浙江省诸暨市城区五校联考2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

1、浙江省诸暨市城区五校联考2020-2021学年九年级上学期期中数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1 .抛物线y =1）2+2的对称轴是直线（）A. x=2B. x = 2C. x= 1D. x = 2 .下列事件中，是随机事件的是（）A.任意选择某一电视频道，它正在播放新闻联播B.三角形任意两边之和大于第三边C. 是实数，同一0D.在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球3 .抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个而上分别标有1, 2, 3, 4, 5, 6, 则朝上一面的数字为5的概率是（）A. -B. -C. -D.-63264 .如图，DE是ABC的中位线，则4ADE与四边

2、形BCED的面积的比是（）5 .抛物线y = x? -6x + 9与坐标轴的交点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 36 .如图，。ABCD的顶点A. B. D在O上，顶点C在O的直径BE上，NADC=53° , 连接AE,则NAEB的度数为（）A. 37°B. 46°C. 27°D. 63°7 .已知二次函数的图象（必03）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A.有最小值0,有最大值3B.有最小值-1,有最大值0C.有最小值-1,有最大值3D.有最小值-1,无最大值8 .如图，在口ABCD中，AB=3, BC=

3、4.以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点匕交CD于点Q,再分别以点P, Q为圆心，大于1PQ的长为半径画弧，两弧相交 2于点N,射线CN交BA的延长线于点E,则AE的长是（）9 .如果一种变换是将抛物线向左平移1个单位或向下平移2个单位，我们把这种变换 称为抛物线的简单变换.己知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y = x2 + , 则原抛物线的解析式可能的是（）A. y = x2 -2x + 4 B. y = x2 -4x + 5 C. y = x2 +5 D. y = x2+ 2x10.如图1,在等腰三角形ABC中，AB=AC=4, BC=6.如图2,在底边BC上取一点 D,连结

4、AD,使得NDAC=NACD.如图3,将4ACD沿着AD所在直线折叠，使得点 c落在点E处，连结BE,得到四边形ABED.则BE的长是（）填空题12 .已知P是线段A8的黄金分割点，PA>PB. AB=2cm9则用为cm.13 .如图，AD是RtZXABC斜边BC边上的中线，G是AABC的重心，如果BC=6,那 么线段GD的长为.14 .已知AB=10？的梯子斜靠在墙上，AC±BC, NBAC=30° ,当梯子下滑到A'B'时，NCA'B'=60° ,记梯子的中点为M,则下滑的过程中，中点M运动的路程长是 in15 .如图，在

5、直角AABC中，NC=90。，AC=6, BC=8, P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使4APQ是等腰三角形且aBPQ是直角三角形，则BP=.16 .如图，在四边形 ABCD 中，ABCD, ZC=ZD=60° , AB=4, AD=2jJ，点 P为CD边上一动点，若NAPB=45° ,则DP的长为.三、解答题17 .如图所示，已知AABC的顶点A、B、C的坐标分别是A(-l, -1)、B(-4, -3)、C(-4, -1).(1)作出AABC关于原点O中心对称的图形AA' B' C'；(2)将AABC绕原点O按顺时针方向旋转90°

6、;后得到AiBiCi,画出AiB】C】.(3)求出扇形AAQ的面积.18 .最近诸暨城市形象宣传片西施故里好美诸暨正式发布，此篇历时6个月拍摄, 从不同角度向世界介绍了诸暨，现有一个不透明的口袋装有分别标有汉字“好”、“美”、“诸”、“暨”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球 前先搅拌均匀再摸球.(1)若从中任取一个球，球上的汉字“美”的概率是多少.(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法，求出 甲取出的两个球上的汉字恰能组成“诸暨”的概率P.19 .某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100 件.经过调查发现，这

7、种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少20件.设这 种商品的销售单提高x元.(1)现每天的销售量为 件，现每件的利润为 元.(2)求这种商品的销售单价提高多少元时，才能使每天所获利润W最大？最大利润是 多少？20 .如图，AB是。的直径，C是弧BD的中点，CE1AB,垂足为E, BD交CE于点 F.(1)求证：CF=BF；(2)若AD=6,。0的半径为5,求BC的长.21 .如图，ZkABC是一块等边三角形的废铁片，其中AB=AC=10cm, BC=12cw .利 用其剪裁一个正方形DEFG,使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F. G分别落在 AC、AB±.（1）小聪想：要画

