第六章简单超静定问题学习教案

1、会计学1第六章简单第六章简单(jindn)超静定问题超静定问题第一页，共66页。61 61 超静定问题及其解法超静定问题及其解法(ji (ji f)f) 一、关于一、关于(guny)(guny)超静定的基本超静定的基本概念概念 二、求解超静定问题的基本二、求解超静定问题的基本(jbn)(jbn)方法方法第1页/共66页第二页，共66页。一、关于一、关于(guny)(guny)超静定的超静定的基本概念基本概念超静定问题与超静定结构超静定问题与超静定结构(jigu)(jigu)未知力个数未知力个数多于独立平衡方程数多于独立平衡方程数 超静定次数超静定次数 未知力个数与独立未知力个数与独立(dl)(

2、dl)平衡方平衡方程数之差程数之差 多余约束多余约束 保持结构静定保持结构静定多余的约束多余的约束静定问题与静定结构静定问题与静定结构未知力未知力( (内力或外力内力或外力) )个数个数等于独立的平衡方程数等于独立的平衡方程数 第2页/共66页第三页，共66页。ABD FABCD FABDF第3页/共66页第四页，共66页。 二、求解二、求解(qi ji)超静定问题的基本方法超静定问题的基本方法因为未知力个数超过了独立的平衡因为未知力个数超过了独立的平衡(pnghng)方程数，方程数，必须寻找补充方程。必须寻找补充方程。寻找补充寻找补充(bchng)方程方程的途径：的途径：利用结构的变形条件利

3、用结构的变形条件结构受力后变形不是任意的，必须满足以下条件：结构受力后变形不是任意的，必须满足以下条件：1、结构的连续性、结构的连续性2、变形与内力的协、变形与内力的协调性调性变形协调方程变形协调方程补充方程补充方程方法方法1：寻找补充方程法寻找补充方程法（适用于求解拉压超静（适用于求解拉压超静定）定）物理方程物理方程第4页/共66页第五页，共66页。变形比较法（适用于求解变形比较法（适用于求解(qi ji)超静定梁）超静定梁）1 1、建立、建立(jinl)(jinl)相当系统：解除多余约束，代以相当系统：解除多余约束，代以多余约多余约 束反力。束反力。2 2、由梁的变形条件、由梁的变形条件(

4、tiojin)(tiojin)，求出多余约束反，求出多余约束反力。力。3 3、求出多余约束反力后，按静定梁求解。、求出多余约束反力后，按静定梁求解。 相当系统的内力图，应力和变形即为原相当系统的内力图，应力和变形即为原超静定超静定梁的结果。梁的结果。方法方法2 2：静平衡方程静平衡方程补充方程补充方程各杆的内力各杆的内力各杆的应力、变形各杆的应力、变形第5页/共66页第六页，共66页。一、拉压超静定问题的求解一、拉压超静定问题的求解(qi ji)二、温度应力二、温度应力(yngl)和装配和装配应力应力(yngl)第6页/共66页第七页，共66页。一、拉压超静定问题的求解一、拉压超静定问题的求解

5、(qi ji)例题例题(lt)(lt)：求图示杆的：求图示杆的支反力支反力A AB BF Fa ab bABFabAFBF解：解： AB AB 杆受力如图杆受力如图由：由：0yF本问题为共线力系，只有一个本问题为共线力系，只有一个(y (y )独立独立平衡方程平衡方程FFFBA得：得：现有两个未知力，本问题为现有两个未知力，本问题为一次超静定问题一次超静定问题需要建立一个补充方程需要建立一个补充方程第7页/共66页第八页，共66页。ABFabAFBFFFFBAABFBFABFFBABBFBBF变形变形(bin xng)条件：条件：0BFBFBEAFaFB物理物理(wl)条条件：件：EAlFBF

