高中数学-等差数列练习

1、高中数学-等差数列练习141.若等差数列an的公差为d,则数列a 2n 1是（）A.公差为d的等差数列B.公差为2d的等差数列C.公差为nd的等差数列D.非等差数列答案 B解析数列a" i其实就是ai,a3, a5,a7,，奇数项组成的数列，它们之间相差 2d.2.已知数列an为等差数列，其前 n项和为Sn,若a3=6, 8=12,则公差d等于（）A.5B.3C.D. 3答案 C解析 由已知得 S3=3a2=12,即 a2=4, . . d= a3a2= 6 4=2.3. （ 课标全国I ）已知等差数列a n前9项的和为27, ai0=8,则 ai00=(A. 100B.99C. 9

2、8D.97答案 C解析 设等差数列an的公差为d,因为an为等差数列，且 $=9a5=27,所以 a5= 3.又 aio= 8,解得 5d=aioa5 = 5,所以 d=1,所以 ai00= a5+95d = 98,选 C.4. 设S为等差数列an的前n项和，若S8=4a3,a?= 2,则a9等于（A. 6B. 4C. - 2D. 2答案 A解析S8=8 (ai + a8)=4(a 3+ a6).因为S8= 4a3所以 a6= 0.又 a7 = 2,所以 d = a7a6=2,所以 a8=4,a9= 6.故选 A.5. （ 西安四校联考）在等差数列an中,a2= 5,a7=3,在该数列中的任何

3、两项之间插入一个数，使之仍为等差数列，则这个新等差数列的公差为 （A.B.C.D.答案解析3-52an的公差d=- =k .新等差数列的公差725d |)x2= 5，故选 C.6.(绍兴一中交流卷）等差数列an的公差d<0,且ai2=a2i2,则数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数A. 9C. 10 和 11n是（）B. 10D. 11 和 12答案解析由 d<0,得 a1Wa21,又 a12=a212,ada21 = 0,a*= 0,故选 C.7.(河北冀州中学模拟）等差数列an中的a4, a2m是3x212x + 4= 0的两根,贝U log 1a1 011 =(41A.

4、2B. 2C. - 2D-2答案 D解析 因为a4和a2 018是3x212x+4= 0的两根，所以a4+a2 018 = 4.又a4,a1 011,a2 018成等差数列,所以 2a1 011=a4 + a2 008 , 即 a 011=2, 所以 log 1a1 011412'故选D.18 . （ 安徽合肥二模）已知-是等差数列, anai= 1，a4=4,则 aio=(A.B.4C.1313答案解析1由题意，得a=14,所以等差数列1/的公差为11a4 a1d = k由此可得-=1 + (n4an1-1)x(-4)154，因此募一 4，所以ak -4.故选A.9.（河北省唐山市高

5、三统一考试）等差数列an的前n项和为Sn,若&1 = 22,则 a3 + a7 + a8 =(A.18B.12C.D.答案 D解析由题意得Sii =11 (ad an)11 (2ad 10d)= 22,即a +5d=2,所以a?+ a7 + a8= a1 + 2d+ a1 + 6d +a + 7d=3(a1+5d)=6,故选 D.10.(杭州学军中学）设S是等差数列an的前n项和，若S31, S6S6=3，则ST(3A.1101B.- 31 C.81 D.9答案 A解析 令 S= 1,则 &=3,. &=1 + 2 + 3=6.S63Si2=S9+4=10, - S-

6、= 10 故选 A.11.已知在等差数列an中，|a 3| =忸9 ,公差d<0, Sn是数列an的前n项和，则()A. S5>S6B. S5<ScC. Se= 0D. S5= S6答案 D解析飞<0,|a3| =|a 9| ,，a3>0,a9<0,且a3+a9=2a6=0.6=0,a5>0,a7<0. . .及=4.故选 D.12.若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为()A. 13B. 12C. 11D. 10答案 A解析 因为 a1 + a?+a3=34, an2+an1+an= 1

7、46,所以 a1 + a2+ a3+ an-2+ an-1+ an= 34+ 146 = 180.又因为 a1 + an= a?+an-1 = a3 + an-2,所以 3(adan) = 180,从而 a+an=60.- n (a1+an)n - 60口厂所以2= -2=390,即 n= 13.一4113 .已知an为等差数列，Sn为其前n项和，右a1 =2, S2= a3,则a2=； $=.n ( n+ 1)答案 14 一一 1.n (n 1) 解析设公差为 d,则由Sa=a3,得2a1 + d=a + 2d,所以 d = a1 = 2,故a2=a1+d=1,Sn=nad2 d_ n (n

