概率密度函数PPT精选文档

1、( )baP axbf x dx概率密度函数概率密度函数 定义定义 设设X为一随机变量，若存在非负实函数为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数使对任意实数 a b ，有，有 则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f (x) 称为称为X 的的概概率密度函数率密度函数,简称简称概率密度或密度函数概率密度或密度函数.( )( )xF xf t dt分布函数分布函数 定义定义 则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f (x) 称为称为X 的概的概率密度函数率密度函数,简称概率密度或密度函数简称概率密度或密度函数.2112( )xxP xXxfx dx1x2x概

2、率密度函数的性质概率密度函数的性质( )0,(,)f xx (1)(1)非负性非负性( )1f x dx(2)(2)规范性规范性( )f x1Px 密度函数和分布函数的关系密度函数和分布函数的关系积分关系积分关系导数关系导数关系( )( )xF xf x dx( )F xP Xx( )xf x dx( )( )( )f xxF xf x若在 处连续，则连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续P(X=a)=0P(a X b)= P(aX b)=P(a X b)=P(aXb)( )baf x dx X X取值在某区间的概率等于密度函数在此区间取值在某区间

3、的概率等于密度函数在此区间上的定积分上的定积分 连续型随机变量的分布函数的性质连续型随机变量的分布函数的性质因此，连续型随机变量取任意指定实数值因此，连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为的概率为0cos( )20Xaxxf x随机变量的概率密度为其它(0)4PX求解解 利用密度函数的性质求出利用密度函数的性质求出 a( )1f x dx22( )cos1f x dxaxdx12a 4012(0)cos424PXxdx已知密度函数求概率已知密度函数求概率例例求：（求：（1）常数）常数a；（；（2） （3）X的分布函数的分布函数 40P X（1）由概率密度的性质可知）由概率密度的性质可知 22

4、2cos)(1 axdxadxxf所以所以 a1/2 42cos21)(40)2(4400 xdxdxxfXP 其其他他20cos)( xxaxf例例 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度 )(xF解解22221)sin1(210)( xxxxxFX的分布函数为的分布函数为于是于是 xdttfxF)()(31cos212 xdxF(x)x22-时 当当0)(2 xFx时时当当 )sin1(21cos21)(222xxdxxFxx 时时当当已知分布函数求密度函数已知分布函数求密度函数200( )0111XxF xxxx随机变量的分布函数为(0.30.7)PX(1)求（2)X2)X 的密

5、度函数的密度函数22(0.30.7)(0.7)(0.3)0.70.30.4PXFF(1)201( )( )0 xxf xF xotherwise（2 2）密度函数为）密度函数为解解 例例Ex:Ex:已知连续型随机变量已知连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为( )xf xAe( 11)PX (1)求（2 2） 求求 X X 的分布函数的分布函数 均匀分布均匀分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为1()0axbfxba其 它则称则称X在区间在区间 （a，b）上服从均匀分布记为）上服从均匀分布记为 X U (a, b) xbbxaabaxaxxF,1,0)(定义定义分

6、布函数分布函数 0 a bx X“等可能等可能”地取区间（地取区间（a,b）中的值，这里的）中的值，这里的“等可等可能能”理解为：理解为：X落在区间（落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。于子区间的长度而与子区间的位置无关。 0 a bx（） c d ( )1dcdcP cXdf x dxdcdxbaba意义意义例例 设设在在-1-1，55上服从均匀分布，求方程上服从均匀分布，求方程2210 xx 有实根的概率。有实根的概率。解解 方程

7、有实数根方程有实数根 2440即即 1而而 的密度函数为的密度函数为 1 ( 15)( )60 xf x 其它所求概率为所求概率为 1121( )( )3Pf x dxf x dx 指数分布指数分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为0( )(000 xexf xx为常数）00( )10 xxF xex定义定义分布函数分布函数则称则称X X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布. .X)(E定义定义分布函数分布函数f(x)和和F(x)可用图形表示可用图形表示)(xfxO )(xfxO1正态分布正态分布 2( ,)XN 22()21( ),( 0)2xf xe 为常数

8、则称则称X X服从参数为服从参数为2, 正态分布， 记为若连续型随机变量若连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为);21,(21 e 正态分布的密度函数的性质与图形正态分布的密度函数的性质与图形关于关于 x = x = 对称对称（- - ， ）升，（）升，（ ，+ + ）降）降12f最大（ ）单调性单调性对称性对称性拐点拐点中间高中间高两边低两边低y-+21x2，对密度曲线的影响对密度曲线的影响 12122110.7521.25 相同， 不同图形相似，位置平移 不同， 相同越小，图形越陡；越大，图形越平缓正态分布的分布函数正态分布的分布函数dxexFxx222)(21)( F(x)121

9、 x221( )2xxxedx 标准正态分布标准正态分布定义定义X N（0，1）分布称为标准正态分布）分布称为标准正态分布 密度函数密度函数221( )2xxe分布函数分布函数01偶函数偶函数 ( )yx)(1)(xx 5 . 0)0( 22()12xxxPXxedx标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算分布函数分布函数( )yxX -x ( )( )P aXbba （）标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算12PX（）1P X （）(1)( 1)2 (1) 10.6826 0()1( )xxx 时,0( )xx时，的值可以查表( )P Xbb （）1( )P Xaa （）公式公式

10、查表查表例例(2)(1)0.97720.84130.1359( 1)1(1)1 0.84130.1587 1P X （）X N（0，1）一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化2( ,),( )xXNF x 如果则定理定理()()()baP aXb 2( ,)XN 若查标准正态分布表概率计算概率计算()P aXb一般正态分布的区间概率一般正态分布的区间概率()P Xb()P Xa( )x为标准正态分布函数。()()ba ()b 1()a 2( ,)XN 若设设XN（1，4），求），求 P(0X1.6)解解(0.3)1(0.5) ()()()baP aXb 例例1,2(01.6)PX1.6 10

11、 1()()22(0.3)( 0.5)0.6179 1 0.6915 0.3094 正态分布的实际应用正态分布的实际应用2( ,)XN 已知已知90分以上的分以上的12人，人，60分以下的分以下的83人，若从高分人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录分，问此人能否被录取？取？ 某单位招聘某单位招聘155155人，按考试成绩录用，共有人，按考试成绩录用，共有526526人报名，假设报名者的考试成绩人报名，假设报名者的考试成绩分析分析 首先求出首先求出和和然后根据录取率或者分数线确定能否录取然后根据录取率或者分数线确定能否录取解解 成绩成绩X服从服从

12、 2,N 12900.0228526P X 83600.1588526P X 录取率为录取率为 1550.2947526可得可得 9090110.02280.9772P X 60600.1588P X 601 0.15880.8412 得得 查表得查表得 601.0902.0查表得查表得 601.0902.0. 解得解得 70 , 10故故 270,10XN设录取的最低分为设录取的最低分为 x则应有则应有 0.2947P Xx1 0.29470.7053P Xx 700.705310 x75.4x 700.5410 x某人某人78分，可分，可被录取。被录取。 X X的取值几乎都落入以的取值几乎都落入以 为中心，以为中心，以3 3 为半径为半径的区间内。这是因为：的区间内。这是因为：),(2 NX33(3)( 3)PX (3) 1(3)2 (3) 10.9974 330.9974F(x)3 3 准则准