6、BB补充补充(bchng)方程：方程：EAlFEAFaBFlaFBFlbFA第8页/共66页第九页，共66页。ABCD 123Fl图示结构图示结构(jigu),1(jigu),1、2 2杆的抗拉刚度相同，均为杆的抗拉刚度相同，均为E1A1,3E1A1,3杆的抗拉刚度为杆的抗拉刚度为E3A3E3A3，受力如图。，受力如图。求：各杆的内力求：各杆的内力(nil)(nil)。例题例题(lt)(lt)第9页/共66页第十页，共66页。FFN3FN1FN2 ABCD 123Fl本问题本问题(wnt)(wnt)为一次超静为一次超静定定对节点对节点(ji (ji din)Adin)A0sinsin:02N1

7、NFFFx0coscos:02N1N3NFFFFFy得到得到(d (d do)do)：21NNFFFFFNN31cos2还需要建立一个还需要建立一个补充方程补充方程解：解：第10页/共66页第十一页，共66页。ABCD 123F3l1lEA1l结构变形结构变形(bin (bin xng)xng)特点：特点：变形变形(bin xng)(bin xng)前三前三杆汇交于杆汇交于A A点，变形点，变形(bin xng)(bin xng)后三杆仍后三杆仍交于交于A A点。点。由于结构和受力的对称性，由于结构和受力的对称性，A A点只有点只有(zhyu)(zhyu)垂直位垂直位移。移。第11页/共66页

8、第十二页，共66页。变形协调变形协调(xitio)(xitio)方程：方程：cos31llABCD 123F3l1lEA1lA1A23l1lA 123物理物理(wl)方方程程33N33AElFl cosAElFAElFll11N1111N121第12页/共66页第十三页，共66页。A1A23l1lA 12333N33AElFl cosAElFAElFll11N1111N121由变形协调由变形协调(xitio)方程和物理方程，可得到补充方程方程和物理方程，可得到补充方程。coscos333N111NAElFAElF211331N3NcosAEAEFF第13页/共66页第十四页，共66页。ABCD

9、 123F3l1lEA1l平衡平衡(pnghng(pnghng) )方程方程21NNFFFFFNN31cos2补充补充(bchng)方程方程解得：解得：1133322N1Ncos2cosAEAEFFF333113Ncos21AEAEFF211331N3NcosAEAEFF第14页/共66页第十五页，共66页。图示结构图示结构(jigu),1(jigu),1、2 2杆的抗拉刚度相同，均杆的抗拉刚度相同，均为为EAEA，ABAB杆为刚杆杆为刚杆 ，受力如图。，受力如图。 求：各杆的内求：各杆的内力。力。FAB12laaa例题例题(lt)(lt)第15页/共66页第十六页，共66页。本问题本问题(w

10、nt)为一次超静定为一次超静定对杆对杆ABABFAB1NF2NF 0AMFAB12laaa032cos21aFaFaFNN)(3cos221aFFFNN得到得到(d (d do):do):解：解：第16页/共66页第十七页，共66页。CB1l2lCDDBAFAB12laaa变形协调变形协调(xitio)(xitio)方方程程CCDD2由结构的变形由结构的变形(bin (bin xng)xng)图图, ,得到得到1lCCcos2lDD)(2cos12bll物理物理(wl)(wl)方程方程EAlFlN11cos2N22N2EAlFEAlFl补充方程补充方程)(cos221N2NcFF第17页/共6

11、6页第十八页，共66页。CB1l2lCDDBAFAB1NF2NF)(3cos221aFFFNN补充补充(bchn(bchng)g)方程方程)(cos221N2NcFF静平衡方程静平衡方程(fngchng(fngchng) )联解联解( (a) (c),a) (c),得得: :1cos4331NFF1cos4cos6322NFF第18页/共66页第十九页，共66页。1. 温度温度(wnd)应力应力静定结构中当温度变化静定结构中当温度变化(binhu)时，内部不会产生应力时，内部不会产生应力。超静定结构中当温度变化时，内部会产生附加应力。超静定结构中当温度变化时，内部会产生附加应力。温度应力：温度

