。（2）使用基于实际数据的频率表，并不去套用标准的理论模型。使用前者的好处在于能精确地叙述变量的概率，在处理问题时可以充分发挥数理统计的作用。但这一好处把所求模式制约在了处理简单情形。随着复杂性的增加，数学就变得太难。使用后者的好处在于模型基于观测到的数据而不是基于假设之上。增加复杂性并不成为一大障碍，但我们不再能利用数理统计而得求助模拟以及模型的统计结果。在建立随机性模型时，首先要注

54、意，将要处理的是离散的还是连续的随机变量。1离散型随机变量离散随机变量的理论模型是由概率函数p(x)=P(X=x)来刻划的。这个式子说明随机变量X取值x时的概率。对于离散型的随机变量下面的三种分布是重要的。（1）（01）分布设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布规律是P X =k=pk (1-p)1-k , k=0, 1(0<p<1)，则称X服从（01）分布。对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即S=e1，e2，我们总能在S上定义一个服从（01）分布的随机变量来描述这个随机试验的结果。如对新生儿的性别进行登记，检查产品的质量是否合格等都可以用（01）分布的随机变量

55、来描述。（2）二项分布设试验E只有两个可能的结果，将E独立地重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验。它是一种很重要的数学模型，有着广泛的应用。若用X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数，X是一个随机变量，它服从如下的二项分布：，特别地当n=1时二项分布就是（01）分布。（3）泊松分布设随机变量X所有可能的取值为0、1、2、···，而取各个值的概率为，其中>0是常数，则称X服从参数的泊松分布。可以证明当p很小时，以n、p为参数的二项分布，当n时趋于以为参数的泊松分布，其中=np。2连续的随机变量理论模型的连续随机变量可以由概率密度函数（pdf）

56、f（x）来描述，对所有的x存在f（x）0，且。随机变量落在区间的概率可由来给出。在连续型随机变量中下述两种是重要的。（1）均匀分布设连续型随机变量X具有概率密度，则称X在区间（a，b）上服从均匀分布。在区间（a，b）上服从均匀分布的随机变量X，具有下述意义的等可能性，即它落在区间(a，b)中任意等度的子区间内的可能性是相同的，或者说它落在子区间的概率只依赖于区间的长度而与子区间的位置无关。（2）正态分布设连续型随机变量X的概率密度为：，其中为常数，则称X服从参数为的正态分布。连续型随机变量的值如同离散的一样可以用频率表给出，但不同的是离散的随机变量每个频率对应于随机变量的一个值，而对于连续的随机变量每一个频率对应于随机变量的一个取值范围。二、蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法是计算机模拟的基础，其名字来源于世界著名的赌城摩纳哥的蒙特卡罗。其思想来源于著名的蒲丰投针问题。1777年法国科学家浦丰提出了下述著名问题：平面上画有等距离a(a>0)的一些平行线，取一根