8、出正方形DEFG,只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的 长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.请你帮小聪求出正方形的边 长.（2）小明想：不求正方形的边长也能画出正方形.具体作法是：在AB边上任取一点G，如图2作正方形GTTEF：连接BF并延长交AC于点F：过点F作FEFE交BC于点E, FGFG交AB于点G, GDGD交BC于点D, 则四边形DEFG即为所求的正方形.你认为小明的作法正确吗？说明理由.22 .定义：如图1,抛物线），=0?+以+。（”工0）与乂轴交于人，B两点，点P在该抛 物线上（P点与A. B两点不重合），如果4ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一

9、边 是另一边2JT倍，则称点P为抛物线），=如2+以+ c（aWO）的“好”点.（1）命题：W，3）是抛物线），= /+2x +3的“好”点.该命题是（真或假）命题.（2）如图2,已知抛物线C：y = or2+bx3<0）与x轴交于A, B两点，点P（l, 2）是 抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式.（3 ）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上,求满足条件S.,、abq=S.sbP的Q点（异于点P）的坐标.23 .如图1,在AABC中，AB=AC=10, BC=16,点D为BC边上的动点（点D不与点B, C重合）.以D为顶点作NADE=NB,射线DE交AC边于点E,过点A作AFJ_

10、AD交 射线DE于点F,连接CF.（1）求证：ABDs/kDCE：（2）当DEAB时（如图2）,求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF?若存在，求出 此时BD的长：若不存在，请说明理由.1图224 .如图，已知二次函数y = /+/?x + c（b, c为常数）的图象经过点A（3, 1）,点C（0,4）,顶点为点M,过点A作AB/轴，交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连 结BC.（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标：（2）若将该二次函数图象向下平移?（皿0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的 顶点与AABC的外心重合，求团的取值：（3）点P是坐标

11、平面内的一点，使得4ACB与MCP,且CM的对应边为AC,请写 出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）.参考答案1. c【解析】【分析】利用顶点式直接求得对称轴即可.【详解】解：抛物线y = (x-l)2+2的对称轴是直线x = l.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的性质，抛物线y =，«x-")2+k是抛物线的顶点式，抛物线的顶点是(,)，对称轴是直线X=儿2. A【详解】解：选项A属于随机事件，所以A对；选项B属于必然事件，所以B不满足题意；选项C属于必然事件，所以C不满足题意；选项D属于不可能事件，所以D不满足题意：故选A.3. A【分析】让朝上一而的数字

12、是5的情况数除以总情况数6即为所求的概率.【详解】解：抛掷六个面上分别刻有的1，2, 3, 4, 5, 6的骰子有6种结果，其中朝上一面的数 字为5的只有1种，朝上一面的数字为5的概率为:，O故选：A.【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等 于所求情况数与总情况数之比.4. C【分析】根据三角形中位线性质得出。石= LbC, DEI IBC,推出 g =AADEMBC .2BC 2S i根据相似三角形性质得出萨些=工，即可求出答案.3 MBe 4【详解】解：是AA8C的中位线，/. DE = -BC. DEUBC.2DE 1=,AAOEsaAB

13、C,BC 2.'m)e 一 1S3 '。四边形6cm ，故选：c.【点睛】本考查了三角形的中位线性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积 比等于相似比的平方.5. C【解析】当D时,)=9,则与轴的交点坐标为(09),当.v=0 时，x2-6x+9=0> =(-6)4x 1x9=01所以，该方程有两个相等的实数根，即抛物线y = x?-6x+ 9与X轴有一个交点,综上所述，抛物线y = x? -6x +9与坐标轴的交点个数是2个。故选：C.6. A【分析】 先利用平行四边形的性质得到NB = NADC = 53。，再根据圆周角定理得到N8AE = 90。

14、，然 后利用互余计算出ZAEB的度数.【详解】解：四边形A8CO为平行四边形，NB = ZADC = 53。，.4E为圆的直径，.ZZME = 90°,/.ZAEB = 90°-53° = 37°.故选：A.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所 对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是 直径.也考查了平行四边形的性质.7. C【详解】根据函数图象自变量取值范闱得出对应y的值，即是函数的最值.解答：解：根据图象可知此函数有最小值-1,有最大值3.故选C.8. B【

