45三角函数模型的应用

1、§4.5三角函数模型的应用考点梳理|*券生，由1 .如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助来描述.2 .三角函数作为描述现实世界中现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题3 ,y=|sinx|是以为周期的波浪形曲线.4 .太阳高度角。、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：.自查自纠：1 .三角函数2.周期函数拟合3 .44.ho=htan0基础自制I小西量活牛丹小

2、试已知某人的血压满足函数解析式f（t）=24sin160疝+110.其中f为血压（mmHg）,t为时间（min）,则此人每分钟心跳的次数为（）A.60B.70C.80D.90解：由题意可得f=J=喏工80.所以此人每分钟心跳的次数为80.故选C.T2某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1,顶角为a的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A. 2sina2cosa+2B.sina3cosa+3C.3sinaV3cosa+1D.2sinacosa+1解：四个等腰三角形的面积之和为4x2x1x1xsina=2sin0.再由余弦定理可得正方形的边长为选A.在100mA

3、*3100：3C.3m解：如图，412+122X1X1xcosa=2J2-2cosa,故正方形白面积为22cosa,所以所求八边形的面积为2sina2cosa+2.故的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30。，60。，则塔高为（）200；3B. 3m若m3设塔高为hm,贝U有100tan30=(100-h)tan60；1-h=200(m).故选A.3已知某种交流电电流I（A）随时间t（s）的变化规律可以拟合为函数I=5、/2sin100疝一2,tC0,+8）,则这种交流电在0.5s内往复运动的次数为次.解：1-f=1=1-=嘤工=50,I2兀2兀0.5s内往复运动的次数为0.5X50=2

4、5.故填25.某市的纬度是北纬21。34',小王想在某住宅小区买房，该小区白楼高7层，每层3m,楼与楼之间相距15m,要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，最低应该选择第层的房(地球上赤道南北各23。26'处的纬线分别叫南北回归线.冬季我国白天最短的一天冬至日太阳直射在南回归线上).解：设最低高度为h°,则由题意知，太阳的高度角为90。|21。34'(23。26')1=45，15=2；君,得h0=6.，最低应选在第3层.故填3.典例解析类型一建立三角模型如图，某大风车的半径为2m,每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m.风车圆周上一

5、点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).hm(1)求函数h=f(t)的关系式；(2)画出函数h=f(t)的图象.解：(1)如图，以O为原点，过点O的圆O1的切线为x轴，建立直角坐标系，设点A的坐标为(x,v),则h=y+0.5.设/OOiA=0,则cos0=y=2cos0+2.又0=22rt=2tntn所以y=2co*+2,h=f(t)=2cos+2.5.t036912h0.52.54.52.50.5(2)列表：一一兀描点连线，即得函数h=2cos6t+2.5的图象如图所示:U/m点拨：本题主要考查三角函数的图象和性质，以及由数到形的转化思想和作图技能，建立适当的直角坐标系，

6、将现实问题转化为数学问题，是解题的关键.P（x,y）.若初始位置为叵为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖指向位置P0坐,2,秒针从P0（注:此时兀兀A.y=sin元+百兀兀B. y=sin-60t-6C. y=sin30t+6_兀.兀D. y5-301-6解：由题意，函数的周期为动）.初始位置为P0乎,2,_2冗底兀兀T=60,.w=而=30.设函数解析式为y=sinGt+（）0V（f）2（秒针是顺时针走,11一足兀兀兀一.t=0时，y=2.，sin（f）=2。可取6.，函数解析式为y=sin-30t+6.故选C.类型二根据解析式建立图象模型例琰画出函数y=|cosx|

7、的图象并观察其周期.t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）解：函数图象如图所示.«o从图中可以看出，函数y=|cosx|是以兀为周期的波浪形曲线.我们也可以这样进行验证：|cos（x+兀片|cosx|=|cosx|,所以，函数y=|cosx|是以兀为周期的函数.点拨：利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法时间t（s）与小球相对平衡位置（即静止时的位置）的高度h（cm）之间一武（经典题）弹簧挂着的小球作上下振动,一一、，一、，一，、一TT的函数关系式是h=2sin（2t工），tl0,+8）.5TAM以t为横坐

