2020-2021中考数学专题复习分类练习圆与相似综合解答题附详细答案

1、2020-2021中考数学专题复习分类练习圆与相似综合解答题附详细答案、相似1.如图，在平面直角坐标系中，直线 y=- x+ J与x轴、y轴分别交于点 B、A,与直线y=相交于点C.动点P从O出发在x轴上以每秒5个单位长度的速度向B匀速运动，点Q从C出发在OC上以每秒4个单位长度的速度，向 。匀速运动，运动时间为 t秒（0vtv(2)(3)连接PQ,若4OPQ与OBC相似，求t的值；连接CR BQ,若CP± BQ,直接写出点 P坐标.IG/6【答案】（1）解：对于直线y= - J x+ 3 ,令x=0,得到y=16A (0,令 y=0,则 x=10, B (10, 0),3-x3 4

2、G- 7 ,1，解得C (.OC=3224亨* F二8,BC=OP OQ(2)解：当比 酸时，OPMOCB, 5t 8 - 4t "S 一 川, t=宁 OPM OBC, t=1,32综上所述，t的值为 "或1s时，4OPQ与OBC相似/ OCB=90 ； 当/PCH=Z CBQ 时，PCX BQ. / PHO=Z BCO=90 ；.PH=3t, OH=4t, tanZ PCH=tanZ CBQ4f6 t=百或0 (舍弃)， .t= g s 时，PCX BQ.【解析】【分析】(1)根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A,B点的坐标，解联立直线AB,与直线OC的解析式组成的方程

3、组，求出C点的坐标，根据两点间的距离公式即可直接算出OC,OB的长；(2)根据速度乘以时间表示出OP=5t, CQ=4t, OQ=8-4t,当OP ： OC=OQ： OB时， OPQsocb,根据比例式列出方程，求解得出t的值；当OP： OB=OQ： OC时， OPQsobc,根据比例式列出方程，求解得出 t的值，综上所述即可得出 t的值；(3)如图作 PHI±OC于H.根据勾股定理的逆定理判断出/OCB=90,从而得出当/PCH=/ CBQ时，PCX BQ.根据同位角相等二直线平行得出PHI/ BC,根据平行线分线段成比例定理得出 OP： OB=PH： BC=OH： OC根据比例式

4、得出 PH=3t, OH=4t,根据等角的同 名三角函数值相等及正切函数的定义，由tan/PCH=tan/ CBQ列出方程，求解得出 t的值，经检验即可得出答案。2.如图，BD是DABCD勺对角线，AB±BD, BD=8cm, AD=10cm,动点 P从点 D出发，以 5cm/s的速度沿DA运动到终点 A,同时动点 Q从点B出发，沿折线 BD-DC运动到终点 C,在 BD、DC上分别以8cm/s、6cm/s的速度运动.过点Q作QMXAB,交射线 AB于点 M,连接PQ,以PQ与QM为边作DPQMN设点P的运动时间为 t(s) (t>0) , 口 PQMN与 口 ACD重叠部分图

5、形的面积为 S (cm2).(2)当点N落在边AB上时，求t的值.(3)求S与t之间的函数关系式.(4)连结NQ,当NQ与4ABD的一边平行时，直接写出t的值.【答案】(1) (10-5t)(2)解：如图，当点 N落在边 AB上时，四边形 PNBQ为矩形.,PN/DB, . APNM ADB, ，AP:&更匚M)图a）如图，过点P作P已BD于点E,则PE=3t.AD=PN: DB,(105t) : 10=8t: 8, 120t=8O(3)解：分三种情况讨论：b）如图，过点P作PE! BD于点E,则PE=3t，设PN交AB于点F时,5 - - x 3r(8 -+ 8t) = Sr2 +

6、12tc）如图，当/ ：，w d时,PF=8-4t, FB=3t, PN=DB=QM=8, . FN=4t, DQ=6(t-1),.BM=DQ=6(t-1) . . /GBM=/A, / DBA=/ GMB , . BGMs ABD, ，GM: BM=DB :AB,解得:GM=8t-8,S=S平行四边形 pnmq-Sa fmn-Sa bmg=8 (9t-6) 一二乂 4t(9t-6) x (6t-6) (8t-8)24t2(0 < f W2Ot2 +< t 1)3综上所述:42 + 132t72(1 < t 2)图5（4）解：分三种情况讨论.当NQ/ AB时，如图5,当AD/

