信号与线性系统分析系统函数

1、信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-151本本 章章 要要 求求掌握由系统函数分析系统特性的掌握由系统函数分析系统特性的方法；方法；会用信号流图求系统函数及用系会用信号流图求系统函数及用系统函数模拟系统。统函数模拟系统。 返返 回回信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-152本章主要内容本章主要内容系统函数与系统特性系统函数与系统特性系统的因果性与稳定性系统的因果性与稳定性信号流图信号流图系统的结构系统的结构返返 回回信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-153系统函数的零极点与系统响应的关系系统函数的零极点与系统响应的关系s 域中，系统函数的重要作

2、用域中，系统函数的重要作用 系统函数零、极点分布系统函数零、极点分布与冲激响应的对应关系与冲激响应的对应关系系统的系统的自由频率、零极点自由频率、零极点及零极点图及零极点图零、极点与冲激响应零、极点与冲激响应信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-154 利用利用 在在 s 平面的零极点分布情况可以分析系统的时域平面的零极点分布情况可以分析系统的时域特性：特性： s 域中系统函数的重要作用域中系统函数的重要作用 sH sHth 求系统的冲激响应求系统的冲激响应： 求给定激励求给定激励 性的零状态响应性的零状态响应 ： tyzs tf sYsFsHtysFtfzs , 当系统初始条件

3、给定时，可根据当系统初始条件给定时，可根据 的极点求系统的零的极点求系统的零输入响应输入响应 ，如知道极点，如知道极点 ，则，则 的形的形式为：（系数由初始条件决定）式为：（系数由初始条件决定） nsss , , , 21 sH tyzi tsntstszineCeCeCty2121单极点：单极点： tsrrietKtKK 121r 重极点：重极点：则该部分为则该部分为 tyzi信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-155s 域中系统函数的重要作用域中系统函数的重要作用 由由 可直接写出系统的微分方程（因可直接写出系统的微分方程（因 也可由微分方也可由微分方程得出），因而系统也就

4、可以用具有微分方程特性的网络程得出），因而系统也就可以用具有微分方程特性的网络来实现：来实现： sH sH如：如： ，其微分方程为，其微分方程为 1054432232ssssssFsYsH tftftftytytyty4321054 可研究可研究 的零极点分布对的零极点分布对 的影响（后面讨论）的影响（后面讨论） sH th信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-156s 域中系统函数的重要作用域中系统函数的重要作用所以说，分析所以说，分析 的性质也就是分析系统的性质的性质也就是分析系统的性质 sH 可利用可利用 的零极点分布判断系统的稳定性。的零极点分布判断系统的稳定性。 sH

5、利用利用 的零极点分布可方便地求系统的频域响应（的零极点分布可方便地求系统的频域响应（令令 ），进而可以用几何作图法和（或）数学解），进而可以用几何作图法和（或）数学解析法求得系统的幅频特性和相频特性，从而对系统的析法求得系统的幅频特性和相频特性，从而对系统的频域特性进行分析。频域特性进行分析。 sHjs 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-157系统的自由频率、零极点及零极点图系统的自由频率、零极点及零极点图由一个描述线性时不变系统特性的的微分方程很容易得由一个描述线性时不变系统特性的的微分方程很容易得到其到其 ，如：，如： sH sFtfsYty , 并由微分特性：并由微分

6、特性： sFstfsYstymmnn , （设初值为零）（设初值为零） sAsBasasbsbsFsYsHnnnmm0110 sFbsFsbsYasYsasYsmmnnn0011 可见：它取决于系统的结构、元件的参数，而与激可见：它取决于系统的结构、元件的参数，而与激励、响应无关。励、响应无关。 tfbtfbtyatymmn00信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-158n n 阶极点；阶极点； n n 阶零点。阶零点。 系统的自由频率、零极点及零极点图系统的自由频率、零极点及零极点图令分母令分母 ，可求使其为零的值（根），称其为系，可求使其为零的值（根），称其为系统响应固有自由

