自考-线性代数-第一章行列式

1、2021/3/231题型 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共10小题小题,每小题每小题2分分,共共20分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共10小题小题,每小题每小题2分分,共共20分）分） 三、计算题三、计算题 （本大题共（本大题共6小题小题,每小题每小题9分分,共共54分）分） 四、证明题四、证明题 （本大题共（本大题共1小题小题,6分）分）2021/3/232第一章第一章 行列式行列式2021/3/2331.1 行列式的定义行列式的定义从最简单的二元线性方程组出发从最简单的二元线性方程组出发, ,探探求其求解公式求其求解公式, ,并设法化简此公式并设法化简此公式

2、. .2021/3/234【例例1】二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 由消元法由消元法,得得211211221122211)(abbaxaaaa 212221121122211)(baabxaaaa 当当 时时, ,该方程组有唯一解该方程组有唯一解 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 2021/3/235求解公式为求解公式为11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa

3、bxa aa aa bb axa aa a 二元线性方程组二元线性方程组 请观察请观察, ,此公式有何特点此公式有何特点? ?分母相同分母相同,由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而得.2021/3/236其求解公式为其求解公式为11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元线性方程组二元线性方程组 引进新的符号来表示引进新的符号来表示“四个数分四个数分成两对相乘再相减成两对

4、相乘再相减”. .1112112212212122aaDa aa aaa 11122122aaaa记号记号 11122122aaaa数表数表 表达式表达式 称为由该称为由该数表所确定的数表所确定的二阶行列式二阶行列式, ,即即11221221a aa a 其中其中, 称为称为元素元素. .(1,2;1,2)ijaiji 为为行标行标,表明元素位于第表明元素位于第i 行行; j 为为列标列标,表明元素位于第表明元素位于第j 列列. .原则原则:横行竖列横行竖列1.1.1 二阶行列式与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式2021/3/237二阶行列式的计算二阶行列式的计算 11122122aaaa11

5、221221a aa a主对角线主对角线 副对角线副对角线 即即: :主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积。主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积。 对角线法则对角线法则 2021/3/238二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 若令若令 11122122aaDaa 1211222bbaDa 1221121baDab ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDx

6、a aa aD 2021/3/239【例例2】 求解二元线性方程组求解二元线性方程组 1212232121xxxx【解解】 因为因为 1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D所以所以 11142,7DxD 222137DxD 2021/3/2310【练习练习1】 若 ,则k= 0211k21012211kk21k【解解】2021/3/2311【练习练习2】 行列式 的值为_.03282972【解解】2292803270328292722021/3/2312【练习练习3】 行列式 的值为_.3522【解解】1625)3(23522-162021/3/23

7、13三阶行列式三阶行列式定义定义 设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原则原则:横行竖列横行竖列引进记号引进记号称为称为三阶行列式三阶行列式. .111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa主对角线主对角线 副对角线副对角线 二阶行列式的对角线法则二阶行列式的对角线法则并不适用并不适用!2021/3/2314三阶行列式的计算三阶行列式的计算 对角线法则对角线法则 11121321222

8、3313233aaaDaaaaaa 132132a a a 112233a a a 122331a a a 132231a a a 122133a a a 112332a a a 注意注意: :对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. . 实线上的三个元素的乘积冠正号实线上的三个元素的乘积冠正号, , 虚线上的三个元素的乘积冠负号虚线上的三个元素的乘积冠负号. .2021/3/2315三阶行列式的规律三阶行列式的规律111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a a

9、a a aa a aa a aa a a规律规律: :1.1.三阶行列式共有三阶行列式共有6项项, ,即即3!项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积2021/3/231612-4-221-34-2D 【例例3】 计算行列式计算行列式 【解解】 按对角线法则按对角线法则, ,有有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 2021/3/2317方程左端方程左端【解解】由由 得得2111230.49xx 【例例4】 求解方程求解方程 1229184322 xxxxD, 652 xx2