7、NQ,且 Q在BD上时，如图6.PNQD 和 PNBQ都是平行四边形， ，PN=DQ=BQ,，8t+8t=8 ,解得:当AD/NQ,且Q在DC上时，如图7,可以证明当Q与C重合，即直线 NQ与直线BC重合时，满足条件，如图 8,【解析】【解答】解：(1) (10-5t);过 P 作 PF,BD 于 F,贝U PF=3t, DF=4t, PN=FQ=BQ=8t, . . BD=8t+8t+4t=8 ,解得:此时 DQ=AB='8 6 卜 .一 =6, t= S 6 =2.r - H综上所述：。或【分析】(1)由题意可得，DP=5t,所以AP=AD-DP=10-5t;(2)由欧勾股定理的逆

8、定理可得/ABD毋/ ,所以根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，当点 N落在边AB上时，四边形 PNBQ为矩形；由平行线分线段成比例定理可得 AP BQ比例式：他 出，则可得关于t的方程，解方程即可求解；(3)由(2)知，当DPQMN全部在DABCD中时，运动时间是，秒，由已知条件可知，点 Q 在BD边上的运动速度是 8cm/s,在DC边上的运动速度是 6cm/s ,所以当点 Q运动到C点 时，点P也运动到了点 A,所以分3种情况：a)如图，过点P作P已BD于点E,当0 < t占晔，S=BQ'PE;41b)如图，过点 P作PE± BD于点E,设PN交AB于点F,当

9、 3< t w 1 时， S = (PF+BQ) PE;c)如图，当1 < t wa S行四边形PNMQ的面积-三角形FNM的面积-三角形BMG 的面积；(4)由题意NQ与4ABD的一边平行可知，有 3种情况：当 NQ / AB; 当AD / NQ,且 Q在BD上时；当AD/ NQ,且Q在DC上时。分这三种情况根据已知条件即可求解。3.如图，在一个长40 m、宽30 m的矩形小操场上，王刚从A点出发，沿着A- B-C的路线以3 m/s的速度跑向C地.当他出发4 s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地2三m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好落在

10、一条直线上.(1)此时两人相距多少米(DE的长)?(2)张华追赶王刚的速度是多少？【答案】(1)解：在RHABC中：,. AB=40, BC=30,.AC=50 m.由题意可得DE/AC, RtA BD& RtA BAC,8DE 5 即=五.16 解得DE=5 m.答：此时两人相距(2)解：在 RtBDE中:16d DB=23, DE=3 ，BE=2 m.王刚走的总路程为 AB+BE=42 m.，王刚走这段路程用的时间为 3=14(s).张华用的时间为14-4=10(s),.张华走的总路程为 AD=AB-BD=40-2I=37，1(m),1，张华追赶王刚的速度是 37+ 10= 3m/

11、s).答：张华追赶王冈I的速度约是3.7m/s.【解析】【分析】(1)在RtABC中，根据勾股定理得 AC=50 m,利用平行投影的性质得 DE/ AC,再利用相似三角形的性质得出对应边的比相等可求得DE长.(2)在RtBDE中，根据勾股定理得 BE=2 m,根据题意得王刚走的总路程为 42 m,根据时 间=路程斑度求得王刚用白时间，减去 4即为张华用的时间，再根据速度=路程却寸间解之即可得出答案.4.如图1,等腰4ABC中，AC= BC,点 O在AB边上，以 O为圆心的圆与 AC相切于点 C,交AB边于点D, EF为。的直径，EF± BC于点G.图1(1)求证：D是弧EC的中点；(

12、2)如图2,延长 CB交。O于点H,连接 HD交OE于点K,连接 CF,求证：CF= OK+DO;图二(3)如图3,在(2)的条件下，延长 DB交。O于点Q,连接QH,若DO= 6 , KG= 2,求QH的长图1.AC是。O的切线,OCX AC,/ ACO=90 ；a A A+Z AOC=90 ,° .CA=CB,/ A=Z B, EFL BC,/ OGB=90 ；/ B+/BOG=90 ；/ BOG=/AOC, / BOG=Z DOE,/ DOC=Z DOE, .点D是应的中点(2)证明：如图2中，连接OC. EFL HC, .CG=GH, EF垂直平分HC, .FC=FH / C