7、频率或系统的统响应固有自由频率或系统的极点极点；令；令 ，可求使其，可求使其为零的值（根），称其为系统的为零的值（根），称其为系统的零点零点； 0sA 0sB零点和极点可以实数，也可以是复数或虚数，但必须是零点和极点可以实数，也可以是复数或虚数，但必须是共轭的。共轭的。 一阶极点；一阶极点； 一阶零点；一阶零点； 3 22j信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-159零极点与冲激响应零极点与冲激响应不是一般的时间函数，而是系统加不是一般的时间函数，而是系统加 后的响应。后的响应。 sHth t 极点在极点在 s 的左半平面的左半平面 在负实轴上的单极点：在负实轴上的单极点： 0i

8、s tKessKtsii 1s2s 0ttstKei为指数衰减函数：为指数衰减函数： si 衰减因子（时间常数的倒数），其大小（远衰减因子（时间常数的倒数），其大小（远/ /近于近于j轴）决定了衰减的快慢。轴）决定了衰减的快慢。 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1510 在负实轴上的二阶（重）极点：在负实轴上的二阶（重）极点： 零极点与冲激响应零极点与冲激响应 teKttKtessKtstsiii20is01limlimtsittstiieset利用罗彼达法则：利用罗彼达法则： ，仍是衰减的。，仍是衰减的。 与二阶一样，三阶、四阶、与二阶一样，三阶、四阶、，当，当 时，其象

9、函数时，其象函数的原函数都是趋于零的，仅是快慢不同，也就是二阶以上的的原函数都是趋于零的，仅是快慢不同，也就是二阶以上的极点与一阶极点所对的时间函数具有相同的性质。极点与一阶极点所对的时间函数具有相同的性质。 t信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-151122222222sssssss ttetttettcossincos22 0 arctan,:其中jj0j 左半平面的一阶共轭极点左半平面的一阶共轭极点衰减振荡，衰减振荡， 愈小，极点离纵愈小，极点离纵轴愈近，衰减愈慢；轴愈近，衰减愈慢； 表示振荡频表示振荡频率，率， 大振荡快。同样，二阶以上大振荡快。同样，二阶以上共轭极点时

10、的性质也是如此。共轭极点时的性质也是如此。 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1512 极点在极点在 j 轴上轴上 总之，极点在总之，极点在 s 左平面所对应的时间函数当左平面所对应的时间函数当 时都趋时都趋于零，具有这样的于零，具有这样的 的系统都是稳定系统；该种系统的冲激的系统都是稳定系统；该种系统的冲激响应，可以看成零输入响应，它在响应，可以看成零输入响应，它在 t = 0-0+ 时，受时，受 作用后作用后，建立一个初始状态（条件），在，建立一个初始状态（条件），在 以后，其状态就开始以后，其状态就开始衰减（因系统一般不可避免地带有电阻衰减（因系统一般不可避免地带有电阻

11、 R ），当），当 时衰时衰减为零。当减为零。当 si（或（或）较小（靠近轴），衰减变慢，当）较小（靠近轴），衰减变慢，当 si（或（或）= 0 时，则就有时，则就有 t t0t sH 原点处极点原点处极点 tKsK一阶：一阶： 阶跃函数，临界状态阶跃函数，临界状态 ntnntnKttnKsK!lim , !1二阶（及以上）：二阶（及以上）： 不稳定不稳定 t信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1513 jjjo ttsscos2222 共轭极点共轭极点 arctan一阶：一阶： 时，仍为等幅振荡，其幅度时，仍为等幅振荡，其幅度由零极点由零极点 决定，而振荡频率由决定，而振荡频

12、率由 t , 决定，现在加的信号为有限能量信号，而此处振荡为等幅的，决定，现在加的信号为有限能量信号，而此处振荡为等幅的，说明它只能出现在说明它只能出现在 LC 无耗网络中。无耗网络中。 tttnKsKnncos! 122二阶（及以上）：二阶（及以上）： 时，时， ，具有这样函数的系统为不稳定系统。所，具有这样函数的系统为不稳定系统。所以以 j 轴上的一阶极点，其对应系统为等幅振荡（或不变如轴上的一阶极点，其对应系统为等幅振荡（或不变如 ）的系统为临界系统；高于一阶的极点的系统为不稳定系统。）的系统为临界系统；高于一阶的极点的系统为不稳定系统。 t函数0j信号与线性系统分析系统函数上一页上一页