15、分析】根据题干中的作图过程得出CE平分NBCD,再利用平行四边形的性质得到ZBCE = ZAEC, 从而证明BE = BC即可解决问题.【详解】解：.由题意可知CE是的平分线，:.ABCE = ADCE .四边形A3CD是平行四边形，AB/CD,ZDCE = ZE,：.ZBCE = ZAEC , ：.BE = BC = 4,A8 = 3, :.AE = BE-AB = ，故选：B.【点睛】本题考查的是作图-基本作图，涉及到平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟知角平分 线的作法是解答此题的关键.9. A【分析】根据图象左移加，右移减，图象上移加，下移减，可得答案.【详解】解：A、' =

16、 x2-2x + 4 = (a-1)2+3,先向左平移1个单位得到y = /+3,向下平移2单位可以得到y = W + l,故4可能是；3、y = x2-4x + 5 = (x-2)2 + l,先向左平移1个单位得到，=一1尸+1,向下平移2单位可以得到y = f1,故8不可能；C、，= 丁+5,先向左平移1个单位得到y = (x + l/+5,再向下上平移2个单位得到y = (x + l)2+3,故C不可能：D、y = x2+2x = (x + )2-,先向左平移1个单位得到y = (x + 2)2 + l,再向左平移1个单位得到y = (x + 2)2 l,故。不可能.故选：A -【点睛】

17、本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析 式求得平移后的函数解析式.10. A【分析】4 0 nr只要证明4两/心3,得37 =,，求出8M、8。即可解决问题.BM BE【详解】解：VAB = AC,.ZABC = NC, ZDAC = ZACD.ADAC = ZABC .zc=zc.AC4Z>>ACBA ,CA CDcbca'4 CD 一 = 一，64.CO = §, BD = fiC-CD = 6- = , 33 3: ZDAM=ZDAC = ADBA,= ZADB，8AD DM nn 3 DMB利即兹丁，T 3：.D

18、M=-9 MB = BD-DM = -=-9153 15 5ZABM=NC = ZMED,.A、B、E、。四点共圆，:.ZADB = BEM, AEBM = ZEAD = ZABD,.AB _BD丽二丽6 10.群处丝= . =AB 4故选：A.【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关 键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题.11.116【分析】由色=*,根据比例的性质，即可求得二的值. h 6b【详解】解： b 6.a + b 5 + 6 II 故答案为：. 6【点睛】本题考查了比例

19、的性质.此题比较简单，解题的关键是熟练掌握比例的性质与比例变形.12. 75-1【分析】把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是在. 2【详解】P为线段AB的黄金分割点，且PA>PB, AB=2cm,.PA =AB =省？ x 2 =（正一 1故答案为【点睛】分析题意可知，本题主要考查了黄金分割，弄清楚黄金分割的定义是解答此题的关键；13. 1【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到AO = 8C = 3,然后根据重心的性质得，DG = -AD = . 3【详解】解：.AO是斜边8C边上的中线，：.AD = -BC = -

20、x6 = 3. 22G是AA3C重心，/. DG = AD = 1. 3故答案为：1.【点睛】本题考查了三角形的重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.514. 一汽6【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出NMCAT的度数，再由弧长公式即可得出答案.【详解】解：设48的中点为M, ATT的中点为“'，连接CM、CMf,如图所示：由题意得：A'B' = AB = 10/fi,AC IBC,ZACB = 90°,.CM =-AB = AM= 5m , CM' = A'

21、B' = B'M' = 5m , 22：.CM = CM ZA/C4 = Za4C = 30。，ZA/'CE = ZA'B'C,中点M运动的路径是以C为圆心，CM长为半径的MW J NC4'B' = 60°,，Z/T&C = 30。，.I ZA/'CB'= ZAEC = 30° ,.ZA/CW = 90° - 30° - 30° = 30。，二中点M运动的路程为注了 二 口万(?)：loO O【点睛】本题考查了轨迹、直角三角形斜边上的中线性质、直角三角形的性

22、质、等腰三角形的性质以 及弧长公式等知识；熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质是解题的关 键.,5015. 5 或一 7【分析】 分两种情形分别求解：如图1中，当42 = PQ, /QP8 = 90。时，当AQ = P。，NPQ5 = 90。时.【详解】解：如图1中，当AQ = PQ, /。尸8 = 90。时，设AQ = PQ = x,/ PQ/AC,.ABPQSBCA,10-x_x10 "615.x , 4.BQ=10 一2，BP= QBQ2-PQ2 =，2515=5：图1如图2中，当AQ = PQ, NPQ8 = 90。时，设AQ =尸。=y.: SBQPABCA

