§2.2离散型随机变量及其分布列ppt课件

1、2.2离散型随机变量及其分布列一、一维离散型随机变量及分布列二、多维离散型随机变量及其联合分布列一、一维离散型随机变量及分布列1概念 定义2.2.1 定义在样本空间上，取值于实数域R， 且只取有限个或可列个值的变量称为一维实值） 离散型随机变量，简称离散型随机变量. 讨论离散型随机变量主要要搞清楚两个方面问题: 一是随机变量的所有可能取值；二是搞清楚随机变量取这些可能值的概率这是最主要的）。例2.2.1 设袋中有五个球3个白球2个黑球从中任两球，则取到的黑球数为随机变量 的可能取值为0，1，2,那么313(0)3105CPC ) 1(P106351312CCC )2(P1033523CC习惯上

2、，把它们写成1031061012100 01 12 2称它为随机变量的分布列(律).p2分布列(律)如果离散型随机变量可能取值为ia, 2 , 1i)(相应的取值ia的概率iipaP)()iipPa1,2,i 为随机变量的分布列，也称为分布律，简称分布.也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量 的分布律：称或iipppaaa2121例2.2.2 在n=5的贝努里试验中，设随机事件A在一次试验中出现的概率为p，令=“5次试验中事件A出现的次解: kkkqpCkP55)( k=0,1,2,3,4,5.于是数”,求 的分布列.的分布列 0 1 2 3 4 5 5q45pq3210 qp231

3、0qpqp455p3分布列的性质由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列 ip都具有下述性质：非负性：1）规范性：2）0,1,2,ipi1iip反过来，任意一个具有以上性质的数列 ip都可以看成量的分布列.某一个离散型随机变分布列不仅明确地给出了（ia）的概率，而且对于任意的实数ab ，事 件（ba）发生的概率均可由分布列算出，由于（babaaiia)(）=于是由概率的可列可加性IiiIiipaPbaP)()(其中：iI baai 由此可知，离散型随机变量取各种值的概率都可以由它的分布列，通过计算而得到，这种事实常常说成是，分布列全面的描述离散型随机变量。例2.2.3 设随机变量的分布列为

4、iciP)32()(3 , 2 , 1i，求 c的值。解：的分布列为iciP)32()(3 , 2 , 1i 由分布列的性质 1iiP即C23222( )( ) )1333所以 3738c 留意: 求分布列中的待定常数，往往用分布列的性质(规范性)或利用分布列自身的概率性质.例2.2.4 一个口袋中有只球，其中放回地连续地取球，每次取一球，直到取到黑球时为 止，设此时取出了 个白球，求 的分布列.只白球，无解：的可能取值为0,1,2.,m )(iP(1)(1)()(1)(1)()m mminmn nnini 留意（=i表示第i次取出白球，第i+1 次取出黑球.例2.2.5 抛掷一枚不均匀的硬币

5、，出现正面的概率为 (0 0常数）,则有npnnnplim ( ; ,)nnb k n p,!ekk0,1,2,k 证明略。这个定理在近似计算方面有较大的作用，在二项分布列中，要计算b(k;n,p)= ，当n和k都比较大时，计算量比较大。 若此时np 不太大即p较小），那么由Poisson定理就有 knkknqpCnpekk!ekk!而要计算 有Poisson分布表可查.b(k;n;p)其中 例2.2.6. 已知某中疾病的发病率为1/1000，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5的概率为多大？解：设该单位患这种疾病的人数为 ,那么 其中b(k;5000,1/1000)=这时如

6、果直接计算 ，计算量较大。由于n很大，p较小，而np=5不很大 ， )1000/ 1 ;5000(P)1000/1 ,5000;()() 5(5000650006kbkPPkkkkkC50005000)100011 ()10001(5P51 0.6160.384P 55051!kkek 15P55050.616.!kkek可以利用 Poisson定理 )5(P查Poisson分布表得：于是，例2.2.7 由该商店过去的销售记录知道，某中商品每月销售数可以用参数的Poisson分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解：设该商店每月销售某种商品 件，月底