12、应力：超静定结构因温度变化而产生的应力。超静定结构因温度变化而产生的应力。 ABAB第19页/共66页第二十页，共66页。两端两端(lin dun)固支的直杆固支的直杆AB，长度为，长度为l ，抗拉，抗拉刚度为刚度为EA，热膨胀系数为，热膨胀系数为 l。求：求：温度升高温度升高 后杆内的应力。后杆内的应力。ct0ABl例题例题(lt)第20页/共66页第二十一页，共66页。ABl解：解：TlABRAFRBF 0 xF 本问题本问题(wnt)(wnt)为一次为一次超静定超静定RBRAFF静平衡方程静平衡方程(fngchng(fngchng) )变形变形(bin xng)(bin xng)协协调方

13、程调方程0FTlll物理方程物理方程tlllTEAlFlRAF联解，得：联解，得：tEAFFlRBRAFl第21页/共66页第二十二页，共66页。tEAFFlRBRAABlRAFRBF杆端的杆端的(dund)约束力为：约束力为：杆中的温度杆中的温度(wnd)应力为应力为：tEAFlRAT温度应力与杆的横截面面积温度应力与杆的横截面面积A，杆的长度，杆的长度(chngd) l 无无关。关。 无法用加大横截面面积的方法来无法用加大横截面面积的方法来减小温度应力减小温度应力第22页/共66页第二十三页，共66页。ABlRAFRBF杆中的温度杆中的温度(wnd)应力为：应力为：通过一组数据说明通过一组

14、数据说明(shumng)(shumng)温度应力的温度应力的大小：大小：钢材的热膨胀系数钢材的热膨胀系数 GPaECl200,)(105.12106Ct050求：温度升高求：温度升高 时的时的温度应力。温度应力。tEAFlRAT解：解：tElT50105.121020069MPa125温度应力的大小是很大的，工程温度应力的大小是很大的，工程(gngchng)中应当中应当设法避免。设法避免。第23页/共66页第二十四页，共66页。温度温度(wnd)(wnd)应力的大小是很大的，工程中应当应力的大小是很大的，工程中应当设法避免设法避免常使用常使用(shyng)(shyng)的的方法：方法：1 1、

15、结构中适当、结构中适当(shdng)(shdng)留一些间留一些间隙，（如钢轨隙，（如钢轨, ,桥梁桥梁, ,水泥路面）水泥路面）A AB B2 2、结构中适当采用、结构中适当采用伸缩伸缩节节（如管道）（如管道）AB第24页/共66页第二十五页，共66页。2.2.装配装配(zhungpi)(zhungpi)应应力力 静定结构中当结构尺寸有误差时，只会引起结静定结构中当结构尺寸有误差时，只会引起结构几何位置的变化，内部不会产生构几何位置的变化，内部不会产生(chnshng)(chnshng)应力。应力。 超静定结构中当构件超静定结构中当构件尺寸有误差时，会引起强尺寸有误差时，会引起强迫装配，从而

16、内部会产生迫装配，从而内部会产生附加附加(fji)(fji)应力。应力。 图示静定结构，图示静定结构，1 1杆短，杆短，2 2杆长，装配时不会产生杆长，装配时不会产生装配应力。装配应力。12第25页/共66页第二十六页，共66页。装配应力：超静定结构装配应力：超静定结构(jigu)(jigu)因构件尺寸因构件尺寸误差，引起强迫装配而产生的应力。误差，引起强迫装配而产生的应力。 123 图示静不定结构，图示静不定结构，3 3杆短了，装配杆短了，装配(zhungpi)(zhungpi)时会产生装配时会产生装配(zhungpi)(zhungpi)应应力。力。第26页/共66页第二十七页，共66页。图

17、示结构图示结构, 3, 3根杆的抗拉刚度相同，均为根杆的抗拉刚度相同，均为EAEA， 3 3杆比设杆比设计计(shj)(shj)尺寸短了尺寸短了。求：强迫求：强迫(qing p)(qing p)装装配后，各杆的轴力。配后，各杆的轴力。ABCD 123l例题例题(lt)第27页/共66页第二十八页，共66页。解：解：对节点对节点(ji (ji din)Adin)A0sinsin:02N1NFFFxN3N1N20:coscos0yFFFF得到得到(d (d do)do)：21NNFFcos213NNFF还需要还需要(xyo)建立一个补充建立一个补充方程方程FN3FN1FN2 A本问题为一次超静定本