23、,. PQBQ AC - 8C 'y 10-y6= 830、VAB=10t30 40ABQ=10-= 77；BP= JPQ+BQ?=图2综上所述，满足条件的BP的值为5或（力。【点睛】 本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学 会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题.16. 2 + 亦一/或 2 +。+ " 【分析】 如图，作A” _LC。于，以A8为底边向下作等腰直角A4OB,以。为圆心。4为半径作 0。交 CO 于 6, P,连接从片，地,ap2, BP2, OP, OP2,作 OE_LA8 于上交cd 于厂.解直

24、角三角形求出。4，。&即可.【详解】解：如图，作A”_LCZ）于，以48为底边向下作等腰直角MOB,以。为圆心04为半 径作O。交CO于6，鸟，连接A4, BP, AP2, BP2, OP1, OP,作OE_LA8于E 交CD于F.则 468 = 463 = 45。，OE = AE = EB = 2, OP,=OP.= 2>/2在 RtAADH 中，v AD = 2y/3 . ZD = 60°,：.DH =-AD = , AH = EF = 3, OF = EF-OE = , 2:产=FP =B. DF = DH + FH =6+2,二。=2+石-a,。4=2+旧+&q

25、uot;故答案为2 +百-/或2 + 6 + ".【点睛】本题考查直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.17. （1）见解析；（2）见解析：（3）:【分析】（1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案：(2)直接利用旋转的性质得出对应点位置，顺次连接即可得出答案:(3)直接利用扇形而积求法得出答案.【详解】解：(1)如图所示：ABU,即为所求：(2)如图所示：AgG，即为所求：(3)扇形44。的而积为：9。"2)=乙.3602【点睛】本题主要考查了扇形面枳求法以及旋转变换，正确得出对应点

26、位置是解题关键.18. (1) : (2)46【分析】(D直接根据概率公式计算可得；(2)先画树状图列出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计 算可得.【详解】解：(1)从中任取一个球，球上的汉字“美”的概率是(2)画树状图如下:开始由树状图知，共有12种等可能结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“诸暨''的有2种 结果，21所以取出的两个球上的汉字恰能组成“诸暨''的概率p=W .12 6【点睛】本题主要考查列表法与树状图法，列举法(树形图法)求概率的关键在于列举出所有可能的 结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重

27、不漏地列出所有可能的 结果，通常采用树形图.19. (1) (100 - 20x), (2+x)； (2)单价提高1.5元时,每天获得的最大利润为245元.【分析】(1)设这种商品的销售单价提高x元，则销量为(100-20、)件，每件的利润(10-8 + x) = (2 + x)件：(2)根据利润=数量x每件的利润建立卬与x的关系式，由二次函数的性质就可以求出结 论.【详解】解：(1)设这种商品的销售单价提高1元，则销量为(100 - 20x)件，每件的利润(10-8 + x) = (2 + x)件，故答案为：(100 20x), (2 + x)； (2)设商店每天获得的利润为W元，则W =

28、(2 + x)(l00 - 20a) = -20a-2 + 60x + 200 ,当 X = 1.5 时，i% 大=245,所以这种商品的销售单价提高1.5元时，每天获得的最大利润为245元.【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大.20. （1）见解析；（2） 275【分析】3）连接AC,由圆周角定理得出NAC3 = 90。，证出N8AC = N8CE：由。是弧8。的 中点，得到的C = NC0B,从而得到NBCE = NDBC,即可得到结论；（2）连接。C交3。于G,由圆周角定理得出NAO5 = 90。，由勾股定理得出BD = a/AB2-A

29、D2 =8* 由垂径定理得出OC_L8O，DG = BG = BD = 4,证出。G是 ABD的中位线，得出OG = ；A£） = 3,求出CG = OC OG = 2 ,在RtABCG中，由勾股定 理即可得出答案.【详解】解：（1）证明：连接AC,如图1所示：.C是弧3。的中点，：.ZDBC = ABAC,在ABC中，ZACB = 90% CE工AB,：.ZBCE + ZECA = ZBAC + ZECA = 90%，ZBCE = ZBAC ,又C是弧的中点，：qBC = NCDB,：.ZBCE = ZDBC ,（2）解：连接OC交3。于G,如图2所示:,43是。的直径，/W =

