高中数学极点极线及高中圆锥曲线必备公式

1、极点极线定义 已知圆锥曲线C: Ax+By+Cx+Dy+E=O与一点P(xo,yo)其中A +B xo+x产0点,P不在曲线中心和渐近线上.则称点P和直线L:A?x°x+B?yOy+C? 2 +D?y 2+y+E=0是圆锥曲线C的一对极点和极线xo+xyo+y即在圆锥曲线方程中，以X%替换x，以2替换X，以yOy替换y ,以2替 换y则可得到极点P(xo,y o)的极线方程L.特别地：(1)对于圆(x-a) +(y-b) =r，与点P(x °,y o)对应的极线方程为(x °-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r；x yxox yoy 对于椭圆+ =1，与

2、点P(xo5y。)对应的极线方程为。+。=1 ；a ba bxyxox yoy(3)对于双曲线a-b=1，与点P(X0,y o)对应的极线方程为a°-b°=1 ；(4)对于抛物线V =2px，与点P(x°,y °)对应的极线方程为y°y=p(x °+x);性质-般地，有如下性质焦点所在区域为曲线内部-： 若极点P在曲线C上,则极线L是曲线C在P点的切线；若极点P在曲线C外,则极线L是过极点P作曲线C的两条切线的切点连线;若极点P在曲线C内,则极线L在曲线C外且与以极点P为中点的弦平行仅是 斜率相等(若是圆，则此时中点弦的方程为(xo-

3、a)(x-a)+(y°-b)(yb)=xox yoy xo yo(x °-a) +(y °-b)若是；若是椭圆，则此时中点弦的方程为aXX+byy=Xa +ybxox yoy xo yo双曲线，则此时中点弦的方程为aXOx-byOy=Xa° -yb° ：若是抛物线，则此时中点弦的 方程为 yoy-p(x o+x)=y o-2px o)当P(x°,yo)为圆锥曲线的焦点F(c,O)时，极线恰为该圆锥曲线的准线.； 极点极线的对偶性：1.已知点P和直线L是关于曲线C的一对极点和极线，则L上任一点Pn对应的极 线Ln必过点P,反之亦然，任意

4、过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上图.中点Pn与直线Ln是一对极点极暖; u .过点p作曲线c的两条割线L、1_2，Li交曲线C于AB，L2交曲线C于MN， 则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P关于曲线C的 杆/£ I上图中点 P与直线S T是一对极点强线；点 T与直线S P是一对极点极线 A山.点P是曲线C的极点 1）若C为椭圆或双曲线， OP?OQ=OR即 0P= OR OR °Q椭圆如图双|四线如图2）若曲线为抛物线，过二 如图，它对应的极线为L，则有：。是C的中心，直线OP交C与R，交L于Q，则 P作对称轴的平行线交 C于R,交L于Q

5、则PR=QRs0中学数学中极点与极线知识的现状与应用虽然中学数学中没有提到极点极线，但事实上，它的身影随处可见，只是没有点破而已.教材内改名换姓，“视”而不“见”,由可知椭Xa +yb=1的焦点的极线方程为：X=：焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容，它揭示了圆锥曲线C 的统一定义，更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了，反而往往使我们“视” 而不“见”.圆锥曲线基础必备1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理长轴=2"，短轴=2瓦焦距=2c.则：/1、准线方程准焦距.方、”方涂以r4.焦三角形计面积“半角正切暹乘焦三角形：以椭圆的两个焦点巧耳为顶点，另一个顶点在椭 圆上的三角形称为焦三

6、角形-半角是指一Z与P巧的一半.afy则焦三角形的面积为：S =/一证明：设阿I 二小 I 昭I = s JJ« m+n = 2a.fy x由余弦定理：'Jnf +d - 2mn cosA= 4c =4a 。-4b? =即：-2mn -= 2mn . 4",艮P： 2。= <1+故:又:Sgf =-m n sinO =-+0刁 2sm -cos smg u =tan 1 +COS0 2 cos2 COS&1 + cosO三、椭圆的相关公式切线 平分焦周角，切点连 线求方程，弦与中线 斜率积，细看中点弦 方程，称为弦切角定理极 线屯理须牢记准线 去除准焦