13、2022-4-1514零极点与冲激响应零极点与冲激响应 极点在极点在 s 右半平面右半平面 ttj tKessKtsii ttesstcos 22220is对应时间函数：对应时间函数： 系统不稳定。这种网络不可能是无源的（否则就不可能系统不稳定。这种网络不可能是无源的（否则就不可能增加增加能量守恒）。故它是有源网络，是不稳定系统。能量守恒）。故它是有源网络，是不稳定系统。 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1515不稳定系统：不稳定系统：只要有一个极点为虚轴上的二阶（及以上）极点只要有一个极点为虚轴上的二阶（及以上）极点或在整个或在整个 s 右半平面上的极点。右半平面上的极点

14、。 小小 结结 sH 对系统对系统 的极点位置确定了它所对应的冲激响应的变化规律，的极点位置确定了它所对应的冲激响应的变化规律，确定了系统的特性：确定了系统的特性： sH稳定系统：稳定系统：极点均在极点均在 s 左半平面；左半平面； 临界稳定系统：临界稳定系统：只要有一个虚轴上的一阶极点；只要有一个虚轴上的一阶极点； 无源的线性网络无源的线性网络 的极点只能在的极点只能在 s 左半平面或是虚轴左半平面或是虚轴上一阶极点，借此可判断上一阶极点，借此可判断 算的对不对。算的对不对。 sH sH信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1516小小 结结 sFsHsY 对信号对信号 的极点

15、全部在的极点全部在 s 左半平面时，对应的时间函数左半平面时，对应的时间函数 是按指数规律衰减的瞬态分量；是按指数规律衰减的瞬态分量； 的极点只要有在虚轴的极点只要有在虚轴上或在原点处的一阶极点，对应的上或在原点处的一阶极点，对应的 为稳态分量（正弦为稳态分量（正弦振荡或阶跃信号）；振荡或阶跃信号）； 的极点只要有在虚轴上的二阶极点的极点只要有在虚轴上的二阶极点或在或在 s 右半平面上的极点，对应的右半平面上的极点，对应的 是随时间无限增大是随时间无限增大的信号。的信号。 sY ty sY sY ty ty信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1517系统因果性系统因果性因果系统

16、：因果系统：响应不会出现在激励之前（有输入才有输出）的响应不会出现在激励之前（有输入才有输出）的系统，即系统，即当当 时有时有连续（离散）因果系统的充分必要条件是：连续（离散）因果系统的充分必要条件是：00ktktf,00ktktyzs,否则就是非因果系统。否则就是非因果系统。00ktkth,信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1518系统稳定性系统稳定性：在有界输入的情况下输出是有界的。在有界输入的情况下输出是有界的。也就是说，对于一个无源网络，给它输入一个能量有限的信号也就是说，对于一个无源网络，给它输入一个能量有限的信号（如冲激信号（如冲激信号 或或 ），那么它的响应（冲

17、激响应），那么它的响应（冲激响应 或或 ）必然是有限的，而且实际系统是有损耗的，因而随着）必然是有限的，而且实际系统是有损耗的，因而随着时间的推移，响应会逐渐减小，最后到零。由于冲激响应的拉时间的推移，响应会逐渐减小，最后到零。由于冲激响应的拉氏变换就是系统函数即网络函数氏变换就是系统函数即网络函数 或或 ，所以讨论，所以讨论 或或 的有关性质，就可判断出系统的稳定性。的有关性质，就可判断出系统的稳定性。 返返 回回 kh t k th sH sH zH zH信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1519系统稳定性系统稳定性主要讨论可实现网络函数的性质及其判别方法主要讨论可实现网

18、络函数的性质及其判别方法 返返 回回网络函数网络函数系统稳定性判别法系统稳定性判别法 霍尔维茨多项式霍尔维茨多项式 Hurwith判别法判别法 Routh判别法判别法Routh判别法的几种判别法的几种特殊情况特殊情况 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1520网络函数网络函数 我们所指的网络函数通常按下面方式得到（使用复频域我们所指的网络函数通常按下面方式得到（使用复频域的比较多）：的比较多）： 正弦稳态：正弦稳态： jFjYjH 量相励激量相应响复频域：复频域： 01101 asasasbsbsbsFsYsAsBsHnnmm幅振复励激幅振复应响网络函数具有如下性质：网络函数

