2020春中考数学考点专题之最值系列之将军饮马

1、2020 春中考数学考点专题之最值系列之 将军饮马、什么是将军饮马？问题引入】【问题描述】 如图，将军在图中点 使得路程最短？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河 ”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗。而由 此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为 “将军饮马 ”。A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能B 军营将军 A问题简化】如图，在直线上找一点P 使得 PA+PB 最小？【问题分析】这个问题的难点在于 PA+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我 们知道 “两点之间，线段最短 ”、“点到直线的连线中，垂线段最短 ”等，所以此处，需转化问 题，

2、将折线段变为直线段【问题解决】作点 A 关于直线的对称点 A，连接 PA，则 PAP=A，所以 PA+PB =PAP+BA当 A、P、 B 三点共线的时候， PAP+B=AB，此时为最小值（两点之间线段最短）A 端点P 折点【思路概述】作端点（点 A 或点 B）关于折点（上图 P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在 OA、OB 上分别取点 M、 N，使得 PMN 周长最小P此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OA（折点 M 所在直线） 、OB（折点 N 所在直线）的 对称点，化折线段 PM+MN +NP 为 PM +MN+NP，当 P、M 、N

3、、P共线时， PMN 周长 最小【例题】如图，点 P是 AOB内任意一点， AOB=30，OP=8，点M和点 N分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，则 PMN 周长的最小值为 【分析】PMN周长即 PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点 P关于 OB、 OA 对称点 P、P，化 PM+PN +MN 为 PN+MN+PMPPP当 P、N、 M、P共线时，得 PMN 周长的最小值，即线段 PP长，连接 OP、 OP，可 得OPP为等边三角形，所以 PPO=PO=P=8 在 OA、 OB 上分别取点M、N 使得四边形 PMNQ 的周长最小。B两定两动之点点】考虑 PQ 是条定线

4、段，故只需考虑 PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点 P、Q 关于 OA、OB对称，化折线段 PM +MN +NQ为 PM+MN+NQ，当 P、M、N、Q共线时，四边形 PMNQ 的周长最小。【一定两动之点线】在 OA、OB 上分别取 M、N 使得 PM+MN 最小。此处 M 点为折点，作点 P 关于 OA 对称的点 P，将折线段 PM+MN 转化为 PM+MN，即过 点 P作 OB 垂线分别交 OA 、OB 于点 M、N，得 PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线 段最短）三、几何图形中的将军饮马【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】 1正方形中的将军饮马【关于对

5、角线对称】如图，正方形 ABCD 的边长是 4，M 在 DC 上，且 DM =1， N 是 AC 边上的一动点， 则DMN 周长的最小值是 【分析】考虑 DM 为定值，故求 作点 D 关于 AC 的对称点，即点DMN 周长最小值即求 DN+MN 最小值 B，连接 BN 交 AC 于点 N，点 N 为折点， 此时 DMN 周长最小DM【假装不存在的正方形】（2019山东聊城）如图，在 RtABO 中， OBA=90， A（4,4），点 C 在边 AB 上， 且 AC:CB=1:3，点 D 为 OB 的中点，点 P为边 OA 上的动点，当点 P在 OA 上移动时，使四 边形 PDBC 周长最小的点

6、 P 的坐标为 （ ）y5 58 8A （2,2）B （ ， ）C （ ， ）D （3,3）2 23 3分析】此处点 P为折点，可以作点 D 关于折点 P所在直线 OA的对称：x也可以作点 C 的对称：x隐身的正方形】2017辽宁营口） 如图，在 ABC 中，AC=BC，点P是 AB上的动点，则 PC+PD的最小值为ACB=90，点 D 在 BC 上，BD =3，DC=1，()A4B5C6D7【分析】作点 C 关于 P 点所在直线 AB 的对称点 C，当 C、 P、D 共线时， PC+PD 最小， 最小值为 5，故选 B2三角形中的将军饮马【等边系列】如图，在等边 ABC中，AB=6， N为

7、AB上一点且 BN=2AN， BC的高线 AD 交 BC于点 D，M 是 AD 上的动点，连结BM，MN，则 BM+MN 的最小值是分析】 M 点为折点，作 B 点关于 AD 的对称点，即 C 点，连接 CN，即为所求的最小值过点 C 作 AB 垂线，利用勾股定理求得 CN 的长为 2 倍根号 7隐身的等边三角形】如图，在 RtABD 中，AB=6，BAD=30，D=90，N为 AB上一点且 BN=2AN， M是 AD 上的动点，连结 BM，MN ，则 BM+MN 的最小值是 分析】对称点并不一定总是在已知图形上B4【角分线系列之点点】(2018山东潍坊)如图，在 RtABC 中， ACB =

8、90，AC=6 AB=12，AD 平分 CAB ， 点 F 是 AC 的中点，点 E 是 AD 上的动点，则 CE+EF 的最小值为 ( )A3 【分析】此处 E 点为折点，可作点 C 关于 AD 的对称，对称点 C在 AB 上且在 AB 中点，化 折线段 CE+EF为CE+EF，当 C、E、F共线时得最小值， CF为 CB的一半，故选 CCD角分线系列之点线】CM+MN 的最小值是 (2018辽宁营口)如图，在锐角三角形ABC 中， BC=4， ABC =60， BD 平分 ABC，交 AC 于点 D，M、N 分别是 BD，BC 上的动点，则B2D4分析】此处 M 点为折点，作点N 关于 B