7、距恰似弦 中点轨迹的焦点三角形的面积为s胚恶=6 tail-.2 &所以：椭圆1、切线平分焦周角，称为弦切角定理弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周 角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦 为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线.第6页2.切点连线求方程，圾线定理须牢记若日勺（X05）在椭圆告$ = 1外，则过昨作椭圆的两条切线， 切点、为P，巧，则点耳和切点弦马-勺分别称为椭圆的极点和极 线.切点弦耳乃的直线方程即极线方程是xox v0v «二丁十丁=1（称为极线定理） 笫？页3

8、、弦与中线斜率积.准线去涂准焦距I弦指椭圆内的一弦-中线指弦48的中点M与原点O的连线，即24B得中线这两条直线的斜率的vY - 0於乘积，等于准线距离去除准焦3 .其kk _ P结杲是：T=P4、细看中点弦方程，恰似弦中,方、轨迹I中点、西四的方彦在椭圆中，若弦的中点、为弦仙称为中点弦，则中点弦的方程就是是直线方程.弦中点M的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点,血i的弦AB ,其中点、的方程就是S .” / /.7*+矿二正+歹,仍为椭圆.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.锥曲线必背口诀（红字为口诀）-双曲线一、双曲线定义双曲线有四定义.差比交线反比何1、定义1:（差）平面内，到两

9、个定点唇码的距离之 差的绝对值 为定值2“（小于这两个定点间的距离冈砂）的点的轨迹称为双曲 线。定点、F”巧叫双曲线的I焦点、。即：I囹引缶2、定义2：（比）平面内，到给定一点及一直线的距离之比为定 值人1的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲 线的准线I。3、定义3:（交线）一平面裁一圆锥面，当载面与圆锥面的母线 不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为I双曲线。第i。页4定义4：（反比例）在平面直角坐标系中，反比例函k数-的图象称为双曲线证明：反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到.证明：因为无；71 -4的对称轴是y = X, y - -%而7 -的对称轴是“轴，丁

10、轴，所以应该旋转45。.设旋转的角度为ala*o、顺时针）（Q为双曲线渐进线的倾斜角）则有：X = xcos a+ ysin a, Y- -x sin a + ycos aX2 -Y2 = jv cos 45° + ysin 45° x45° - ycos 45° =f（X+$）=E而二左，所以，= 2xy= 2k即：丞一三” （k>0）（-药）G织（k<0）由此证得.反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.笫II页二.双曲线的性质定理展本同椭圆，有所区别：长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理准线方程准

11、 焦距.方、”方涂以C通径等于2也.切线方程 用代替焦三角形计面积.半角余切连乘”第 12页注解：1 .长轴短轴与焦距：形似勾股弦定理长轴=2"，短轴，焦距岳，则：/ + / =2 .准线方程准焦距.方、“方涂以£准线方程：”士一（。方除以。）准焦距”：焦点到准线的距离：P=- （D方噩c） C3 .通径等于2 丁切线方程用代替双曲线的通径”：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间 的距离成为双曲线的通径.（通径，r/ 28a = 2ep= 2 -） a c a过双曲线上加见）点的切线方程，用打）等效代替双曲线方程 得到，等效代替后的是切线方程是:S yQy _ T7一

12、歹“第13页4、焦三角形计面积，半角余切连乘“焦三角形：以双曲线的两个焦痣、甘12为顶点，另一个顶点P在椭81上的三角形称为焦三角形半角是指”ZFf巧的一半.X2/双曲线p-p-= 2的左右焦,方、分别A为巧卑，点P为双曲线上异于顶点任意一点上巧刃“八则双曲线的焦点三角形 满足：啕I呵二苗其面积为；SAF：PF) = Gt :第14页证明：设卜力= 2a在AFf玛中，由余弦定理得：P巧+ I丹J-2巧II刃讣0$“|巧杓,切siii7Y Y庆血y二方 7-cosy2smcos 2 sin 叱22即：id + n2 Znui cos y - 4d =4d + 41)= (jn n)2 +即：2