19、具有如下性质： 系数系数 ai、bi 均为正实数；均为正实数；因为函数中的系数仅与网络结构、元件参数有关，所以因为函数中的系数仅与网络结构、元件参数有关，所以各系数都必须为实数。各系数都必须为实数。信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1521网络函数网络函数 复数（虚数）零、极点必须成对（或共轭）出现；复数（虚数）零、极点必须成对（或共轭）出现；因为只有零、极点共轭地出现时：因为只有零、极点共轭地出现时：才能保证才能保证 ai、bi 为实数。为实数。 极点在左半平面。即极点在左半平面。即 s1 若若 为的一个极点，则其为的一个极点，则其响应中必含有一项响应中必含有一项 ，且，且

20、 ，当网络无源时，必，当网络无源时，必有有 ； 虚轴上的零、极点必须是单阶的，否则不稳定；虚轴上的零、极点必须是单阶的，否则不稳定； H s2222ssjsjstjttseee1tse10信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1522网络函数网络函数 分子、分母多项式的最高幂次或最低幂次相差不能大分子、分母多项式的最高幂次或最低幂次相差不能大于于 1 。因为因为 s 当很大时，前式可简化为：当很大时，前式可简化为：当当 时，函数将要出现零点或极点，而时，函数将要出现零点或极点，而 点可点可以认为是在虚轴上，由前一个性质知，在虚轴上的零、极点必以认为是在虚轴上，由前一个性质知，在虚

21、轴上的零、极点必须是单阶的，因此上式中应有须是单阶的，因此上式中应有 ，即函数中分子、分，即函数中分子、分母的最高幂次相差不能大于母的最高幂次相差不能大于 1（同样也可证最低幂次相差也不（同样也可证最低幂次相差也不能大于能大于 1，这里略）。，这里略）。 返返 回回ss1 nm nmmnmmsbssbsH信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1523霍尔维茨多项式霍尔维茨多项式 定义定义若实系数多项式若实系数多项式 的所有零点都在左半平面，则称的所有零点都在左半平面，则称 为严格的霍尔维茨多项式；除上述条件外，若它还有在虚轴为严格的霍尔维茨多项式；除上述条件外，若它还有在虚轴 j

22、 上的单阶极点，则称上的单阶极点，则称 为广义的霍尔维茨多项式。为广义的霍尔维茨多项式。线性时不变稳定系统的系统函数线性时不变稳定系统的系统函数 的性质：的性质： 它为它为 s 的实系数有理函数；的实系数有理函数； 零极点对零极点对 轴对称；轴对称； 分母多项式为霍尔维茨多项式。分母多项式为霍尔维茨多项式。 sA sA sA sH信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1524霍尔维茨多项式霍尔维茨多项式 Hurwith多项式的判别方法多项式的判别方法必要条件必要条件设设 12121012nnnnnnA ssasasa s as ss ss s其中其中 sj 是使上式为零的根，为找

23、出是使上式为零的根，为找出 sj 与与 ai 的关系，可以的关系，可以将上式展开，即：将上式展开，即： 12121 21 312 31nnnnnnnA sssss ssssssss ss s s 3123124121nnns s ss s sss ss 将上面两式比较，可得如下重要结论：将上面两式比较，可得如下重要结论：信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1525霍尔维茨多项式霍尔维茨多项式 若若ai为正实数，那么即使有复数或纯虚数根时，也必为正实数，那么即使有复数或纯虚数根时，也必定是成对出现的，因为在上式中，只有成对的条件下定是成对出现的，因为在上式中，只有成对的条件下 a

24、i（如（如 a1 1）才可能都是正实数；）才可能都是正实数； 若要求所有的根都要为负实数或负复数（实部），那若要求所有的根都要为负实数或负复数（实部），那么其必要条件是所有系数都是正实数，因为在前面的式子中，么其必要条件是所有系数都是正实数，因为在前面的式子中，奇次数根的乘积前为负号，偶次数根的乘积前为正号，若要求奇次数根的乘积前为负号，偶次数根的乘积前为正号，若要求都是负实数，则非具有正的系数不可；都是负实数，则非具有正的系数不可； 12121 21 312 31nnnnnnnA sssss ssssssss ss s s 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1526霍尔维茨

