数学建模自动控制自动控制系统数学模型学习教案

1、数学建模自动控制数学建模自动控制(z dn kn zh)自自动控制动控制(z dn kn zh)系统数学模型系统数学模型第一页，共92页。2.1.12.1.12.1.22.1.22.1.32.1.3数数学学模模型型的的定定义义建建立立数数学学模模型型的的基基础础提提取取数数学学模模型型的的步步骤骤第1页/共92页第二页，共92页。Remember恒温箱自动控制系统恒温箱自动控制系统? ?第2页/共92页第三页，共92页。系统系统(xtng)框框图图 由若干个元件相互配合起来(q li)就构成一个完整的控制系统。系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。物理量的变换， 物

2、理量之间的相互关系信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存）由动态到最后的平衡状态-稳定运动第3页/共92页第四页，共92页。数学模型：数学模型： 描述描述(mio sh)(mio sh)系统变量间相互关系的动态性能的系统变量间相互关系的动态性能的运动方程运动方程建立数学模型的方法：第4页/共92页第五页，共92页。时间时间(shjin)(shjin)域：域： 微分方程微分方程差分方程差分方程状态方程状态方程复数域：复数域：传递函数传递函数结构图结构图频率域：频率域：频率特性频率特性第5页/共92页第六页，共92页。数学模型的准确性和简化(jinhu)差分方程差分方程 （离散系统）（离散系统）

3、线性与非线性分布性与集中性参数时变性( ),dyy tdt(), ()y kTy kTT第6页/共92页第七页，共92页。机械运动的实质： 牛顿(ni dn)定理、能量守恒定理阻尼(zn) B质量 弹簧 第7页/共92页第八页，共92页。划分环节(hunji)写出每或一环节(hunji)(元件) 运动方程式消去中间变量写成标准形式第8页/共92页第九页，共92页。负载效应根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量(必要时还要考虑扰动量)，并根据需要引进一些中间变量。由运动方程式 （一个(y )或几个元件的独立运动方程） 按功能（测量、放大、执行）第9页/共92页第十页，共92

4、页。找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律(gul)。数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素）。第10页/共92页第十一页，共92页。例如微分方程中， 将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂(jin m)排列。 第11页/共92页第十二页，共92页。2.2.12.2.12.2.22.2.22.2.32.2.3单变量单变量多变量多变量第12页/共92页第十三页，共92页。数学物理方程中的线性方程(xin xn fn chn)： 未知函数项或未知函数的（偏）导数项系数依赖 于自变量针对时间变

5、量的常微分方程： 线性方程(xin xn fn chn)指满足叠加原理叠加原理： 可加性 齐次性1212()()()()( )f xxf xf xfxf x不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。第13页/共92页第十四页，共92页。有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析(fnx)和综合是非常复杂的。可以(ky)应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。线性系统缺点：线性系统缺点：线性系统优点：线性系统优点：线性化定义线性化定义 将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。第14页/共92页第十五页，共92页。 以微小偏

6、差(pinch)法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对额定工作点的偏差(pinch)。假设：假设： 在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。非线性方程非线性方程 局部线性增量方程局部线性增量方程第15页/共92页第十六页，共92页。增量方程的数学含义 将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态(zhungti)为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。注：导数根据其定义是一线性映射，满足(mnz)叠加原理。第16页/共92页第十七页，共92页。第17页/共92页第十八页，共92页。函数y=f(x)在

7、其平衡点（x0, y0）附近(fjn)的泰勒级数展开式为：略去含有(hn yu)高于一次的增量x=x-x0的项，则：注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。注：y = f (x0)称为系统的静态方程第18页/共92页第十九页，共92页。2.3.12.3.12.3.22.3.22.3.32.3.3拉氏变换拉氏变换 拉氏反变换拉氏反变换第19页/共92页第二十页，共92页。NoImage设函数f(t)满足：1f(t)实函数；2当t0时 ， f(t)=0；3当t0时，f(t)的积分 在s的某一域内收敛0)(dtetfst则函数则函数f(t)f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：的拉普拉氏变换存在，