8、+ 1)一 4.14 . ( 北京)已知an为等差数列，S为其前n项和.若a1=6, a3+a5=0,则& =.答案 6解析 设等差数列an的公差为 d,由已知得 a1-6, 解得a1-6,所以&=6a1+1x 6X 5d=36 +2a1 + 6d=0, d=- 2.215X( 2) =6.15 .已知 A= x|2 n<x<2n+1 且 x= 7mi+ 1, m, nC N,则 As中各元素的和为 .答案 891解析 A 6= x|2 6Vx<27且 x = 7mi+ 1, nn N, A 的元素有 9 个：71, 78, 85, 92, 99, 106,，

9、127,各数成一首项为71,公差为7的等差数列.9X8 .71 + 78+ 127=71X9+ -2X 7=891.16.中国古代数学有着很多令人惊叹的成就.北宋沈括在梦溪笔谈卷十八技艺篇中首创隙积术.隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，每一层长有a个，宽有b个，共计ab个木桶，每一层长宽各比一上层多一个，共推放n层.假设最上层有长 2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共推放 15层，则 最底层木桶的个数为.答案 240解析最上层2个,第 2 层：(1 +1) X(2+ 1)=2X3(个)第 3 层：(2+1) X(3+ 1)=3X4(个)第 15 层：15X16= 240(个)1

10、7.(课标全国n ,理)等差数列a n的前n项和为Sna3= 3, S4= 10,n 1则建1 Sk答案2nn+ 1解析设等差数列a n的首项为a1,公差为d,依题意,a1 + 2d=3, 4a1+6d= 10a1+2d = 3, 解得2a1+3d=5,a1 = 1,d= 1,所以Snn (n+1)2，因此笃12nST2(1 -尹 2- 3+ n-干)=罚.3118.已知数列an中，a1 = -, an=2-(n >2, 5an 1'* 、一n N),数歹U b n满足(1)求证：数列bn是等差数列;(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.答案(1)略 (2)最大项a4=

11、3,最小项a3=1解析(1)证明：因为an= 2-an 1*(n >2, nC N)bn=an 1所以当n>2 时，bn bn 1 =an 1an- 1 - 1an 1an-1 - 1an-1 - 11 =1. 3n- 1 1 115又 b1=ay =2,所以，数列bn是以一5为首项，以1为公差的等差数列.(2)由(1)知，bn= n-1,则 an= 1 +、一2“设函数 f(x) = 1 + 2x-7r,易知 f(x)7在区间一00, 2和72, +°°上为减函数.所以，当n=3时，an取得最小值一1;当n = 4时，an取得最大值3.1 .张丘建算经卷上第2

12、2题为:“今有女善鬻，日益功疾.初日织五尺，今一月日织九匹三丈. "其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布.则该女最后一天织多少尺布？()A. 18B. 20C. 21D. 25答案 C解析 依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为an,其中ai = 5,前30项和为1,30 (5+a30)一一，一一 ，一， .390,于是有一工= 390,解得a30= 21,即该织女最后一天织21尺布，选C.2. ( 安徽省安师大附中、马鞍山二中高三阶段性测试 a3+8=12,则 a4+S 的

13、值是()若等差数列an的前n项和为S,且满足a2+S=4,A. 20B. 36C. 24D. 72答案 C4ai+ 4d = 4,ai= 0,解析 由 az+S3 = 4 及 a3+S=12 得解得a4+S7= 8ai +24d = 24.故选 C.6ai+12d=12,d=1,3. ( 陕西汉中一检)已知数列an的前n项和Sn=an2+bn(a, beR)且a2=3, a6=11,则S7等于()A. 13B. 49C. 35D. 63答案 B解析由题意知数列an是等差数列，公差d=06a=1 3= 2,则an=a2+(n -2)d =2n-1,故ai=1, a76 24ai + a71+13

14、= 13,所以 G = 2-X7=2-X 7=49,选 B.-11*一，4. ( 贵阳一模)若数列an满足 ai = 0,匚£1_a 1 = 1(n>2, nC N),则 a2 017 = ()1 _1A.2 017B.2016C 2 016D 2015C.2 017D.2016答案 C111*1解析,数列an满足 ai=0, . . 1 _ a = 1,又 1 _a -二a= 1(n >2, nCN), . . 1 _ a是首项为 1,公差为 1 的等差数列，-=1+(n-1)=n,1 -=2 017,解得 a2。17=2瞿.故选 C.1 an1 a2 0172 017