25、多项式霍尔维茨多项式 要求所有的根都是负实数的必要条件是方程式各要求所有的根都是负实数的必要条件是方程式各项前的系数不为零（即不缺项，项前的系数不为零（即不缺项，n 次方程有次方程有 n + 1 项）。若项）。若有缺项，则至少有一个根为正实数。有缺项，则至少有一个根为正实数。满足以上条件的多项式称为满足以上条件的多项式称为 Hurwith 多项式；而全部多项式；而全部是奇数或偶数次的多项式有在虚轴上的根，称该多项式为是奇数或偶数次的多项式有在虚轴上的根，称该多项式为广义广义 Hurwith 多项式。多项式。信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1527霍尔维茨多项式霍尔维茨多项式

26、 由上可知，要使系统是稳定的，由上可知，要使系统是稳定的， 的全部极点必须在的全部极点必须在s s 左半平面，其必要条件是左半平面，其必要条件是 的所有系数必须是正的，且不的所有系数必须是正的，且不为零，即为零，即 ， 。它们是必要条件，也就。它们是必要条件，也就是说是说 中如有缺项或某一项系数为负，则系统为不稳定系中如有缺项或某一项系数为负，则系统为不稳定系统。统。 H s A s0ia 1 , 2 , , in A s例如：例如： 323A sss 32234A ssss所表示的系统都是不稳定的。所表示的系统都是不稳定的。 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1528霍尔维

27、茨多项式霍尔维茨多项式 然而上面的条件仅仅是一个必要条件，还不是充分条件，也然而上面的条件仅仅是一个必要条件，还不是充分条件，也就是就是 时，还不能断定该系统为稳定系统，例：时，还不能断定该系统为稳定系统，例：返返 回回0ia 23221343282343243A sssssssss 该系统是不稳定的，所以上面该系统是不稳定的，所以上面 是判断系统是否的第是判断系统是否的第一步，第二步就要用一步，第二步就要用 Hurwith 判别法或判别法或 Routh 判别法。判别法。 0ia 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1529Hurwith 判别法判别法 将将 分成二分成二部分，

28、其中：部分，其中： 121210nnnnnA ssasasa s aM sN s 2424nnnnnM ssasas 135135nnnnnnN sasasas 将将 作连分式展开，或者作连分式展开，或者说是将说是将 与与 辗转相除，辗转相除，可得：可得： M sN s M s N s 123111111nnM sq sN sq sq sqsq s信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1530Hurwith 指出指出 的全部根位于左半平面的充要条件是的全部根位于左半平面的充要条件是全部系数全部系数 qi（ ）为正值，满足此条件的多项式）为正值，满足此条件的多项式为为 Hurwit

29、h 多项式。多项式。 0A s 1 , 2 , , in【例【例71】已知已知 ，试判断它是，试判断它是否为否为 Hurwith 多项式。多项式。 4321534Asssss解：解： ， 42154Msss 313Nsss sssssssssssssssssssssNsM411212114221142313423452233232411所有商（系数）均为正数，故所有商（系数）均为正数，故 为为 Hurwith 多项式多项式 11M sN s 1As信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1531【例【例72】已知已知 ，试判断它，试判断它是否为是否为Hurwith多项式。多项式。

30、4322232Asssss解：解： ， 42222Msss 323Nsss 251231323222233232422sssssssssssssssssNsMssssssssssss251511152511152112商（系数）中出现负数，故商（系数）中出现负数，故 不是不是 Hurwith 多项式。多项式。 22MsNs 2As信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1532Hurwith 判别法判别法 在前面的讨论中会出现一种特殊情况：若在前面的讨论中会出现一种特殊情况：若 和和 有有公因子，则辗转相除的过程会突然结束，这时相关多项式公因子，则辗转相除的过程会突然结束，这时相关

31、多项式 等于等于 Hurwith 多项式多项式 与另一个偶次多项式（又称倍增因子）与另一个偶次多项式（又称倍增因子） 的乘积，即的乘积，即 M s N s A s 1A s sW 1A sAsW s若若 是是 Hurwith 多项式，则多项式，则 也是也是 Hurwith 多项式，否多项式，否则就不是。则就不是。 sW A s信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1533Hurwith 判别法判别法 【例【例73】 已知已知 ，试判断，试判断它是否为它是否为 Hurwith 多项式。多项式。 返返 回回 54325599A ssssss解：解： 5432425599159A ss

