上海兰生复旦数学旋转几何综合单元测试卷(word版,含解析)

1、上海兰生复旦数学旋转几何综合单元测试卷（word版，含解析）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1.直线mn，点A、B分别在直线m, n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP=-AB,连接BP,将线段BP绕点B顺时针旋转60。得到BC,连接AC交直线n于点E, 3连接PC,且 ABE为等边三角形.（1）如图，当点P在A的右侧时，请直接写出NABP与NEBC的数量关系是, AP 与EC的数量关系是.（2）如图，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若 不成立，请说明理由.（3）如图，当点P在A的左侧时，若aPBC的面积为止，求线段AC的长.4图【答案】（1） ZAB

2、P=ZEBC, AP=EC； （2）成立，见解析：（3）如27【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到NABE = 60。，AB = BE,根据旋转的性质得到NCBP = 60。，BC=BP,根据全等三角形的性质得到结论：（2）根据等边三角形的性质得到NABE = 60。，AB = BE,根据旋转的性质得到NCBP = 60。，BC=BP,根据全等三角形的性质得到结论：（3）过点C作CD_Lm于D,根据旋转的性质得到APBC是等边三角形，求得PC = 3,设 AP = CE=t,则AB=AE=3t,得到AC=2t,根据平行线的性质得到NCAD=NAEB=60。, 解直角三角形即可得到结论

3、.【详解】解：（1） :ABE是等边三角形，.ZABE = 60°, AB=BE, 将线段BP绕点B顺时针旋转60。得到BC,.,.ZCBP=60°, BC = BP, .ZABP=60° - ZPBE, ZCBE = 600 - ZPBE,即 NABP=NEBC,.,.ABPAEBC (SAS),AAP=EC：故答案为：NABP=NEBC, AP = EC；（2）成立，理由如下，ABE是等边三角形，A ZABE = 60°, AB=BE,将线段BP绕点B顺时针旋转60。得到BC,AZCBP = 60°, BC=BP,/. ZABP=600 -

4、 NPBE, ZCBE = 60° - NPBE, 即 NABP=NEBC,AAABPAEBC （SAS）,AAP = EC：（3）过点C作CD_Lm于D,图：将线段BP绕点B顺时针旋转60。得到BC,.PBC是等边三角形，:Bpc2=，巫,44, PC=3,设 AP = CE=t,贝ljAB=AE = 3t,，AC=2t,Vm/7nfAZCAD=ZAEB = 60°,.AD=AC=t, CD="AD=B，VPD2+CD2=PC2,A (2t) 2+3t2=9.t=m (负值舍去)，7 Ar-7t- 6" eHU - Zl.7【点睛】本题主要考查等边三角

5、形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾 股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解.2.如图，四边形ABCD为正方形，ZAEF为等腰直角三角形，ZAEF=90c ,连接FC, G 为FC的中点，连接GD, ED.（1）如图，E在AB上，直接写出ED, GD的数量关系.（2）将图中的AAEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图，（1）中的结论是否 成立？说明理由.（3）若AB = 5, AE = 1,将图中的4AEF绕点A逆时针旋转一周，当E, F, C三点共线 时，直接写出ED的长.图图【答案】（2）DE=0"DG： （2）成立

6、，理由见解析；（3） DE的长为4或3&.【解析】【分析】（1）根据题意结论：DE=V2 DG,如图1中，连接EG,延长EG交BC的延长线于M,连接 DM,证明CMGgZkFEG （AAS）,推出 EF=CM, GM=GE,再证明DCMg2DAE（SAS）即可解决问题；（2）如图2中，结论成立.连接EG,延长EG到M,使得GM二GE,连接CM, DM,延长 EF交CD于R,其证明方法类似：（3）由题意分两种情形：如图3-1中，当E, F, C共线时.如图3-3中，当E, F, C 共线时，分别求解即可.【详解】 解：（1）结论：DE= V2 DG.理由：如图1中，连接EG,延长EG交B

7、C的延长线于M,连接DM.图1 四边形ABCD是正方形，/. AD = CD. Z B = Z ADC=Z DAE=Z DCB=Z DCM = 90Z AEF = Z B = 90°,/. EFII CM,/. Z CMG = Z FEG,Z CGM = Z EGF, GC = GF,，a CMG合 FEG (AAS), .EF=CM, GM = GE,; AE = EF,AE = CM, . DCMW DAE (SAS), DE = DM, Z ADE = Z CDM,Z EDM = Z ADC=90°,/. DGJLEM, DG=GE=GM,. EGD是等腰直角三角形，