7、的进货为a件.则当（ ）时,就不会脱销。因而按题意要求为a95. 0)( aP100100.95!kakek)10( P14010!10kkek95. 09166. 015010!10kkek95. 09513. 0查Poisson分布表得又 ，所以 于是这家商店只要在月底进货某种商品15件假定上月没有存货就可以以95%的把握保证这种商品在下个月不会脱销.5离散型随机变量的分布函数设 为一个离散型随机变量，它的分布列为那么 的分布函数为 )( )()()(ixaaPxPxFi1akaa21pkpp2对离散型随机变量，用得较多的还是分布列.例2.2.8 假设 服从退化分布即 ，那么 的分布函数为

8、1)( aPaxaxxF, 0, 1)(例2.2.9 假设服从两点分布 1 0 P q 求的分布函数. .00）（）（时，xPxFxqPxPxF）（）（）（01) 1()0()()(PPxPxF解： 当 当 时， 当 时，10 x1x的分布列为例2.2.10 设 0 1 2 0.3 0.4 0.3求的分布函数. .解： 当 时， 当 时， ；0 x01x3 . 00 ）（）（）（PxPxF21 x7 . 04 . 03 . 010）（）（）（）（PPxPxF当时，当于是 留意 从上面例子可以看到，在已知分布列的情况下,可利用公式 求分布函数,要对自变量的取值进行讨论。 是一阶梯状的左连续函数，

9、在 处有跳跃，其跃度为 在 处的概率.同样,利用分布函数与概率的关系,也可以在已知分布函数的情况下得到分布列.( )iiaxF xPxp()Fx(0,1,2,)kxa kka例2.2.11 设随机变量 的分布函数为 0,10.4, 11( ),0.8,131,3xxF xxx 求 的分布列。解: 依题意可得 的可能取值为-1，1，311 010.4PFF 11 010.4,PFF 33030.2PFF所以 的分布列为 -1 1 3 3 0.4 0.4 0.4 0.2 2二、多维离散型随机变量及其联合分布列1.概念 定义2.2.2 设 是样本空间 上的n个离散型随机变量，则称n维向量 是上的一个

10、n维离散型随机变量或n维随机向量。 对于n维随机变量而言，固然可以对它的每一个分量分别研究，但我们可以将它看成一个向量，则不仅要研究各个分量的性质，而且更重要的是要考虑它们之间的联系. 下面主要讨论二维离散型随机变量.n 21,12,n 定义2.2.3 设（）是二维离散型随机变量，它们,称 = ， 为二维随机 变量（ ）的联合分布列。的一切可能取值为（ ）， ，留意： =),(jiba)()(jiba与一维时的情形相似，人们也常常习惯于把二维离散型随机变量的联合分布用下面表格形式表示： 2联合分布的性质 容易证明二维离散型随机变量的联合分布具有下面的性质：1非负性： ， ， 2规范性：1iji

11、jp3边际分布边缘分布）定义2.3.4 设（ ）为二维离散随机变量，它们的每一个分量的分布称为关于（ ）的边际分布，记为 与假设（ )的联合分布列为 ，,1,2,i j ijjipbaP),(iipaP)(1jijp)(jbPjiijpp 事实上，由于那么,)(1jjbU所以)(,()(1jjiibUaPaP11),(jijjjipbaP同理可得，)(jbP1iijp 由此可以发现，由联合分布列可以唯一确定边际分布，反之，由边际分布不能唯一确定联合分布反例在下面举）。 大家可以发现，边际分布列的求法只须在联合分布列 的右方加了一列，它将每一行中的 相加而得出 ，这就是 的边际分布列；相应的在