32、sssssss 53425959M sssss ss 4459N sss 4222593 3W sssssss 第二个因子多项式中出现负数，故第二个因子多项式中出现负数，故 不是不是 Hurwith 多项式，多项式，这样这样 也不是也不是 Hurwith 多项式。多项式。 W s A s信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1534Routh 判别法判别法 将将 系数按下式排列系数按下式排列 121210nnnnnA ssasasa sa2411351nnnnnnnsaasaaa 在第一、二行的基础上，按下阵列组成第三、四、在第一、二行的基础上，按下阵列组成第三、四、n+1 行：

33、行：2123312311230123nnsbbbscccspppsqqq其中其中 2 ,12 ,11 ,11 ,11 ,11 jjkjkjjkjaaaaaa 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1535Routh 判别法判别法 2411351nnnnnnnsaasaaa2123312311230123nnsbbbscccspppsqqq 2 ,12 ,11 ,11 ,11 ,11 jjkjkjjkjaaaaaa 2113111 nnnnabaaa4215111 nnnnabaaa6317111 nnnnabaaa1311211 nnaacbbb1521311 nnaacbbb1

34、731411 nnaacbbb信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1536Routh 判别法判别法 观察阵列中第一列元观察阵列中第一列元素（素（1、an-1、b1、c1、p1、q1），若它们具有相同的符号，），若它们具有相同的符号，则则 所有的根都是负所有的根都是负实数（在实数（在 s 左半平面），系统左半平面），系统是稳定的，否则就是不稳定的。是稳定的，否则就是不稳定的。 0A s 2411351nnnnnnnsaasaaa2123312311230123nnsbbbscccspppsqqq信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1537Routh 判别法判别法

35、【例【例74】已知已知 ，试判断，试判断其对应系统是否稳定。其对应系统是否稳定。 返返 回回 4322345A sssss解：解：列表如下：列表如下： 43210123135240150600500sssss43210123135240120150300500sssss第一列元素符号发生了变化，故系统不稳定。第一列元素符号发生了变化，故系统不稳定。 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1538Routh 判别法的几种特殊情况判别法的几种特殊情况 如第一列中某一项为零，而此行又不全为零，那如第一列中某一项为零，而此行又不全为零，那么就不能确定下一行的元素。么就不能确定下一行的元素

36、。 解决办法是：解决办法是： 用任意小的值（如用任意小的值（如 ）代替这个零项，）代替这个零项，然后继续运算；然后继续运算； 将多项式的系数反过来排。将多项式的系数反过来排。 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1539Routh 判别法的几种特殊情况判别法的几种特殊情况 【例【例75】 已知已知 ，试判，试判断其对应系统是否稳定。断其对应系统是否稳定。 54322241A ssssss 解：解：列表如下：列表如下： 5432111012312124100.504100.500100ssssss5432101231421212101.5101003100ssssss或或第一列元

37、素符号发生了变化，故第一列元素符号发生了变化，故 对应系统不稳定。对应系统不稳定。 A s信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1540Routh 判别法的几种特殊情况判别法的几种特殊情况 第一列中的符号完全相同，但还不能确定此多项式第一列中的符号完全相同，但还不能确定此多项式的根都在的根都在 s 左半平面，表现为所排阵列中的一行所有元素均左半平面，表现为所排阵列中的一行所有元素均为零，它发生在前二行数字相同或成比例的时候。这实际上为零，它发生在前二行数字相同或成比例的时候。这实际上表明在虚轴上有零点（根）。表明在虚轴上有零点（根）。解决办法：解决办法：将全零行的前一行组成一个辅

38、助多项式，将全零行的前一行组成一个辅助多项式，用此多项式的导数的系数代替全零行，然后继续排列用此多项式的导数的系数代替全零行，然后继续排列 Routh 阵列。这时除看第一列是否变化外，还需检查辅助多项式的阵列。这时除看第一列是否变化外，还需检查辅助多项式的根，如在虚轴上的根为单根，则临界稳定，重根则不稳定。根，如在虚轴上的根为单根，则临界稳定，重根则不稳定。 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1541【例【例76】 已知已知 ，试判断其，试判断其对应系统是否稳定。对应系统是否稳定。 82423ssssA解：解：列表如下：列表如下：321012124812002020ssss