8、/. DE= V2 DG.(2)如图2中，结论成立.理由：连接EG,延长EG到M,使得GM = GE,连接CM, DM,延长EF交CD于R.图2 EG=GM, FG=GC, Z EGF = Z CGM,:, & CGM合 FGE (SAS), .CM = EF, NCMG=NGEF,CM II ER, . Z DCM = Z ERC,Z AER+z ADR = 180°,Z EAD+Z ERD=180°,Z ERD+Z ERC = 180°, Z DCM = Z EAD.; AE = EF,/. AE = CM,:, & DAE合 DCM (SAS

9、),：.DE = DM, Z ADE = Z CDM, , Z EDM = Z ADC=90°, / EG=GM,DG = EG = GM, EDG是等腰直角三角形，,DE=&DG（3）如图3-1中，当E, F, C共线时,图3-1在 RSADC 中，AC=CD? =5",在 RSAEC 中，EC= AC2-AE2 = 7(5V2)2-I2 =7./. CF = CE - EF = 6,1 CG=-CF = 3, 2 / Z DGC=90°, 1 DG= 7CD2-CG2 = >/52-32 =4», DE=&DG=4V5.F, C

10、共线时，同法可得DE = 3".综上所述，DE的长为4 &或3虚.【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等 知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.3.阅读材料并解答下列问题：如图1,把平而内一条数轴工绕原点。逆时针旋转角6（0° <0<90°）得到另一条数轴乂工轴和）'轴构成一个平而斜坐标系宜内.规定：过点尸作轴的平行线，交工轴于点a，过点月作x轴的平行线，交轴于点3, 若点4在工轴对应的实数为。，点4在轴对应的实数为则称有序实数对（。涉）为点 在平而斜坐标系X。），

11、中的斜坐标.如图2,在平而斜坐标系xOy中，己知。= 60°，点 夕的斜坐标是（3,6）,点。的斜坐标是（0,6）.（1）连接。尸，求线段。尸的长：（2）将线段0P绕点。顺时针旋转60°到。（点。与点。对应），求点。的斜坐标；（3）若点。是直线OP上一动点，在斜坐标系xQy确定的平而内以点。为圆心，。长 为半径作当。与X轴相切时，求点。的斜坐标，【答案】（1）。尸= 3" （2）点。的斜坐标为（9, 一3） ： （3）点D的斜坐标为：3（一,3）或（6, 12）.2【解析】【分析】（1）过点P作PC_LOA,垂足为C,由平行线的性质，得NPAC=e = 60。，由

12、AP=6,则 AC=3, PC = 30 再利用勾股定理，即可求出OP的长度；（2）根据题意，过点Q作QEOC, QFOB,连接BQ,由旋转的性质，得至U OP=OQ, ZCOP=ZBOQ,则COPgZkBOQ,则 BQ=CP=3, ZOCP=ZOBQ=120° ,然后得到BEQ 是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3,则OE=9, OF等，即可得到点Q的斜坐标:（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当OP和CM恰好是平行四边形OMPC的对 角线时，此时点D是对角线的交点，求出点D的坐标即可；取OJ=JN=CJ,构造直角三角 形OCN,作NCJN的角平分线，与直线OP相交与点D,然后

13、由所学的性质，求出点D的坐 标即可.【详解】解：（1）如图，过点P作PC_LOA,垂足为C,连接OP,VAP/70B,NPAC=e = 60。,V PC±OA, AZPCA=90° ，点。的斜坐标是（3,6）, ，0A=3, AP=6, :.cos60° = = 1AP 2/. AC = 3, * PC = <6, - 3- = 3耳 = 3 + 3 = 6,在RtZOCP中，由勾股定理，得 ”=西+（3 后=3"；（2）根据题意,过点Q作QEOC, QFOB,连接BQ,如图:由旋转的性质，得0P二OQ, NPOQ=60° ,V ZCOP

