双叶双曲面（课堂PPT）

1、.12. 双叶双曲面双叶双曲面定义定义 4.5.2 在直角坐标系下，由方程在直角坐标系下，由方程1222222czbyax(4.5-2)所表示的图形，叫做双叶双曲面，所表示的图形，叫做双叶双曲面，方程（方程（4.5-2）叫做双叶双曲面的标准方程叫做双叶双曲面的标准方程 其中其中cba,是任意是任意的正常数的正常数.因为双曲面的方程因为双曲面的方程(4.5-2)仅含坐标的平方项仅含坐标的平方项,因此这个曲面关于三坐标平面因此这个曲面关于三坐标平面,三坐标轴以及坐标三坐标轴以及坐标原点都对称，原点都对称，对称性对称性.2z轴相交于两点轴相交于两点),0 , 0(c这两点叫做双叶双曲面这两点叫做双叶

2、双曲面 的顶点的顶点.曲面与曲面与x轴轴y轴都不相交，只与轴都不相交，只与1222222czbyaxzyx0MNz(x,y,z)(0,0,c)(0,0,-c)只与只与z轴有轴有交点交点与平面与平面z=0相交吗？相交吗？.3从方程容易知道，曲面上的点恒有从方程容易知道，曲面上的点恒有,22cz因此曲面分成两叶因此曲面分成两叶cz . cz与与而其它两个坐标平面而其它两个坐标平面 0z0y0 x与与两条双曲线两条双曲线. 1222222czbyax坐标平面坐标平面与双叶双曲面与双叶双曲面不相交不相交.分别交曲面于分别交曲面于; 0, 12222yaxcz. 0, 12222xbycz与与.4; 0

3、, 12222yaxcz. 0, 12222xbycz与与yxzo这二个截口叫做主截线这二个截口叫做主截线哈哈, 交交空啦空啦0y 0 xzc.5如果用一组平行于如果用一组平行于 的平面的平面xOy)(chhz来截割曲面，我们得截线方程为来截割曲面，我们得截线方程为1222222czbyax., 1222222hzchbyax当当 时，截得的图形为一点，当时，截得的图形为一点，当 时，截时，截线为椭圆，它的两半轴为线为椭圆，它的两半轴为ch ch 122cha. 122chb与与.6., 1222222hzchbyax（8）这时椭圆（这时椭圆（8）的两轴的端点）的两轴的端点), 0 , 1(2

4、2hcha), 1, 0(22hchb与与z0y分别在？分别在？主截线：两个双曲线上主截线：两个双曲线上.hc(0,0,c)(0,0,-c)与与Z轴有交点轴有交点.这是主截线这是主截线hch-chcx.7., 1222222hzchbyax（8）这时椭圆（这时椭圆（8）的两轴的端点）的两轴的端点), 0 , 1(22hcha), 1, 0(22hchb与与分别在分别在 主截线：两个双曲线上主截线：两个双曲线上.; 0, 12222yaxcz22221,0.zycbx与与z0y(0,0,c)(0,0,-c)x.8因此，双叶双曲面可以看成是由一个椭圆变动因此，双叶双曲面可以看成是由一个椭圆变动(大

5、小大小位置都改变）而产生的，位置都改变）而产生的，这个椭圆在变动中，保持所在平面平行于这个椭圆在变动中，保持所在平面平行于 面，面，且两轴的端点分别沿着双曲线且两轴的端点分别沿着双曲线(6)(7)滑动。滑动。xOy; 0, 12222yaxcz22221,0.zycbx(6)(7)看下面的演示看下面的演示z0y(0,0,c)(0,0,-c)x.9椭圆在变动中，保持所在平面平行于椭圆在变动中，保持所在平面平行于xoy面面, 且两轴的且两轴的端点分别沿着双曲线端点分别沿着双曲线(6)(7)滑动而形成双叶双曲面滑动而形成双叶双曲面.0yzx; 0, 12222yaxcz22221,0.zycbx(6

6、)(7).10如果用一组平行于如果用一组平行于 的平面的平面xOzyh来截割曲面，我们得截线方程为来截割曲面，我们得截线方程为1222222czbyax2222221,.zxhcabyh 为双曲线为双曲线实轴平行实轴平行z轴，轴，虚轴平行虚轴平行x轴。轴。z0yxy h.11xyo如果用一组平行于如果用一组平行于 的两平行平面的两平行平面xOzyh来截割曲面来截割曲面.12 在方程中，如果在方程中，如果 ，那么这时截线，那么这时截线(8)为一圆，曲面就是一个旋转双叶双曲面。为一圆，曲面就是一个旋转双叶双曲面。ba 1222222czbyax1222222czbyax与与所表示的图形，也都是双叶双曲面所表示的图形，也都是双叶双曲面. 见后页图见后页图.1222222czbyax222221xyzac .13y0 xz1222222czbyax1222222czbyaxy0 xz.14z0yx单叶双曲面单叶双曲面 单叶双曲面和双叶双曲面统称为双曲面单叶双曲面和双叶双曲面统称为双