10、560 xx 3.2 xx或或2021/3/2318【练习练习4】 计算行列式D= 的值2431213122021/3/2319【解解】52412113233413112222431213122021/3/2320【练习练习5】 3阶行列式 _ 32153065252021/3/2321【解解】550322)5() 3(166021)5(53) 3(23215306522021/3/2322【练习练习6】 3阶行列式 = _ 16111246416362021/3/23231.1.2 n 阶行列式阶行列式1. n 阶行列式共有阶行列式共有 n! 项项2.2.每一项都是位于不同行不同列的每一项都

11、是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积1212121112121222()1212( 1)nnnnnt p ppppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa 2021/3/2324思考题思考题: 成立成立吗吗?答答: :符号符号 可以有两种理解可以有两种理解: :若理解成绝对值若理解成绝对值, ,则则 ; ;若理解成一阶行列式若理解成一阶行列式, ,则则 . .11 1 11 11 注意注意:当当n = 1时时,一阶行列式一阶行列式|a| = a,注意不要与绝对注意不要与绝对值的记号相混淆值的记号相混淆. 例如例如:一阶行列式一阶行列式 . 所以必须写清楚所以必须写清楚,如一

12、阶行列式如一阶行列式|2| = 2,或者或者D=|2| = 2。11 2021/3/2325余子式与代数余子式余子式与代数余子式122331111221221333332132132231112332a a aa a aaa a aaaaa aa aa 111213212223313233aaaaaaaaa 122331321311222322331213332123aa aaaaaa aaaaaaa 222321232123111213323331333133aaaaaaaaaaaaaaa结论结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示三阶行列式可以用二阶行列式表示. .思考题思考题 任意一个行列式

13、是否都可以用较低阶的行列式表示任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示? ?2021/3/2326例如例如 11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 11121423313234414244aaaMaaaaaa 2 32323231AMM 把把 称为元素称为元素 的的代数余子式代数余子式 1ijijijAM ija在在n 阶行列式中阶行列式中,把元素把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划后列划后,留留下来的下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式,记作记作 . ijijMijaija结论结论 因为行标和列标

14、可唯一标识行列式的元素因为行标和列标可唯一标识行列式的元素, ,所以所以行列行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式. .2021/3/2327【练习练习7】 行列式 中 元素的 代数余子式 _1694432351) 3 , 2(32A112021/3/23281194511)(3232A【解解】2021/3/2329【练习练习8】 3阶行列式 中元素 的代数余子式 （ ） A2B1 C1D2211101110|ija12a12AB2021/3/233012111) 1(2112A【解解】2021/3/2331【练习练习9】

15、设3阶行列式 的第2行元素分别为 对应的代数余子式分别为 ,则 _ 3D3, 2 , 11 , 2, 3 3D101)3()2(23) 1(2323222221213AaAaAaD102021/3/2332【练习练习10】 已知3阶行列式 中元素 的代数余子式 ,求元素 的代 数余子式 的值4150231xx12a812A21a21A2021/3/2333 由 , 得 , 所以【解解】84450) 1(2112xxA2x5)38(4132) 1(1221A2021/3/23341.2 行列式按行(列)展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. .本节主要考虑如何

16、用低阶行列式来表示高本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式阶行列式. .2021/3/2335引理引理 一个一个n 阶行列式阶行列式,如果其中第如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零外都为零,那么这行列式等于那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积与它的代数余子式的乘积,即即 ijijDa A 11121314212223243341424344000aaaaaaaaDaaaaa 1112143 3332122244142441aaaaaaaaaa 例如例如 3 3333333331a Aa M 11121433212224414244aaaaaaaaaa iijaija2021

17、/3/233611212221200nnnnnaaaaDaaa 即有即有1111.Da M 又又 1 11111111,AMM 从而从而1111.Da A 下面再讨论一般情形下面再讨论一般情形.分析分析 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时, ,ija2021/3/2337行列式按行（列）展开法则定理定理1.2.1（行列式展开定理）（行列式展开定理） 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即即 11221,2,iiiiininDa Aa Aa Ain 2021/3/2338111213111213

18、212223212223313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaa 111213212223212223212223313233313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1111a A 1212a A 1313a A 212122222323a Aa Aa A313132323333a Aa Aa A同理可得同理可得2021/3/2339111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 【例例5 5】 计算行列式计算行列式142323241000000000000aaDaa 1122133440000