13、/ = nni(l - cosy)即.曲即.7c - j n-L那么，焦点三角形的面积为： 故：SAF：PF. 同时:3Pp3二T巧砂叽I8 y故：.rr=±cot-u曲线的焦点三角形的面积为：S卧p* = Beot八第1$页三、双曲线的相关公式切线平分焦周角，称为弦切角定理切皮连线求 方程，拔线定理须牢记 弦与中线斜率积.准线去 除准焦距细看中点弦方程.恰似弦中点轨迹 第16页1、切线平分焦周角，称为弦切甬定理弦切角定理：切线平分双曲线焦周角的外角，平分双曲线 的焦周 角.焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当弦为焦点弦时（

14、过焦点的弦），那么切线是两个焦、点弦的角 平分线.如图，八f/pb是焦点三角形，牛为焦周角,PT为双曲线 的切 线,则刃平分今第I?页I、切点连线求方程.极线定理须牢记若曲（叼,力）在双曲线刍始=/外'以包含焦点的区域为内,不3、弦与中线斜率积，准线去涂准焦距弦指双曲线内的一弦曲中线指弦曲的中点M与 原点。的连线，即般6得中线.这 两条直线的斜 率的乘积，等于准线距器一去除准焦距二匚，其结果是：第19页4、细看中点弦方程,，哈似弦中点轨迹中点弦JB的方程：在双曲线中，若弦曲的中点为M （kjo），称弦为 中点弦、则中，点、弦的方程就是：它是直线方程.弦中点M的轨迹方程：在双曲线中，过双

15、曲线外一点&（叽“）的 弦AB，其JB中点M的方程就是：XoX yoy x y7=7一尹，仍为双曲线.这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不妾搞混了.第2D页11锥曲线必背口诀（红字为口诀）-抛物线一.抛物线定义抛物线，有定义，定点定线等距离1、到一个定点和一条定直线距离相等得点、的轨迹称为迪鱼送2、二次函数的图象是I抛物线I 第21页二、抛物线性质焦点准线极点线，两臂相乘积不变焦弦切线成直角，端点 投影在准线，焦弦垂直 极焦线，直角梯形对角线，焦弦三角计面积，切点就是两端点连 结焦点垂直线切线 是角平分线焦点就 是本原点半个卫方 除正弦第23页注解：1、1焦点准线极点线I抛物线的焦点

16、和准线是一对极点和极线.抛物线方程,犬=2px .焦点内，准线刍 抛物线的顶点0（0.到定点,和定直线口三吕距离相等.焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点.4和B,则称 为焦弦.弦中点，斓），%° ，y'=匕牛八焦弦方程：严心城），*为斜率.2、I两臂相乘积不变焦点三角形两边和IOBI的乘积为定值，且夹角是钝 角.证明：焦弦满足的条件y=饷p二以叶分=2声,=w)2=> -(Il + 2)px + A- - 0由韦达定理得：xB =.XaXb = -q JE t.2py : B = -2pjs =-2p £ - _p'P?2即：XB=A- ) 4)3=

17、-lA32且：OA-OB - (XA,yA)-(XB,yB)- xaxb 勿度二P4故：焦点三角形两边之乘积为定值.第24页即：焦弦两端点的于是：kAE,kBE=YA- y>4、R将式XaXb = 一代人上式得:AAE - “BE 3、焦弦切线成直角，切点就是两端点 切线互相垂直.证明：如图，由抛物线方程：/二 加,得到导数：R = P即：四工龙，故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.第25页4 . I端点投影在准线，连结焦点垂直线即：焦弦端点在 准线的投影点与焦点构成直角三角形.证明：坐标。(-弓,ys), Q(则：6F = (p. -ys), DF = (p-yA)于是：CF

