高三数学平面向量知识点与题型总结

1、知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 ，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量：长度为 0的向量，记为0,其方向是任意的， 0与任意向量平行单位向量：模为1个单位长度的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.相等向量：长度相等且方向相同的向量uur uurr r uuuuur uur2、向量加法：设ABa,BCb,则 a + b=ABBC = AC(1) 0 a a 0a； (2)向量加法满足交换律与结合律;uuu uuir uuurAB BC CD Luuir uuu uuuPQ QR AR，但这时必须“首尾相连”3、向量的

2、减法: 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向量向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)4、实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作入 a ,它的长度与方向规定如下：(I) a a; (n)当 0时，入a的方向与a的方向相同；当0时，入a的方向与a的方向相反；当0时，a 0,方向是任意的5、两个向量共线定理：向量 b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b= a,6、平面向量的基本定理：如果 e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数 1, 2

3、使：aiG2e2,其中不共线的向量 e1, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1 .平面向量的坐标表示：平面内的任一向量r-+ra可表不成ar xir ir ,、yj ,记作 a =(x,y) °2平面向量的坐标运算：rJ,二 r(1)右 ax1,y1 ,bX2,y2 ，则 a b x1 X2,y1 y2uuu(2)若 A x1, y1,BX2,y2,则 ABX2x1,V2y1 若 a =(x,y)，则 a=( x, y)-4rr'r rx1y2x2y10(4)右 ax1,y1 ,bx2,y2 ，贝Uab.r(5)若 ar x1,y1 ,b, r

4、J x2, y2，贝U a bx1 x2y1 y2H右 a b ,贝U x1 x2y1 y20三.平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为，则a b= a b cos叫做a与b的数量积(或内积)ir r，规定0 a o.r2向量的投影：I b3数量积的几何意义：cosrrb e R,称为向量|a|r，r、一 ，一，b在a方向上的投影.投影的绝对值称为射影.r J r ,一 、-J r、，一a b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积.4向量的模与平方的关系:口 r .2 a |a |5乘法公式成立：r r r r a b a b2 ab26平面向量数量积的运算律

5、:八r r交换律成立：a b对实数的结合律成立:,，、 r r分配律成立：a br r r特力1J注息：(1)结合律不成立：a b c,八 八r r r r z, , r r(2)消去律不成立 a b a c 不能彳#到b cr rr r r r(3) a b =0不能彳导到a = 0或b=07两个向量的数量积的坐标运算：rrr ；已知两个向重 a (x1,y1),b (x2,y2)，则 a - b=xIx2 y1y2,r r mu r uuu rr8向量的夹角：已知两个非零向量a与b,作OA=a, OB=b，则/ AOB=( o0180°)叫做向量acos = cosr ra,br

6、 ra ?b _x1x2al? b 后_y1V1 y222x2y2当且仅当两个非零向量r 一r a与b同方向时,0 =o°,当且仅当a与b反方向时。=180°,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a ± b.10两个非零向量垂直的充要条件a ± b a - b = O x1x2 y1y20,平面向量数量积的性质【练习题】1、给出下列命题：两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；uuiruuur若A, B, C, D是不共线的四点，则 AB = DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若a与b

7、同向，且回>|b|,则a>b;入，为实数，若后=h则a与b共线.其中假命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.设ao为单位向量，若 a为平面内的某个向量，则a = |a|ao;若a与ao平行，则a=|a|ao;若a与ao平行且|a|=1,则a = ao.上述命题中，假命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 33、设两个非零向量 a与b不共线.uuiruuiruuu(1)若 AB=a+ b, BC =2a+8b, CD = 3(ab).求证：A, B, D 三点共线；(2)试确定实数k,使ka+ b和a + kb共线.uuir4、已知两点A(4,1), B(7, 3

8、),则与AB同向的单位向量是()uuiruuiruuur5、在 ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，AN =入AB + AC ,则入十科的值为()D. 16、已知两个单位向量e1,e2的夹角为若向量b = e一2e2,b2=3e1 + 4e2,则b1b2=.37、已知|a|= 1, |b|=2, a与b的夹角为120 °, a+b+c= 0,则a与c的夹角为()A. 150°B. 90°C. 60°D. 30°8、已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量kab垂直，则k=.9、设向量 a, b满足回=1, a-b

9、|= V3, a (a-b)=0,则 |2a+b|=()A. 2B, 273C. 4D. 45110、已知向重 a=(sin x,1), b= cos x, - 2 .(1)当ab时，求|a+b|的值；(2)求函数f(x) = a (b a)的最小正周期.11、已知 f(x)= a b,其中 a= (2cos x, /3sin 2x), b= (cos x,1)(xC R).求f(x)的周期和单调递减区间；(2)在AABC中，角A, B, C的对边分别为 a,b, c, f(A)=- 1,uuin uuura=甲,AB AC =3,求边长b和c 的值(b>c).12、如图，在uuuABC