13、FK= / COE / COD=Z DOE, / CFK之 COD, I / CHK= / COD, 1/ CHK= / CFK点K在以F为圆心FC为半径的圆上, FC=FK=FH DO=OF, . DO+OK=OF+OK=FK=CF即 CF=OK+DO(3)解：如图3中，连接OC、彳HMLAQ于M.设OK=x,则CF= +x,OG=2 x,GF=.CG2=CF2-FG2=CC2-OG225 图25：. ( (+ +x) 2 - 6 - ( 2 x) 2=(仃)2 - ( 2 x) 2J解得x= 6 , .CF=5, FG=4, CG=3, OG= 6 , / CFE=/ BOG, .CF/

14、OB,cf a eg. 诟=国，N 22可得 OB= IS , BG= 9 , BH= 9 ,色撒却I由BHMsBOG,可得 OB =仇;=06 , .BM=g，HM= 口 MQ=OQ-OB - BM=卜 在 RtA HMQ 中，【解析】【分析】(1)如图1中，连接OC.根据切线的性质得出 OCLAC,根据垂直的定 义得出/ ACO=90 ,根据直角三角形两锐角互余得出/ A+Z AOC=90 ,根据等边对等角得出ZA=Z B ,根据垂直的定义得出/ OGB=90 °,根据直角三角形两锐角互余得出 ZB+Z BOG=90 ;根据等角的余角相等得出/ BOG=Z AOC,根据对顶角相等

15、及等量代换得出/ DOC=Z DOE,根据相等的圆心角所对的弧相等得出结论；(2)如图2中，连接OC.根据垂径定理得出 CG=GH,进而得出EF垂直平分HC,根据线 段垂直平分线上上的点到线段两个端点的距离相等得出FC=FH根据圆周角定理及等量代I换得出ZCFK=/ COD, /CHK=/CFK从而得出点 K在以F为圆心FC为半径的圆上，根 据同圆的半径相等得出 FC=FK=FH DO=OF,根据线段的和差及等量代换得出 CF=OK+DQ(3)如图 3 中，连接 OG 彳HMLAQ于 M.设 OK=x,则 CF= + +x, OG=2 x, GF= 6-(2-x),根据勾股定理由 CG2=CP

16、 - FG2=CO2 - OG2 ,列出关于x的方程，求解得出x .的值，从而得出 CF=5, FG=4, CG=3, OG=f根据平行线的判定定理得出，内错角相等，两 直线平行得出 CF/ OB,根据平行线分线段成比例定理得出 C F：O B = C G： G B = F G : G O ,进而可得 OB,BG,BH的长，由 BHMs BOG,可得 B H ： O B = B M : B G = H M ： O G,再得出BM,HM,MQ的长，在RtAHMQ中，根据勾股定理得出 QH的长。5.如果三角形的两个内角|灯|与磔满足2d十#=90。，那么我们称这样的三角形为准互余三角形(1)若 4

17、ABC 是 准互余三角形 ”，Z 0> 90°, /A= 60°,则/B=:;(2)如图，在 RtABC 中，Z ACB= 90°, AC= 4, BC= 5,若 AD 是/BAC 的平分线，不难证明4ABD是准互余三角形试问在边 BC上是否存在点 E (异于点 D),使得 ABE也是 推互余三角形”？若存在，请求出 BE的长；若不存在，请说明理由.(3)如图,在四边形 ABCD 中，AB=7, CD= 12, BD± CD, Z ABD= 2/BCD,且 ABC 是准互余三角形求对角线AC的长.【答案】(1) 15°(2)解：存在，/

18、B+/BAC=90 ,°.AD是/ BAC的平分线，Z BAC=2/ BAD,/ B+2/ BAD=90 ； .ABD是 准互余三角形”，又ABE也是 推互余三角形/ B+2/ BAE=90 ； / B+/BAE+/ EAC=90 ,° / EAC玄 B,又ZC=Z C, .CABCBACA b3 ,即 CA2=CB ce,. AC=4, BC= 5,3 .CE=尸BE=BC-CE=5-(3)解：如图，WABCD沿BC翻折得到ABCF, .CD=12, . CF=CD=12 / BCF=Z BCD/ CBD=Z CBF,又- BD± CD, / ABD=2/ BC