9、D 的对称点，恰好在 AB 上，化折线 CM +MN 为CM+MN因为 M、N 皆为动点，所以过点C 作 AB 的垂线，可得最小值，选CN3矩形、菱形中的将军饮马【菱形高】(2018广西贵港)如图，在菱形 ABCD 中，AC=6 2 ，BD=6，E是 BC的中点， P、M分别是 AC、AB 上的动点，连接 PE、PM ，则 PE+PM 的最小值是 ( )A6B 3 3C 2 6D 4.5分析】此处 P 为折点，作点 M 关于 AC 的对称点M ，恰好在 AD 上，化折线 EP+PM 为EP+PM 当 E、 P、M共线时， EP+PM 最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：ACBD/2=BCEM

10、B折点在边上】2017山东菏泽）如图，矩形 ABOC的顶点 A的坐标为（ -4,5），D是OB的中点， E是OC 上的一点，当 ADE 的周长最小时，点 E 的坐标是 （ ）4A (0, 43)B (0, 53)C (0,2)10D(0,130)【分析】点 E 为折点， 点即为所求 E 点E是 y轴上一点，作点D 关于 y 轴的对称点 D，连接 AD，与 y 轴交x折点与面积】2019 西藏）如图，在矩形 ABCD 中， AB=6，AD=3，1动点 P 满足 S PABS矩形 ABCD ，则点3P 到 A、 B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为 （A 2 13B 2 10C 3 5D 41

11、【分析】由 SPAB 1 S矩形ABCD可作出 P点轨迹为直线 MN（AM=BN=2），作点 B关于 MN 的3 矩形对称点 B，化折线 PA+PB 为 PA+PB当 A、 P、 B共线时，取到最小值，选 A全等与对称】2017江苏南通) 如图，矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 各边上，且 AE=CG， BF=DH，则四边形 EFGH 周长的最小值为 ( )B 10 5C 10 3D 15 3【分析】考虑到四边形 EFGH 是平行四边形，即求 EH+EF 最小值，此处 E 为折点，作 F 关于 AB对称点 F，则 BFB=F=DH=CM，MFB=C

12、=5，MH=DC=10，HF为 5倍根号 5， 周长最小值为 10 倍根号 5，故选 BDGC四、特殊角的对称【60角的对称】2018 滨州)如图， AOB=60，点 P是 AOB 内的定点且 OP= 3，若点 M、N分别是 射线 OA 、OB 上异于点 O 的动点，则 PMN 周长的最小值是 ( )A362B 3 3C6D3【分析】此处 M、N 均为折点，分别作点 为 PN+NM +MP P 关于 OB、OA 的对称点 P、P，化 PMN 周长A当 P、N、M 、P共线时，得最小值，利用60角翻倍得 POP =12，0OPO=PO=P，可得最小值A30角的对称】2017湖北随州） 如图，AO

13、B的边OB与x轴正半轴重合， 点P是OA上的一动点， 点N （3,0）是 OB 上的一定点， 点 M 是 ON 的中点， AOB=30，要使 PM+PN 最小， 则点 P 的坐标为 【分析】 为 PM 此处点 P 为折点，作点 M 关于 OA 的对称对称点 M 如图所示，连接 PM，化PM+PNP+Nx当 M 、 坐标可求P、N 共线时，得最小值，又 MON=60且 ON=2OM，可得 OM N=90，【20角的对称】如图，已知正比例函数 y=kx（k0）的图像与 x轴相交所成的锐角为 70，定点 A 的坐标为 （0，4），P 为 y轴上的一个动点， M、N 为函数 y=k（x k0）的图像上

14、的两个动点， 则 AM +MP +PN 的最小值为 x分析】先考虑 M为折点，作点 P关于 OM 对称点 P，化 AM +MP +PN为 AM +MP P+Nx此处 P为折点，作点 N 关于 OP对称点 N，化 AM +MPP+N 为 AM+MP P+Nx当 A、M、P、 N共线且 ANON时，值最小最值系列之 将军饮马（二）【将军过桥】已知将军在图中点 A 处，现要过河去往 B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在 何处能使路程最短？考虑 MN 长度恒定， 只要求 AM+NB 最小值即可 问题在于 AM、NB 彼此分离，所以首先通 过平移，使 AM 与 NB连在一起，将 AM 向下平移

15、使得 M、N重合，此时 A点落在 A位置问题化为求 AN+NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】【将军过两个桥】已知将军在图中点 A 处，现要过两条河去往 B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥 建在何处能使路程最短？考虑 PQ、MN 均为定值，所以路程最短等价于 AP+QM +NB 最小，对于这彼此分离的三段， 可以通过平移使其连接到一起AAP 平移至 AQ，NB 平移至 MB，化 AP+QM+NB 为 AQ+QM +MBB当 A、 Q、 M、 B共线时， AQ+QM +MB取到最小值，再依次确定 P、 N 位置【将军遛马】

16、如图，将军在 A 点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营， 问怎么走路程最短？ 【问题简化】已知 A、 B两点， MN长度为定值，求确定 M、N位置使得 AM +MN +NB 值最 小？【分析】考虑 MN 为定值，故只要 AM+BN 值最小即可 将 AM 平移使 M、N 重合，AM=AN， 将 AM +BN 转化为 AN+NB构造点 A关于 MN 的对称点 A，连接 AB，可依次确定 N、M位置，可得路线【例题】如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 B 在原点，点 A 、C 在坐标轴上， 点 D 的坐标为（ 6，4），E 为 CD的中点，点 P、Q为 BC边上两个动点，且 PQ=2，要使四 边形 APQE 的周长最小，则点 P 的坐示应为 【分析】考虑 PQ、AE 为定值，故只要 AP+QE 最小即可，如图，将 AP 平移至 AQ，考虑 AQ+QE 最小值作点 A关于 x 轴的对称点 AQ