人教版高中数学选修1-1导学案第二章§2.32.3.2抛物线的简单几何性质

1、2. 3.2抛物线的简单几何性质【学习目标】1掌握抛物线的几何性质2掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.3. 能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.知识梳理梳理教材夯实恳础知识点一抛物线的简单几何性质标准方程y2=2px(j0)y2= 2px(p0)x2=2py(p0)2py(p0)图形wTFC才范围aO, yGR入WO, yR&0, xGRyWO, xER对称轴兀轴A轴y轴y轴焦点坐标唯0)K-2 )K 2)彳0, 一期准线方程x=2T顶点坐标0(0,0)离心率e=通径长2p知识点二直线与抛物线的位置关系y=lc(-b,直线y=k.x+b与抛物线y2=2/zv(p0)的交

2、点个数决泄于方程组，解的个数，即二次方程Ft2+2kb-p)x+沪=0仗HO)解的个数.当RHO时，若0,则直线与抛物线有亜个不同的公共点；若J=0,直线与抛物线有二个公共点：若0,直线与抛物线没有公共点.当R=0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时直线与抛物线有二个公共点.思考辨析 判断正误1 抛物线关于顶点对称( X )2.抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.(V )3 .抛物线*二4y ,尸二4a的x q的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同 ( V )4“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件（7）题型探究探究重点索养提升一、抛

3、物线几何性质的应用例1已知抛物线的焦点F在x轴上，直线/过F且垂直于x轴，/与抛物线交于A, B两点,0为坐标原点，若AOAB的而积等于4,求此抛物线的标准方程.解 由题意，设抛物线方程为尸二力眦伽H0）,焦点等，0）,直线/:尤二罗，所以A , B两点坐标为伴,加）,（y,-加）,所以IABI = 2历M.因为OAB的面积为4 ,所以* |y| -2b”l 二4 ,所以m = 2/2.所以抛物线的标准方程为y2 = 4y/2v.延伸探究等腰直角三角形AOB内接于抛物线尸二2px（p0） , O为抛物线的顶点，04丄OB ,则AAOB的面积是（）A . 8，B . 4p2 C . 2，D .

4、p?答案B解析 因为抛物线的对称轴为a-轴，内接AOB为等腰直角三角形,所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45。.y = x, 由方程组r = 2px,x = 0 , x = 2p t得或y = 0 y = 2p t所以易得A , B两点的坐标分别为(2“,2“)和(2p , - 2p). 所以LABI 二 4p ,所以 Smob 二 * X 4p X 2p = 4p2.反思感悟把握三个要点确定抛物线简单几何性质(1) 开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是X还是y ,次项的系数是正 还是负(2) 关系：顶点位于焦点与准线中间,准线垂

5、直于对称轴定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒 等于1.跟踪训练1已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆/+尸=4相交于A, B 两点，IABI=2W，求抛物线方程.解 由已知，抛物线的焦点可能在a轴正半轴上,也可能在负半轴上故可设抛物线方程为2 二 Q(aHO).设抛物线与圆v2 + / = 4的交点A(xi f yi), 8(x2 , yz) 抛物线y2二与圆x2十y2二4都关于x轴对称，点A与B关于x轴对称,Iyil = ly2lB.lv 11 十 lyzl = 2*75 ,1川二咧二，代入圆-V2 +) = 4 ,得十3二4,

6、x二1 ,AA(1 ,萌咸A(l , -V3),代入抛物线方程,得(羽F 二 Ll , .It = 3.所求抛物线方程是y2 = 3x或尸二-3x.二、直线与抛物线的位置关系命题角度1直线与抛物线位置关系的判断例2已知直线/：=恋+1,抛物线C： y2=4x,当斤为何值时，/与C：只有一个公共点：有两个公共点：没有公共点.y = kx + 1 #解联立消去八尸=4x ,得 k2x2 + (2k - 4)x + 1 =0.(*)当“0时，(*)式只有一个解v = |, :.y= ,直线/与C只有一个公共点(扌,1),此时直线/平行于X轴.当RHO时，(*)式是一个一元二次方程,二(2k-4尸-4