19、D, / CBD+Z BCD=90 ,° .2 / CBD+2Z BCD=180 ,°即 / ABD+Z CBD+Z CBF=180 , A、B、F三点共线,在 RtAFC 中， / CAB+Z ACF=90 ,°即 / CAB+Z ACB+Z BCF=90 , / CAB+2/ACBw 90 °.ABC是 推互余三角形 .2 / CAB+Z ACB=90 ；/ CAB=Z BCF, / F=Z F, .FCBAFACFC FBFA FC即 FG=FAFB, 设 BF=x, .AB=7, . FA=x+7,. x (x+7) =122,解得：xi=9,

20、x2=-16 (舍去)，AF=7+9=16.在RtMFC中, . ac= 卢-华=+ F =20.【解析】【解答】(1)解：.ABC是稚互余三角形”，ZO 90°, /A=60°, .2 / B+ZA=90 ； .2 / B+60 =90 ;/ B=15 :故答案为：15°【分析】(1)根据 准互余三角形”，的定义，结合题意得2/B+/A=90。，代入数值即可求出/B度数.(2)存在，根据直角三角形两内角互余和角平分线定义得/ B+2/BAD=90 ,根据准互余三角形”，定义即可得4ABD是 准互余三角形”；根据4ABE是 准互余三角形”，以及直角 三角形两内角互

21、余可得 / EAC=Z B,根据相似三角形判定 “AAT得 CA& ACBA<,再由相似CA CE16三角形性质得 万一不曲此求出CE=7 .从而得BE长.(3)如图，W BCD沿BC翻折得到4BCF根据翻折性质、直角三角形性质、推互余三EC FB角形”定义可得到FCNFAG再由相似三角形性质可得向一代，设BF=x，代入数值即可求出x值，从而求出AF值，在RtAFC中，根据勾股定理即可求得AC长.6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y= (x-a) (x-3)的图像与x轴交于点A、B (点 A在点B的左侧)，与 y轴交于点D,过其顶点 C作直线CP!x轴，垂足为点 P,连接(

22、2)若4AOD与4BPC相似，求a的值；(3)点D O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出 a的值，若不能，请说明理由.【答案】(1)解：./= (x-a) (x-3) (0<a<3)与x轴交于点 A、B (点A在点B的左 侧)A (a, 0) , B (3,0),当 x=0 时，y=3a,.D (0,3a)(2)解：/A (a, 0) , B (3,0) , D (0,3a)& * $，对称轴 x= ? ,AO=a, OD=3a,a + 3 3 - 43 - a "PB=3- 2 = 2 c pc= ' 2当AOgBPC时，n3a3 一 4? _ J即-

23、4,解得：a= f 3 (舍去)； AOD/CPB,解得：ai =3 (舍)，a2=.综上所述：a的值为彳.(3)解：能；连接 BD,取BD中点M ,FmD、B、。三点共圆，且 BD为直径，圆心为若点C也在此圆上，.MC=MB,化简彳导:a4-i4a2+45=0,( a2-5) ( a2-9) =0,a2=5 或 a2=9,1- ai=e，a2=- 口，a3=3 (舍)，a4=-3 (舍)，,0<a<3, a= J ,当a=/时，D、O、C、B四点共圆.【解析】 【分析】(1)根据二次函数的图像与x轴相交，则y=0,得出A (a, 0) , B(3,0),与y轴相交，则x=0，得出

24、D (0,3a)(2)根据(1)中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴x= 2 ,AO=a, OD=3a,代入求得顶点C (PC=),从而得再分情况讨论：I 士 I 3当AODBPC时，根据相似三角形性质得(舍去)；解得：a=AODCPB,根据相似三角形性质得,解得：ai=3 (舍)(3)能；连接 BD,取BD中点M,根据已知得 D、B、O在以BD为直径，M为圆心(三，F a)的圆上，若点 C也在此圆上，则 MC=MB,根据两点间的距离公式得一个关于 a的方程，解之即可得出答案 7.在4ABC 中，ZACB= 90°, AB= 25, BC= 15.(1)如图1,折叠4ABC使点A落在

25、AC边上的点D处，折痕交 AC、AB分别于Q、H,若Saabc= 9S>adhq , 求 HQ 的长.(2)如图2,折叠4ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交 AC、AB分别于E、F.若使得4CMP和4HQP相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由.FM/AC,求证：四边形 AEMF是菱形;(3)在(1)(2)的条件下，线段 CQ上是否存在点P,图1在4ABC中，. /AC- 90°, AB= 25, BC= 15AC=、上学/5 =20,设 HQ=x ,HQ / BC ,AQ= x ,/ Saabc= 9&dhq ,1I JPH - X 20 冷 9乐-

