浙教版八年级数学上册全等三角形证明判定方法分类总结

1、精品WORD可修改【知识要点】1 .全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形.2 .全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等（2）全等图形的面积相等3 .全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“g”来表示，读作“全等于”如A48C与A0E歹全等，记作&48。名。石尸（2）符号“g”的含义：“s”表示形状相同，“二”表示大小相等，合起来就是形状相同，大 小也相等，这就是全等.（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相 重合的角叫做对应角.（4）证两个三角形全等时，

2、通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.4 .全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”.【典型例题】例 1.如图，AABCgAAOC,点 B 与点 D 是对应点，ABAC = 26° ,且"=20。，= 1,求NC4 D ND, NA CO的度数及八4 8 的面积.例 2.如图，ADEF，ZA = 50°, BC = 9cmy CE = 5cm,求 NED尸的度数及 CF 的长.如图，己知：AB=AD, RC=AE, BODE,求证：ZBAE= ZCAD如图 AB=DE, BC=EF, AD=CF,求证:(1) ADEF

3、B(2) AB/DE, BC/EF例 5,如图，在 AA8C中NC = 90°, D、E 分别为 AC.AB 上的点，且 BE=BC, DE=DC,求证：（1）_L A3 ； A(2) BD 平分 NA8C【巩固练习】1 .下面给出四个结论：若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同：若两个图形的形状相 同，则它们一定是全等图形：若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形：若两个图形是 全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（）A、B、®® C、 D、2 .如图，/ABDACDB,且AB和CD是对应边，下而四个结论中 不正确的是（）A、AA8D和COB的面积相

4、等）B、AA8。和COB的周长相等C、ZA + ZABD= NC + NCBDcD、AD/BC AD=BC3 .如图，AABCBAD, A和B以及C和D分别是对应点，如果NC = 60。,乙48。= 35。,则N3AD的度数为()A、 85°B、 35°C、 60°D、 80°4 .如图，A43cg £)£：/, AD=8, BE=2,则 AE 等于()Ax 6B、 5C、 4D、 3第4题图5.如图，要使AACOgABCE,则下列条件能满足的是（）Ax AC二BC, AD=CE, BD=BEC、 DC二EC, AC=BC, BE二A

5、DB、 AD=BD, AC=CE, BE=BDD、 AD=BE, AC=DC, BC=EC6 .如图，AABEgmb,点A和点D、点E和点F分别是对应点，则AB=，ZA=, AE=, CE=，AB，若AEL3C,则DF与BC的关系是7 .如图，AABCAAED,若/8 = 40。,/£48 = 30。,/。= 45。,则/朋。=,ZD =9.如图，ADEF, ZC = 90° ,则下列说法错误的是（）A、NC与N尸互余 B、NC与NE互补C、ZA与NE互余DN8与N。互余10 .如图，AACFADBE, NE = 300,NACF= 110°,A£>

6、; = 9（7,a）= 2,5c?，求 NO 的度数及 BC 的长.11 .如图，在 AA8C与AA8D中，AC=BD, AD=BC,求证：ABCABD小与三急彩（-）作业1 .如图，A48cgCDA, AC=7cm> AB=5cm.,则 AD 的长是（）A、7cm B、5cm C、8cmD、无法确定AD第1题图第2题图第3题图2 .如图，AABC ADCE, NA = 480,NE = 62。，点 B、C、E 在同一直线上，则 NAC。的度数为（）A、48°B、38°C、110°D、62°精品WORD可修改3 .如图，SDEF, AF=2cm,

7、CF=5cm,贝ij AD=.4 .如图，AABEACD, ZA = 100°,ZB = 25°,求N8OC的度数.F5 .如图，已知，AB=DE, BC=EF, AF=CD,求证：AB/CD6 .如图，已知 AB=EF, BODE, AD=CF, 求证：MBS MEDAB/EF7.如图,已知 AB=AD, AC=AE, BODE,求证：ZBAD= ZCAEACE【知识要点】定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，筒写成“边角边”或“SAS”，几何表示如图，在A48c和ADE6中，AB = DE< 4B = ZE SABCADEF'(SAS)BC

8、=EF【典型例题】【例1】 已知：如图，AB=AC, AD=AE,求证：BE=CD.【例2】如图，已知：点D、E在BC上，且BD二CE, N2,由此你能得出哪些结论？给出证明.AD=AE ,例 3如图已知：AE=AF, AB=AC, NA=60° , Z BOE的度数.B=24° ,B【巩固练习】1.在 AABC 和 A'3'C中，若 AB= AB' , AC= A'C',还要加一个角的条件，使ABCgZi A'8'C',那么你加的条件是（）A. NA=NA'B. NB=N8'C. ZC=ZCr

