常微分方程应用

1、兰州大学兰州大学核科学与技术学院核科学与技术学院2022-4-141 把把R-K方法方法中的中的 f 和和 y 看作看作向量来处理，这样向量来处理，这样就就就就可以把上述公式应用到求解可以把上述公式应用到求解一阶常微分方程一阶常微分方程组组中中。 一阶常微分方程组的一般形式一阶常微分方程组的一般形式12( ,)1,2,iiNyf x y yyiN 初值条件：初值条件：00()1,2,iiy xyiN向量格式：向量格式：0001201212(,)(,)(,)NNNyy yyyyyyffff常微分方程组的一般形式常微分方程组的一般形式兰州大学兰州大学核科学与技术学院核科学与技术学院2022-4-1

2、420000( , , ),()( , , ),()oe x o po xopg x o pp xp考虑由考虑由两个方程两个方程组成的组成的一一阶常微分方程阶常微分方程组组1123411234(22)6(22)6nnnnhooTTTThppLLLL相应的相应的R-K格式为格式为11234(22)6nnhyykkkk兰州大学兰州大学核科学与技术学院核科学与技术学院2022-4-14式式中中： 112111221112312223122241334133(,)(,)(,)22(,)22(,)22(,)22(,)(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnTe xopLg xophhTe

3、xoTpLhhLg xoTpLhhTe xoTpLhhLg xoTpLTe xohTphLLg xohTphL121123122413(,)(,)2(,)2(,)nnnnnnnnkf xyhkf xykhkf xykkf xyhk兰州大学兰州大学核科学与技术学院核科学与技术学院2022-4-144 高阶方程组高阶方程组考察考察m m阶常微分方程组的一般形式阶常微分方程组的一般形式()(1)( , ,)mmyf x y y yy初值条件：初值条件：(1)(1)000000(),(),()mmy xyy xyyxy引进新的变量：引进新的变量：(1)12,mmyyyyyy相应的初值条件：相应的初值条

4、件：(1)10020000(),(),()mmy xyy xyyxy兰州大学兰州大学核科学与技术学院核科学与技术学院2022-4-145例例 给出下列常微分方程等价的给出下列常微分方程等价的一阶方程组一阶方程组，给，给出出相相 应的应的四四阶阶R-K格式，及其格式，及其K函数函数？00(1)()1,()1oooo xo x 引入变量引入变量 ，化为化为一阶方程组初值问题一阶方程组初值问题: :po00(1)()1, ()1opppoo xp x 兰州大学兰州大学核科学与技术学院核科学与技术学院2022-4-146相应的相应的R-K格式为格式为式中式中 1123411234(22)6(22)6n

5、nnnhooTTTThppLLLL11212113232243433(1)2()1()222()1()22()1()nnnnnnnnnnnnTpLpohTpThhLpToLhTpThhLpToLTphTLphTohL兰州大学兰州大学核科学与技术学院核科学与技术学院2022-4-147 刚性刚性方程方程组组一般系统：一般系统：( )( )dyAy tg tdt定义定义：若线性系统中若线性系统中A的特征值为的特征值为j，满足条件，满足条件j=Re(j)1时，时，A为为病态矩阵病态矩阵，故刚性方程也称为，故刚性方程也称为病态方程病态方程。通常。通常s10就认为是刚性就认为是刚性的，的，s越大病态越大

6、病态越严重越严重。11Re() /Re()1maxminjjj Nj Ns 兰州大学兰州大学核科学与技术学院核科学与技术学院2022-4-14本章小结本章小结 本章介绍了常微分方程初值问题的基本数值解本章介绍了常微分方程初值问题的基本数值解法。包括法。包括单步法单步法和和多步法多步法。单步法主要有。单步法主要有欧拉法欧拉法、改进欧拉法改进欧拉法和和龙格龙格库塔方法库塔方法。多步法是。多步法是亚当姆斯亚当姆斯法法。 基于基于把一个把一个连续的定解问题离散化为一个差分连续的定解问题离散化为一个差分方程来求解方程来求解，是一种步进式的方法。用，是一种步进式的方法。用多步法求常多步法求常微分方程的数值

7、解可获得较高的精度微分方程的数值解可获得较高的精度。 兰州大学兰州大学核科学与技术学院核科学与技术学院2022-4-14 实际实际应用时，选择合适的算法有一定的难度，应用时，选择合适的算法有一定的难度，既要考虑既要考虑算法的简易性和计算量算法的简易性和计算量，又要考虑，又要考虑截断误截断误差和收敛性、稳定性差和收敛性、稳定性。 龙格龙格-库塔法库塔法 较为较为常用，适用于多步方法中作常用，适用于多步方法中作初值计算和初值计算和函数函数 f(x, y) 较为较为简单的场合简单的场合。 四阶四阶的的龙格龙格库塔法库塔法 精度精度高，程序简单，易高，程序简单，易于改变步长，比较稳定，也是一个常用的方法，但于改变步长，比较稳定，也是一个常用的方法，但计算量较大计算量较大。 兰州大学兰州大学核科学与技术学院核科学与技术学院2022-4-1410常微分方程应用常微分方程应用单一超声空化气泡动力学过程的数值分析单一超声空化气泡动力学过程的数值分析王捷王捷陕西师范大学硕士论文陕西师范大学硕士论文20062006兰州大学兰州大学核科学与技术学院核科学与技术学院2022-4-1411兰州大学兰州大学核科学与技术学院核科学与技术学院2022-4-1412兰州大学兰州大学核科学与技术学院核科学与技术学院2022-4-1413兰州大学兰州大学核科学与技术学院