14、+ZPOA=ZPOA+ZBOQ=60" , ，/COP=NBOQ,V0B=0C=6tCOPBOQ (SAS)； ，CP=BQ=3, ZOCP=ZOBQ=120° ,AZEBQ=60° ,I EQOC,AZBEQ=60° ,.BEQ是等边三角形，BE=EQ=BQ=3,，OE=6+3=9, 0F=EQ=3,点Q在第四象限， 点。的斜坐标为（9, -3）；（3）取0M=PC=3,则四边形OMPC是平行四边形，连接OP、CM,交点为D,如图:由平行四边形的性质，得CD=DM, OD=PD, 点D为OP的中点， 点P的坐标为（3, 6）,3 点D的坐标为（7，3）

15、： 2取OJ=JN=CJ,则OCN是直角三角形， ZCOJ=60c ,.,.OCJ是等边三角形，A ZCJN=120° ,作NCJN的角平分线，与直线0P相交于点D,作DNJ_x轴，连接CD,如图:A ZJCD=ZJND=90" ,则由角平分线的性质定理，得CD=ND：过点D作Dlx轴，连接DJ, VZDJN=ZCOJ=60° ,.四边形OJDI是平行四边形，.ID=OJ=JN=OC=6,在 RtZXJDN 中，ZJDN=30° ,.,JD=2JN=12；点D的斜坐标为（6, 12）；3综合上述，点D的斜坐标为：（7，3）或（6, 12）.2【点睛】本题

16、考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质， 角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找圆心D的位置来解决问题，属 于中考创新题型.注意运用分类讨论的思想进行解题.4 .如图，在边长为2的正方形A8C。中，点。分别是边A3、BC上的两个动点 （与点A、B、。不重合），且始终保持= AQA.QE, QE交正方形外角平分线CE于点E, AE交CD于点、F,连结尸。.（1）求证：APQ QCE ；（2）证明：DF + BQ = QF ；（3）设8。= %,当x为何值时，QF / /CE ,并求出此时A40F的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（

17、3）当工二2 + 2加时，。尸CE：5 MQF = -4+4 8【解析】【分析】（1）判断出PBQ是等腰直角三角形，然后求出NAPQ=NQCE=135° ,再根据同角的余角 相等求出NPAQ=NCQE,再求出AP=CQ,然后利用“角边角”证明即可：（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ,判断出AAQE是等腰直角三角形，将AAO厂绕点A顺时针旋转90°得WAB，再证明F'AQ 9 AFAQ（SAS）:（3）连结AC,设QF 口 CE,推出QCE是等腰直角三角形° ,再证明AAB。&AADF(&1S),根据全等三角形对应边相等可得QF=G

18、F, AQ = AF 9ZQAB = ZDAF = 22.5° ,分别用x表示出DF、CF、QF,然后列出方程求出x,再求出AQF的面积.【详解】(1)四边形48。是正方形，:AB = BC, ZB = ZBCD = ZDCM =90°. BP = BQ ,.AP8Q是等腰直角三角形，AP = QC , Z.BPQ = 45° ,.ZAPQ = 35° ：CE平济/DCM , ZDC£ = ZECM = 45°, NQCE = 135。,：.ZAPQ = NQCE = 135。, AQ1QE,:.ZAQB + ZCQE = 90

19、76;. Z ZAQB + ZBAQ = 90°.：.ZBAQ = ACQE.:.AAPQQCE( ASA).(2)由(1)知AAPQ丝QCE./ QA = QE.,: ZAQE = 90° 9 AAQE是等腰直角三角形, ZQAE = 45 ：.Z.DAF + ZQAB = 45°,如图4,将AADF绕点A顺时针旋转90°得FfAB,其中点。与点3重合，且点尸在直线8。上,则NF4Q = 45。，FfA = FA AQ = AQ, .AFR*AMQ(SAS).QF' = QF = BQ + DF.(3)连结AC,若QFHCE, p则 /FQC

20、= /ECM = 45° .AQC/是等腰直角三角形，：.CF = CQ = 2-x, DF = BQ = x.V AB = AD, ZB = ZD = 90°, AABQMDF(SAS).：.AQ = AF 9 ZQAB = NDAF = 22.5° ,AC垂直平分。尸，.ZQAC = ZFAC = AQAB = ZFAD = 22.5° , FQ = 2QN ,.FQ = 2BQ = 2x.在RrAQC/中，根据勾股定理,得(2 x)2 + (2 x)2=(2x)2.解这个方程，得=-2+2q，%=一2-2点 (舍去).当 x = 2 + 2立时，Q

21、F H CE.此时 , S、qcf = S'QEF，： S'QCF + S&'QF =又四 + S MQF = AQ,【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判 定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列 出方程.5.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上（如图1）.现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程 中，AB边交DF于点M, BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积：（2）旋转过程