8、并定义为：式中：s=+j（，均为实数）；F(s)F(s)称为函数f(t)f(t)的拉普拉氏变换拉普拉氏变换或象函数象函数; ;f(t)f(t)称为F(s)F(s)的原函数原函数；L L为拉氏变换的符号。第20页/共92页第二十一页，共92页。其中L1为拉氏反变换(binhun)的符号。第21页/共92页第二十二页，共92页。高等函数(hnsh)初等函数(hnsh)指数函数(zh sh hn sh)三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数第22页/共92页第二十三页，共92页。第23页/共92页第二十四页，共92页。F(s)= F1(s)+F2(s)+Fn(s)L-1F(

9、s) = L-1F1(s)+L-1F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)条件(tiojin)： 分母多项式能分解成因式10111011.( )( ),( ).mmmmnnnnb sbsbsbB sF smnA sa sa sasb).()().()()()()(2121nmpspspszszszsKsAsBsFnppp,.,21mzzz,.,21多项式极点多项式零点第24页/共92页第二十五页，共92页。将微分方程通过(tnggu)拉氏变换变为 s 的代数方程；解代数方程(dish fngchng)，得到有关变量的拉氏变换表达式；应用拉氏反变换，得到(d

10、 do)微分方程的时域解。第25页/共92页第二十六页，共92页。应用拉氏变换法求解(qi ji)微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单 地用sn代替(dit)dn/dtn得到。第26页/共92页第二十七页，共92页。第27页/共92页第二十八页，共92页。在零初始条件( )下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起(ynq)该输出的输入量的拉氏变换之比。)()()()()(sXsXtxLtxLsGrcrc)()()(sGsXsXrc)(sXc)(sXr第28页/

11、共92页第二十九页，共92页。nnnnmmmmrcasasasabsbsbsbsXsXsG11101110.)()()()().()().(11101110sXbsbsbsbsXasasasarmmmmcnnnn初始条件为零时 微分方程(wi fn fn chn)拉氏变换)()(.)()()()(.)()(1111011110txbdttxdbdttxdbdttxdbtxadttdxadttxdadttxdarmrmmrmmrmcncnncnncn系统(xtng)的传递函数!传递函数的直接计算法iidtd)(is第29页/共92页第三十页，共92页。)()()(sNsMsGmmmmbsbsbs

12、bsM1110.)(nnnnasasasasN1110.)(KabGnm)0(第30页/共92页第三十一页，共92页。).()().()()(210210nmpspspsazszszsbsGnnnmmmmmasasasabsbsbsbsG11101110.)(第31页/共92页第三十二页，共92页。传递函数的零、极点(jdin)分布图： 将传递函数的零、极点(jdin)表示在复平面上的图形。零点用“O”表示极点(jdin)用“”表示第32页/共92页第三十三页，共92页。)()()()()(tgLsXsXsXsGcrc)(txc)()(ttxr1)()(tLsXr第33页/共92页第三十四页，

13、共92页。传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的结构(jigu)及参数，与系统的输入形式无关。传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性(txng)，即以系统外部的输入输出特性(txng)来描述系统的内部特性(txng)。若输入给定，则系统输出特性(txng)完全由传递函数G(s) 决定。第34页/共92页第三十五页，共92页。适用(shyng)于线性定常系统传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应(duyng)相等，完全取决于系统结构参数。传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部(qunb)运动规律无法描述系统内部中间变量的变化情况只

14、适合于单输入单输出系统的描述第35页/共92页第三十六页，共92页。).()().()()(210210nmpspspsazszszsbsGnnnnmmmmasasasabsbsbsbsG11101110.)(第36页/共92页第三十七页，共92页。sseekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(ekkdjjcllbiiTTabK1211210011第37页/共92页第三十八页，共92页。环节是根据微分方程划分的，不是环节是根据微分方程划分的，不是(b shi)(b shi)具体具体的物理装置或元件。的物理装置或元件。一