18、问题为一次超静定ABCD 123l第28页/共66页第二十九页，共66页。ABCD 123lABCD 123lAA1A23lA31l变形变形(bin xng)(bin xng)协协调方程调方程cos13ll物理物理(wl)方方程程EAlFlN33cos1N11N21EAlFEAlFll补充补充(bchng)方程方程2N13NcosEAlFEAlF第29页/共66页第三十页，共66页。AA1A23lA31lABCD 123l平衡平衡(pnghng)(pnghng)方程方程补充补充(bchng)方程方程21NNFFcos213NNFF2N13NcosEAlFEAlF解得：解得：lEAFF1cos2

19、cos322N1NlEAF1cos2cos2333N第30页/共66页第三十一页，共66页。A AB BC CD D 1 12 23 3l l求：求：3 3根杆的装配根杆的装配(zhungpi)(zhungpi)应力。应力。图示结构图示结构, 3, 3根杆的抗拉刚度相同，均为根杆的抗拉刚度相同，均为 EAEA， 3 3杆比设计尺寸短了杆比设计尺寸短了，若：若：3 3根杆均为圆钢杆根杆均为圆钢杆040,200,1 ,0.5,30dmm EGPa lmmm例题例题(lt)第31页/共66页第三十二页，共66页。A AB BC CD D 1 12 23 3l l lE1cos2cos3211lEAF

20、1cos2cos2333N解：解：3 3根杆的装配根杆的装配(zhungpi)(zhungpi)内力为：内力为：3 3根杆的装配根杆的装配(zhungpi)(zhungpi)应力为：应力为：lEAFF1cos2cos322N1N lE1cos2cos2333第32页/共66页第三十三页，共66页。ABCD 123l lcoscosE1232213 3根杆的装配根杆的装配(zhungpi)(zhungpi)应力为：应力为： lE1cos2cos2333 2393211123223102001050.MPa6 .32 33933112322310200105.02MPa5 .56第33页/共66页

21、第三十四页，共66页。 利用圆轴扭转时的变形条件利用圆轴扭转时的变形条件(tiojin)(tiojin)可可以求解扭转超静定问题。以求解扭转超静定问题。eMA AC CB Bl la ab b两端两端(lin(lin dun)dun)固定的圆轴固定的圆轴，受力如图。，受力如图。求：两端求：两端(lin(lin dun) dun)的约的约束力偶矩。束力偶矩。6-3 6-3 扭转超静定问题扭转超静定问题第34页/共66页第三十五页，共66页。eMACBAMBM轴受力如图轴受力如图 0 xM)1(BAeMMM一次超静定一次超静定(jn(jn dndn) )变形变形(bin (bin xng)xng)

22、条件：条件：0BATAMBM0CABCBA0PAPBGIaMGIbM)2(BAMabM联解（联解（1 1）（）（2 2），得：），得：eAMbabMeBMbaaM第35页/共66页第三十六页，共66页。图示两种材料的组合图示两种材料的组合杆，扭转刚度分别为杆，扭转刚度分别为： , ,端头端头受一扭转力偶矩受一扭转力偶矩作用作用 。 pbbpaaIG,IGeM求：各杆所受的力偶矩。求：各杆所受的力偶矩。例题例题(lt)第36页/共66页第三十七页，共66页。物理物理(wl)(wl)方方程：程： 3paaaBaIGlM 4pbbbBbIGlM将（将（3 3）、（）、（4 4）代入（）代入（2 2）

23、，得补充），得补充(bchng)(bchng)方程方程 5bpbbpaaaMIGIGM杆受力如图杆受力如图 0 xM 1baeMMM变形变形(bin xng)条件：条件： 2BaBb解：解：第37页/共66页第三十八页，共66页。 1eabMMM 5apaabbpbG IMMG I联解（联解（1 1）、（）、（5 5）解得：解得：epbbpaapaaaMIGIGIGMbpbbeapabpbG IMMG IG I第38页/共66页第三十九页，共66页。6-4 6-4 简单简单(jindn)(jindn)超静定梁超静定梁一、概述一、概述( (i sh)i sh)三、简单组合三、简单组合(zh)(z

