现代信号处理时频分析的基本概念

1、时频分析的基本概念 时宽与带宽的基本概念 不定原理 短时傅立叶变换-101Real partSignal in time0797515951Linear scaleEnergy spectral density5010015020025030035000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=48, Nf=192, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz),sin(),sin(),sin()(321nnnnx11102211NnNNnNNn-0.500.51Real partSignal in time0182365Linear sc

2、aleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4WV, lin. scale, contour, Threshold=5%Time sFrequency Hz)exp()exp()(2njnnjnx线性频率调制信号分辨率的基本概念“分辨率”包含了信号的时域和频域两个方面，它是指对信号所能作出辨别的时域或频域的最小间隔（又称最小分辨细胞）分辨能力的好坏一是取决于信号的特点，二是取决于所用的算法对在时域具有瞬变的信号，我们希望时域的分辨率要好（即时域的观察间隔尽量短），以保证能观察到该瞬变信号发生的时刻及瞬变的形态 参考：M. Vetter

3、li,”Wavelets and Subband Coding “, Prentice Hall PTR, 1995 p.11傅立叶变换的局限性-TT0Atx(t)X()02AT 矩形窗的宽度和其频谱主瓣的宽度成反比。由于矩形窗在信号处理中起到了对信号截短的作用，若信号在时域取得越短，即保持在时域有高的分辨率，那么由于的主瓣变宽因此在频域的分辨率必然会下降。反映了傅立叶变换中在时域和频域分辨率方面所固有的矛盾 傅立叶变换的局限性 缺乏时频定位功能 不适合分析非平稳信号 分辨率上的局限性傅立叶变换缺乏时频定位功能，根本原因是什么？信号的时宽与带宽djXdttxtxE22122| )(| )(|)

4、(|能量信号02| )(|1)(tdttxtEt02| )(|21)(dXE式中|.|表示求范数， X(j)是x的傅立叶变换。这样，归一化函数x(t)2/E及x()2/E可看作是信号在时域和频域的密度函数。 信号的时宽与带宽2022122012| )(| )(|)(tdttxtdttxttEEtdXE2202| )(|)(212022| )(|21dXE定义2t， 2分别是信号的时宽和带宽定义t为信号的时宽带宽积信号的时宽与带宽举例)exp()()(2241ttx00t1E22222)exp(dttt212t21t05. 0-40-30-20-1001020304000.050.10.150.

5、20.250.30.350.4 Gauss signal x(t)-0.500.50246810121416 the Spectrum of x(t)例：)()(jFtf)()()()(jFjtfnn傅立叶变换的微分性质djFdttfE22)(21)(Parseval 恒等式bababadxxgdxxfdxxgxf222)()()()(Schwarz 不等式 不确定原理的预备知识不确定原理dttxtEt2212| )(|dXE22212|(|dXdttxtEt22222122| )(| )(|2dttxdttxtEt222122| )(| )(|22122|)()(|2dttxttxEt信号的

6、时宽与带宽2022122012| )(| )(|)(tdttxtdttxttEEtdXE2202| )(|)(212022| )(|21dXE定义2t， 2分别是信号的时宽和带宽定义t为信号的时宽带宽积瞬时频率)()()(tjetAtx)()()(ttdttdi)()(21ttfi 设由两个chirp信号相加而成，它们有着相同的幅度，第一个chirp信号的频率在00.3之间线性变化，第二个在0.20.5之间线性变化。(a)是该信号的时域波形，(c)是其实际的瞬时频率。显然，在任一时刻，该信号都包含两个频率分量。图(b)是按上式的定义计算出的瞬时频率，它在任一时刻都是单值的，其形状不能反映该信号

7、频率变化的实际内容。020406080100120140-202real(x(t)2040608010012000.20.4 frequency2040608010012000.20.4TimeNormalized frequency2040608010012000.050.10.150.20.250.30.350.40.45|STFT|2, Lh=16, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz多分量信号，(a)时域波形，(b)按定义求出的瞬时频率，(c)信号实际的瞬时频率短时傅立叶变换(Short Time Fourier

8、Transform，STFT )detgxetgxtSTFTetggjjxjt)()( )(),(),()()(*.dgxt)()(*,1|)(|g1|)(|,tg 在时域用窗函数去截对截下来的局部信号作傅立叶变换，即得在时刻得该段信号得傅立叶变换。不断地移动，也即不断地移动窗函数的中心位置，即可得到不同时刻的傅立叶变换。短时傅立叶变换deetgGjjt)()(,t detgetjtj)()()(tjeG)()(deGXGXgtxtjtt)(*,)()(21)(),(21)(),(deGXetSTFTtjtjx)()(21),(*deGXetSTFTtjtjx)()(21),(*对信号在时域加

9、窗，相应的频域也要加窗dgdgtt222,22| )(| )(|)(dGdGt222,22| )(|21| )(|)(21t1t221 vGt22, vGt11,vvjtetgg)()(,0)()()(),(00jjxetgdetgtSTFT)()(0 x0)(jextjjjxeGdetgetSTFT)(000)()(),(STFT的时间分辨率由窗函数的宽度决定 STFT的频率分辨率由窗函数的频谱宽度决定 两个实例窗函数 时域 频域 高斯窗函数-0.500.5Real partSignal in time084168Linear scaleEnergy spectral density2040

10、608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=63, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz窗函数无限宽时STFT缺少时域定位功能 1)(g-0.500.5Real partSignal in time084167Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=0, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz窗函数无限窄时STFT缺少频域定位

11、功能 )()(g-0.500.51Real partSignal in time020454091Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=27, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz窗函数宽度为55 501t321t902t322t25. 0f-0.500.51Real partSignal in time020454091Linear scaleEnergy spectral density2040608010012

12、000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=6, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz窗函数宽度为13 501t321t902t322t25. 0f-101Real partSignal in time0797515951Linear scaleEnergy spectral density5010015020025030035000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=48, Nf=192, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz),sin(),sin(

13、),sin()(321nnnnx11102211NnNNnNNn 例1（续）：时频分析的三维表示例2：线性频率调制信号-0.500.51Real partSignal in time0182365Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4WV, lin. scale, contour, Threshold=5%Time sFrequency Hz)exp()exp()(2njnnjnxSTFT实例及分析 300 200 100 50不同宽度的窗函数STFT实例及分析STFT实例及分析ddetgxdetSTFTjjx)(2121)()(),()()()()()(tgxdtgxdetSTFTtxtj