30、26>C = 10,.ZAD3 = 90。，/. BD = y/AB2 - AD2 =V102 -62 = 8，C是弧3。的中点，:.OCLBD. DG = BG = -BD = 49 2；OA = OB、.,.OG是AABD的中位线，:.OG = -AD = 39 2:.CG = OC-OG = 5-3 = 2f在 RtABCG 中，由勾股定理得：BC = >jCG2 + BG2 = 722 + 42 = 25/5 .【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理、等腰三角形的判定等知 识：熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键.2421. （1）二：（2）

31、正确，理由见解析【分析】（1）设正方形的边长为X ,作A48C的高A”,可以求出A”的长，然后根据AAGFsMBC 利用其对应边成比例可以列出关于x的方程，然后求出x,也就求出了正方形边长：（2）首先作一个正方形，然后利用位似图形作图就可以得到正方形QEFG，利用作法中的 平行线可以得到比例线段，再根据比例线段就可以证明所作的图形是正方形了.【详解】解：（1）设正方形的边长为x,作AA3C的高.A8C 等腰三角形，AB = AC = iOcm, BC = 2cm,:.BH = CH=-BC = 6,2.AH=yjWr = S，,GF/BC,x 8-x二=,12874 解之得：x = =,J,正

32、方形的边长为24(2)正确,由已知可知，四边形GOE尸为矩形，；FE/FE ,二 BEFsEF，,FE _FB 同=诉叫FGFB同=FG FB.FE _ FG FT7"7,又FfE = FG,:.FE = FG，矩形G0"为正方形.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.17722. (1)假：(2) y = -x2+-x； (3) (-, 2).JJ乙【分析】（1） y = -x2 + 2x + 3 = 0,则x = 3或一1，即点4、3的坐标分别为：（-1,0）、（3,0）, 即可求

33、解：（2）分尸4 = 2"/中、=两种情况，分别求解即可；（3） SqBQ=Su8P，则点尸、。关于抛物线对称轴对称，即可求解.【详解】解：令），=/ + 2x + 3 = 0 ,则x = 3或1,即点A、8的坐标分别为：（-1,0）. （3,0）,则A = VT+9 =晒，PB = 3&，则B4与必两条边满足其中一边是另一边的2&倍，则该命题是假命题，故答案为：假：（2）将点。的坐标代入抛物线表达式得：a+b = 2,点 40,0）,则点 8（g2,。），点 P（L2）,a一，7则抬2 =5,户外=4 + （z-i）2=4 + （二尸， aa当/<4 = 2&

34、amp;生时，即5 = 84 + （_尸,解得：方程无解:a当P8 = 2也/,4时，24 + （/=5x8 = 40,a解得：a = -9则沙=?,3317故抛物线的表达式为：y = x2+-x：（3）SqB0=Su8P，则点尸、。关于抛物线对称轴对称，7函数的对称轴为：x =，27则点。的坐标为：（5，2）.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解，其 中（2）,要注意分类求解，避免遗漏.23. (1)见解析；(2) ： (3)存在，BD=932【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到NB = N4C8,根据三角形的外角性质得到= NCDE，根据两

35、角对应相等的两个三角形相似证明即可：(2)证明MMsACBA,根据相似三角形的性质求出8。，根据平行线分线段成比例定理 列式求出A石：(3)作FH_L8C于，AM_L3C于M，AN _L FH于N .根据勾股定理求出AM , 证明d4/WsA4OW,根据相似三角形的性质求出/W4,根据等腰三角形的性质计算，得 到答案.【详解】解：(1)证明：/ AB = AC,:.ZB = ZACB,/ZADE+ZCDE = ZB + ABAD, ZADE = ZB9ABAD = ZCDE,又 ZB = ZACB，, SBAXSDCE .(2)解：-DEIIAB.:MDEsCBA,ACDEsMBD ,二.SA

36、BDsdCBA,AB BD nn 10 BD二 = , 即一= ,BC AB 161025解得，BD = , 4;DEAB,AE BD二=，即AE _ 4 ,AC BCm=而125解得，AE =：32(3)点。在3c边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF = CF .理由如下：如图3,作FH工BC于H, AW_L3c于M，AN工FH于N .则四边形为矩形，.NM4A，= 90。，MH = AN , A8 = AC, AM 工 BC ,.BW=CM=%C = 8, 2在RlAABM中，由勾股定理，得=定理一对=6./. tan B =AM _3丽=4'-ZADE = ZB./. tail ZADE =AF_3. AN 上 FH