9、D. ZA=ZBr2.下列各组条件中，能判断ABC/ZWEF的是（A. AB=DE, BC=EF： CA=CD B. CA=CD； ZC=ZF；AC=EFC. CA=CD： NB=NED.AB=DE； BOEF,两个三角形周长相等3.阅读理解题:如图：已知AC, BD相交于0, 0A=0B, 0C=0D.那么aAOD与aBOC全等吗？请说明理由.AABC与ZXBAD全等吗？请说明理由.小明的解答：OA=OBOD=OC Z1 = Z2、SAS »AODABOC而 ABAD =AOD+aADBAABC=AB0C+AA0B所以ABCgZBAD（1）你认为小明的解答有无错误:（2）如有错误给

10、出正确解答:CD4.如图，点C是AB中点，CDZ/BE,且CD=BE,试探究AD与CE的关系。5 .如图，AE是NBACtKj平分线AB=AC（1）若D是AE上任意一点，则ABDgZiACD,说明理由.（2）若D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由.精品WORD可修改6 .如图，已知AB=AC, EB=EC,请说明BD=CD的理由1.如图，己知 AB=AC, AD=AE, BF=CF,求证：2DF&CEF “2.如图,ABC,BDF为等腰直角三角形。求证：(1) CF=AD： (2) CE±AD.3 .如图，AB=AC, AD=AE, BE和CD相交于点O, AO

11、的延长线交BC于点F° 求证：BF=FCO4 .已知：如图 1, ADBC, AE=CF, AD=BC, E、F 在直线 AC 上，求证：DEBF,ABCADEF6、已知，如图A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD, AB/DE,且AB=DE,求证: (2) ZCBF=ZFEC7、 已知:如图.AB=AC.AD=AE,NBAC=NDAE ,求证:BD=CE8、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG,(1)观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在, 说明理由。

12、9、已知：如图,AD是BC上的中线，且DF=DE.求证:BECF.10、已知C为AB上一点,ZkACN和BCX是正三角形.求证：(1) AM=BN(2)求NAFN大小。11、已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在ABFB=EB, AF交CE于G,求NAGC的度数.B E的延长线上,12、如图，AABC是等腰直角三角形，其中CA=CB,四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在ABC的内部，请你画 出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结

13、论是否仍然成立？若成立，直 接写出结论，不必证明：若不成立，请说明理由.含寺王鲁杉（E） *5*【知识要点】ASA公理推论（AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.【典型例题】例1下列条件不可推得MBC和.全等的条件是（）A、 AB=A B , ZA = ZA ZC = ZCB、 AB= A B , AC=A C , BC二B CC、 AB= A B', AC=A C', ZB = ZBD、 AB= A B, N4 = ZA , /B = 4B例 2 已 知 如 图，ZA = ZD,AB = DE, AB/DE,求证：BC=EFB【例3】如图，AB=AC,

14、 N8 = NC，求证：AD=AEa/【例4】已知如图，Z1 = Z2,Z3 = Z4,点P在AB上,A D 工 E C FAA c可以得出PC=PD吗？试证明之.BA【例 5】如图，N1 = N2 = N3, AC=AE,求证：DE=BCA3精品WORD可修改【例6】如图，NA = NO,N1 = N2, AC, BD相交于0,求证：AB二CD0A=0DB【巩固练习】1 .如图，AB/CD, AFDE, BE=CF,求证：AB=CDaB2 .如图，AD/BC, 0为AC中点，过点0的直线分别交AD, BC于点M. N,求证：AM二CN3 .求证：两个全等三角形ABC与A B C的角平分线AD

15、、A D相等4.如图，AB, CD相交于0, E, F分别在AD, AOE=COFBC上，若AEOD三AFOB,求证:5.如图,AB/CD, AD/BC,求证：AB=CDC精品WORD可修改6.已知，如图 AB=DB, NC = N£N1 = N2,求证：AC=DE1 .己知，如图，NA = NO,N1 = N2,A尸=8,求证：AB=DE2 .如图，己知 NAEO=NAO瓦NB4E=NC4O,求证：BE二CD3 .已知如图，AB=AD, /B = /D/BAD= NCAE,求证：AC=AE4 .己知如图，在A48C中，AD平分NA4CAOJ.8C,求证：AACD=MBD5 .己知如