18、DF =，-%次将式J/打代人上式得：CFDF = 0 ,也:CF LDF即：焦弦端点，B在准线的投影点。，则市，莎， 即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.第26页5 .焦弦垂直极焦线若焦弦_Lb对应的极点则EF为极焦线，于是EF，AB用向量方法可证.由于M是的中点，”的为直角三角形，计算可得E 是DC的中点，故：|妙|二|眄二冈由向量法可证丽乔二即：焦弦口创与极焦线IEFI互相垂直.笫2?页6、I切线是角平分线即：切线平分焦弦的倾角（或倾角的外角）如图：因为2厉和AFE都是直角三角形， 且由定义知：AF = AD, AE = AE 故加应竺旅、则对应角相等.即：加是犷的角平分线

19、同理， 郎是勿印的角平分线第28页7、I直角梯形对角线，焦点就是本原点即:直角梯形对 角线相交于原点即：40.。三点共线；M三点共 线.用向量法证明：0A/C0. 0B/D0证明：坐标出令，儿)，b (晋，片)，Q (-吕，J8)、D (-£，片)石向量:如=(器，Ji) ,co= (r-js)各分量之比：_z_(£ik=2£ = d?f) y 二厂二 必(COh £ P ' (cd) y -ys -%人将式X4X5 = -P代入上式得：(CO) , -MS尸» (0A) x (0A) y 0A故：芮忌'即：0Aco同理：血例.

20、直角梯形/BCD对角线相交 于原点.第29页8、I焦弦三角计面积，半个“方除正弦即:焦弦三角形的面积为：sbAOB =（a为焦弦的倾角）证明：ABT=4F用BF=XA+ XB+= XA+XB + P =+ 4)= 2 EM .如图：|中|4|卯|?j ： EM =跑$诵 Hsin SsiH asin, a第31页于是:AB =sin2 a故：5韵OFI丽”冥 沁s2 sin a附：圆锥曲线必背极坐标一 ,极坐标通式锥曲线的极坐标以准焦距”和离心率e来表 示常量5以极径P和极角&来表示变量.尸、&曰，36 °）以焦点F（o、e）为极点（原点o）以椭圆长轴、 抛物线对称轴

21、、双曲线的实轴为极轴的建立极坐标系.故 准线是到极点距离为准焦距”且垂直于极轴的直线极坐标系与直角坐标系的换算关系是：或者：x - pcosO , y - sinO特别注意：极坐标系中，以焦点为极点（原点），而 直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程.如图，。为极点，z为准线，则依据定5G到定点（极点）和到定直线 （准线）的距离之比为定值（定值e）的点的轨迹为圆锥 曲线.所以，对极 坐标系，请记住： 极坐标系的极点。是楠圆的左焦点、抛扬线的焦点、双曲线的右 焦点；曲线上的点尸。嵯U焦点F的距离是P,到准线的距离是 加pros 0根据定义：Q云加即：ep+apcosQ=P即："=p-e

22、pcQsO即：片7八6这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.对应不同的匕，呈现不同的曲线.对双曲线、只是右边的殳；对抛物线，开口向右.第33页二、极轴旋转”0。将极轴旋转180° , a和0分别对应变换前后的极角，即 转角为e=Eso。，则极坐标方程变换前方程ep为.P二 -J 7-Acosa变换后方程为:epP-1 + ocos 0此时此时的极坐标系下，有：极坐标系的极点。是椭圆的右焦点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点；(2)对应不同的幺，呈现不同的曲线.对双曲线，只是左 边的一支；对抛物线，开口向左.第33页三、I极轴旋转财双曲线上方的焦点，抛将极轴顺时针旋转9 /、即：后4,则情况 如

23、图.圆锥曲线的方程为：P=此时的极坐标系下：对应于直角坐标系下，焦 点在J -轴的情况，且极点 o对应于椭圆下方的焦点，物线的焦点.对双曲线，只是丁轴上边的一支；对抛物线，开口 向上.笫34页锥曲线的方程为:如果将极轴逆时针旋转，即：&=a-90。，则情况如ep P =1 + Asiiia 7此时的极坐标系下： 对应于直角坐标系下，焦点在 y轴的情况，且对应于椭圆上方的焦点，双曲线下方的焦 点，抛物线的焦点.对双曲线，只是j 轴下边的一支；对抛物线，开口向下-第35页四,坐标变换在极坐标系中，圆锥曲线的通式为:1-ecosO即：p-epcosff = ep 9 即：/?= ep + e