12、下面增加一行，它把每一列中的 对i相加而得到 ，恰好就是 的边际分布列，这也是年纪分布列名称的来历，即： 例2.2.12 设把三个相同的球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号中球的个数为 ，落入第2号盒子中球的个数为 ，求（ ）的联合分布列及 的边际分布列。 解：,的可能取值为（首先确定（ ）的所有可能取值（ i,j）然后利用第一章的知识计算概率. .当i+j3时，=；),(ji27131)0, 0(3P9/13/) 1, 0(313CP913)2, 0(323CP2713)3, 0(333CP9130, 1313CP923) 1, 1(31213CCP913)2, 1(32

13、213CCP913)0,2(222CP913) 1, 2(21123CCP27131)0, 3(3P所以（ ）的联合分布列及边际分布列如下表: 0 12309192910091910002719492271表1 例2.2.13 把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1.2.3的三个盒子中，记落入第1号的盒子中的白球个数为 ，落入第2号盒子中的红球的个数为 ,求（ ）的联合分布列和边际分布列。解：),(的可能取值为（ ）iiiCjPiP33)32()31()()(,0,1,2,3i j 3 , 2 , 1 , 0,3231,633jiCCjPiPjiPpjijijiij如表2所示. 比较上面两个

14、例子可以发现两者有完全相同的边际分布列，而联合分布列却不同，由此可知边际分布列不能唯一确定联合分布列，也就是说二维随机变量的性质并不能由它的两的分量的个别性质来确定，这时还必须考虑它们之间的联系，由此也就说明了研究多维随机变量的作用。 0 1 2 30123 94271949294949427892271929292949227827127127192271942712789492271表2三、离散型随机变量的独立性 由离散型随机变量的分布函数及多维离散型随机变量的联合分布函数的定义。离散型随机变量的独立性也可以采用如下定义：定义2.2.5 设随机变量 的可能取值为 的可能取值为(1,2,)i

15、b j ，如果对任意的 有：)(),(iijibPaPbaP成立 ，则称随机变量 与 相互独立。 两个随机变量 与 相互独立，也就意味 与 的取值之间互不影响. 定理2.2.1 设 是二维离散型随机变量联合分布律为 的边际分布为, 2 , 1,jippji那么 相互独立的充要条件是对任意jiijpppji, 2 , 1, 由上述定理可知，要判断两个随机变量 的独立性，只需求出它的各自的边际分布，再看是对 的每一对可能取值点，边际分布列的乘积都等于联合分布列即可.若其中有一对值不满足这个条件，那么 与 不独立。 例2.2.14 袋中装有2个白球和3个黑球，现进行有放回无放回摸球，每次从中任取一只

16、，取两次，令：第一次摸出黑球第一次摸出白球21第二次摸出黑球第二次摸出白球21求( ) 的联合分布列与边际分布列，并判定的独立性解: 无放回415211)1()1, 1(PPP435212) 1()2, 1(PPP425321)2() 1, 2(PPP425322)2()2, 2(PPP,那么 的联合分布列为如表3所示： 1 2 12 4352425342535353表3有放回：52521) 1() 1, 1(PPP53522) 1()2, 1(PPP52531)2() 1, 2(PPP52532)2()2, 2(PPP),(的联合分布列为： 1 2 12 5353535252535253表4当采取无放回取球时，由于 ，而 5252) 1() 1(PP，所以，) 1() 1() 1, 1(PPP故 不相互独立。当采取有放回取球时，因为对 所有可能取值 ,)2 , 1,(,jiji都有)()(),(jijibPaPbaP故 相互独立。 随机变量的独立性可以推广到多个离散型随机变量的场合。定义2.3.4 设 是 个离散型随机变量， 的可能取值为 ，如果对任意的一组，恒有：)()()(),(21221111nnnknkknknkaPaPaPaaP 成立，则称 是相互独立的。n 21,例2.2.15 已知二维随机变量( ）分布律为：, 12 0 1 0.150.15,且 相互