15、个环节往往由几个元件之间的运动特性一个环节往往由几个元件之间的运动特性(txng)(txng)共同组成。共同组成。同一元件在不同系统同一元件在不同系统(xtng)(xtng)中作用不同，输中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。第38页/共92页第三十九页，共92页。ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()()()(tKxtxrcKsXsXsGrc)()()(第39页/共92页第四十页，共92页。ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG1221

16、1221) 12() 1() 12() 1()()()()(tKxtxdttdxTrcc1)()()(TsKsXsXsGrc第40页/共92页第四十一页，共92页。ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()()()(tKxdttdxTrcsKsXsXsGrc)()()(运动方程式：传递函数：K 环节的放大系数！记忆(jy)trcdttxKtx0)()(！积分(jfn)输入突然除去积分停止输出(shch)维持不变例1：电容充电例2：积分运算放大器第41页/共92页第四十二页，共92页。AtTAdtTtxt11)(00第42页

17、/共92页第四十三页，共92页。ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(dttdxKtxrc)()(KssXsXsGrc)()()(1)()()(TsKTssXsXsGrc第43页/共92页第四十四页，共92页。ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()()()()(2)(222tKxtxdttdxTdttxdTrccc12)()()(22TssTKsXsXsGrc第44页/共92页第四十五页，共92页。ekkkkdjjvcllllbiisTsTs

18、TssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()()()(2)()(222txdttdxdttxdKtxrrrc) 12()()()(22ssKsXsXsGrc第45页/共92页第四十六页，共92页。)()(txtxrcsrcesXsXsG)()()(运动(yndng)方程式：传递函数：sssses1.! 3! 213322sssseess11.! 3! 21113322第46页/共92页第四十七页，共92页。2.5.12.5.12.5.22.5.22.5.32.5.3方块图方块图系统系统(xtng)(xtng)信号信号流图流图控制系统控制系统(xtng)(xtng)传递

19、函数传递函数 第47页/共92页第四十八页，共92页。 第48页/共92页第四十九页，共92页。第49页/共92页第五十页，共92页。！脱离了物理(wl)系统的模型!系统(xtng)数学模型的图解形式形象(xngxing)直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。依据信号的流向 ，将各元件的方块连接起来组成整 个系统的方块图。第50页/共92页第五十一页，共92页。 任何系统都可以由信号线、函数(hnsh)方块、信号引出点及求和点组成的方块图来表示。第51页/共92页第五十二页，共92页。1信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函

20、数或象函数。2信号引出点（线）/测量点 表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。第52页/共92页第五十三页，共92页。第53页/共92页第五十四页，共92页。! 注意(zh y)量纲第54页/共92页第五十五页，共92页。!求和点可以有多个输入，但输出(shch)是唯一的第55页/共92页第五十六页，共92页。方框图的等效(dn xio)变换法则方块图的化简方块图的运算规则第56页/共92页第五十七页，共92页。第57页/共92页第五十八页，共92页。传递第58页/共92页第五十九页，共92页。第59页/共92页第六十页，共92页。第60页/共92页

21、第六十一页，共92页。第61页/共92页第六十二页，共92页。第62页/共92页第六十三页，共92页。把几个回路共用的线路及环节分开，使每一个 局部回路、及主反馈都有自己专用线路和环节。确定系统中的输入输出量，把输入量到输出量 的一条线路列成方块图中的前向通道。通过比较点和引出点的移动消除(xioch)交错回路。先求出并联环节和具有局部反馈环节的传递函 数，然后求出整个系统的传递函数。第63页/共92页第六十四页，共92页。第64页/共92页第六十五页，共92页。建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输入(shr)/输出）。对上述微分方程进行拉氏变换(binhun)，绘制各部件的方框