8、标，h为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图;（2）小球开始振动的位置在哪里？（3）小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多少？（4）小球经过多长时间往复振动一次？（5）小球1s能振动多少次？解：（1）画出h=2sin2t4的简图（长度为一个周期）.按五个关键点列表：t兀83兀万5兀T7jt-89兀-8一兀2t-40712713兀万2兀兀2sin2t74020-20描点并将它们用光滑的曲线连接起来，即得.一.兀.h=2sin2t4(t>0)在一个周期的简图，如图所不(2)t=0时，h=2sin4=_'J2,即小球开始振动时的位置为(0,J2)(平衡位置的

9、下方J2cm处).(3*=9kuKCN)时，h=2;t=pkukCN)时，h=2.即最高点位置竽+k为2,最低点位置7+k%-2,kCN,最高点、最低点到平衡位置的距离均为2cm.(4)小球往复振动一次所需时间即周期，丁:红厂3.14(s).(5)小球1s振动的次数为频率，111,f=-=-0.318(次/s).T33.14类型三三角函数拟合国»受日月引力影响，海水会发生涨落，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在不至搁浅时返回海洋，某港口水的深度y(米)是时间t(0<t<24,单位：时)的函数，记作y=f(t).下面是该港口在某季节每天水深的数据：t(时

10、)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0(1)根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面距离)为6.5米，如果该船在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?解：(1)根据数据画出散点图，根据图象，可考虑用函数y=Asin(co计+h刻画水深与时间之间的对应关系，则周期T=12,振幅A=3,h=10,.C兀一、y=3sin6t+10(0wtw24).(2)由题

11、意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5(米)，即3sin7t+10>11.5,sin71>7,2kTt+/wgw2k兀662665+6兀kCZ),0<t<24,12k+1<t<12k+5(kCZ).在同一天内取k=0或1,则1wtw5或13Wtw17.所以该船最早能在凌晨1时进港，最晚下午17时出港，在港口最多停留16小时.点拨：(求解析式、解不等式)，从而得出船在(1)这是一道根据生活中的实例编拟的题目，由表中数据抽象出数学问题港内最多停留的时间，这一过程体现了数学建模的思想;再结合几个关键数据求出解析式.(2)许多实际问题可以根据以前的记录数

12、据寻找模拟函数,叵某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0wtw24,单位:时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：t/时03691215182124y/米1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)试画出散点图；(2)观察散点图，从y=at+b,y=Asin(计(j)+b,y=Acos(co计昉中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在白天7时19时当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间(2)由(1)知选择y=Asin(co讣昉+b较合适.由图知，A=0.4,b=1,T=12,L

13、L,、，2兀兀，e._.、一.，兀一一一兀所以3=下=,，把t=0,y=1代入y=0.4sin(6t+1,得Q0,所以所求的解析式为：y=0.4sin6t+1(0<t<24).1由y=0.4sin6t+1>0.8,得sin6t>一万，则6+2k后762kTtkCZ),即12k1<t<12k+7,所以0WtW7或11WtW19或23<t<24.即应安排在11时到19时训练较恰当.1 .三角函数模型的三种模式在现实生活中，许多变化的现象都具有周期性，因此，可以用三角函数模型来描述.如：气象方面有温度的变化，天文学方面有白昼时间的变化，物理学方面有各种

14、各样的振动波，生理方面有人的情绪、智力、体力变化等.研究这些应用问题，主要有以下三种模式：给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数，再解决其他问题；搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数式，进一步用函数性质来解决相应的实际问题2 .三角函数应用问题解题流程三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，利用三角函数的周期性、有界性等，可以解决很多问题，其解题流程大致是：审读题目，理解题意一设角，建立三角函数模型一分析三角函数的性

15、质一解决实际问题.其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，是解决问题的关键3 .将图象和性质赋予实际意义在解决实际问题时，要具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活运用三角函数的图象和性质课时作业|安而小*拓展也伸一一一一一.、.一兀1.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=6sin271t+',那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A.C.解:2us0.5s2兀/T=1,2兀'B. usD.1s电流强度I=（C. 5镜安解:来回摆动一次所需时间即为一个周期.故选D.1（安）随时间t（秒）变化的函数，.、兀.1-t