24、h)结构的超静定结构的超静定问题问题二、简单超静定梁二、简单超静定梁第39页/共66页第四十页，共66页。 迄今为止，所研究梁的支反力都可以迄今为止，所研究梁的支反力都可以(ky)(ky)利用利用静平衡方程直接求得静平衡方程直接求得 静定梁静定梁支反力的数量支反力的数量 = = 独立的平衡方程的数量独立的平衡方程的数量静定梁的条件为：静定梁的条件为： 实际工程中，为了提高梁的强度和刚度，常用实际工程中，为了提高梁的强度和刚度，常用的方法的方法(fngf)(fngf)为增加梁的支座为增加梁的支座 超静定梁超静定梁支反力的数量支反力的数量(shling) (shling) 独立的平衡独立的平衡方程

25、的数量方程的数量(shling)(shling)对于对于超静定梁：超静定梁：一、概述一、概述第40页/共66页第四十一页，共66页。实例实例: : 细长细长(x (x chnchn) )工件的工件的 车削加工。车削加工。F二、简单二、简单(jindn)(jindn)超静超静定梁定梁为了为了(wi le)提高加工提高加工精度，增加尾顶针。精度，增加尾顶针。第41页/共66页第四十二页，共66页。力学力学(l (l xu)xu)模型模型: :MAFAyFBFAx一次超静定一次超静定(jn dn)梁梁ABlaFC第42页/共66页第四十三页，共66页。求解求解(qi ji)(qi ji)超静定超静定

26、梁的方法梁的方法: :变形变形(bin (bin xng)xng)比较比较法法1 1、解除、解除(jich)(jich)多余约束多余约束，代以多余约束反力，建立相，代以多余约束反力，建立相当系统。当系统。本问题中，解除支座本问题中，解除支座B B，代以多余约束反力代以多余约束反力F FB B。2 2、由梁的变形条件，求、由梁的变形条件，求出多余约束反力。出多余约束反力。本问题中，梁的变形条件为：本问题中，梁的变形条件为：0Bw3 3、求出多余约束反力后，按静定梁求解。、求出多余约束反力后，按静定梁求解。ABlaFCABlaFMAFAyFAxFBC第43页/共66页第四十四页，共66页。解题解题

27、(ji t)过程如下：过程如下：对于相当对于相当(xingdng)系系统有：统有：0BFBFBBwwwEIlFwBFBB331alEIFaEIFawFB232131alEIFa3612解得：解得：3322323232lalaFlalaFFBABlaFMAFAyFAxFBC第44页/共66页第四十五页，共66页。332232lalaFFBABlaF FM MA AF FAyAyF FAxAxF FB BC C作出梁的弯矩图作出梁的弯矩图alFMBCallalaF332232lFFaMBA3322322lalalaFlM MM MA AM MC C第45页/共66页第四十六页，共66页。ABlFM

28、AFAyFAxFBC2l特殊地，当特殊地，当 时，时，2la allalaFMC332232325Fl3322322lalalaFlMA163Fl若未加尾顶针若未加尾顶针(dngzhn)B(dngzhn)B，此时梁上的最大弯，此时梁上的最大弯矩为：矩为：2maxFlM83maxMMAMMAMC第46页/共66页第四十七页，共66页。ABlFMAFAyFAxFBC2l特殊地，当特殊地，当 时，时，2la 165323322FlalaFFBBFFCwwww2maxEIFlwF3241EIFlEIlFwBFB3376825485EIFlwwwBFFC37687梁上最大挠度梁上最大挠度(nod)(no

29、d)为：为：未加尾顶针未加尾顶针(dngzhn)(dngzhn)时梁上的最大挠度时梁上的最大挠度为为EIFlwwB31max4858071max2maxww第47页/共66页第四十八页，共66页。831max2maxMM8071max2maxww合理合理(hl)地增加多地增加多余约束可以明显减小余约束可以明显减小梁上的弯矩和变形。梁上的弯矩和变形。第48页/共66页第四十九页，共66页。变形变形(bin xng)比较法比较法1、解除、解除(jich)多余约束，代以多余约束反力，多余约束，代以多余约束反力，建立建立 相当系统。相当系统。2、由梁的变形、由梁的变形(bin xng)条件，求出多余约