39、21122AssAss求虚根：令求虚根：令 0221 ssA122,2sjsj 求实根：令求实根：令 3221428402A sssssAss34s 第一列元素无符号变化，说明无正实根，仅有一阶虚根第一列元素无符号变化，说明无正实根，仅有一阶虚根及负实根，故及负实根，故 对应系统是稳定的。对应系统是稳定的。 sA信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1542【例【例77】 图示为一反馈系统，已知图示为一反馈系统，已知 ，K 为常数。为使系统稳定，试确定为常数。为使系统稳定，试确定 K 值的范围。值的范围。 244sG sss sF sY sGK解：解：由图写出系统函数：由图写出系

40、统函数： 22244144144sG ssssH ssKG ssK sKss利用利用 Routh 判别法列表：判别法列表： 21012144040ssKs144 4144044KKKK 可见，要使系统稳定，即第一列元素无符号变化，则要求：可见，要使系统稳定，即第一列元素无符号变化，则要求：40K4K 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1543线性系统的模拟、信号流图线性系统的模拟、信号流图 方框图与信号流图方框图与信号流图 信号流图中的术语信号流图中的术语 系统的化简系统的化简 系统模拟系统模拟 流图代数流图代数 流图的性质流图的性质 定义定义 支路串联支路串联 支路并联支路

41、并联 混联混联 回路（反馈环路）回路（反馈环路） 自环自环 方框图化简方框图化简 流图化简流图化简 直接实现直接实现 串联（级联）实现串联（级联）实现 并联实现（各部分之和）并联实现（各部分之和） 混联实现（串联、并联）混联实现（串联、并联） 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1544方框图与信号流图定义方框图与信号流图定义它们均是表示系统的方法它们均是表示系统的方法 ：方框图：方框图：用有向线段与方框表示系统的方法。用有向线段与方框表示系统的方法。 信号流图：信号流图：用结点和有向支路表示系统的方法。其优用结点和有向支路表示系统的方法。其优点是比方框图更简洁，简称流图。点是

42、比方框图更简洁，简称流图。 sF sH sY sF sH sY信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1545信号流图中的术语信号流图中的术语结点：结点：表示系统变量或信号的点，分为源结点（或源点、输表示系统变量或信号的点，分为源结点（或源点、输入结点）、汇结点（或汇点、沟点、阱点、输出结点入结点）、汇结点（或汇点、沟点、阱点、输出结点）及混合结点（或内结点）。）及混合结点（或内结点）。 源点：源点：只有输出支路的结点，可表示激励。只有输出支路的结点，可表示激励。 支路：支路：连接两结点的有向线段（表示信号变量间的因果连接两结点的有向线段（表示信号变量间的因果关系），它有权（即增益

43、、转移函数）。关系），它有权（即增益、转移函数）。 混合结点：混合结点：中间结点，既有入支路又有出支路，包括中间结点，既有入支路又有出支路，包括和点（多入单出）、分点（单入多出）。和点（多入单出）、分点（单入多出）。 汇点：汇点：只有输入支路的结点，可表示响应。只有输入支路的结点，可表示响应。 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1546信号流图中的术语信号流图中的术语通路：通路：沿箭头指向从一个结点到其它任一个结点的途径。沿箭头指向从一个结点到其它任一个结点的途径。 开通路（简单通路）：开通路（简单通路）：沿途各结点和支路只经过一次的通路。沿途各结点和支路只经过一次的通路。

44、闭通路（回路、环路）：闭通路（回路、环路）：通路的终点即为通路的起点，且与通路的终点即为通路的起点，且与沿途各个结点仅相遇一次。沿途各个结点仅相遇一次。 不接触回路：不接触回路：回路间既无公共支路，也无公用结点的回路。回路间既无公共支路，也无公用结点的回路。 前向通路：前向通路：由源点到汇点的开通路。由源点到汇点的开通路。 自回路（自环）：自回路（自环）：只有一个结点和一条支路的回路。只有一个结点和一条支路的回路。 通路增益（通路系统函数）：通路增益（通路系统函数）：通路上各支路系统函数的乘积。通路上各支路系统函数的乘积。 回路增益（回路系统函数）：回路增益（回路系统函数）：回路上各支路函数的