16、,I=Asin(cot+(f)(A>0,3>0,0<怀2)的图象如图所不，则t=/秒时,0由图知A=10,由于图象过点3001B.D.5安10安T=2(300-300)=50，10，代入解析式得10=10sin(100兀诉30022一=一=100兀，I=10sin(100nt+(j).50II兀一一兀兀即sin§+()=1,从而3+4=2k兀+2一.兀兀兀-0<亦2，-4=6I=10sin100疝+6.当t=时，I=10sin1007r5.故选A.10010063.动点A（x,y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间t=

17、0时，点A的坐标是1.'32',则动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数表达式为（）A.y=sin6tC.y=sin口3,工工ysin6t+3y=sin§t+6解：该函数的最小正周期T=12,3=牛=1,可设此函数为v=sin舒。，又当t=0时，点A的坐标为2,乎，所求函数表达式为y=sin打孑.故选B.4 .如图为一半径是3m的水轮，水轮圆心。距离水面2m,已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系y=Asin（cx+j）+2,则有（）A.3=7"5A=3B.3=A=3152兀2万_15_C.9=纪A=5

18、D.03=15,a=5152兀=箸故选A.5.如图，质点P在半彳空为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(V2,-72),角速度为1,那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()-一一、.一一、.一-，一一，、，87r27r解：.水轮上取局点距离水面+2=5m,即A+2=5,，A=3.又一水轮每秒钟旋转而=而ad,，角速度co=f2rxsinxv0,排除B.所以只有A符合题意.故选A.7.某时钟的秒针端点A到中心O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A,B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=,其中te0,60.CD一.兀，

19、y.V斛：据点P0的坐标可得/xOP0=7,故/xOP=t4.设点P(x,y),则由三角函数的定义，可得sin/xOP=；,即sint4=：,故y=2sintj,因此点P到x轴的距离d=|y|=2sintj,据解析式可得C选项图象符合条件.故选C.(另用排除法易选C).兀,一，一一一6,已知函数y=f(x)的图象如图所不，则函数y=fxsinx在0,兀止的大致图象是()解：当0<*<”寸,0V2tx<2，显然y=f2xsinx>0,排除C,D;当2vxv兀时，一彳<:一x<0，显然yO«_，、_,，一，一、一一，、.兀解：如图所不，OA=OB=5(

20、cm),秒针由B均匀地旋转到A的时间为t(s),则/AOB=t,取AB中点为C,则OCXAB,从而/AOC=1/AOB=*260.在RtAOC中，AC=OAsin/AOC=5siri60t,.d=AB=losing,tC0,60.故填10sin60t.8.如图，塔AB和楼CD的水平距离为80m,从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°,则塔高AB=m,楼高CD=m(精确到0.01m)(参考数据:爽=1.41421,*=1.73205)解：在RtABD中，BD=80m,ZBDA=60°,AB=BDtan60=80班138.56(m).在RtAEC中，

21、EC=BD=80m,/ACE=45°,.AE=CE=80(m).CD=BE=AB-AE=80>/3-8058.56(m).塔AB的高约为138.56m,楼CD的高约为58.56m.故填138.56;58.56.9 .如图所示，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0.将十字形的面积表示为。的函数.解：设S为十字形的面积，则_。八cc。兀c兀S=2xyx2=2sin(Cos0cos29V0<2.一，一，、一一一一兀兀10 .已知，如图表小电流强度I与时间t的关系I=Asin(ol+(f)(t>0,-<归引的图象.(1)试根据图象写出I=Asin(6t+昉的解析式；1 一(2)为了使I=Asin(由十中t在任意一段通秒的时间内电流强度I能同时取得最大值|A|与最小值一|A|,那么正整数3的最小值是多少？解：(1)由图知，A=300,丁11T1 6030050222% 3=100兀.T150kCZ,后30+2kh1+2k