一元函数积分学ppt课件

1、引引 言言第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学积分学分为不定积分与定积分两部分。不定积分积分学分为不定积分与定积分两部分。不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系。却有着紧密的内在联系。本章主要研究不定积分和定积分的概念、性质本章主要研究不定积分和定积分的概念、性质及基本积分方法，并揭示二者的联系，从而着重论及基本积分方法，并揭示二者的联系，从而着重论证微积分学核心定理证微积分学核心定理( (牛顿牛顿- -莱布尼茨式公

2、式莱布尼茨式公式) )，解决，解决定积分的计算问题，同时研究定积分在几何、物理定积分的计算问题，同时研究定积分在几何、物理及医学等方面的应用，最后简单研究广义积分。及医学等方面的应用，最后简单研究广义积分。本章主要内容本章主要内容3.1 不定积分不定积分3.2 不定积分的计算不定积分的计算3.3 定积分定积分3.4 定积分的计算定积分的计算3.5 广义积分广义积分3.1.1 3.1.1 不定积分的概念不定积分的概念3.1.2 3.1.2 不定积分的基本公式和不定积分的基本公式和 运算法则运算法则微分法微分法: :)?()( xF积分法积分法: :)()?(xf互逆运算互逆运算。xFxf)(),

3、(反问题求设已知)(, )(xfxF求求设设已已知知3.1.1 3.1.1 不定积分的概念不定积分的概念问题提出问题提出定义定义1 若在某一区间上，若在某一区间上，F(x)=f(x) ，则在这个，则在这个区间上，函数区间上，函数 F(x) 叫做函数叫做函数 f(x) 的一个原函数。的一个原函数。一、不定积分的定义一、不定积分的定义定理定理1 1 若函数若函数f(x)f(x)在某区间上连续，那么在某区间上连续，那么f(x)f(x)在该区在该区间上的原函数一定存在。间上的原函数一定存在。定理定理2 2 若函数若函数f(x)f(x)有原函数，那么它就有无数多个原函有原函数，那么它就有无数多个原函数数

4、. .定理定理3 3 函数函数f(x)f(x)的任意两个原函数的差是一个常数。的任意两个原函数的差是一个常数。关于原函数，先研究三个问题：关于原函数，先研究三个问题：a.函数函数f(x)应具备什么条件，才能保证其原函数一定存在？应具备什么条件，才能保证其原函数一定存在？ b.若函数若函数f(x)有原函数，那么原函数一共有多少个？有原函数，那么原函数一共有多少个？ c.函数函数f(x)的任意两个原函数之间有什么关系？的任意两个原函数之间有什么关系？定理定理1 1：若：若F(x)F(x)是是f(x)f(x)的一个原函数，则的一个原函数，则f(x)f(x)的所有原的所有原函数都可以表示成函数都可以表

5、示成F(x)+CF(x)+CC C为任意常数）。为任意常数）。考虑：如何证明？考虑：如何证明？定义定义2 2 若若F(x)F(x)是是f(x)f(x)的一个原函数，则的一个原函数，则f(x)f(x)的的所有原函数所有原函数F(x)F(x)C C称为称为f(x)f(x)的不定积分，记为的不定积分，记为x 称为积分变量称为积分变量f(x)称为被积函数，称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式称为被积表达式其中其中 称为积分号，称为积分号，C 称为积分常数称为积分常数CxFdxxf)()(例例1 1 求下列不定积分求下列不定积分(1)3 3x dx. xe dx. (2)解：解：34341 14

6、4x dxxC (2)(3)xxeeC 3441xx xxee(3)xdxcos(1)xxcos=)(sinCxxdxsincos例例2 2 用微分法验证等式：用微分法验证等式：Cxdxx)32sin(21)32cos() 32cos()32sin(21xx) 32sin(21xCxdxx) 32sin(21) 32cos(证明：因为证明：因为是是cos(2x+3)cos(2x+3)的一个原函数，的一个原函数，所以所以即即yxo0 x几何意义：不定积分几何意义：不定积分 表示积分曲线表示积分曲线y=F(x)沿沿y轴上下平移而得到的一族积分曲线。轴上下平移而得到的一族积分曲线。 CxFdxxf)