45、乘积。回路上各支路函数的乘积。 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1547信号流图的性质信号流图的性质 支路表示信号的函数关系，且信号只能沿箭头支路表示信号的函数关系，且信号只能沿箭头方向传输，相当于一个乘法器。方向传输，相当于一个乘法器。结点可把所有入支路信号相加，且传送到出支结点可把所有入支路信号相加，且传送到出支路。相当于一个加法器。路。相当于一个加法器。 内结点可以通过增加一条函数为内结点可以通过增加一条函数为“1 1”的出支路的出支路而变成汇点；也可以而变成汇点；也可以“撕裂撕裂”成一个成一个“和点和点”及一个及一个“分点分点” ” 。 信号与线性系统分析系统函数上

46、一页上一页2022-4-1548支路并联支路并联相当于系统并联相当于系统并联 支路串联支路串联相当于系统级联相当于系统级联 流图代数流图代数 方框图：方框图： 1H2HXFY信号流图：信号流图： Y21HHFF1HX2HYFHHXHHXHY21122（吸收一个内结点）（吸收一个内结点） 方框图：方框图： 1H2HFY21HH FY信号流图：信号流图： 1H2HFY21HH FYFHHFHFHY2121（吸收一条支路）（吸收一条支路） Y21HHF信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1549混混 联联31HH32HH1F2FY1F1H2H2F3HY1F2F31HH32HHY1F2

47、F1H2H3HY23213122113FHHFHHFHFHHY信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1550混混 联联1 , 321HHHHHY1F112F “和点和点”转移转移 11FHY2FH111F2FHY11F2FHHY信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1551混混 联联HHHEFF2121,1Y2YF1HH1Y2YF11H “分点分点”转移转移 “结点结点”消除消除 1FH1YH2Y111Y2YHF1Y2Y1F2FX1H2H3H4H1F2F1Y2Y31HH41HH32HH42HH信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1552（反馈）环路（

48、反馈）环路 , , , 112HYXXHYYHFX2112121111,1HHHHHFYHFYHYH自自 环环 FYX2 H1 HtYFHtHHFYHFtHHXHYtFHX1 , 1 , 1212121YFX1H2H2111HHHFY信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1553方框图化简方框图化简11sC1R2R sI21sC sF sY sV1 sV2 tf ty1R2R2C1C sYtysFtf , 输入输出：输入输出： sVtvsVtvsIti2211 , , 设中间变量：设中间变量： sIRsFsV11于是：于是： 11sCsYsVsI sVsIRsY22 sIsCsV

49、221 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1554方框图化简方框图化简21sC1R2R sF sY sV1 sV2 sI1sC sIRsFsV11 11sCsYsVsI sVsIRsY22 sIsCsV221信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1555方框图化简方框图化简 sF sY sI221sCR 1111CsRsC 221112221221112211111111111CsRsCCsRsCCsRsCsCRCsRsCsCRCsRsCsH212122111sCsCRRsCR（对上式上下同除（对上式上下同除 ） 21sCsC sF sY221sCR 1R1sC

50、 sI信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1556将第将第 i 条前向通路（包括相关结点）去掉后的条前向通路（包括相关结点）去掉后的 值值 流图化简流图化简梅森公式梅森公式 也可以象方框图一样，逐步化简，但与前相同，很繁琐，也可以象方框图一样，逐步化简，但与前相同，很繁琐，梅森（梅森（Mason）总结出一个通过观察就能得出的简便方法：）总结出一个通过观察就能得出的简便方法： iiipsH1梅森公式：梅森公式： jnmrqprqpnmjLLLLLL,1其中：其中： 流图特征行列式流图特征行列式 jjL所有不同回路的增益之和所有不同回路的增益之和 nmnmLL,所有两个互不接触回路增益的乘积之和所有两个互不接触回路增益的乘积之和 rqprqpLLL,所有三个互不接触回路增益的乘积之和所有三个互不接触回路增益的乘积之和 ip第第 i 条前向通路的增益条前向通路的增益i 信号与线性系统分析系统函数上一页上一页2022-4-1557例：例：前一例方框图前一例方框图1R21sC2R11111I