22、中，当MN和AC平行时（如图2）,求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3,设AMBN的周长为p,在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请 证明你的结论.【答案】 2 223掳：（3）不变化，证明见解析.【解析】试题分析：（1）将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋 转，旋转过程中，DA旋转了45°,从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的 而积.（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求 正方形ABCD旋转的度数为225掳.（3）延长BA交DE轴于H点，通过证明蜡以1知屏搭0押和蜡DM”知屏摘MN可得结

23、论（1）rA点第一次落在DF上时停止旋转，.DA旋转了 45°.45蟾月面22_ >DA在旋转过程中所扫过的而积为360（2） VMNII AC. A饕解MN =紫端AC = 45掳，饕斓MM =1螭CA = 45掳.,饕后M"=鉴隅NM . BM = BNTf. BA = BC . AM = CN , 又：DA = DC,DAM 二乙DCN,.蜡屏播CN.蒙燃DM =饕烫DNzaDM = ；（90。-45。）= 22.5°.旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形ABCD旋转的度数为45掳鉴?2.5掳=22.5掳 不变化，证明如下：如图，延长BA交DE轴于H

24、点，则乙ADE = 45°NADM，匕CDN = 900-45°-ADM = 45°乙ADN4，鉴尴DE =鉴受DN又；DA = DCZDAH = 180°-90。= 90° =乙DCN.'.螭"""知屏持 .DH = DN,AH = CN 又.嗑博DE =康博DN = 45°,DM = DM '.蜡DM”定屏播MN.MN = MH = AM + AH . MN = AM + CN . p = MN + BN + BM = AM + CN + BN + BM = AB + BC = 4 在

25、旋转正方形ABCD的过程中，P值无变化.考点：1 .而动旋转问题：2,正方形的性质：3,扇形面积的计算：4.全等三角形的判定和性 质.6.在平面直角坐标系中，四边形408C是矩形，点0 （0, 0）,点4 （5, 0）,点8 （0, 3）.以点4为中心，顺时针旋转矩形4O8C,得到矩形ADEF,点O, 8, C的对应点分别 为 D, E, F.（1）如图，当点。落在8c边上时，求点。的坐标：（2）如图，当点。落在线段8E上时，AD与8c交于点求证A08E440&求点的坐标.（3）记K为矩形AO8c对角线的交点，S为KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结图图17【答案】（1）。（1，3

26、） ； （2）详见解析：H （> 3） ： （3）30-3后 4【解析】【分析】（1）如图，在RtACD中求出CD即可解决问题：（2）根据HL证明即可：，设 AH=BH=m,则 HC=BC-BH=5-m,在AHC 中，根据 AH?=HC2+ACZ,构建方程求出m即可解决问题；（3）如图中，当点D在线段BK上时，DEK的面积最小，当点D在BA的延长线上 时，>b!<的面积最大，求出而积的最小值以及最大值即可解决问题：【详解】图 %(5,0),8(0,3), ，04=5,08=3 , 四边形AO8c是矩形，：.AC=OB=3 , OA=BC=5 , ZOBC=ZC=90°

27、; r 矩形ADEF是由矩形408c旋转得到， ：.AD=AO=5 ,在4DC 中，CD=yjAD2-AC2 =4f ：.BD=BGCD=1 ,：.D ( 1 r 3 ).图由四边形ADEF是矩形，得到/4DE=90。， 点。在线段8E上,，ZADB=90° ,由(1)可知，AD=AO, X AB=AB , N4O8=90° , ：.Rt/ADBRt/AOB ( HL ).如图中，由AD8也AO8,得至ljN84D=N84。, 又在矩形4。8c中，OA/BC r：.ZCBA=ZOAB ,：.ZBADZCBA ,，BH=AH,设 AH=8H=m,贝lj HC=8C-8H=5-

28、m , 在 RtAAHC 中，9：AH2=HC2+AC2 tAm2=32+ ( 5-m ) 2 ,17二二， “(3)如图中，当点。在线段8K上时，"人的面积最小，最小值. 1 -DE-DK- 1 x3x ( 5_ 30-37342224E，x9=L3x(5+正)4。+ 3后.2224综上所述，3。-3后业30 + 3后.44【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等 知识，解题的关犍是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决 问题.7.我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底"