7、()(二、不定积分的几何意义二、不定积分的几何意义例例3 求经过点求经过点(1,3)，且其切线的斜率为，且其切线的斜率为2x的曲线方程。的曲线方程。解：由曲线切线斜率为解：由曲线切线斜率为2x且不定积分定义可知且不定积分定义可知得曲线簇得曲线簇 y=x2+C, 将将x=1,y=3代入，得代入，得 C=2所以所以 y=x2+2 Cxxdx223.1.2 3.1.2 不定积分的基本公式和运算法则不定积分的基本公式和运算法则一、不定积分的基本公式一、不定积分的基本公式 由不定积分的定义可知，不定积分就是微分由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运算的逆运算。因而，有一个导数或微分公式，运算的逆运算。

8、因而，有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式。就对应地有一个不定积分公式。序号序号12345)()(xfxFCxFdxxf)()(kCkx)(xx)11(1Ckxkdx) 1(111Cxdxxxx1)(lnCxdxxln1xxaaa )ln(Caadxaxxlnxxee )(Cedxexx基本积分表基本积分表67891011xxcos)(sinxxsin)cos(xx2sec)(tanxx2csc)cot(211)(arcsinxx211)(arctanxxCxxdxsincosCxxdxcossinCxxdxtansec2Cxxdxcotcsc2Cxdxxarcsin112Cxdx

9、xarctan112例例4 4求下列不定积分求下列不定积分(1)xdx (2)3 31 1dxx (3)xdx 解：解： (1)1 11 11 11 11 1xdxxC 2 21 12 2xC(2)3 33 31 1dxx dxx 3 13 11 13131xC 2 21 12 2Cx (3)1 12 2xdxx dx 1 11 12 21 11 11 12 2xC 3 32 22 23 3xC2 23 3xxC)0(|ln1xCxdxx例例5 5 验证验证解：当解：当x0 x0时，时，当当x0 x0时，时，所以所以 xxx1)(ln|)|(ln xxxxx1)(1()ln(|)|(ln)0(

10、|ln1xCxdxx关于不定积分，还有如下等式成立：关于不定积分，还有如下等式成立：2.2. )()(xfdxxf dxxfdxxfd)()(1.1.Cxfdxxf)()( Cxfxdf)()(或或或或. .不为零的常数因子，可移动到积分号前。不为零的常数因子，可移动到积分号前。. .两个函数的代数和的积分等于函数积分的两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和代数和（k0） dxxfkdxxkf)()(dxxgdxxfdxxgxf)()()()(二、不定积分的运算法则二、不定积分的运算法则（可推广到有限多个函数之和的情况）（可推广到有限多个函数之和的情况）例例6 6 求求dxexxx)12(

11、sin2dxedxxxdxx212sin解：原式=Cexxxarctan2cos直接积分法：利用不定积分的运算性质和积分直接积分法：利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法。基本公式直接计算出不定积分的方法。例例7 7 求求dxxx241dxxdxxxx2222111) 1)(1(解：原式解：原式dxxdxx2211) 1(Cxxxarctan33dxxx24111例例8 8 求求dxx2cos2dxx2cos1解：原式解：原式= =Cxxsin2121dxxdx2cos21例例9 9 求求xdx2tan dxx) 1(sec2解：原式解：原式= =Cxx tandxxdx

12、2sec说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分公式。才能使用基本积分公式。课堂思考课堂思考? ? )()()()( 除法呢对吗乘法dxxgdxxfdxxgxf不对，例如xxgxf)()(3.2 3.2 不定积分的计算不定积分的计算 利用基本积分公式及不定积分的性利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，质直接计算不定积分，有时很困难，因而，需要引进一些方法和技巧。下因而，需要引进一些方法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法面介绍不定积分的两大积分方法: :换元换元积分法与分部积分法积分法与分部积分法3