16、图，/ACB = /DBC,NDCA = ZABD, AC = 10cm ,求BD的长（要求写出完整的过程）6、如图 AiBr 中，ZB=ZC, D, E, F 分别在 AB, BC, AC 上，且 BD=CE, NDEF二NB求证：ED=EF精品WORD可修改7、 (D如图1,以&WC的边48、AC为边分别向外作正方形相/兄和正方形连结卬，试判 断aABC与AEG面积之间的关系，并说明理由.(2)园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知 中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一 共占地多少平方米？

17、(图1)8、已知：如图，AD为CE的垂直平分线，EFBC.求证：EDNgACDNgAEMN.9、已知：如图，AB=AC , AD=AE ,求证：OBDTaOCE10、已知：如图，AB=CD, AD=BC,0为BD中点，过0作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F.求 证：0E=OF11、如图在AABC和DBC中，Z1=Z2 , Z3=Z4 , P是BC上任意一点.求证：PA=PD.,CE=CD.12、己知：如图，四边形ABCD中，ADBC , F是AB的中点，DF交CB延长线 于E 求证：ZADE=ZEDC.交于C ,AB 和 EF13、己知：如图，0A=0E , 0即OF ,直线FA与BE

18、交于0，求证：Z1=Z2.1、如图，A8C是等边三角形，点。、E、尸分别是线段A3、BC、C4上的点, （1）若AD = BE = CF,问 DEF是等边三角形吗?试证明你的结论：（2）若£）£户是等边三角形，问AO = B石=CE成立吗？试证明你的结论.2、如图所示，已知N1=N2, EF_LAD于P,交BC延长线于M,求证：2NM二（NACB-NB）3、ABC 中，NA=90'，AB=AC, D 为 BC 中点，E、F 分别在 AC、AB 上，且 DE J_DF,试判断 DE、 DF的数量关系，并说明理由.4、已知：如图，ZXABC 中，ZABC = 45

19、76;,于。，BE 平分 NABC,且于E,与CO相交于点E, 是8C边的中点，连结。与3石相交于点G.(1)求证：B/ = AC；(2)求证：CE = -BF x 25、如图，点O是等边ABC内一点，ZA6>B = 110 ,4BOC = a.将BOC绕点C按顺时 针方向旋转60得AOC,连接(1)求证：COD是等边三角形；(2)当。= 150时，试判断40。的形状，并说明理由:(3)探究：当a为多少度时，49。是等腰三角形？G,则在 Rt/kBDG7、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC,在AM上取点D,使BD=BC,且DB与AC 所在直线交于E,求证：CD=CE,过A

20、作AFLBC于F,过D作DG_LBC于DG=AF=1/2BC=1/2BD,中，DG=1/2BD =>ZDBC=30o=>ZBDC=ZBCD=1/2(180o-30°)=75°, KPZEDC=75°ZDEC= ZDBC+ZBCA=30°+45°=75° ，ZEDC=ZDEC =>CD=CE 8、RtZABC, AB=AC,BM 是中线，AD_LBM 交 BC 于 D,求证：/AMB二NCMD。9、如图，已知AABC是等边三角形,ZBDC=120°,说明AD=BD-CD的理由。10、己知：如图，点D在AABC

21、的边CA的延长线上，点E在BA的延长线上，CF、EF分别是NACB、 NAED的平分线，且NB=30° , ZD=40° ,求NF的度数。11、等边三角形ABC和等边三角形DEC, D在AC边上。延长BD交CE延长线于N,延长AE交BC延长线于M。求证:CM=CN易证BCDgZXACE 所以NDBC=NEAC再证BCNg/XACM (ASA)，CM=CN12、操作：如图，血是正三角形，6%是顶角N区（=120°的等腰三角形，以，为顶点作 一个60°角，角的两边分别交月。边于M N两点，连接必；探究：线段£仄J介忆'之间的关 系，并加以证

22、明.13、如图等边ABC和等边ACDE,点P为射线BC 一动点，角APK=60° , PK交直线CD于K。（1） 试探索AP、PK之间的数量关系：（2）当点P运动到BC延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。14、（涉及相似三角形）若P为A3C所在平面上一点，且NAP3 = NBPC = NC7% = 120°, 则点P叫做ABC的费马点.如图，在锐角ABC外侧作等边AC3'连结3ZT。求证：BB'过ABC的费马点P,且33' =PA + PB + PC.15、如图，是等腰直角三角形，NC=901点M, N分别是边AC和BC的中点,点D在射线BM上,且BD=2BM,点E在射线NA上，且NE=2NA.求证：BD J_DE.NC第五章全等三角形拓展延伸分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”,去说明 “相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条