10一般形式的柯西不等式

1、 选修选修4 45 5 不等式选讲不等式选讲 第第三三讲讲 柯西柯西不等式不等式与排序不等式与排序不等式 二二 一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式旧知新探旧知新探思考思考1 1：二维形式的柯西不等式的代数形二维形式的柯西不等式的代数形式和向量（几何）形式分别是什么？式和向量（几何）形式分别是什么？ 定理定理1(1(二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式）若若a, b, c, d都是实数都是实数, ,则则(a2 2b2 2)(c2 2d 2 2)(acbd)2 2, 当且仅当当且仅当adbc时，等号成立时，等号成立. 定理定理2(2(柯西不等式的向量形式柯西不等式的向量形式）设设, 是是

2、两个向量两个向量, ,则则有有| | | | |, 当且仅当当且仅当是零向量是零向量, 或存在实数或存在实数k,k,使使=k k时时, 等等号成立号成立. 22222221231231 12 23 3()() ()aaabbbababab思考思考2 2：由向量形式联想到空间向量由向量形式联想到空间向量, ,从从三维的角度思考问题，关于柯西不等式三维的角度思考问题，关于柯西不等式有什么结论有什么结论？当且仅当当且仅当b b=0, , 或存在一个数或存在一个数k, k, 使得使得=k k即ai i=k=kbi i(i=1,2,3)(i=1,2,3)时等号成立时等号成立. .定理定理: :( (三维

3、形式的柯西不等式三维形式的柯西不等式 向量形式向量形式)若若, ,为空间向量为空间向量, ,设设( (a1 1, ,a2 2, ,a3 3), ), ( (b1 1, ,b2 2, ,b3 3) )，则，则| | |即：即： 思考思考3 3：根据归纳推理猜想，柯西不等式根据归纳推理猜想，柯西不等式的一般形式（的一般形式（n n维）是什么？维）是什么？222222121221 122()()()nnnnaaabbbaba ba b思考思考4 4：上述不等式可抽象为上述不等式可抽象为ACBACB2 2，即，即(2B)(2B)2 24AC04AC0，联想到判别式，如何构，联想到判别式，如何构造二次函

4、数证明上述猜想？造二次函数证明上述猜想？2222122221 12 212( )()2()()nn nnf xaaa xaba ba b xbbb思考思考5 5：由上述证明过程可知，一般形式由上述证明过程可知，一般形式的柯西不等式是什么？的柯西不等式是什么？312123nnaaaabbbb当且仅当当且仅当bi i=0(i0(i=1,2,n)1,2,n)或存在一个或存在一个数数k,k,使得使得ai i=k=kbi i(i=1,2,(i=1,2,，n n ) )时时, ,等号等号成立成立. .定理定理: :( (一般形式【一般形式【n n维】的柯西不等式维】的柯西不等式) ) 设设a1 1, ,a

5、2 2, ,a3 3,an n；b1 1, ,b2 2, ,b3 3, , ,bn n是实是实数，则数，则2222221212()()nnaaabbb21 12 2()n naba ba b思考思考6 6：将二维三角不等式推广将二维三角不等式推广, ,则一般则一般形式的三角不等式是什么？形式的三角不等式是什么？ 定理定理（n n维形式的三角不等式）维形式的三角不等式） 2222221212nnxxxyyy2221122()()()nnxyxyxy1212,;,nnx xxy yyR若那么迁移应用迁移应用 例例2 2 已知已知a，b，c，d是不全相等的正是不全相等的正数，证明：数，证明： a2

6、2b2 2c2 2d 2 2abbccdda. 例例1 1 已知已知a1 1, a2 2, , an都是实数都是实数,n,nN N*.求证：求证： 222212121()nnaaaaaan 例例3 3 已知已知x x2y2y3z3z1 1，求，求x x2 2y y2 2z z2 2的最小值的最小值. .114定理定理【排序不等式，又称排序原理排序不等式，又称排序原理】 设设a1 1a2 2an, , b1 1b2 2bn 为两组实为两组实数数, ,c1 1, ,c2 2, ,c3 3,cn是是b1 1, ,b2 2, ,b3 3,bn的任的任一排列一排列, ,则则a1 1bna2 2bn1 1

7、anb1 1a1 1c1 1a2 2c2 2ancna1 1b1 1a2 2b2 2anbn, 即即反序和反序和乱序和乱序和顺序和顺序和. 当且仅当当且仅当a1 1a2 2an或或b1 1b2 2bn时时, ,反序和等于顺序和反序和等于顺序和.小结作业小结作业 1. 1.柯西不等式反映了两组实数的平方和之柯西不等式反映了两组实数的平方和之积与两两之积的和的平方的大小关系。积与两两之积的和的平方的大小关系。它在它在证明不等式和求组合变量的最值问题中有广证明不等式和求组合变量的最值问题中有广泛的应用泛的应用. 2. 2.使用柯西不等式时，要注意它的外在形使用柯西不等式时，要注意它的外在形式式. . 当所研究的代数式与柯西不等式的左边当所研究的代数式与柯西不等式的左边或右边具有一致的形式时，就可以考虑利用或右边具有一致的形式时，就可以考虑利用柯西不等式对这个代