15、5. ( 湖北八校)根据科学测算，运载神舟飞船的长征系列火箭，在点火后一分钟上升的高度为1 km,以后每分钟上升的高度增加 2 km,在达到离地面 240 km高度时船箭分离，则从点火到船箭分离大概需要的时间是()A. 20分钟B, 16分钟C. 14分钟D. 10分钟答案 B解析 本题主要考查等差数列的通项公式.设火箭每分钟上升的距离组成一个数列，显然ai=1,而an-an-1=2.所以可得an=1 + 2（n1）=2n1.所以S=n（a：an）= n2 = 240.所以从点火到船箭分离大概需要的时间是16分钟.故选B.6 .在等差数列an中，若 ai=2, a3 + a5=10,则 a7=

16、()A. 5B. 8C. 10D. 14答案 B解析 由等差数列的性质，得ai + a7= a?+a5.因为ai=2, a3+35=10,所以a7=8,选B.7 .设数列an, bn都是等差数列，且 ai=25, bi = 75, a2+b2=100,则 a37+b37 等于()A. 0B. 37C. 100D. 37答案 C解析.an, bn都是等差数列,，an+bn也是等差数列. ai + bi=25+75=100, a2+b2=100,an+bn的公差为0.a37 + b37= 100.8 .已知数列an是等差数列，若 a2 + a5=19, 8 = 40,求ai0 =答案 29ai +

17、 d + ai + 4d =19,解析 方法一：由已知可得 5a + 5Md _ 40解得 ai=2, d = 3.所以 ai0= ai + 9d = 29.方法二：由 S5 = 5a3=40,得 a3= 8.所以 a2+a5= a3d + a3+2d= 2a3+d= 16 + d= 19,得 d = 3.所以 ai0 = a3+7d = 8+ 3X7= 29.,1 - 一9 .已知在数列an中，a3=2, a5= 1,若 百床 是等差数列，则aii等于答案 0解析、11记 bn=7TT，则 b3=gI 十 an3b5=",数列bn的公差为1x (g 3 =/, bi：1，222 3

18、126n+ 1 bn1211 + ann+ 11211 n故 aii = 0. " an =' ,n+ 110. （ 陕西）中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015 ,则该数列的首项为答案 5. 一、. ai + 2 015. 一解析 由题意知，1 010为数列首项ai与2 015的等差中项，故 2=1 010，解得ai=5.11. （2016 课标全国n ）等差数列 an中，a3+a4=4, as+a7=6. 求an的通项公式；（2）设bn=an,求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9 =0, 2.6 =2.答案2n+ 35(2)2

19、4解析（1）设数列an的公差为d, 由题意有 2ai+5d=4, ai +5d =3.解得 ai = 1, d =-.5所以an的通项公式为an=2n_t2.(2)由知，bn=2n .5当 n = 1, 2, 3 时，1W空望<2, bn=1;5当 n = 4, 5 时，2<空黄<3, bn=2; 5当 n = 6, 7, 8 时，3<2n-±<4, bn = 3;5当 n = 9, 10 时，4<2ni3<5, bn = 4. 5所以数列bn的前10项和为1X3+2X2+3X3+4X2= 24.12. ( 长沙雅礼中学月考)已知数列an各项

20、均为正数，且 a1=1, an+1an+an+1an=0(n C N).1(1)设bn=a，求证：数列bn是等差数列；an（2）求数列n7的前n项和Sn.答案（1）略（2）鬲；*斛析 (1)因为 an+1an+an+1an= 0(n C N),所以an+ 1 =anan+ 1 .因为 bn=,所以 bn+1 bn = J- !=史土1, anan +1ananan又 b1= = 1, a1所以数列bn是以1为首项、1为公差的等差数列.(2)由(1)知，bn= n,所以=n,即 an = , ann所以子7= (=_七,n+1 n(n + 1) n n+1所以 s= (1 _$ + (一工)十+ (一) = 1-=22 '2 3，'n n+1n+1 n+1n 项和为 S,且 a2 , a3= 15, S4= 16.13. （2018 江苏南京调研）已知数列an是公差为正数的等差数列，其前(1)求数列an的通项公式;1(2)求数b n满足 b1 = a1 , bn+ 1 bn=an an+1求数列bn的通项公式;m, n的值；若不存在，请说明理是否存在正整数 m, n(mw n),使得b2, bm, bn成等差数列？若存在，求出 由.答案 (1)an=2n1 (