29、;三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”。(1)概念理解：如图1,在AA3C中,AC = 6 ,BC = 3.NAC8 = 30。,试判断AA8C是否是“等高底"三角形，请说明理由.(2)问题探究：如图2, AA8C是"等高底"三角形,8C是"等底”，作AA3C关于3c所在直线的对称图形得AQ到A42C,连结A4'交直线BC于点。.若点8是4=3-3,q = 1 + 2i的重心，求-的值. BC(3)应用拓展：如图3,已知“44与4之间的距离为2.“等高底的“等底” BC在直线右上，点4在直线6上,有一边的长是BC的应倍.将AABC绕点C按顺时针

30、方向旋转45。得到AA'3'C, AfC所在直线交于点。,求CD的值.【答案】（1）证明见解析；（2）江=匹（3） CO的值为2M，2e,2 BC 23【解析】分析：（1）过点/H乍4D_L直线CB于点D,可以得到/W=8U3,即可得到结论：（2）根据AA8c是“等高底”三角形，BC是“等底”，得到4g8C,再由8c与 A A8c关于直线8c对称，得到 乙40190，,由重心的性质，得到8U28D.设8D=x,则 AD二BU2x, CD=3x ,由勾股定理得AC=gx,即可得到结论；（3）分两种情况讨论即可：当48=8c时，再分两种情况讨论：当8c时，再分两种情况讨论即可.详解

31、：（1）是.理由如下：如图1，过点4作4D_L直线CB于点D,二ADC为直角三角形，ZADO90c ./ N4CB=30，心6,工 A。心3,2，4D=8U3,即8c是“等高底”三角形.(2)如图2, V A48C是“等高底”三角形,8c是“等底”，：.AD=BC9*. &N 8c与48C关于直线8c对称，乙4DL90。.点 8 是 AM C 的重心，J BC=2BD.设 8D=x,则 4D=8U2x, ：.CD-3x ,.由勾股定理得AC=y/3x,.AC _ V13x _ A/13 BC 2x 2IH2(3)当 48=8c 时，I .如图3,作AE_L/i于点E, DF_LAC于点

32、F. 丁等高底"MBC的"等底"为BC,”儿,"与/2之间的距离为2, AB= V2 BC ,，8C=AE=2, AB=2y/2 ,，8£=2,即 EC=4,:AC=2小。/ M8C绕点C按顺时针方向旋转45°得到A/V 8, C,，ZCDf=45° . 设。F=CF=x .DF AE 1V/i/2> A ZACE=ZDAF,：.=一=一，即 AF=2x.c，1B3*n.如图4,此时凶8c是等腰直角三角形， MBC绕点C按顺时针方向旋转45。得到M' B' C,LACD是等腰直角三角形，:.CD他AC=

33、2近.'当AC=应BC时，I.如图5,此时ABC是等腰直角三角形. A48C绕点C按顺时针方向旋转45°得到A4 8' C, ：.Af CA.li，：.CD-AB-BO2.n.如图 6,作 AE_L/1 于点 E,贝IJ4E=8C:AC=立 BC=OaE,，NACE=45° ,.'.ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到B' C时, 点4,在直线上，X' C/2,即直线4 C与/2无交点.综上所述：C。的值为:屈，2 .点暗：本题是几何变换-旋转综合题.考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读 理解能力.解题的关键是对

34、新概念“等高底三角形的理解.8.如图1,在平而直角坐标系xOy中，抛物线C： y=ax2+bx+c与x轴相交于4 8两点，顶 点为D （0, 4） , AB=A短，设点F（m, 0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F 旋转180。，得到新的抛物线C'.（1）求抛物线C的函数表达式：（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围.（3）如图2, P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线 C上的对应点P',设M是C上的动点，N是U上的动点，试探究四边形PMP' N能否【解析】【分析】（1）由题意抛物线的顶点C

35、 （ 0,4 ） , A （ 2应，0）,设抛物线的解析式为y = ax2+4,把4（ 2" ,0）代入可得。=一：，由此即可解决问题；（2）由题意抛物线。的顶点坐标为（2m, -4）,设抛物线。的解析式为1)4y =- + 4,2y = (x-2m)' -4消去y得到V-2皿+ 2"-8 = 0，由题意，抛物线U与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有 （-2?）2一4（2-8）>0'2/» > 0,解不等式组即可解决问题；2w ， A y = 一r +4 .2y = g(x-2?) -4 消去 y 得至iJx? -2zx +