24、pcosO即：/=（印+=ep A，(pcosO) 2 +2e pipcqso )将p2才+y2 , Ros。= X代入式得:*2 + / = e2 p2 +e2x2 + 2e2 px即：(1-e2)x2 - 2e2px + y2 = e2p2当心7时：d-d）人2人乂+ （人）2 + /=e方 +（_/）（空V1-e1-e1-e即：（一/） （乂 一上 2）2 十尹 2 之 22 （"A_）二兰 q.1-el-eA 1-e(I4)? 14当0V时:令“(1 J)则：f号Te2p22 e4p2(1一，) (1一/)而：/=(刍(x-c)yu代入式得：，小乃适 这是标准的幡圆方程.(2

25、)当 F>Z 时:(a+D r *代入式得：一 P# =这是标准的双曲线方程当0=7时、由式得：/px+ y即：/=2px +即：.如+些这是标准的抛物线方程.五,圆锥曲线性质的极坐标的表示准线方程对于通式:焦点即是极点（原点）,准焦距即焦点到准线的距离0,就是极点（原点）到准线的 距离.于是在极坐标下的准线 方程为：PCOSO =-P长轴（实轴）短轴（虚轴）焦距对于椭圆和双曲线，在四、I坐标变换I 一节中已经提到.1当时,即是椭m« P 产 J -，-)则长轴为：2a =短轴为：2b=1 - ep焦距为：21-e2当时、即是双曲线2 22 P=-2-J - e V J , &

26、#177;上一 小 八 2，° "2 (e 1)e 则长轴为：2“ 二芒短轴为：2b=2a&2 1 =焦距为：22e p3当，时，即是抛物线.故其焦切线平分焦周角Z $7近、的外角ZZ7迟很据定义，抛物线的顶点到焦点和准线的距离是相等的'距为：f = 0F = 4极点极线例题NoDate国他或板鱼晟员即以毅;干<1fI .y. o1 o9 . ./QB *1 n 99 9 O 34VMaBWMMBMRVH*及（加行如1展独嚼物也支&：/ 邓+#二。5二1,2.，儿时I/O） 佝劭我g却可李为/书0如氮心询也为um,8乩薮司必匕上迦从幺（2）派添

27、/力*如三C 五夕"c g叫幅系M赫J爽）防热物演，例欢玄在生父4点；曳2为 75。）.支线人处购治乙/竣彳4 %乱,初侬时公川 5为M 支用2女公绝丛侬12小 4K J BM0 一M 法f 幽窗物班硝寂”咏，支2关孑物物依次极为可”,攀/蝌为|小解孕I .皮。心叶b收髭0用 密j. ”:*二八Q.何可和牝须艮/：X,氏L：B二hX“M2 .特西达推青 去X，将/-针斗士-"。鱼X+%二%二十，咎k" J I： 0 二八 . , _ _ _ - 0 一解穗“冷氏正步】，剧纲论加。）相1/n句鼠I以一：巨佑诙/尼，止】&履显时物会U ：7U -"空

28、小4C，油桓比殳P"）.'为-八（%-1）。二万，：7葭°, 3公?£ A r-左M虺G以WW服而而M二翻马二点国！生二族（A： 3%刈）直人&必/幽处旧.HH-瓦时H二。%为&州切 A 二为二格产乐：1一一，（制祝日 旃 卷禽佛产报研,百磅糕河6 郴两海”Oale*1它.就-（彳占加5%'如）-人5%） 沐二。乂直RA%AO*由渝知1 3ns曲i） mG松一尺略。一 %二肮张a瘢（不条述绊肛姒李月叙汝那币招m次汝人於瞬wi"乐域.湾夕必轴须拿才匀血帔11知加小£ :;:33,力P3必川）龙双翰娱上不冏创画彳讪匕

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