13、.2.1 3.2.1 换元积分法换元积分法 一、第一类换元积分法凑微分法）一、第一类换元积分法凑微分法） 有一些不定积分，将积分变量进行有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后，积分表达式由于引进中一定的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式，而新的积分表间变量而变为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积分达式和新的积分变量可直接由基本积分公式求出不定积分来。公式求出不定积分来。例如例如想到基本积分公式想到基本积分公式若令若令u2x，把，把2x看成一个整体新的积分变量），看成一个整体新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来这个积分可利用基本积分公式算出来 ?

14、)2cos(dxxCxCuuduxdxdxx 2sin21sin21cos21)2()2cos(21)2cos( Cxxdxsincos定理定理1 设设f(u)具有原函数具有原函数F(u) ，u(x)可导可导 则则有有第一类换元积分法第一类换元积分法 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式凑微分法）第一类换元公式凑微分法）CxF)(),()(uFuf有有原原函函数数设设,)(可导可导xu 则有换元公式则有换元公式xxxfd )()()(d)(xxf)(xuCuF)(uufd)(CxF)(ux )(注意注意 使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 CxFxdxfdxxxf

15、)()()()()( 即将即将)()()()(xdxfdxxxf拼凑成第一类换元法又称为凑微分法。第一类换元法又称为凑微分法。例例10 10 求求 dxx12)12(1221xdx解：原式解：原式= =Cx23) 12(3221Cx23) 12(31推广推广) 0( )( adxbaxm求)()(1)( 1 baxdbaxadxbaxmmm时当解：解：Cbaxabaxbaxdabaxdxm|ln1)(1 1 时当Cmabaxm) 1()(1例例11 11 求求xdxtan dxxxcossin解：原式解：原式= =Cxxdx |sin|lncot类类似似可可得得xxdcos)(cosCx |c

16、os|lnCx |sec|ln例例12 12 求求) 0( 22axadxdxxaxaa)11(21解：原式解：原式= =Cxaaxaa|ln21|ln21xadxaxadxa2121xaxadaxaxada)(21)(21Cxaxaa|ln21例例13 13 求求xdxcsc dxxsin1解：原式解：原式= =Cxxcos1cos1ln21 dxxx2sinsin xxd2cos1cos 1coscos2xxdCxxsincos1lnCxx|cotcsc|ln同理可得同理可得Cxxxdx|tansec|lnsec例例14 14 求求dxx 2cos dxx22cos1Cxx 42sin2d

17、xx2cos解：解：) )2(221(21xxdcoxdx说明：正余弦三角函数积分的偶次幂时，一般应说明：正余弦三角函数积分的偶次幂时，一般应先降幂。先降幂。例例15 15 求求解解dxx 3sin说明：正余弦三角函数积分奇次幂，拆开奇次项去说明：正余弦三角函数积分奇次幂，拆开奇次项去凑微分。凑微分。dxx 3sindxxx sinsin2 xdxcos)cos1 (2Cxx )cos31(cos3例例16 16 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxxCxxx 753sin7

18、1sin52sin31说明：正余弦三角函数相乘积分时，拆开奇次项去凑说明：正余弦三角函数相乘积分时，拆开奇次项去凑微分。微分。 )(sincossinxxdx42例例17 17 求求解：解：),4sin8(sin212cos6sinxxxx xx2cos6sinCxx4cos818cos161利用三角学中的积化和差公式，得利用三角学中的积化和差公式，得xdxx2cos6sin dxxx)4sin8(sin21xdxxdx4sin218sin21例例18 18 求求.2sin xdx解法一解法一 xdx2sin )2(2sin21xxdCx2cos21解法二解法二 xdx2sin xdxxcos

19、sin2 )(sinsin2xxdCxsin2+=解法三解法三 xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxdCx 2cos凑微分常见类型凑微分常见类型1)()()(. 1111nxdxfdxxxfnnnn)()(2)(. 2xdxfdxxxfxdxfdxxxfln)(ln)(ln. 3)1()1()1(. 42xdxfdxxxf)(sin)(sincos)(sin. 5xdxfxdxxxxxxdeefdxeef)()(. 6)(tan)(tansec)(tan. 72xdxfxdxxf)(arctan)(arctan1)(arctan. 82xdxfdxxxf二、第二类换元

20、积分法二、第二类换元积分法 第一类换元积分法是利用凑微分的方法，第一类换元积分法是利用凑微分的方法，把一个较复杂的积分化成便于利用基本积分把一个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式。但是，有时不易找出凑微分式，公式的形式。但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个代换却可以设法作一个代换 x(t)，而积分，而积分目的：去根号或化为基本积分公式目的：去根号或化为基本积分公式dtttfdxxf)( )()(可用基本积分公式求解。可用基本积分公式求解。定理定理2 设设f(x)连续，连续，x(t)是单调可导的连续是单调可导的连续函数，且其导数函数，且其导数(t)0，x(t)的反函数的反函数t=

21、-1(x)存在且可导，并且存在且可导，并且那么那么CtFdtttf)()( )(CxFdxxf)()(1根式代换根式代换例例19 19 求求解：解： 考虑到被积函数中的根号是困难所在，故考虑到被积函数中的根号是困难所在，故xt 令令,2tx ,2tdtdx dxx 11dttt 211dttt 12Ctt |)1|ln(2回回代代将将xt Cxx |)1|ln(2原原式式dxx 11dtt 1112当被积函数含有两种或两种以上的根式当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，时，可采用令可采用令x=tnx=tn其中其中n n为各根指数的最小公倍数）为各根指数的最小公倍数）lkxx,例例20 20

22、求求.)1(13dxxx 解：解：令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216dttt 2216dttt 221116dttdt21166Ctt arctan66Cxx 66arctan66例例21 21 求求. ) 0( d22 axxa解解: :令令, ),(,sin22ttax那那么么taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22三角代换三角代换例例22 22

23、求求. )0(d22aaxx解解: 令令, ),(,tan22ttax那那么么22222tanataaxtasecttaxdsecd2原式原式ttdsec1tanseclnCtt)ln(1aCC Caxx 22ln122lnCaxaaxdttcos1dttatasecsec2dttt2coscosttd2cossinttd2sin1sin1|sin1 |ln|sin1 |ln21Ctt1sin1sin121Ctt1cossin1Cttax22ax t小小 结结注意：三角代换的目的是化掉根式。注意：三角代换的目的是化掉根式。三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律22) 1 (xa 可令可令ta

24、xsin=22)2(xa 可令可令taxtan=22)3(ax 可令可令taxsec=例例23 23 求求解解.dxxxa 422令令tx1 ,12dttdx dtttta 2422111dttta 122dxxxa 422分母的次幂太高分母的次幂太高dxxxax 4220,时时当当)(112122222 tadtaaCata 2232231)(.)(Cxaxa 3223223dxxxax 4220,时时当当.3)(322322Cxaxa 03)(03)(322322322322422xCxaxaxCxaxadxxxa例例24 24 求求dxxxn )(11令令tx1 ,12dttdx dxx

25、xn )(11dttttn 2111dtttnn11Ctnn |ln 11.|lnCxnn 111解解倒数代换倒数代换小结小结两类积分换元法：两类积分换元法： （一凑微分（一凑微分（二三角代换、根式代换、倒数代换（二三角代换、根式代换、倒数代换三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律22) 1 (xa 可令可令taxsin=22)2(xa 可令可令taxtan=22)3(ax 可令可令taxsec=考虑积分考虑积分 ?cosxdxx解决思路解决思路利用分部积分法利用分部积分法问题的提出问题的提出3.2.2 3.2.2 分部积分法分部积分法设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续

26、导导数数, ,vuvuuv , vuuvvu 移移项项,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式下面利用两个函数乘积的求导法则，得出求积下面利用两个函数乘积的求导法则，得出求积分的基本方法分的基本方法分部积分法。分部积分法。对此不等式两边求不定积分对此不等式两边求不定积分即即分部积分过程：分部积分过程： vdxuuvvduuvudvdxvu )()()( )(xvdxudxxvxu )()()()(xudxvxvxu dxxuxvxvxu)( )()()(应用分部积分法时，可按下述步骤计算：应用分部积分法时，可按下述步骤计算： ( (凑微：定出凑微：定出) ) ( (

27、分部：利用分部积分公式分部：利用分部积分公式) ) （积分）（积分）例例25 25 求积分求积分.cos xdxx解解:令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx xvsin若令若令,cosxu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当，积分更难进行。选择不当，积分更难进行。vu ,若若u和和dv选取不当，就求不出结果，所以应用选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法时，恰当选取分部积分法时，恰当选取u和和dv是一个关键。是一个关键。选取选取u和和dv一般要考虑下面

28、两点：一般要考虑下面两点：(1)v要容易求得；要容易求得；(2)vdu要比要比udv容易积出容易积出例例26 26 求积分求积分.lnxdxx解解,ln xu ,22xdxdxdv xdxxln xdxxx21212ln 221xdxlnCxxx 224121ln若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为就考虑设对数函数为u u。22xv 考虑：如何求考虑：如何求xxxndln例例27 27 求积分求积分.arctan xdxx解解:令令,arctanxu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx

29、dxxxxx222112arctan2 xxarctan22 .)arctan(21arctan22Cxxxx dxx)111 (212 若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三角函数为就考虑设反三角函数为u u。例例26 26 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 复原法在求不定积分时有着广

30、泛的应用。复原法在求不定积分时有着广泛的应用。在计算方法在计算方法熟练后，分熟练后，分部积分法的部积分法的替换过程可替换过程可以省略。以省略。被积函数类型及被积函数类型及u和和dv的选取法的选取法dxedvxPudxexPaxax),()(xdxdvxPuxdxxPsin),(sin)(xdxdvxPuxdxxPcos),(cos)(dxxPdvxuxdxxP)(,lnln)(dxxPdvxuxdxxP)(,arcsinarcsin)(dxxPdvudxxP)(arctan,arctan)(dvubxdxeax,sin类型类型：类型类型：类型类型：任意选取任意选取3.3 3.3 定积分定积分(

31、Definite Integrals)定积分是积分学的一个重要概念，在科学研定积分是积分学的一个重要概念，在科学研究和生产实践中应用十分广泛，如平面图形面积、究和生产实践中应用十分广泛，如平面图形面积、变力所作的功等均可归结为定积分问题。变力所作的功等均可归结为定积分问题。本节从求曲边梯形的面积和变速直线运动的本节从求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程入手，引出定积分的概念，接着考虑其性质、路程入手，引出定积分的概念，接着考虑其性质、计算及其应用。计算及其应用。abxyo? A曲曲边边梯梯形形由由连连续续曲曲线线实例实例1 (1 (求曲边梯形的面求曲边梯形的面积积) )(xfy )0)( xf

32、、x轴与两条直线轴与两条直线ax 、bx 所所围围成成.)(xfy 一、定积分的概念一、定积分的概念abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。播放播放曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann 个个分分点点，内内插插入入若若干干在在区区间间abxyoi

33、 ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx ,1 为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx 近似近似分割分割iiixfA )( iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时时，趋趋近近于于零零即即小小区区间间的的最最大大长长度度当当分分割割无无限限加加细细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为求和求和取极限取极限实例实例2 2 变速直线运动的路变速直线运动的路程程

34、 把整段时间分割成若干小时间段，每把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值的近似值,再相加，便得到路程的近似值，再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。的精确值。对于匀速运动，有公式对于匀速运动，有公式 路程路程= =速度速度时间时间解决变速直接运动的路程的基本思路解决变速直接运动的路程的基本思路设某物体作直线运行，速度设某物体作直线运行，速度v=v(t)是时间间隔是时间间隔T1,T2上上t的一个连续函数，求物体在这段时间内的一个连续函数，求物体在这段时

35、间内所经过的路程。所经过的路程。(1)分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvS )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度(3)求和求和iiniitvSS )(1 (4)取极限取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值(2)近似近似上述两个问题的共性：上述两个问题的共性： 解决问题的方法步骤相同：解决问题的方法步骤相同：“分割，近似，求和，取极限分割，近似，求和，取极限” 所求量极限结构式相同：所求量极限结构式相同： 特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限许多问题的解决都可以化为上述特定和式的许多问题的解决都可以化为上

36、述特定和式的极限问题，将其一般化，就得到定积分的概念。极限问题，将其一般化，就得到定积分的概念。 曲边梯形的面积 niiixfS10)(lim 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 iniitvS)(lim10设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，在在,ba中中任任意意插插入入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点i （iix ），作作和和iinixfS )(1 ， 2 2、定积分的定义、定积分的定义定义定义1怎怎样样的的分分法法，也也不不论论在在小小区区间间,1iixx

37、 上上点点i 怎样的取法，怎样的取法，若若 在在区区间间,ba上上的的定定积积分分， badxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和 (2) (2)定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即积分变量的记法无关，即根据定积分的定义，曲边梯形的面积为根据定积分的定义，曲边梯形的面积为 dxxfSba 变速直线运动的路程为变速直线运动的路程为 dttvSTT21 duufdttfdxxfbababa 注意注意:(

38、1):(1)定义中区间的分法和定义中区间的分法和 的取法是任意的。的取法是任意的。 i , 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值3 3、定积分的几何意义、定积分的几何意义abxyooyabxO y x一般情况下，定积分一般情况下，定积分 表示曲线表示曲线y=f(x)与与x 轴介于轴介于a、b之间的各部分面积的代数和。之间的各部分面积的代数和。 dxxfba 321)(SSSdxxfbab y = f(x)a1S2S3S例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx xy012xy

39、 ni1 ninnifAi1)(nni12采用采用“以以直代曲直代曲的方法的方法解：解：将将1 , 0n等等分分，分分点点为为nixi ，(ni, 2 , 1 ) 小小区区间间,1iixx 的的长长度度nxi1 ，( (ni,2 , 1 ) ) 取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx (1) 分割分割(2)(2)近似近似(3)(3)求和求和nni12nnifAi1)(nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnnnn121161 n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 (4)(4)

40、取极限取极限例例2 2dxx 1021计计算算积积分分义义知知，该该积积分分值值等等于于解解：由由定定积积分分的的几几何何意意的的面面积积（见见下下图图）所所围围及及轴轴，曲曲线线10,12 xxxxy面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的4141102 dxx所所以以x1y小小 结结. .定积分的实质：特殊和式的极限定积分的实质：特殊和式的极限. .定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分化整为零化整为零分割分割直不变代曲变）直不变代曲变）近似近似观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边

41、梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察下列

42、演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割

43、加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边

44、梯形面积的关系。观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。对定积分的补充规定对定积分的补充规定: :（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(.二、定积分的性质二、定积分的性质 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性质性质1 1性质性质2 2(k(k为常数为常数) ) badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充：不论补充：不论a,b,c的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立。上式总成立。(积分区间的可加性积分区间的可加性)设设bca 性质性质3

45、 3babadxxfkdxxkf)()(dxba 1dxba ab .性质性质4 4性质性质5 5推论推论证明：证明：,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba . .性质性质6 6证明：证明：Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知，在区间由闭区间上连续函数的介值定理知，在区间a,b上上性质性质7 7定积分中值定理）定积分中值定理）,)(1)( badxxfabf至少存在

46、一个点至少存在一个点，使，使)()()(baabfdxxfba)()()(baabfdxxfba若函数若函数f(x)f(x)在闭区间在闭区间a,ba,b上连续，则在积分区上连续，则在积分区间间a,ba,b上至少存在一点上至少存在一点 ，使，使积分中值公式积分中值公式积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。3.4 定积分的计算定积分的计算3.4.1 3.4.1 微积分基本定理微积分基本定理3.4.3 3.4.3 定积分的分部积分法定积分的分部积分法3.4.2 3.4.2 定积分的换元积分法定积分的换元积分法3.4.4 3.4.4 定积

47、分的应用定积分的应用3.4.13.4.1微积分基本定理微积分基本定理 为了得到微积分基本定理，先研究为了得到微积分基本定理，先研究积分上限函数的导数。积分上限函数的导数。设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，并且设上连续，并且设x为为a,b上的一点，考察定积分上的一点，考察定积分 xadxxf)( xadttf)(记作记作.)()( xadttfx积分上限函数积分上限函数一、积分上限函数及其导数一、积分上限函数及其导数. 0)()( aadttfa.)()(xadttfx是是x x的函数的函数（或称可变上限积分）（或称可变上限积分）注注积分上限函数的性质积分上限函数的性质 定理定理1

48、假设假设 在在a,b上连续，则积分上限函数上连续，则积分上限函数 在在a,b上具有导数，且它的导数上具有导数，且它的导数是是)(xf xadttfx)()()()()( xfdttfdxdxxa证明：证明：给给x以改变量以改变量x，则函数，则函数(x)的相应改变量为的相应改变量为xaxxadttfdttfxxxx)()()()()(axxxadttfdttf)()(xxxdttf)(由积分中值定理得由积分中值定理得)()()()(xxxxfdttfxxxx从而有从而有)()(fxx由于由于f(x)在在a,b上连续，又因上连续，又因x0时，时，0。故。故)()(lim)(lim00 xffxxx

49、x).()(xfx 例例3 3 设设 xtdtx12sin)()3( 解：解：xtdtdxdx12sin)()3(，求，求x2sin)3(sin22)23(43例例4 4 设设 ，求，求 axdttfx2)()()(x解：设解：设u=2x，根据复合函数求导法则，根据复合函数求导法则dxdudttfdudxau )()(2)( uadttfdud2)(uf)2(2xf )(2uf00分析：这是分析：这是 型不定式，应用洛必达法则。型不定式，应用洛必达法则。解：解：例例5 5 求求 20202)1sin(limxdttxxxxxxdtt)()1sin(lim20202 原原式式xxxx22)1si

50、n(lim401sin 思考题思考题badxxdxd2sin. 1badxxdad2sin. 2badxxdbd2sin. 3答案答案0sin. 12badxxdxd22sinsin. 2adxxdadba22sinsin. 3bdxxdbdba二、微积分基本定理二、微积分基本定理微积分基本定理也可叫做牛顿微积分基本定理也可叫做牛顿- -莱布尼茨莱布尼茨公式，它是用求原函数的方法计算定积分的公式，它是用求原函数的方法计算定积分的数值。数值。定理定理 （微积分基本公式）（微积分基本公式） 已已知知)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，CxxF )()(,bax 证明：证明： 假设假设 F

51、(x) 是连续函数是连续函数 f(x) 在区间在区间a,b上的一上的一个原函数，那么个原函数，那么)()()(aFbFdxxfba ).()()(aFbFdxxfba 令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF),()()(aFxFdttfxa ),()()(aFdttfxFxa 令令 bx牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxF)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间a,b上的定积分可用它的上的定积分可用它的任意一个原函数在区间任意一个原函数在区间a,b端点上的值来表示。端点上的值来表示。

52、牛顿牛顿_ _艾萨克艾萨克1642172716421727） 最负盛名的数学家、科学家最负盛名的数学家、科学家和哲学家。他在和哲学家。他在16871687年年7 7月月5 5日发日发表的表的 里提里提出的万有引力定律以及他的牛顿出的万有引力定律以及他的牛顿运动定律是经典力学的基石。牛运动定律是经典力学的基石。牛顿还和莱布尼茨各自独立地发明顿还和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。了微积分。莱布尼兹莱布尼兹1646-1716 ）17、18世纪之交德国最重世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人