19、00000000aaDaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 2021/3/2340【解解】112213344000000000000aaDaa 142323241000000000000aaDaa 11223344a a a a (4321)14233341( 1)ta a a a 14233341a a a a (4321)0123t 3 46.2 其中其中 2021/3/234112,11nnnaaDa 1122nnaaDa 四个结论四个结论:(1) (1) 对角行列式对角行列式 nnaaa2211 (2) (2) (1)212,11( 1)n

20、 nnnna aa 2021/3/2342nnnnaaaaaaD21222111000 nnnnaaaaaaD00022211211 (3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0 0）nnaaa2211 (4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0 0）nnaaa2211 2021/3/2343 计算3阶行列式112403211D【例例6 6】2021/3/2344【解解】用对角线法用对角线法3438614113) 1(20224) 1(1321011124032112021/3/234532543

21、211122101243) 1(D3894402121121311401D用按行或按列展开法用按行或按列展开法按第一列展开得到按第一列展开得到按第二列展开得到按第二列展开得到33126031111211412032D按第三列展开得到按第三列展开得到2021/3/23463129121141221011213D3654120321243) 1(11401D用按行或按列展开法用按行或按列展开法按第一行展开得到按第一行展开得到按第二行展开得到按第二行展开得到3328031114321140212D按第三行展开得到按第三行展开得到2021/3/2347 计算4阶行列式1201300101121201D

22、【例例7 7】2021/3/234812)6226(121301121121301121) 1() 1(22【解解】行列式的第二列只含有一个行列式的第二列只含有一个非零元素非零元素a22=1,其他元素均为其他元素均为0,按第二列展开计算量最小按第二列展开计算量最小,得得1201300101121201D2021/3/23491.3 1.3 行列式的性质与计算行列式的性质与计算2021/3/23501.3.1 1.3.1 行列式的性质行列式的性质111212212212, nnnnnnaaaaaaaaDa 行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式. . TDD若记若记 , ,

23、则则 .det(), det()TijijDaDb ijjiba 记记性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, ,即即 .TDD 212211121212nnnnTnnaaaaaaDaaa 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,行列式的性质凡是对行行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立的对列也同样成立. .2021/3/2351性质性质2 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数倍数 , ,等于用数等于用数 乘以此行列式乘以此行列式. .验证验证kk111213212223313233,

24、aaaDaaaaaa 我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 根据三阶行列式的对角线法则根据三阶行列式的对角线法则, ,有有1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 备注备注: :第第 行（列）乘以行（列）乘以 , ,记作记作 . .ki()iirk ck2021/3/23521112131212223313233kkaaaDaaaaaak 112233122331132132132231122133112332()()()()()()aaaaaaaaaaaaaaakkkkkkaaa 112233122331132132132231122133112332

25、a a aa a aa a aa a aa a aaaka Dk 推论推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面到行列式符号的外面备注备注: :第第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 , ,记作记作 . .ki()iirk ck2021/3/2353 计算3阶行列【例例8 8】2021/3/2354180)6(30)1542564(301211231525325215235523215631046552D【解解】2021/3/2355 计算3阶行列式00b0cbcaaD【例例9 9】2021/3

26、/2356【解解】在行列式在行列式D中的每一行都提中的每一行都提出公因数（出公因数（1）,并用行列式性质并用行列式性质1,可以得到可以得到DDcbcabacbcabaDT000) 1(0003因为行列式因为行列式D是一个数是一个数,所以由所以由D=D,可得可得D=0。2021/3/2357性质性质3 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .验证验证于是于是175662358175358662196 196 175175662358358662 推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同如果行列式有两行（列）完全相同, ,则此行列式为零则此行列式为零. .证明证

27、明互换相同的两行互换相同的两行, ,有有 , ,所以所以 . DD 0D 备注备注: :交换第交换第 行（列）和第行（列）和第 行（列）行（列）, ,记作记作 . .ji()ijijrr cc2021/3/2358212223242122232431323334111213141112311121314111213213333431141400aaaaakkkakaaaaaaaaaaaaaaaakakaaaaaaaaa验证验证我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例. . 性质性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例行列式中如果有两行（列）元素成比例, ,则此行列则此行列式为零式为零2021/