30、束反力。条件，求出多余约束反力。3、求出多余约束反力后，按、求出多余约束反力后，按静定梁求解。静定梁求解。相当系统的内力图，应力和变形即为原相当系统的内力图，应力和变形即为原超静定梁的超静定梁的结果。结果。相当系统不是唯一的，但必须是静定系统。相当系统不是唯一的，但必须是静定系统。第49页/共66页第五十页，共66页。ABql作出图示梁的剪力图作出图示梁的剪力图(lt)(lt)和弯矩图。和弯矩图。例题例题(lt)第50页/共66页第五十一页，共66页。FBM MA AF FAyAyF FAxAx取相当取相当(xingdng)(xingdng)系系统如图：统如图：ABql由梁的变形由梁的变形(b

31、in (bin xng)xng)条件：条件：0Bw0BFBqBBwwwEIlFwBFBB331EIqlwqB481解得：解得：qlFB83SFql85ql83M281ql21289ql第51页/共66页第五十二页，共66页。取另一相当取另一相当(xingdng)系统系统如图：如图：由梁的变形由梁的变形(bin xng)条件：条件：0A0AMAqAASFql85ql83ABqMAEIqlqA3241EIlMAMAA31解得：解得：281qlMAM281ql21289ql第52页/共66页第五十三页，共66页。qlAB求图示梁的最大弯矩。求图示梁的最大弯矩。 在某些高次超静定在某些高次超静定(jn

32、 dn)问题中问题中,合理合理地应用对称性分析可以降低超静定地应用对称性分析可以降低超静定(jn dn)次数。次数。该问题理论该问题理论(lln)(lln)上说，是三次超静定问上说，是三次超静定问题。题。在忽略在忽略(hl)x(hl)x方向的方向的轴向力时，该问题简化为轴向力时，该问题简化为是二次超静定问题。是二次超静定问题。可取相当系统如图：可取相当系统如图：qlABMBBF第53页/共66页第五十四页，共66页。qlABMBBF由梁的变形由梁的变形(bin xng)条件条件：0B0Bw0BBMBFBqBB0216123EIlMEIlFEIqlBB0BBMBFBqBBwwww02131812

33、34EIlMEIlFEIqlBB解得：解得：qlFB212121qlMBSFql21ql21M2121ql2241ql2121ql第54页/共66页第五十五页，共66页。ABq取另一相当取另一相当(xingdng)(xingdng)系统如图：系统如图：MBM MA A对于本问题对于本问题(wnt)(wnt)，由对称性分析可知：，由对称性分析可知：BAMM该问题该问题(wnt)(wnt)可简化可简化为一次超静定问题为一次超静定问题(wnt)(wnt)。0BAMAMAqAA063124123EIlMEIlMEIqlAA2121qlMMBABFAF进而可得到：进而可得到：qlFFBA21SFql21

34、ql21M2121ql2241ql2121ql第55页/共66页第五十六页，共66页。梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度( (nn d)d)24105mNEI外载荷外载荷(zi (zi h)h)kNF,m/kNq3020ACBq4m3m2mFD求作梁的剪力图和弯矩图。求作梁的剪力图和弯矩图。第56页/共66页第五十七页，共66页。24105mNEIkNF,m/kNq3020ACBq4m3m2mFD本问题本问题(wnt)(wnt)为一次超静定梁为一次超静定梁解除解除B B端的转动约束，端的转动约束，代代以多余约束力偶以多余约束力偶BM得相当得相当(xingdng)(xingdng)系统如图。系统如图。CFDBBMABqBM第57页/共66页第五十八页，共66页。CFDBBMABqBMACBq4m3m2mFD变形变形(bin xng)条条件为：件为：右左BBEIlMEIqlBB32413左EIlMEIlblFabBB36222右EIMEIB34244102033