垂径定理应用

1、圆圆 的的 对对 称称 性性OAM=BM,nAB是是 O的一条弦的一条弦.n你能你能发现图中有哪些等量关系发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说说你的想法和理由说你的想法和理由.驶向胜利的彼岸n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On右图是轴对称图形吗右图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?n我们发现图中有我们发现图中有:ABCDMn由由 CD是是直径直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.垂径定理垂径定理n定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.n提示提示:n垂径定理是垂径定理是圆中一个重

2、圆中一个重要的结论要的结论,三三种语言要相种语言要相互转化互转化,形成形成整体整体,才能运才能运用自如用自如.驶向胜利的彼岸OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.CDAB,垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理: :nAB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.n你能你能发现图中有哪些等量关系发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说说你的想法和理由说你的想法和理由.n过点过点M作直径作直径CD.On右图是轴对称图形吗右图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?n我们发现图中有我们发现图中有:CDn由由 CD是是直径直径 AM

3、=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD. MAB 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条分弦所对的两条弧弧.n你可以写出相应的结论吗你可以写出相应的结论吗?垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理n如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.驶向胜利的彼岸OABCDM CD是直径是直径, AM=BM, CDAB, AC=BC,AD=BD.驶向胜利的彼岸挑战自我挑战自我画一画画一画n如图如图,M,M为为OO内的一点内的一点, ,利用尺规作一条弦利用尺规作一条弦A

4、B,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OM试一试试一试P93驶向胜利的彼岸挑战自我挑战自我填一填填一填n1、判断：n 垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）n平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）n经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）n圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）n弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）垂径定理的应用垂径定理的应用n例例1 1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧( (即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中

5、其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一上的一点点, ,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求求这段弯路的半径这段弯路的半径. .驶向胜利的彼岸n解解: :连接连接OC.OC.OCDEF.)90(,mROFRm则设弯路的半径为,CDOE ).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,即,222OFCFOC.90300222RR.545,R得解这个方程.545m这段弯路的半径约为老师提示老师提示:注意闪烁注意闪烁的三角形的三角形的特点的特点.赵州石拱桥赵州石拱桥n1.1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥

6、(如图如图)的桥的桥拱是圆弧形拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半求桥拱的半径径(精确到精确到0.1m).驶向胜利的彼岸赵州石拱桥赵州石拱桥驶向胜利的彼岸解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱， 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为Rm，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.由题设由题设ABA

7、BABAB, 2 . 7, 4 .37CDABABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.OABCRD37.47.2垂径定理的应用垂径定理的应用n在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示如图所示.若油面宽若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度求油的最大深度. 驶向胜利的彼岸BAOED 600BAO600

8、650DC船能过船能过拱桥吗拱桥吗n2 . 如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱顶拱顶高出水面高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并米、船舱顶部为长方形并高出水面高出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这此货船能顺利通过这座拱桥吗？座拱桥吗？n相信自己能独相信自己能独立完成解答立完成解答.驶向胜利的彼岸船能过拱桥吗船能过拱桥吗n解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱, 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm,经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理据垂径定理,D是是AB的中点的中点,C是是 的中点的中点,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得驶向胜利的彼岸ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADO