2021年河南省河南师大附中中考数学解答题专练5

1、 2021 年河南省河南师大附中中考数学解答题专练 5一、解答题（本大题共 12 小题，共 120.0 分）1. 如图，AN 是 的直径，(1)若点 ， ，轴，AB 交 于点 C= 30°，求点 的坐标；BDNBCD(2)若 为线段 的中点，求证：直线 是 的切线2. 在直角坐标系中，过原点 O 及点，作矩形 OABC、连结 OB，点 D 为 OB，交 OA 于点 F，连结的中点，点 E 是线段 AB 上的动点，连结 DE，作已知点 E 从 A 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 AB 上移动，设移动时间为t 秒DF(1)如图 1，当 = 3时，求 的长EAB 上移动的过程中

2、，(2)如图 2，当点 在线段的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan的值ADADt分成的两部分的面积之比为 1：2 时，求相应的 的值(3)连结 ，当 将1 3. 阅读材料：在平面直角坐标系 xOy 中，点, )到直线 + = 0的距离公式为： =000022例如：求点 (0,0)到直线 + 3 = 0的距离0解：由直线 + 3 = 0知， = 4， = 3， = 3，点 (0,0)到直线 + 3 = 0的距离为 = |4×0+3×03| = 3042+325根据以上材料，解决下列问题：问题 1：点 (3,4)到直线 = + 的距离为_ ；3514

3、43 + 相4问题 2：已知： 是以点为圆心，1 为半径的圆， 与直线 = 切，求实数 b 的值；问题 3：如图，设点 P 为问题 2 中 上的任意一点，点 A，B 为直线 +上的两点，且 = 2，请求出 的最大值和最小值+ 5 = 0第!异常的公式结尾页，共 25 页2 4. 如图，某海监船以 60 海里/时的速度从 A 处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A的西北方向的 C 处，海监船航行1.5小时到达 B 处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在 B 的北偏西30°方向的 C 处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以 90 海里/时的速度追击，在 D处

4、海监船追到可疑船只，D 在 B 的北偏西 °方同 以下结果保留根号60()B C(1)求 ， 两处之问的距离；(2)求海监船追到可疑船只所用的时间5. 如图，一个人骑自行车由 A 地到 C 地途经 B 地，当他由 A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一电视塔 他由 A到达 B 地，发现电视塔 P 在他北偏东75°方向，然后他由 B 地向北偏东15°方向骑行了AP(1)求 地与电视塔 的距离；CP(2)求 地与电视塔 的距离3 6. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活如图是政府给贫困户新建的房屋，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋

5、的高AB 所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶 A 的仰角为35°，此时地面上 C点、屋檐上 E 点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走 8m 到达点 D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为60°，房屋的顶层横梁点 点 C，D，B 在同一水平线上). (参考数据：，AB 交 EF 于=° 0.6，° 0.8，° 0.7， 3 1.7)AG(1)求屋顶到横梁的距离 ；(2)求房屋的高结果精确到7. 如图， 是的外接圆，AB 是直径，D 是 AC 中点，直线 OD 与 相交于 E，F 两点，P 是 外一点，P 在直线 OD

6、上，连接 PA，PC，AF，且满足PA=(1)求证： 是 的切线；第!异常的公式结尾页，共 25 页4 (2)证明：=；2(3)若= 8，tan= ，求 DE 的长238. 如图，在 中， = 90°，的平分线 AD 交 BC 于点 D，点 E 在 AC上，以 AE 为直径的 经过点 D(1)求证： 是 的切线；=；2FAD(2)若点 是劣弧 的中点，且 = 3，试求阴影部分的面积5 9. 如图，PA 是 的切线，切点为 A，AC 是 的直径，连接 OP 交 于 过 A 点作于点 D，交 于 B，连接 BC，PBPB(1)求证： 是 的切线；E(2)求证： 为的内心；(3)若cos=

7、 10， = 1，求 PO 的长1010. 已知在平面直角坐标系中，点，以线段 BC 为直径作圆，圆心为 E，直线 AC 交 于点 D，连接 ODOD(1)求证：直线 是 的切线；F xCFGBG(2)点 为 轴上任意一动点，连接 交 于点 ，连接 ；当tan= 时，求所有 F 点的坐标_(直接写出)；17求 的最大值第!异常的公式结尾页，共 25 页6 11. 在平面直角坐标系中，O 为原点，点，点 B 在 y 轴的正半轴上，= 2= 30°.矩形 CODE的顶点 D，E，C 分别在 O A，A B，OB 上，()如图，求点 的坐标；ECODE x沿 轴向右平移，得到矩形 ，点 C