26、MXXx ,，x= 5或-5 （舍弃），.HQ=5,故答案为5.(2)解：如图2中,C M 3图2由翻折不变性可知： AE= EM , AF=FM , . FM / AC ,/ AEF= / MFE ,/ AEF= / AFE ,.AE= AF ,.AE=AF= MF= ME ,四边形AEMF是菱形.FB= 5m ,设 AE= EM=FM = AF=4m ,则 BM=3m4m+5m= 25,15m =2G,. QG=5, AQ= 3 ,46.QC=1G解得：x=10或3 ,J6经检验：x= 10或3是分式方程的解，且正确，2 J6综上所，满足条件长 QP的值为 /或10或方.【解析】【分析】(

27、1)利用勾股定理求出 AC,设HQ=x,根据Saabc=9Sa dhq ,构建方程即可解决问题；(2)想办法证明四边相等即可解决问题；(3)设AE=EM=FM=AF=4m,则BM=3m , FB=5m,构建方程求出 m的值，分两种情形分别求解即可解决问题8.抛物线y=ax2+bx+3 (aw。经过点A ( - 1, 0) , B ( -，0),且与y轴相交于点 C.(1)求这条抛物线的表达式；(2)求/ ACB的度数；(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE±AC,当4DCE与4AOC相似时，求点 D的坐标.【答案】(1)解：当x=0, y=

28、3,.C (0,3)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-).j将c (0, 3)代入得：-2 a=3,解得a=2,，抛物线的解析式为y=-2x2+x+3(2)解：过点 B作BMLAC,垂足为 M,过点M作MNLOA,垂足为N。 . OC=3, AO=1, tanZ CAO=3, 直线AC的解析式为y=3x+3.ACXBM,IBM的一次项系数为 屋设BM的解析式为y=BM的解析式为y= 芋 工.1 1将丫=3*+3与丫=二联立解得:+b,将点B的坐标代入得:x=3 一 4 =MC=BM=卜.?MCB为等腰直角三角形。/ ACB=45o.(3)解：如图2所示，延长CD,交x轴于点F, / AC

29、B=45o点D是第一象限抛物线上一点， / ECD>45o.又. ？DCE与？AOC相似，/ AOC=/ DEC=90o,/ CAO=/ ECD. .CF=AF.设点F的坐标为（a, 0）,则（a+1） 2=32+a2 ,解得a=4. F (4,0).设CF的解析式为y=kx+3，将 F (4,0)代入得 4k+3=0,解得 k=二.CF的解析式为y=x+3.将y= J x+3与y=-2x2+x+3联立，解得x=0 （舍去）或x= 5.口 R H将 x= 8 代入 y=x+3 得 y= 31.I H.D （ " 33）C的坐标代入可【解析】【分析】（1）易求得 C的坐标，利用交

30、点式设出解析式，再把求出；（2）过点 B作BMLAC,垂足为 M,过点 M作MNLOA,垂足为 N.由tan / CAO=3先求出直线AC的解析式，从而求出 BM的解析式，两个解析式联立求出M的坐标，再由两点之间的距离求出 MC=BM,进而得出？MCB的形状，求出答案；（3）延长CD,交x轴于点F,由？DCE与？AOC相似可得出CF=AR利用勾股定理求出 F的 坐标，由待定系数法求出 CF的解析式，再与二次函数的解析式联立求出D的坐标.二、圆的综合9.如图，点A、B、C分别是。上的点，CD是。的直径，P是CD延长线上的一点,AP=AC(1)若/B=60°,求证：AP是。的切线；(2)

31、若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E, CD=4,求BE AB的值.【答案】(1)证明见解析；(2) 8.【解析】(1)求出/ADC的度数，求出/P、/ACQ /OAC度数，求出/ OAP=90 ,根据切线判定 推出即可；(2)求出BD长，求出4DBE和4ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案.试题解析：连接AD, OA, / ADC=Z B, / B=60 ；/ ADC=60 ；.CD是直径,/ DAC=90 ；/ ACO=180-90 -6030 :. AP=AC, OA=OG/ OAC=Z ACD=30 ； / P=Z ACD=30 ,°/ OAP=180 -30 -30