53、。和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。不可磨灭的贡献。例例6 6 求求 .)sin3(20 dxxx原式原式 2020sin3 xdxxdx解：解： 22002cos23 xx 1832 例例7 7 设设 , , 求求 . . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解：解： 102120)()()(dxxfdxxfdxxf102152dxxdx. 6 xyo12例例8 8 求求 解：解：.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 1

54、2|ln x2ln1ln . 2ln3.3.微积分基本公式微积分基本公式1.1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 小小 结结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系。间的关系。由牛顿莱布尼茨公式，定积分的求值问题由牛顿莱布尼茨公式，定积分的求值问题可以转化为不定积分的问题，但有时运算过程冗可以转化为不定积分的问题，但有时运算过程冗长复杂。若采用定积分换元法，比较简便，下面长复杂。若采用定积分换元法，比较简便，下面讨论定积分换元法。讨论定积分换元

55、法。3.4.2 定积分的换元积分法定积分的换元积分法 则则 有有dtttfdxxfba )()()(. .的函数，而只要把新变量的函数，而只要把新变量积分限也相应的改变。积分限也相应的改变。换成新变量换成新变量把变量把变量(1)用用应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:)(tx xt时，时，)()(ttf )(t )(t xt)(t (2)求出求出的一个原函数的一个原函数不必象计算不定积分那样再要把不必象计算不定积分那样再要把原变量原变量限分别代入限分别代入然后相减就行了。然后相减就行了。后，后，变换成变换成的上、下的上、下例例1 1 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cos

56、xt 2 x0 t0 x1t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 xdxdtsin例例2 2 计算计算)0( 022adxxaa考虑考虑:几几何意义？何意义？axy解：设解：设tdtadxtaxcos sin 0, t 0 xdttadxxaa2022022cosdtta202)2cos1(22022sin212tta 2/ t ax42a证明：证明：,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf例例5)(xf,aa )(xf aaadxxfdxxf0)(2)()(xf

57、aadxxf0)(当当在在上连续，且有上连续，且有为奇函数，那么为奇函数，那么为偶函数，那为偶函数，那么么)(xf为为偶偶函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为奇函数，则为奇函数，则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 考虑：几考虑：几何意义？何意义？几何解释：几何解释：偶函数偶函数 奇函数奇函数 奇函数奇函数例例4 4 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(

58、1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积定积分的换元法定积分的换元法dxxfba )(dtttf )()(小小 结结定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv3.4.3 3.4.3 定积分的分部积分法定积分的分部积分法例例1 1 计算计算.arcsin210 xdx解：解：令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1

59、(112120221xdx 12 21021x . 12312 那么那么例例2 2 计算计算dxxdxxee11ln)ln(1原式解：解：1111ln0exeedxxee1|ln|111111lnln)ln(eeexxdxxdxxeeedxxxdxx111lnln122|ln| 1edxxee121e) 1( ee1例例3 3 计算计算解：设解：设tdtdxtxxt2 2 , 0t 0 x 20sin2 tdtt原原式式 20)cos(2 ttd 2020)coscos(2 tdttt20sin2t 2t 42 xdxx402sin2定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 . bababav

60、duuvudv小小 结结（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）3.4.4 定积分的应用定积分的应用 一、微元法一、微元法在应用定积分解决实际问题时，关键是在应用定积分解决实际问题时，关键是将实际问题归结为定积分。定积分将实际问题归结为定积分。定积分 的定义导出有四步，先将的定义导出有四步，先将a,b分成分成n个小区间，个小区间，然后在每个小区间上作近似替然后在每个小区间上作近似替代代 ，再求代数，再求代数和和 ，最后取极限，最后取极限dxxfba)(iiixfA)(1)(niiixf10)(limniiixf具体问题只要抓住如下两步便可：具体问题只要抓住如下两步便