36、2"J -8 = 0 ,由题意，抛物线U与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有（-2?尸-4（2疗-8）>0,2m > 0, 2/一8>0解得 2<m< 272 r.满足条件的m的取值范围为2 cm < 2点 .（3）结论：四边形PM1/V能成为正方形.理由：1情形1,如图，作PCLx轴于E, 轴于-8>0（3）情形1,四边形PMPN能成为正方形.作PE_Lx轴于E, MH_Lx轴于H.由题意易知 P（2,2）,当胃?是等腰直角三角形时，四边形PMPW是正方形，推出 PF=FM , ZPFM=90° ,易证可得 PE=FH=

37、2 , EF=HM=2 - m,可得 M（m+2,m-2）,理由待定系数法即可解决问题：情形2,如图，四边形PMP7V是正方 形，同法可得M（m-2,2-m）,利用待定系数法即可解决问题.【详解】（1）由题意抛物线的顶点C（0, 4）,（ 2 JI , 0）,设抛物线的解析式为y = ax2+4,把A （，0）代入可得方一:， .抛物线C的函数表达式为y = -.由（2）由题意抛物线C的顶点坐标为（2m, -4）,设抛物线U的解析式为由题意易知P（2, 2）,当APIM是等腰直角三角形时，四边形PMPW是正方形，：.PF=FM , ZPFM=90° ,易证可得PE=FH=2 , EF

38、=HM=2 - m , ：,M （ m+2 , m - 2）, 点 M 在 y = -lx2 +4 上，加-2 = 一；（? + 2+4,解得/=亚 -3或-g - 3 （舍弃），.,.m=Vr7 - 3时，四边形PM/N是正方形.情形2,如图，四边形PMPW是正方形，同法可得例（/-2,2-利），把M （ m - 2 , 2 - m）代入 y = -1x2+4 中，2-? = 一：（? 一 2+4 ,解得 m=6 或 0（舍 弃），9.已知AMC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针 方向旋转60得到AE,连接DE.如图，猜想AM见是三角形；（直接写出结果）（2）

39、.如图，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论：.当BD=时，ZDEC = 30 :（直接写出结果）点D在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在.请直接写出ADEC周长 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）等边三角形；（2） AC+CQ = CE,证明见解析：（3）8。为2或8时，NOEC = 30'：最小值为4 + 2布，理由见解析【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到AO = A瓦ND4E = 60 ,根据等边三角形的判定定理解答：（2）证明AA8。三AACE,根据全等三角形的性质得到8Z） = CE，结合图形计算即可:（3）分点。在线段上和点。在线段

40、8C的延长线上两种情况，根据直角三角形的 性质解答；根据三AACE得到CE = 3Q，根据垂线段最短解答.【详解】解：（1）由旋转变换的性质可知，AD = AE,ZDAE = 60.AOE是等边三角形，故答案为等边三角形：（2） AC+CD = CE,证明：由旋转的性质可知，ZDAE = 60AD = AE ,AABC是等边三角形/. AB=AC=BC, ZBAC=60。，:.NBAC=ZDAE=6（f，ABAC+ADAC=ZDAE+ADAC,即 NB4D=NC4E,在A48D和A4CE中，,AB=AC< /BAD = /CAE,AD = AE.:.MBDMCECSAS）:.BD = C

41、E,:.CE=BD=CB+CD=CA + CD ；（3）8。为2或8时，/DEC = 30，当点 O 在线段 8C 上时，NDEC=30。, ZAED=60°,ZAEC=90°,MBDAACE,:.ZADB=ZAEC=9()。,又N8=60° ,/. ZBAD=30°，BDAB=2.， 2当点O在线段BC的延长线上时，.NOEC=30。，ZAED=6QPtZAEC=30°,MBDAACE,/. ZADB=ZAEC=30°,又N8=60° ,/. ZBAD=90°，BD=2AB=8,.8。为2或8时，ZDEC=300；点。在运动过程中，ADEC的周长存在最小值，最小值为4 + 2JJ，理由如下：.A8峰A4CE,/. CE=BD,则 ADEC 的周长=DE+CE+DC=BD+CD+DE=BC+DE，当CE最小时，MEC的周长最小，.AAOE为等边三角形，DE = AD，AO的最小值为2JJ，.ADEC的周长的最小值为4 + 2JJ.【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等 三角形的判定定理和性质定理、灵活运