32、-3090 ；即 OALAP,. OA为半径，.AP是。O切线.(2)连接 AD, BD,.CD是直径,/ DBC=90 ；2 .CD=4, B为弧CD中点，BD=BC=乙 ,/ BDC=Z BCD=45 ,°/ DAB=Z DCB=45 ；即 / BDE=Z DAB,3 / DBE=Z DBA,.,.DBEAABD,BD AB，灰F4 .BE?AB=BD?BD=V2 X 20= 8考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质.10.如图，已知 RtABC中，C=90°, O在AC上，以OC为半径作OO,切AB于D点，且BC=BD.若BC=6, sinA=3,求。的半径

33、;5OO上为一动点，求 BP的最大值与最小值.(2)求证：AB为。的切线;(2)半径为 3; (3)最大值 3 75+3 , 3>/5-3.【解析】分析：(1)连接 OD, OB,证明OD®4OCB即可.(2)由sinA=3且BC=6可知，AB=10且cosA=-,然后求出 OD的长度即可.55(3)由三角形的三边关系，可知当连接 OB交。O于点E、F,当点P分别于点E、F重合 时，BP分别取最小值和最大值.详解：(1)如图：连接OD、OB.在AODB和OCB中:OD=OC,OB=OB,BC=BD;.-.ODBAOCB (SS§ ./ ODB=Z C=90 :.AB为

34、。O的切线.AB BC=6,AB=10, BD=BC=6, .AD=AB-BD=4,sinA= , cosA=,55.OA=5, OD=3,即。O的半径为：3.(3)如图：连接OB,交。O为点E、F,由三角形的三边关系可知: 当P点与E点重合时，PB取最小值.由(2)可知：OD=3, DB=6,ob=；32 62 3 5 . PB=OB-OE=3.5 3.当P点与F点重合时，PB去最大值，PB=OP+OB=33 . 5 .点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解 .11.如图1,已知AB是。的直径，AC是。O的弦，过 O点作05

35、，人8交。0于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点F,点G是EF的中点，连接 CG判断CG与。0的位置关系，并说明理由；(2)求证：20B2=BC?BF;(3)如图 2,当/DCE= 2/F, CE= 3, DG= 2.5 时，求 DE 的长.度II图？【答案】(1) CG与。0相切，理由见解析；(2)见解析；(3) DE= 2【解析】【分析】(1)连接C耳由AB是直径知4ECF是直角三角形，结合 G为EF中点知/ AEO= / GEC= /GCE，再由 0A= 0C 知/OCA=/OAC,根据 OF, AB 可得 / OCA+/GCE= 90；即OCX GC,据此即可得证；一一 BC AB

36、(2)证ABC/FBO得后8 ,结合AB=2BO即可得；(3)证 ECDEGC 得 EC ED,根据 CE= 3, DG= 2.5 知一3一 生，解之可EG ECDE 2.53得.【详解】解：(1) CG与。O相切，理由如下:如图1,连接CE,图1.AB是。的直径，/ ACB= / AC已 90 °, 点G是EF的中点，.GF= GE= GC,/ AEO= /GEC= / GCE,.OA=OC,/ OCA= / OAC, .OFXAB, / OAG/AEO= 90 °, / OCA+Z GCE= 90 :即 OCX GC,CG与。O相切；(2) Z AOE= Z FCE=

37、90°, /AEO= / FEQ / OAE= / F,又 : / B= / B, .ABCAFBO,BC AB ,即 BO?AB= BC?BF,BO BF .AB=2BO,.2OB2 = BC?BF；(3)由(1)知 GC= GE= GF,/ F= / GCE / EGC 2/F,又 / DCE= 2/ F,/ EGC= / DCE, / DECf= C CEQ.ECtDAEGC； EC EDEG EC，,. CE= 3, DG= 2.5,3 DEDE 2.53整理，得：DE2+2.5DE- 9=0,解得：DE= 2 或 DE= - 4.5 (舍)，故 DE=2.【点睛】本题是圆的

38、综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与 性质及直角三角形的性质等知识点.12.如图，在R9ABC中，C 90 , AD平分/BAC,交BC于点D,点O在AB上,。经过A、D两点，交AC于点E,交AB于点F.(1)求证：BC是。的切线；(2)若OO的半径是2cmE是弧AD的中点，求阴影部分的面积(结果保留兀和根号)【答案】(1)证明见解析(1)连接OD,只要证明OD/AC即可解决问题；(2)连接OE, OE交AD于K.只要证明4AOE是等边三角形即可解决问题.【详解】(1)连接OD. OA=OD,/ OAD=Z ODA. Z OAD=Z DAC,ZODA=Z DAC