8、，O，D，E 的对()将矩形应点分别为 ， ， ， .设 = ，矩形 与重叠部分的面积为 S如图，当矩形 与重叠部分为五边形时， ， 分别与 AB 相交于点 M，F，试用含有 t 的式子表示 S，并直接写出 t 的取值范围；t当3 53时，求 的取值范围(直接写出结果即可)7 如图 1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图 3 是图 2 中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨 MN 安装在窗框上，托悬臂DE 安装在窗扇上，交点A 处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点 B，C，D 始终在一直线上，延长 DE 交 MN 于点 已知，=，=(1)窗扇完全打开，张角(2)窗扇部分打开，张角= 85°，求

9、此时窗扇与窗框的夹角的度数；= 60°，求此时点 A，B 之间的距离(精确到(参考数据： 3 1.732， 6 2.449)第!异常的公式结尾页，共 25 页8 1.【答案】解：(1) 的坐标为(0,6)，= 4，= 30°，= 8，=由勾股定理可知：43，=2MC(2)连接 ，NC是 的直径，= 90°，= 90°，在 中，D 为 NB 的中点，= 1=，2=，=+= 90°，= 90°，即CD直线 是 的切线【解析】(1)在 中，求出 AN、AB 即可解决问题；MC(2)连接 ，只要证明°= 90 即可；本题考查圆的切线

10、的判定、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型2.【答案】解：(1)当 = 3时，点 E 为 AB 的中点，= 8，= 6，D OB点 为 的中点，9 ，=12= 4，OABC是矩形，四边形，= 90°，=又，= 90°，DFAE是矩形，四边形= 3；的大小不变；理由如下：于 N，如图 2 所示：DMAN是矩形，= 90°，四边形，=，D OB点 为 的中点，NOA AB 、 分别是 、 的中点，= 1= 3，= 1= 4，22= 90°，= = 90°，=4= 90°， tan=34

11、；M于 ，N于 ，(3)作若 AD 将的面积分成 1：2 的两部分，设 AD 交 EF 于点 G，则点 G 为 EF 的三等分点；第!异常的公式结尾页，共 25 页10 当点 E 到达中点之前时，如图 3 所示，= 3 ，3 (3 ，4由= 4 +得：= 3 + 25，44G EF点 为 的三等分点，12设直线 AD 的解析式为 =把，代入得：，= 3解得：，4= 6直线 的解析式为 = 3 + 6，AD4, 2 代入得： = 75把；12341当点 E 越过中点之后，如图 4 所示，= 3，34 3)，由= 4 得：= 3 + 25，44G EF点 为 的三等分点，, 1 ，36AD 的解析

12、式 = 3 + 6得： = 75；代入直线417综上所述，当 AD 将分成的两部分的面积之比为 1：2 时，t 的值为 或75 7541 17【解析】(1)当 = 3时，点 E 为 AB 的中点，由三角形中位线定理得出，=12= 4，再由矩形的性质证出，得出= 90°，证出四边形=DFAE是矩形，得出= 3即可；=M于 ，N于 ，证明四边形DMAN是矩形，得出= 90°，(2)作，由平行线得出比例式 = ， = ，由三角形中位线定理得12= 3，= 1= 4，证明，得出 = 3出=，再由三24角函数定义即可得出答案；M于 ，NAD的面积分成 1：2 的两部分，设AD(3)作

13、作于 ，若 将交 EF 于点 G，则点 G 为 EF 的三等分点；11 当点 E 到达中点之前时，= 3 ，由得：= (3 ，求出34= 3 + 25，得出, 2 ，求出直线 AD 的解析式为 = 3 + 6，= 4 +441234, 2 代入即可求出 t 的值；3把1234 3)，求 出当点4 E 越过中点之后，= 3，由得：= 3 + 25，得出, 1 ，代入直线 的解析式AD= 3 + 6t求出 的值44634即可本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、一次函数解析式的求法等知识；本题综合性强，难度较大3.

