高中数学竞赛数列第2二讲数列的性质(二)

1、高中数学竞赛数列第2二讲数列的性质(二)第2讲 数列的性质（二） 一、知识点介绍 （一）周期性1、周期数列的定义对于数列a n ，若存在一个（固定的）正整数T ，对于任意整数n >N , n N 均有a n T =a n 成立，则称数列a n 为从N 项起的周期为T 的周期数列，T 的最小值称为最小（正）周期，简称为周期。例如：(-1) n 是以2为周期的数列；sinn 是以4为周期的周期。2当N =1时，称a n 为纯周期数列；N 2时，称为混周期数列。 2、周期数列的性质（1）、若T 是数列a n 的最小正周期，T 是它的另一个周期，则T T ； （2）、周期数列的值域是有限集；（3

2、）、若数列a n 满足：且值域是有限集，则数列a n a n k =f (a n , a n 1, a n k -1) ，是周期数列。（4）、若数列a n 均为周期数列，则数列a n ±b n 、a n ?b n 、是周期数列。 （三）、模周期性1、定义：设数列a n 是整数数列，m 是一个固定的大于1的正整数，、若b n a n (modm ) ，b n 0, 1, 2, , m -1 ，则称b n 是a n 关于m 的模数列，记作a n (modm )； 、若a n (modm )是周期数列，则称a n 是关于m 的 模周期数列，简称模m 周期数列。例如：自然数列n 是关于模m

3、的周期数列。2、模周期数列的性质、模周期数列的值域是有限整数集；、若T =T (m ) 是模周期数列的最小（正）周期，T 1是它的任一周期，则T 1；''a nb n 0) 也b n、若模周期数列a n (modm 1)、a n (modm 2)和a n (modm )的 周期分别为则T (M ) =T (m 1), T (m 2)。 T (m 1) 、T (m 2) 、T (M ) , 这里M =m 1, m 2且m 1m 2，二、例题讲解例1、已知数列a n ：1,2,3,1,2,3，求数列a n 的通项公式。 例2、已知数列a n 中，a 1=2006，a 2=2007，

4、a n 2=-(a n 1 a n ), n N , 求a 2006。例3、对于任意的正整数k ，令f 1(k ) 为k 的各位数字的和的平方，对于正整数n 2，令f n (k ) =f 1(f n -1(k ), 求f 100(11) 。例4、已知数列a n ：a 1=2, a n 1=5a n -13(n 1, n N ) ，求证：数列a n 是周期数列。3a n -7例5、设数列x n 满足x 1=2，x n 1=x n ,n N ，记y n =(-1) x n ，求证：y n 不是周期数列。例6、数列a n 满足a 0=1, a 1=2, a n 2=a n a n 1，求a 2007

5、除以7的余数。例7、求证：数列a n =232(2 ) n -(2-) n23的每一项都是整数，其中n N ，并求所以使a n 能被3整除的n 。1992例8、设数列a n 满足a n =n (n 1)(n 2), n 1，求S 1992=b n 为a n 的个位数字，的值。bk =1k例9、设a n 是一个整数数列，且a 1=39, a 2=45, a n 2=a n 1-a n ，求证：1986可整除这个数列的无穷多项。例10、已知数列a n 中，a 1=3, a n 1=3a n , n N ，求a n 的末两位数字。2第2讲 数列的性质（二）练习1、 已知数列a n 中, a 1=1,

6、 a n 1=a n -1a n 3, n N , 则a 2011=_.2、 已知数列a n 中, a 1=2, a n 1=-1, n N , 则a 2011=_. 1 a n3、 数列-2, 0, 2, 0, -2, 0, 2, 0, 的一个通项公式为_.20114、 数列a n 中, a 1=1, a 2=2, a 3=3, a n =a n 1-a n 2 a n 3, 则5、 设S n =1n 2n 3n 4n ，则S n (mod10)是（ ） A 、 周期数列但不是纯周期数列 B 、是纯周期数列但不是常数列 C 、常数列 D 、不是周期数列。ai =1i=_.6、数列a n 中，a 1=3, a n 1=3a n , n N ，则a 2011的末位数字是_ 7、求证：在数列a n 中，若任何连续k 项的和为定值，则数列a n 是以T =k 为周期的周期数列。 8、求证：在数列a n 中，若a n =a n -k a n k (n >k ) 恒成立，则数列a n 是以T =6k为周期的周 期数列。 9、设a n 是一个整数数列，且a 1=22, a 2=45, a n 2=a n 1-a n ，求证：2003可整除这个数列的无穷多项。1x 2y 2附加题