28、3/2359 计算3阶行列式1042652521D【例例1010】2021/3/2360【解解】因为行列式中第一行与第三因为行列式中第一行与第三行成比例行成比例,所以所以05)2(2)2(1)2(6525211042652521D2021/3/2361性质性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, ,例如例如: :121222221113212331332323aaDaaabababaa 则则111311132123212331331212222232331323aaaaDaaaabababaaaaa2021/3/2362121222221113

29、212331332323aaDaaabababaa 221231312322()13( 1)()ppt p p pppp p pabaa 123123131312322123()()132213( 1)( 1)t p p pt p p pppppp p pp p pppaaaaba 111311132123212331333131212222223332aaabaabaaaaaaabaaa验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 2021/3/2363性质性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列然后加到另一列(

30、 (行行) )对应的元素上去对应的元素上去, ,行列式不变行列式不变则则1.DD 验证验证122211132123313323,aaDaaaaaaa 我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例. . 记记 1112131212213233323313233aaaDaaakakakaaaa 备注备注: :以数以数 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上行（列）上, ,记作记作 . .ki().ijijrkr ckc j2021/3/2364定理定理1.3.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和对应的代数余子式乘积之和,即

31、即 11221,2,iiiiinina Aa Aa AD in 推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零应元素的代数余子式乘积之和等于零, ,即即11220,.ijijinjna Aa Aa Aij 1122,0,niinijjjDija Aa Aa Aij 1122,0,ijijinjnDija Aa Aa Aij 综上所述综上所述, ,有有同理可得同理可得2021/3/2365推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零应元

32、素的代数余子式乘积之和等于零, ,即即11220,.ijijinjna Aa Aa Aij 111213212223AAaaa A212223313232122233aaaaaaaaa 分析分析 我们以我们以3阶行列式为例阶行列式为例. . 111213111112121313212223313233aaaa Aa Aa Aaaaaaa把第把第1行的元素换成第行的元素换成第2行的对应元素行的对应元素,则则 0. 2021/3/23661.3.2 行列式的计算行列式的计算计算行列式常用方法计算行列式常用方法: （1）利用运算把行列式化为上三角形（或下三角利用运算把行列式化为上三角形（或下三角形）

33、行列式形）行列式,从而算得行列式的值从而算得行列式的值（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开）把原行列式按选定的某一行或某一列展开,把行列把行列式的阶数降低式的阶数降低,再求出它的值。通常是利用运算再求出它的值。通常是利用运算 在某一行或某一列产生很多个在某一行或某一列产生很多个0元素元素,再按包含再按包含0最多的行最多的行或列展开或列展开,以减少计算量。以减少计算量。ijrkr ijrkr 2021/3/2367【例例11】2101044614753124025973313211 D1.3.2 行列式的计算行列式的计算计算行列式常用方法计算行列式常用方法:利用运算把行列式化为利用运算把行

34、列式化为上三角形行列式上三角形行列式,从而算得行列式的值从而算得行列式的值ijrkr 3 2021/3/23682101044614753124025973313211 D3 【解解】2101044614753124022010013211312 rr2021/3/2369例例12 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 【解解】 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 22021/3/2370【例例13】 设设 1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb ,)

35、det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明 2021/3/2371【证明证明】1111110;kkkkkpDpppp对对 作运算作运算 , ,把把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 1Dijrkr 1D设为设为对对 作运算作运算 , ,把把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 2Dijckc 2D1121110.nnnnkqDqqqp设为设为2021/3/2372对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ,再对后再对后 n 列作运算列作运算 ,把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行列式,01111111111nn

36、nnknkkkkqqqccccpppD 1111kknnDppqq 12.D D ijrkr ijckc 故故2021/3/2373计算计算4 4阶行列式阶行列式 11111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1abcd 已已知知【例例14】2021/3/2374111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa 【解解】2021/3/2375【例例15】3112513420111533D 51111113100105530 312 cc 34cc 3 3511( 1)1111550 511620550 2

37、1rr 1 362( 1)55 8205 40. 2021/3/23765312017252023100414002350D 【例例1616】计算行列式计算行列式【解解】5312017252023100414002350D 2 5531202311204140235 2021/3/2377例例1717 设设 , , 的的 元的余子式和元的余子式和代数余子式依次记作代数余子式依次记作 和和 , ,求求分析分析 利用利用3521110513132413D D( , )i jijMijA11121314AAAA及及11213141.MMMM111213142122232411111212131314