14、 【答案】4【解析】解：(1)点 (3,4)到直线 + 5 = 0的距离 =|3×3+4×45| = 4，132+42故答案为 4(2) 与直线 = + 相切， 的半径为 1，34到直线 += 1， = 0的距离 = 1，32+42解得 = 5或 15(3)点到直线 + 5 = 0的距离 = |6+4+5| = 3，32+42P 上点 到直线 + 5 = 0的距离的最大值为 4，最小值为 2，的最大值= × 2 × 4 = 4，1的最小值= × 2 × 2 = 2122(1)根据点到直线的距离公式就是即可；(2)根据点到直线的距离公式

15、，列出方程即可解决问题CP(3)求出圆心 到直线 +距离的最大值以及最小值即可解决问题本题考查一次函数综合题，点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会把直线的解析式转化为 + + = 0的形式，学会构建方程+ 5 = 0的距离，求出 上点 到直线 + 5 = 0的解决问题，会求圆上的点到直线的距离的最大值以及最小值，属于中考压轴题第!异常的公式结尾页，共 25 页12 4.【答案】解：(1)作则 = 90°，由题意得： = 60 × 1.5 = 90(海里)，于 E，如图 1 所示：= 45°，= 30°，= 60

16、6;，是等腰直角三角形，= 60°，=，= 30°，=，设= ，则=，=+ = + 90，解得： = 45 3 + 45，= 903 + 90；答：B，C 两处之问的距离为(90 3 + 90)海里；F于 ，如图 2 所示：(2)作则= 90° 60° = 30°，= 135 + 45 3，= 270 + 903，海监船追到可疑船只所用的时间为270+903 = 3 + 3(小时)；90答：海监船追到可疑船只所用的时间为(3 + 3)小时【解析】(1)作于 E，则= 90°，由题意得： = 60 × 1.5 = 90，=45

17、°，得出= ，则453 + 45，得出= 30°，= 60°，得出是等腰直角三角形，= 60°，= ，设=，= 30°，由直角三角形的性质得出=，=，=+= + 90，得出方程 = + 90，解得： = 903 + 90即可；= 135 + 45 3， = 30 ，由直角三角形°=F于 ，则(2)作=的性质得出= 270 + 90 3，即可得出结果本题考查了解直角三角形的应用、方向角、直角三角形的性质；正确作出辅助线是解题的关键= 45°，则中，= 75°，= 45°，在 =2213 = 30°

18、，= 33，=° = 6，= 3 += 3 + 33；P 地与电视塔 的距离为(3 + 3；CE于点 ，(2)过 作= 75°，= 60°，= 15°，=° = × 6 = 3，12= 6，= 3，= 6Pkm 地与电视塔 的距离 6 【解析】(1)过 B 作然后在直角于点 D，在直角中利用三角函数求得 AD、BD 的长，中利用三角函数求得 BP、PD 的长；BECE于点 ，利用三角函数求得 的长，即可得到(2)过 作=，然后根据线段垂直平分线的性质定理求得= 6此题考查了方向角问题此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角

19、三角形的知识，利用三角函数的知识求解6. 【答案】解：(1) 房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB 所在的，=，= =35°，在 中 ，= 90°，= 35°， tan=°=，= 6，= 6 × 0.7 = 4.2(米)；答：屋顶到横梁的距离 AG 为4.2米；EH于 ，(2)过 作第!异常的公式结尾页，共 25 页14 设= ，在 中，= 90°，= 90°，= 60°， tan=，=，在 中，= 35°， tan=，=，= 8，= 8，解得： 9.52，=+= 13.72 14(

20、米)，答：房屋的高 AB 为 14 米1 2°= 35 ，解直角三角形即【解析】(1)根据题意得到，=可得到结论；EH于 ，设(2)过 作= ，解直角三角形即可得到结论本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形7. 【答案】解：(1)证明： 是弦 AC 中点，是=，AC的中垂线，=是 的直径，= 90°，= 90°+又 = ，= 90°，= 90°，即+，是 的切线；15 (2)证明：由(1)知= = 90°，=2 ，=1又=，2 1=，即=224(3) tan