7、疋二 16(1 -k). 当0,即賦1 ,且EH0时，/与C有两个公共点,此时直线/与C相交； 当丿二0,即2 1时，/与C有一个公共点,此时直线/与C相切； 当0 ,即41时，/与C没有公共点,此时直线/与C相离.综上所述，当2 1或0时，/与C有一个公共点；当XI ,且KH0时，/与C有两个公共点；当41时，/与C没有公共点.反思感悟直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：y = k.x + b,抛物线：尸二2/zv(p0),将直线方程与抛物线方程联立消元得心十(2肋 -2p)x 十 b2 二 0.(1) 若Q二0 ,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合(2

8、) 若QH0，当0时，直线与抛物线相交,有两个交点；当二0时，直线与抛物线相切,有一个交点；当0时，直线与抛物线相离，无公共点跟踪训练2经过点P(2,1)且斜率为k的直线/与抛物线j2=4a-只有一个公共点，则k的取值范围为()A. 0. -1b.!o,务答案D解析 经过点P(-2,l)且斜率为k的直线I的方程可设为尸如+ 2)+1 ,代入抛物线方程y2=4x t整理可得 k2 十(4 后 + 2k-4)x + 4k2 + 4k+=0 r (*) 直线与抛物线只有一个公共点等价于方程(*)只有一个根 当0时宀二1符合题意；当 0 时，/二（4Q 十 2k4）2 -4后（4股十 十 1） = 0

9、 ,整理得2Q + 1二0,解得或2 - 1.综上可得，心或2 - 1或0时，直线/与抛物线只有一个公共点，故呵-1 , 0 ,务.命题角度2直线与抛物线的相交弦问题例3已知抛物线方程为尸=2/x（p0）,过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A, B两点， flL4BI=|p,求AB所在的直线方程.解由题意知焦点彳$ , 0j ,设A（xi , yi） , B（X2 , J2）,若AB丄x轴，则L4BI二2“工|/儿不满足题意所以直线仙的斜率存在设为J则直线AB的方程为y一2l.v2 = 2px t消去x ,整理得ky - 2py - kjr二0. 由根与系数的关系得yi +央二半，皿二-p2.

10、所以IABI 二 (xi -X2)2 + (ji -V2)2解得二2所以AB所在的直线方程为2a-v-p = 0或 2x + y - /? = 0.延伸探究本例条件不变，求弦AB的中点M到轴的距离解 如图，过A , B分别作准线X二-与的垂线交准线于C , D点.由走义知L4CI + IBD二苏则梯形ABDC的中位线IMEI二务,*点M到y轴的距离为务-乡二务.反思感悟求抛物线弦长问题的方法(1) 般弦长公式AB - yj 1 + 2Lxi - jqI =1 + 右lyi - yj.(2) 焦点弦长设过抛物线.2二2/zr(p0)的焦点的弦的端点为A(xj , V) , B , y2),则AB

11、 = xi + x2 + p ,然后 利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元得到关于x的一元二次方程，由根与系数的关 系求出XI十X2即可跟踪训练3已知y=A-+/n与抛物线y2=8.r交于A, B两点.(1)若L4BI = 10,求实数加的值；若0A丄OB,求实数加的值.y = X + m t解由、得 x2 + -8)x + m2 = 0.y = 8x ,由二 -8)2 - 4m2 = 64 - 3加0 r得加v2设 A(m f yi) , B(x2 , yi),贝U .vi + %2 = 8 - 2m , xxi = nr tyiyz = /n(xi 十 X2)十 xixz 十 nr =

12、 8】 (1)因为L4BI 二 yj 1 + k2y(xi + x2)2 - 4xiX2 二頁寸64 - 32加二10 z7 所以加二南，经检验符合题意.因为 OA 丄OB ,所以 xX2 十 yiyz = nr + Sm = 0 f解得m-8或m = 0（舍去）.所以加二-8 ,经检验符合题意随堂演练基砒巩固学以致用 1. 以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8,若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（）A. （2=8xB.护=8xC. 2=8x 或 b= %D. A2=8y 或 *= 8y答案C解析 设抛物线方程为r二Ipx或y2= - 2px（/0）,依题意得将x二

