矩阵的秩线性方程组可解的判别法

§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法

上节介绍了用消元法解线性方程组:

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,

a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,(1)....................................

am1x1+am2x2+...+

amnxn=

bm,

此法在实际解方程组时是比较方便的,下面再解决几个问题:§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法(甲)上节利用初等变换把⑴的系数矩阵:§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法

可看到:矩阵⑶中出现的整数r有极重要的地位.问题是:r与系数矩阵⑵有何关系?有⑵唯一确定还是要依赖初等变换呢?

§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法

但是,易见:用不同的初等变换,可将⑵形如⑶但不同的矩阵.(乙)方程组⑴何时有解,何时无解?原因不清.(丙)用方程组系数与常数项来表示解的公式还没有,而解的公式在理论上有重要意义.下面讨论上述几个问题,行列式理论与“矩阵与秩”的概念将起基本作用.先讨论

一个矩阵的元素构成的一系列行列式.§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法

定义1在一个s行t列矩阵中任取k行k列(k

s,k

t).位于这些行列交点处的元素构成的k阶行列式称为该矩阵的一个k阶子式.考察:矩阵⑶中出现的整数r与⑶的子式之间有何关系?先假定r>0,则⑶含有一个r阶子式:

但它不含阶数高于r的非零子式.§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法∵在r=m或r=n时,⑶不含阶数高于r的子式;在r<m,r<n时,⑶的任一阶数高于r的子式至少含有一行元素全为零,则该子式必为零.∴⑶中非零子式的最大阶数=r.

定义2一个矩阵A的非零子式的最大阶数称为该矩阵的秩,并记作:秩A(Rank

A).若一个矩阵没有非零子式,则其秩为零(显然是元素全为零时).由定义,一个矩阵的秩

该矩阵的行(列)数.由此可知:矩阵⑶中的r

矩阵⑶的秩.§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法(下面证明)矩阵⑶中的r也是⑴的系数矩阵⑵的秩,即r有系数矩阵唯一确定.(即证

)定理4.2.1初等变换不改变矩阵的秩.证:首先有一事实:若对一矩阵A施行某种行或列初等变换得到矩阵B,则对B施行同一种初等变换又可得到A.①

交换A的第i,j行得到B,再交换B的第i,j行当然得到A.②

A的第i行乘以a

0得到B,则将B的第i行乘以1/a也得到A.③

A的第j行乘以k加到第i行得到B,则将B的第j行乘以

k加到第i行又得到A.类似有列的情形.§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法

(分三种行初等变换来证明定理)⒈矩阵A的第j行乘以数k加到第i行得到矩阵B:

且

RankA=r.证明RankB=r.先证:RankB

r.

§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法若矩阵B没有阶数大于r的子式,当然没有阶数大于r的非零子式,所以RankB

r.

设矩阵B有s阶子式,且s>r,分3种情形:(i)D不含第i行的元素,则D也是A的一个s阶子式,而s>RankA,∴D=0.(ii)D含第i行的元素,也含第j行的元素,由命题3.3.10得:§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法后一个行列式是矩阵A的一个s阶子式.§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法

(iii)D含第i行的元素,但不含第j行的元素,则:其中,D1是A的一个s阶子式,D2与A的一个s阶子式最多差一符号,所以D1=D2=0,从而,D=0.§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法∴在矩阵B有阶数大于r的子式时,B的任何此类子式均为零,而RankB

r,即任何情形都有:

RankB

RankA.

因为也可对矩阵B施行第3种行初等变换而得到A,所以也有:RankA

RankB.

从而有:RankB=

RankA.即:第3种行初等变换不改变矩阵的秩.对其他初等变换,类似可证.

这已解决问题(甲),实际上,Th4.2.1告诉我们:只需利用初等变换化A为§4.1⑸型矩阵后,数数含有非零元素的行有几个便能求得A的秩,并不需要算其子式.(再考虑(乙)

)§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法

定理4.2.2(线性方程组可解的判别法)线性方程组⑴有解

(充分必要条件)它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等.证:以表示⑴的增广矩阵,即:前n列所作矩阵即⑴的系数矩阵A.§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法用初等变换化为:若以B表示的前n列所作矩阵,由定理4.2.1,有:⑷RankA=RankB=r,Rank=Rank.§4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法再设线性方程组⑴有解,则或r=m或r<m,且dr+1=...=dm=0,

∴这两种情形都有:Rank=r.

由⑷可得:RankA=Rank.

反之,设RankA=Rank,则由⑷得:

Rank=r.∴r=m或r<m且dr+1=...=dm=0,从而方程组⑴有解.综上所述,定理得证.

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