39、, ，OD/ AC, . . / ODB=/C=90 ； OD±BC, . . BC是OO的切线.(2)连接OE, OE交AD于K.Ae De，, , oe±ad. Z OAK=Z EAK, AK=AK, / AKO=Z AKE=90 ； AK必 AKE,是等边三角形,ZAOE=60°, .$阴=$扇形 OAE Sz AOE6022360.AO=AE=OE, .AOE 在22、石.43本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、 全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考

40、题型.13.如图，DABCD勺边AD是4ABC外接圆。的切线，切点为 A,连接AO并延长交BC 于点E,交。O于点F,过点C作直线CP交AO的延长线于点 P,且/BCP=/ACD.(1)求证：PC是。的切线；(2)若/B= 67.5 °, BC= 2,求线段PC, PF与弧CF所围成的阴影部分的面积 S.【答案】(1)见解析；(2) 1 4【解析】【分析】(1)过C点作直径CM,连接MB,根据CM为直径，可得ZM+ZBCM=90°, 再根据AB/ DC可得/ ACD= / BAC,由圆周角定理可得 / BAC= / M, / BC之ZACD,从 而可推导得出/PCM= 90

41、。，根据切线的判定即可得；(2)连接OB,由AD是。的切线，可得 /PAD= 90°,再由BC/ AD,可得API BC,从而得BE= CE= 1 BC= 1 ,继而可得到/ABC=/ACB= 67.5 ;从而得到Z BAC= 45°,由圆周2角定理可得/BOC=90,从而可得Z BOE= Z COE= Z OCE= 45 °,根据已知条件可推导得出OE= CE= 1, PC= OC= Joe2 ce2& ， 根据三角形面积以及扇形面积即可求得阴影部分的面积.【详解】(1)过C点作直径CM,连接MB,.CM为直径，/ MBC= 90 °,即 /

42、M+ / BCM= 90 °, 四边形ABCD是平行四边形， .AB/DC, AD/ BC,/ ACD= / BAC, / BAC= ZM, / BCP= / ACD,. . / M = / BCP, / BCP+Z BCM= 90 ；即/ PCM= 90 °, CMXPC, .PC与。O相切；(2)连接OB,.AD是。的切线，切点为 A, OAXAD,即 / PAD= 90 ;1. BC/ AD, ZAEB=Z PAD= 90 ；1API BC.BE= CE= -BC= 1,2AB= AC,/ ABC= / ACB= 67.5 ；/ BAC= 180 - Z ABC /

43、ACB= 45 ;/ BOC= 2/ BAC= 90 °,-. OB= OC, APXBC,/ BOE= / COE= / OCE= 45 , / PCM= 90 ；/ CPO= / COE= / OCE= 45 ；.oe=c曰i, po oc= Joe2 ce2 夜,S= Sapoc S扇形 ofc= 12,2245 兀 2 27t360ABD【点睛】本题考查了切线的判定与性质、强,准确添加辅助线是解题的关键圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较14.如图，线段BC所在的直线 是以AB为直径的圆的切线，点 D为圆上一点，满足 BD= BC,且点C、D位于直径AB的两侧，连接 C

44、D交圆于点E.点F是BD上一点，连接EF,分 别交AB、BD于点G、H,且EF= BD.求证：EF/ BC；（2）若 EH= 4, HF= 2,求？e 的长.2 【答案】（1）见解析；（2） - . 33【解析】【分析】（1）根据ef= bd可得Ef= ?d，进而得到Be = Df,根据 在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.（2）连接DF,根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 ”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出ZBHG,进而求出/BDE的度数，确定 Be所对的圆心角的度数，根据 /DFH= 90°确定DE为直径，代入 弧长公式即可求解.【详解】(1)EF= BD, Ef= ?d Be = Df / D= / DEF又 BD= BC,/ D= / C, / DEF=/CEF/ BC(2) .AB是直径，BC为切线，ABXBC又 EF/ BC,ABXEF7,弧 BF=< BE,1GF= GE= 5(HF+EH)=3, HG=1DB 平分 / EDF,又 BF/ CD,/ FBD= / FDB= / BDE= / BFH,-.HB=HF= 21.