函数的奇偶性

1、函数的奇偶性函数的奇偶性创设情景:w观察图片偶函数w你会画下列函数图象吗你会画下列函数图象吗?wf(x)=X2wf(x)=|x| (1)画好后观察他们图象的共同特征画好后观察他们图象的共同特征.（2）画好后，继续填写下列表格并观察）画好后，继续填写下列表格并观察相应的两个函数值对应值表是如何体现这些特征的相应的两个函数值对应值表是如何体现这些特征的x-3-2-1012 3f(x)=x21234 5 y12x33210 x-3-2-101 23f(x)=|x|例如：对于函数例如：对于函数f(x)=x2有有f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-x)=

2、(-x)2=x2xyo( x,y)(-x,y)f(-x)f(x)-xx思考思考 : 通过练习通过练习,你发现了什么规律你发现了什么规律?f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(-x)=f(x)结论结论:当自变量当自变量x任取定义域中的两个相反任取定义域中的两个相反数时数时,对应的函数值相等即对应的函数值相等即f(-x)=f(x)如果对于如果对于f(x)定义域内的定义域内的任意一个任意一个x,都有都有f(-x)=f(x), 那么函数那么函数f(x)就叫偶函数就叫偶函数. 偶函数定义偶函数定义: 奇函数w你会画下列函数图象吗你会画下列函数图象吗?wf(x)=1/xwf(x)=x3 画好后观察他

3、们图象的共同特征画好后观察他们图象的共同特征.2.已知已知f(x)=x3,画出它的图象画出它的图象,并求出并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及及f(-x)解解:f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3=-x3xyo-xxf(-x)f(x)(-x,-y)(x,y)f(-2)= - f(2)f(-1)= - f(1)f(-x)= - f(x)思考思考 : 通过练习通过练习,你发现了什么规律你发现了什么规律?说明说明:当自变量任取定义域中的两当自变量任取定义域中的两个相反数时个相反数时,对应的函数值也互为对应的函数值

4、也互为相反数相反数,即即f(-x)=-f(x)奇函数定义:如果对于如果对于f(x)定义域内的定义域内的任意一个任意一个x,都有都有f(-x)=-f(x) ,那么函数那么函数f(x)就叫奇函数就叫奇函数.2( ),( 2,2ff xxx 已知】，求 （2） ，f（2）有意义吗？对奇函数、偶函数定义的说明:(1). 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 Ox-b,-aa,b（2）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若若f(x)为偶函数为偶函数, 则则f(-x)= f(x) 成立。成立。 若若f(x)为奇函数

5、为奇函数, 则则f(-x)=f(x)成立。成立。（3） 如果一个函数如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数是奇函数或偶函数,那么我们就说函那么我们就说函 数数f(x) 具有奇偶性。具有奇偶性。练习1. 说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _ f(x)=x _奇函数f(x)=x -2 _偶函数 f(x)=x5 _ f(x)=x -3 _ 说明：对于形如说明：对于形如 f(x)=x n 的函数，的函数， 若若n为偶数，则它为偶函数。为偶数，则它为偶函数。 若若n为奇数，则它为奇函数。为奇数，则它为奇函数。w例例1. 判断下列函数的奇偶性判断下列函数

6、的奇偶性(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2解解: 定义域为定义域为Rf(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)即即 f(-x)= - f(x)f(x)为奇函数为奇函数解解:定义域为定义域为R f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2即即 f(-x)= f(x)f(x)为偶函数为偶函数21xfxx22（ ） fxx（ ）学生练习学生练习2. 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性fxx0, （ ）的定义域为为），定义域不关于原点对称，不具有奇偶性221xfx10 x221xfxx（ ）的定义域为【， ）（0，1】 化简后 （

7、 ）为奇函数注：先求定义域，后化简，再判断注：先求定义域，后化简，再判断例例2. 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性 f(x)=x+1n解解: f(x)的定义域为的定义域为Rn 但但f（1)=0,n f（1)=2n f（1)=-2 f（1) f（1) f（1) f（1)所以所以f（x)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数也就是也就是f（x)不具有奇偶性不具有奇偶性yox学生练习3. 判断下列函数的奇偶性w解解: (3) f(x)的定义域为的定义域为Rw f(-x)=f(x)=5w f(x)为偶函数为偶函数(3). f(x)=5 (4) f(x)=0解解: (4)定义域为定义域

8、为R f(-x)=f(x)=0 又又 f(-x)=-f(x)=0f(x)为既奇又偶函数为既奇又偶函数yox5oyx说明说明: 函数函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。w 奇函数w 说明：根据奇偶性, 偶函数w 函数可划分为四类: 既奇又偶函数w 非奇非 偶函数2.奇偶函数图象的性质: (2) 奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称. 反过来反过来,如果一个函数的图象关于原点对如果一个函数的图象关于原点对称称, 那么这个函数为奇函数那么这个函数为奇函数.(1)偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称. 反过来反过来,如果

9、一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y轴对称轴对称, 那么这个函数为偶函数那么这个函数为偶函数.注：奇偶函数图象的性质可用于：注：奇偶函数图象的性质可用于： .简化函数图象的画法。简化函数图象的画法。 .判断函数的奇偶性。判断函数的奇偶性。3fxx例 ，判断函数 （ ） （|x|+2)的奇偶性，并利用其对称性画出它的图像本课小结:1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x , 如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。2.两个性质:一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。补充作业：补充作业：1fxfx。已知 （ ）在定义域内既是奇函数又是偶函数，（1）求证： （ ）0（2）试问这样的函数只有一个吗？2fxfx。设 （x)是定义在R上的奇函数，当0时，f(x)=x(1-x),求 （ ）在R上的解析表达式fxgx,fxgx3。设 （ ）与 （ ）分别是奇函数和偶函数，1且f(x)