10、 中，OA a,uurOB b,MuuuAP等2121 abBab33331212-abD- a-b3333为AB的中点，P为AM的交点,则ON、AC13. AABC 中,|a|=1, |b|= 2,AB边的高为uuur则 AD =(uuuCD,若 CB =a,CA = b, a b= 0,a-3ba-2b3a-4b514.(2012郑州质检)若向量a=(x1,2), b=(4, y)相互垂直，则9x+3y的最小值为(12C.3 .12D. 615.uuu(2012山西省四校联考)在 OAB(O为原点)中，OA = (2cosuuuia, 2sin a), OB =(5cos3, 5sin 3

11、),uuu uuu若 OA OB =- 5,则4 OAB 的面积 S=()C. 5V316、若a, b, c均为单位向量，且 ab=0, (a - c) (b- c)< 0,则|a+b c|的最大值为().-1 B. 1 C+ D. 2. 一一 1之 . 一、. 4'17、已知 ABC为等边三角形，AB=2.设点P, Q满足AP=B, AQ=(14AC,入C R,右BQcp =-2,则入=().18如图,已知平行四边形 ABCD的顶点A(0, 0), B(4,1), C(6,8).(1)求顶点D的坐标；uuur uuur(2)若DE =2 EC , F为AD的中点，求AE与BF的

12、交点I的坐标.【课后练习题】1 .下列等式： 0a= a;一(-a) = a; a+ (a) = 0; a+ 0= a;a b= a+ ( b).正确的个数是()B. 3C. 4D. 5解析：选Cb, c(2. （2012福州模拟）若a+ b+c=0,则a,A .都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B. 一定不可能构成三角形C.都是非零向量时能构成三角形D. 一定可构成三角形解析：选A3. （2012威海质检）已知平面上不共线的四点uuiruuuuuiruuu bc |O, A, B, C.若OA +2OC =3OB ,则kutH的值为()|AB |解析：选A4. （2012海淀期末）如图，

13、正方形uuu一个三等分点（靠近B）,那么EF =（ABCD 中,点E是DC的中点，点F是BCuuirAB1 uuur-o AD31 uuurAB +2ADuuruuirAB1 uuu + 2 DAuuir 2 uuurAB 2 AD3解析:5. （2013揭阳模拟）已知点O为4ABC外接圆的圆心，且uuuOAuuu+ OBuuu + CO=0,则4 ABC的内角A等于（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°解析：选Auuuuuruuu6.已知 ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PA + PB + PCuuuA AB ,则点P与4

14、ABC的关系为（）A . P在 ABC内部B . P在 ABC外部C. P在AB边所在直线上D. P是AC边的一个三等分点解析：选Duuiruuiruuiruuir7.（2012郑州五校联考）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC 2= 16,|AB + AC |=|ABuuuruuuuAC |,则 |AM |=答案：28 . （2013大庆模拟）已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量 OA , OB , OC , OD满足等 uuu uuur uuu uuu式OA + OC = OB + OD ,则四边形 ABCD的形状为.答案：平行四边形uuuruuuuuu9 .设向量 ei

15、, e2不共线，AB = 3(ei +e2), CB =e2 ei, CD=2e+e2,给出下列结论： A, B,C共线；A, B, D共线；B, C, D共线；A, C, D共线，其中所有正确结论的序号为 .答案：10 .设i, j分别是平面直角坐标系Ox, Oy正方向上的单位向量，且OA =-2i+mj, Ouu = n i + j, OCA,B, C在同一条直线上，且 m=2n,求实数m, n的值.m= 3, 3 n = 2.x7.已知向量a= 8, Q , b=(x,1),其中 x>0,若(a2b)/(2a+b),贝 U x=.8 . P = a|a=(1,1)+m(1,2),

16、mC R , Q=b|b=(1, -2)+n(2,3), nCR是两个向量集合，则 PAQ 等于.答案： 13, 23 9,已知向量OA = (1, 3), Ou=(2, 1), OC=(k+1, k- 2),若A, B, C三点能构成三角形， 则实数k应满足的条件是.答案：kw110 .已知 A(1,1), B(3, 1), C(a, b).(1)若A, B, C三点共线，求a, b的关系式；uuuruuir(2)若AC =2 AB ,求点C的坐标.(5, 3).11 .已知 a=(1,0), b= (2,1).求：(1)|a+3b|;(2)当k为何实数时，ka b与a +3b平行，平行时它

17、们是同向还是反向？方向相反.uuuu uuuuuir12 .已知 O 为坐标原点，A(0,2), B(4,6), OM =t1OA+t2 AB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A, B, M三点都共线.13 已知向量 a, b夹角为45°,且|a|= 1, |2a3=痂，则|b|=.答案：3 214 已知向量 a=(2, 1), b=(x, -2), c=(3, y),若 all b, (a+b)±(b- c), M(x, y), N(y, x),则uuuu向量MN的模为.答案：8.215 .已知 a= (1,2), b = (-2, n), a 与 b 的夹角是 45°.求b;(2)若c与