38、143132333441424344aaaaaaaaa Aa Aa Aa Aaaaaaaaa2021/3/2378125202100 【解解】111213141111105134311321AAAA 43rr 31rr 1111110522021100 115222110 21cc 2502 4. 2021/3/2379 【证明证明】 用数学归纳法用数学归纳法21211Dxx 21()ijijxx 【例例1818】 证明范德蒙德证明范德蒙德( (Vandermonde) )行列式行列式1222212111112111().nnnijn ijnnnnxxxxxxDxxxxx (1)所以所以n=2

39、时时(1)式成立式成立.21xx2021/3/23802131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx 假设假设(1)对于对于n1阶范德蒙行列式成立阶范德蒙行列式成立,从第从第n行开始行开始,后行后行减去前行的减去前行的 倍倍:1x按照第按照第1列展开列展开,并提出每列的公因子并提出每列的公因子 ,就有就有1()ixx 2021/3/2381213112()()()()nnijn ijDxxxxxxxx 1().ijn ijxx 232131122223111()()()nnnnnnxxxxx

40、xxxxxxx n1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式2021/3/2382【练习练习11】若 则行列式 =_, 3 , 2 , 1, 0ibaii332313322212312111bababababababababa0【解解】根据根据 性质性质4 行列式中如果行列式中如果有两行（列）元素成比例有两行（列）元素成比例,则此行则此行列式为零列式为零 2021/3/2383【练习练习12】 计算3阶行列式 7676765454543232322021/3/2384【解解】07600065400043200027670065450043230027676765454543232323221cccc2

41、021/3/2385【练习练习13】【解解】D2021/3/2386【练习练习14】C2021/3/2387【解解】9303334443332312322211312113331312321211311111DaaaaaaaaaaaaaaaaaaD2021/3/2388【练习练习15】 已知3阶行列式 则 _2796364232333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa22021/3/2389【解解】27323232323232963642323332312322211312113332312322211312113332312

42、32221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2333231232221131211aaaaaaaaa2021/3/2390【练习练习16】 设行列式设行列式 =2, 则行列式则行列式 =（ ） A.12B.24 C.36 D.48333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211333222aaaaaaaaaA2021/3/2391【练习练习17】 设行列式设行列式 =3, 则行列式则行列式 =（ ） A.-18B.-12 C.12 D.18D111213212223313233aaaaaaaaa1112132122233

43aaaaaaaa2021/3/2392【练习练习18】 设行列式 =6, 则 =（ ） A12 B 18 C18 D12111213212223313233aaaaaaaaa111213313233213122322333333aaaaaaaaaaaaC2021/3/2393【练习练习19】 设A为3阶方阵, 且 ,则 （ ） A4B1 C1D42121A | AD2021/3/23942121A【解解】21|213A4|A2021/3/2395【练习练习20】 行列式 中第4行各元素的代数余子式之和为_.423500101111040302021/3/2396【解解】

44、0111100101111040344434241AAAA2021/3/2397【练习练习21】 计算行列式D=35124533120120342021/3/2398【解解】48930212) 1(0930131302122341313111) 1(2342000113134111343021021335421533213D2021/3/2399【练习练习22】 设行列式 其第3行各元素的代数余子式之和为_.304222 ,532D 02021/3/23100【解解】0111222403333231AAA2021/3/23101 ( (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位,

45、 , 凡是对行成立的性质对列也同样成凡是对行成立的性质对列也同样成立立).). 计算行列式常用方法计算行列式常用方法:(1):(1)利用定义利用定义;(2);(2)利利用性质把行列式化为上三角形行列式用性质把行列式化为上三角形行列式, ,从而算得从而算得行列式的值行列式的值小结小结行列式的行列式的6 6个性质个性质2021/3/231021.4 克拉默法则2021/3/23103二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 若令若令 11122122aaDaa 1211222bbaDa 1221121baDab ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 2021/3/23104一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb 的系数行列式不等于零的系数行列式不等于零,即即1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa2021/3/23105122