13、号，代入/二2px或将a =-字代入/= - 2px得lyl -p , 2lvl = 2p = S , p = 4.抛物线方程为y2 = 8x或.y2二-8.v.2. （2019全国II）若抛物线尸=2“（“0）的焦点是椭圆話+彳=1的一个焦点，则卩等于（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 8答案D解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为（$ , 0）,椭圆的焦点坐标为（士回,0）,所以佔岛,解得二8,故选D.3. 设A, B是抛物线W=4y上两点，O为原点，若IOAI = IOBI,且AOB的而积为16,则ZAOB等于（）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90答案D解析 由IOAI二OB

14、 ,知抛物线上点A , B关于y轴对称，设乂 - “，予）,B（“，于） ,qO.Smob1zZ2二产2心孑二16 z解得二4 , AOB为等月要直角三角形，ZAOB = 90.4. 过抛物线y2=4.r的焦点作直线交抛物线于A（xlf y,）, Bg 力）两点，如果+小=6,则AB=.答案8解析 因为直线AB过焦点F(LO),所以IABI二M十x?十“二6十2二&5. 已知抛物线x=-y直线与抛物线的位置关系 弦长及焦点弦问题(4) 与弦有关的结论2方法归纳：待定系数法.公式法、转化法、设而不求与过点(一 1.0)且斜率为k的直线相交于A, B两点，O为坐标原点, 当8OB的而积为帧时，贝=

15、.答案4解析 过点(-1,0)且斜率为k的直线方程为y二k(x十1 )(RH0),由方程组、一 *消去x整理得妒十y-20,y = k(x + 1),二1十4后0,设 A(m , yi) , Bg , yi),由根与系数的关系得yi +yi= -1, yiyi = - 1.设直线与-V轴交于点N ,显然点N的坐标为(-1.0).T SgB = SOAN 十 SOBN=jlOMIyil += ONWy - yzl ,Smob = |x 课堂小结 1知识清单： 抛物线的几何性质 xy/s 十力）2 4阳2=2十4二帧,解得土右3常见误区：不考虑直线斜率的存在情况；焦点弦不能转化为点到准线的距离课时

16、对点练注重双基强化落实、9基础巩固1. 若抛物线尸=人上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A(右普)B (l蹲)c(i f)d(, f)答案B解析 设抛物线的焦点为F.因为点P到准线的距离等于它到顶点的距离，所以点P为线段 OF的垂直平分线与抛物线的交点,易求点P的坐标为時,普).2. 设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A. (6, +8)B6, +8)C(3, +8)D3, +8)答案D解析抛物线的焦点到顶点的距离为3 ,.需二 3 ,即“二 6.又抛物线上的点到准线距离的最小值为$ ,.抛物线上的点到准线距离的取值范围是3 ,十

17、8).3. 设0为坐标原点，尸为抛物线屮=4兀的焦点，A为抛物线上一点，若OA AF=4,则点 A的坐标为()A. (2, 2y2)B. (1,2)C. (1, 2)D. (2,22)答案C解析设A(x , y)，则护二4*，又页=(x , y) , AF=( -x, - y),所以OAAF 二 x - a2 - y1- - 4.由解得X二1 , y = 2.4. 设抛物线y2=8.r的焦点为F,准线为/, P为抛物线上一点，朋丄/, A为垂足，如果直线 AF的斜率为一萌，那么1/1等于（）A 4、/5 B. 8 C 83 D 16答案B解析如图二4,加二 ZAFE 二 60。， ZFAP 二

18、 60 ,又 I加二 IPFI , 用F为等边三角形，又RkMEF 中 f ZAFE=60 r EF = 4 , IAFI 二 8 #/. PF 二&5. 过抛物线y2=2PA（p0）的焦点作直线交抛物线于P, 0两点，若线段P0中点的横坐标为3, IP0I=1O,则抛物线方程是（）A. y2=Sx B y2=2x C y2=6x D y2=4x答案A解析 设 P（xi , yi） , Q（xi , yi）,X 十 X2 贝！J-2 二 3 / 即 Xi + x2 = 6.又陀二“ +兀2十”二10 ,即”二4，.:抛物线方程为y2 = 8x.6. 设抛物线/=16.r一点P到对称轴的距离为1