21、=23，在 中，设= ，则= AB 是 中点，= 1= 4，2= 424+=，即4 += 4) ，解得 = ，2222225= 8 = 325【解析】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出 (1)先判断出 是解本题的关键=，得出= ，再判断出= 90°，得出= 90°，得出+= 90°，再判断出+= 90°，即 可+得出结论；(2)先判断出 ，得出=，进而得出1=，224即可得出结论；=12= 4，= 4，最(3)在 中，设 = ，得出后用勾股定理得出 2 +2 =2，即可得出结论8. 【答案】解：(1)连接 O

22、 D，第!异常的公式结尾页，共 25 页16 是的平分线， ， = = ，=，=，而 = 90°，= 90°，是 的切线；连接 DE，是 的切线， = ， ，=2，=；DF OFR(2)连接 、 ，设圆的半径为 ，FADDA是 中垂线，点 是劣弧 的中点，=， ， = = ，=，AODF是平行四边形，四边形又=，、是等边三角形，= 60°，= 30°，= 1=+，而=，2= = 3，17 = 60 × × 3 =2阴影扇形3602【解析】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、含 30 度角的直角三角形的知

23、识，相似三角形的判断与性质，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来(1)证明，即可求解；证明 CDE，即可求解；，即可求解=(2)证明、是等边三角形，阴影扇形9.【答案】(1)证明：连接 OB，为 的直径，= 90°， ，=，=， ，=，在和中，=，=，=，为 的切线，= 90°，= 90°，是 的切线；AE(2)证明：连接 ，第!异常的公式结尾页，共 25 页18 为 的切线，= 90°，+，= 90°，+=，=，即 EA 平分，PB、 为 的切线，平分 为的内心；+ (3)解：

24、= 90°， + = 90°， ，= cos= 10，10在 中，= 1 = 10，10= 10，= 10，2= 90°，=，=，=，10= 10 = 521【解析】本题考查的是三角形的内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定与性质，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键OB°，得到(1)连接 ，根据圆周角定理得到= 90 ，证明=，根据切线的判定定理证明；(2)连接 AE，根据切线的性质定理得到再证明 PD 平分 ，根据三角形的内心的概念证明即可；= 90 ，证明°EA 平分，+(3)求出= ，根据余弦的定义求出 AC

25、，AO，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可10.【答案】解：(1)证明：如图 1，连接 DE，19 为圆的直径，= 90°，= 90°=+=即： 轴= = 90°= 90°D点 在 上OD直线 为 的切线(2)如图 2，当 F 位于 AB 上时，过于 N，1作11= 90°11=1 =1= 6，= 8，第!异常的公式结尾页，共 25 页20 AB BC，即 ： ：= 6：8：10 = 3：4：5=+= 6 + 8 = 102222设= ，则= ，=11= 10 tan= 1 = ，解得： = ，110173110经检验 = 是原方程

26、的解，315031=150 43= 3 131 31(43 , 0)31即1M于 ，如图 3，当 F 位于 BA 的延长线上时，过 作222设= ，则= ，=22=+= 10 +1 tan=2=210 +72解得： = ，52经检验 = 是原方程的解，5= 22= 3 + 2 = 52即 (5,0)2(43 , 0)， (5,0)故答案为：1231如图 4，为直径，21 = 90°=22=+=22，2=2222(64 2) 6422222=422(64 642)=令 =2(64 2) =4 +2 =2 32)2 322 =2 32)2 +322= 322当= 32时，2最大值此时=

27、42( )= 32 = 1最大值642【解析】本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键ED°=(1)连接 ，证明= 90 即可，可通过半径相等得到，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得=， = ，得证；(2)分两种情况： 位于线段 AB 上， 位于 BA 的延长线上；过 F 作 AC 的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F 坐标；应用相似三角形性质表示出 =22)，令 =2(64 2) =2643

28、2) + 32 ，应用二次函数最值可得到结论22第!异常的公式结尾页，共 25 页22 11.【答案】解：() 点，= 6，= 2，= 6 2 = 4，CODE是矩形，四边形，= 30°，= 8，= 8 4 = 43在 中，=，=2222= 2，E点 的坐标为(2,4 3)；()由平移的性质得： = 2， = 4 3， = = ， ，= 30°，在 中，= = ， = ，=2222=1= × × = 2，1222 = 2 × 43 = 83，矩形 = 83 2，矩形 2t = 3 + 83，其中 的取值范围是：0 < < 2；22当 = 3时，如图所示：，= 6