22、图。按照信号在系统中的传递、变换过程(guchng)，依次将各部件 的方框图连接起来，得到系统的方框图。第65页/共92页第六十六页，共92页。2.5.2.1 2.5.2.1 信号信号(xnho)(xnho)流图及其术语流图及其术语2.5.2.2 2.5.2.2 信号信号(xnho)(xnho)代数运算法则代数运算法则2.5.2.3 2.5.2.3 根据微分方程绘制信号根据微分方程绘制信号(xnho)(xnho)流图流图2.5.2.4 2.5.2.4 根据方框图绘制信号根据方框图绘制信号(xnho)(xnho)流图流图2.5.2.5 2.5.2.5 信号信号(xnho)(xnho)流图梅逊公式

23、流图梅逊公式 第66页/共92页第六十七页，共92页。第67页/共92页第六十八页，共92页。输入(shr)节点只有输出的节点，代表(dibio)系统的输入变量。输出(shch)节点只有输入的节点，代表系统的输出变量。输出节点输入节点既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可 点变为输出节点。第68页/共92页第六十九页，共92页。第69页/共92页第七十页，共92页。回路(hul)起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合(b h)通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用Lk表示。不接触(jich)回路相互间没有任何公共节点的回路X2、X3X3、X4X5第70

24、页/共92页第七十一页，共92页。第71页/共92页第七十二页，共92页。取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo (s)作为信号流图的节点Ui(s)、Uo(s)分别为输入及输出节点第72页/共92页第七十三页，共92页。第73页/共92页第七十四页，共92页。第74页/共92页第七十五页，共92页。只有(zhyu)一条前向通路三个不同(b tn)回路L1、L2不接触(jich) P1与L1、L2、L3均接触(jich)第75页/共92页第七十六页，共92页。第76页/共92页第七十七页，共92页。第77页/共92页第七十八页，共92页。第78页/共92页第七十九页，共92页。第

25、79页/共92页第八十页，共92页。G 系统(xtng)总传递函数Pk第k条前向通路(tngl)的传递函数（通路(tngl)增益） 流图特征(tzhng)式所有不同回路的传递函数之和每两个互不接触回路传递函数乘积之和每三个互不接触回路传递函数乘积之和第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式，将与第k 条前向通路相接触的回路传递函数代以零值，余下的即为k。k任何m个互不接触回路传递函数乘积之和nkkkPsG11)()()3()2()1() 1(.1mmLLLL)1(L)2(L)3(L)(mL第80页/共92页第八十一页，共92页。2.5.3.12.5.3.1系统传递函数系统传递函数 仅控

26、制量作用仅控制量作用(zuyng)(zuyng)下下 仅扰动量作用仅扰动量作用(zuyng)(zuyng)下下 控制量和扰动共同作用控制量和扰动共同作用(zuyng)(zuyng)下下2.5.3.22.5.3.2系统误差传递函数系统误差传递函数 仅扰动量作用仅扰动量作用(zuyng)(zuyng)下下 控制量和扰动共同作用控制量和扰动共同作用(zuyng)(zuyng)下下 第81页/共92页第八十二页，共92页。单独(dnd)处理线性叠加前向通道：前向通道：R(s)R(s)到到C(s)C(s)的信号传递的信号传递(chund)(chund)通路通路反馈反馈(fnku)(fnku)通道：通道：

27、C(s)C(s)到到B(s)B(s)的信号传递通路的信号传递通路系统闭环传递函数系统闭环传递函数：反馈回路接通后， 输 出量与输入量的比值。系统对控制量控制量R(s)R(s)的闭环传递函数系统对拢动量动量N(s)N(s)的闭环传递函数第82页/共92页第八十三页，共92页。系统工作(gngzu)在开环状态，反馈通路断开。系统系统(xtng)(xtng)开环传递函数：前向通道传递函数与反馈通道传开环传递函数：前向通道传递函数与反馈通道传 递函数的乘积。递函数的乘积。( (反馈反馈(fnku)(fnku)信号信号B(s)B(s)和偏差信号和偏差信号 (s) (s)之间的传递函数之间的传递函数) )()()()()()(21sHsGsGsEsBsGk第83页/共92页第八十四页，共92页。)()()(1)()()()(2121sHsGsGsGsGsRsGR假设(jish)扰动量N(s)=0时1| )()()(|21sHsGsG)(1)()(sHsRsGR时1)(s