19、2,则点P与焦点F的距离PH=.答案13解析 设PUJ2），代入y2 = 16.V，得/二9 ,:.PF = x + 号二 9 十4二 13.7. 过M(2.0)作斜率为1的直线/交抛物线y2=4.r于A, B两点，则L4BI=.答案4&解析设 A(xi , yi) , 5(x2 , yi),由题意知I的方程为y = x-2,与尸二4.x-联立得，%2 - 8.v + 4 = 0 ,贝+a-2 = 8 , xiQ 二 4 ,所以L4BI 二 yj 1 + PLvj - xil =羽、(X】十兀2尸-4xiX2 二 4&.&已知正三角形的一个顶点位于抛物线尸=2丹0)的焦点，另外两个顶点在抛物线

20、上，那么满足条件的正三角形的个数为.答案2解析 根据抛物线的对称性,正三角形的两个顶点一走关于x轴对称,且过焦点的两条直线 倾斜角分别为30啣150。，这时过焦点的直线与抛物线只有两个交点,所以正三角形的个数 为2.9. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一 点，且SM1=0, L4FI=3,求此抛物线的标准方程.解 设所求抛物线的标准方程为a-2二2py(p0),设 A(ao , yo),由题意知 0 2)VL4FI = 3,5十壬二 3 ,VIAMI 二 0 ,.坊十()十少二17 ,.*妨=8，代入方程xo = 2/7V0得，8 = 2“(3 -

21、,解得 p 二 2 或”二 4.所求抛物线的标准方程为x2二4，或2二8,y.10. 已知直线/经过抛物线y=6x的焦点F,且与抛物线相交于A, B两点.若直线/的倾斜角为60。，求L4BI的值：(2)若L4BI=9,求线段AB的中点M到准线的距离.解(1)因为直线/的倾斜角为60 J所以其斜率k = tan 60。二萌， 又XL L所以直线/的方程为 二夙x - !)19j肖去)、彳导 4X2 - 20% + 9 = 0 ,解彳寻x/ -2 = 7 f故 IABI 二 y/+(X=2X4 二& 设 A3 , yi) , B(x2 , ya) /由抛物线定义,知L4BI二L4FI十1BF1 二

22、M十g*十X2十与二X】十X2十“二XI十X2 + 3二9 ,所以 M +x2 = 6 , 于是线段AB的中点M的横坐标是3 f3又准线方程是* 办 所以M到准线的距离等于3N综合运用11 .直线y=x+b交抛物线尸芬2于A, B两点，O为抛物线顶点，OA丄OB,则b的值为(A. 一 1 B. 0 C 1 D 2答案D 解析设 AUi f yi) , B(X2 t yi) t化简可得-V2 - 2v - 2Z = 0 ,故 X +x2 = 2 , XX2 = - 2h ,所以 yiyi = xiX2 + b(x + x?) + 护 二 b2.又 OA.LOB ,所以xx2 + 2 二 0 ,即

23、-2h + b2 = 0 ,贝忤二2或b二0 ,经检验当b二0时，不符合题意，故b二2.12. 已知抛物线y2=2/zv(p0),过其焦点且斜率为1的宜线交抛物线于A, B两点，若线段的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A. x= B. a=1 C. x=2 D. x=2答案A解析 抛物线的焦点为冷，0),所以过焦点且斜率为1的直线方程为y二x詣，即x二y +纟V十 V2 代入)2二2px f得y2 = 2py十p2 ,即y2 - 2py -/r = 0 r由根与系数的关系,得 =p = 2(yi ,W分别为点A , B的纵坐标)，所以抛物线方程为尸二4x ,准线方程为x二-1.13

24、. 已知抛物线C： 2=8.r的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在抛物线C上，且L4K=V2L4FI,则的面积为( )A. 4 B 8 C 16 D 32答案B解析 如图，易知F(2.0) f K(2.0),过点A作AM垂直准线于点M ,则L4MI 二 AF.：.AK = yf2AM r.AMK为等腰直角三角形设 A（凡2承?）（?0）,则 8FK 的面积 S 二 * X 2y2m X4 = 42/n.又由IAK1 = y2AM f 得伽? + 2）2 + Sm2 = 2（m2 十 2）2 f解得m二a/2. lAFK 的面积 S 二 4% 二 &14. 已知点A（2,0）, B为抛物线y2=x上的一点，则L4D的最小值为口呆2解析设点B（x ,