初等数学研究(九)

1、1一、尺规作图基础一、尺规作图基础( (简介简介) ) 尺规作尺规作图的历史已图的历史已经很悠久了经很悠久了!第九讲第九讲2何谓几何作图何谓几何作图 假设给定了一些条件，要求使用规定的工假设给定了一些条件，要求使用规定的工具作出具备这些条件的图形，便是作图问题。具作出具备这些条件的图形，便是作图问题。运用已知条件，按照一定方法，把作图题所运用已知条件，按照一定方法，把作图题所求作的图形作出的过程，叫做解作图题求作的图形作出的过程，叫做解作图题。一、几何作图的要求与意义一、几何作图的要求与意义3二、尺规作图二、尺规作图 1尺规作图尺规作图 限用无刻度的直尺和圆规两件工具，限用无刻度的直尺和圆规两

2、件工具，经过有限次手续，可以完成的作图，称经过有限次手续，可以完成的作图，称为为尺规作图。尺规作图。或者或者初等几何作图。初等几何作图。传统尺规作图工具传统尺规作图工具 传统初等几何作图问题，限用的工具是直传统初等几何作图问题，限用的工具是直尺和圆规，并假设直尺直而且长，但上面无刻尺和圆规，并假设直尺直而且长，但上面无刻度；圆规则两腿足够长且开闭自如。度；圆规则两腿足够长且开闭自如。 42 2作图公法作图公法 在初等几何里约定，利用直尺和圆规可以并且只能完成下在初等几何里约定，利用直尺和圆规可以并且只能完成下列三种简单作图，用以限定作图工具的功能，尺规作图的可列三种简单作图，用以限定作图工具的

3、功能，尺规作图的可能范围是：能范围是：(1)(1)通过已知两点可以作一条直线通过已知两点可以作一条直线( (欧几里得五公设之一欧几里得五公设之一) )；(2)(2)以已知点为圆心，以已知距离为半径，可以作一个圆以已知点为圆心，以已知距离为半径，可以作一个圆( (也是也是欧几里得五公设之一欧几里得五公设之一) )；(3)(3)作两已知直线，或一已知直线与一圆，或两已知圆的交点作两已知直线，或一已知直线与一圆，或两已知圆的交点( (在相交的情况下在相交的情况下) )。 以上三种简单作图称为作图公法。以上三种简单作图称为作图公法。53.尺规作图不能问题尺规作图不能问题请问老师，请问老师，什么是尺规作

4、什么是尺规作图不能问题？图不能问题？就是仅用直尺和圆规就是仅用直尺和圆规经有限次使用作图公法不经有限次使用作图公法不能完成的作图，称为能完成的作图，称为尺规尺规作图不能问题作图不能问题或或不可作图不可作图问题问题。6不过你要注意：不过你要注意：尺规作图不尺规作图不能问题与该问题无解不是一回事。能问题与该问题无解不是一回事。如，古希腊三大几何难题虽是尺如，古希腊三大几何难题虽是尺规作图不能问题，但并非无解哟。规作图不能问题，但并非无解哟。 74尺规作图解题步骤尺规作图解题步骤(六步六步)(1)已知：已知：将题设条件具体化，结合图形用字母表示已知；将题设条件具体化，结合图形用字母表示已知；(2)求

5、作：求作：具体叙述所图形应满足的条件；具体叙述所图形应满足的条件；(3)分析：分析：假定图形已被作出，绘出草图，研究已知条件和求作假定图形已被作出，绘出草图，研究已知条件和求作图形的关系，得出作图的线索，判明所求图形应如何作出；图形的关系，得出作图的线索，判明所求图形应如何作出；(4)作法：作法：依次叙述作图的过程依次叙述作图的过程(一般不要夹杂证明一般不要夹杂证明)(5)证明：证明：论证按论证按“作法作法”作出的图形符合条件；作出的图形符合条件；(6)讨论：讨论：说明求作的图形在什么情况下有一解、多解或无解。说明求作的图形在什么情况下有一解、多解或无解。 85定位作图与活位作图定位作图与活位

6、作图如果求作的图形必须作在指定的位置，便叫做如果求作的图形必须作在指定的位置，便叫做定位作图；定位作图； 如果求作的图形，只要求满足一定的条件，如果求作的图形，只要求满足一定的条件，至于画在什么地方可以不计较，便叫做不定位作至于画在什么地方可以不计较，便叫做不定位作图图(活位作图活位作图)。6作图题解的个数作图题解的个数 (1)(1)在定位作图中在定位作图中 (2)(2)在不定位作图中在不定位作图中9 课程标准对课程标准对“尺规作图尺规作图”的要求的要求：完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分

7、线。角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。边及底边上的高作等腰三角形。探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法作和作法(不要求证明不要求证明)。10三、基本作图问题三、基本作图问题(作图成法作图成法) 基本

8、作图问题，通常称为作图成法。是基本作图问题，通常称为作图成法。是解决作图问题的基础，掌握它们之后，在解解决作图问题的基础，掌握它们之后，在解作图题时，象引用定理一样可直接使用，不作图题时，象引用定理一样可直接使用，不必叙述本身的作图过程，减少解题阐述。必叙述本身的作图过程，减少解题阐述。11四、尺规作图的几种常用方法四、尺规作图的几种常用方法1交轨法交轨法；2三角形奠基法三角形奠基法；3. 合同变换法合同变换法；4 位似变换法。位似变换法。 121.1.交轨法交轨法 在尺规作图中，通常归结为先确定某一主要在尺规作图中，通常归结为先确定某一主要点的位置，而一个点的确定一般应满足两个条件。点的位置

9、，而一个点的确定一般应满足两个条件。舍去一个条件，则该点在满足另一个条件的点的舍去一个条件，则该点在满足另一个条件的点的轨迹上；舍去另一个条件，则该点又在满足这一轨迹上；舍去另一个条件，则该点又在满足这一个条件的点的轨迹上。于是同时满足两个条件的个条件的点的轨迹上。于是同时满足两个条件的点应为两个轨迹的交点。点应为两个轨迹的交点。 用两个轨迹相交定点的作图方法，称为用两个轨迹相交定点的作图方法，称为轨迹轨迹交接交接(割割)法，法，简称简称交轨法交轨法。 13交轨法举例：交轨法举例：例例1 1 求作与定求作与定 OO相切于相切于定点定点M，又与定直线又与定直线l相相切的圆。切的圆。(如图如图)O

10、 OlA M 已知：已知： O及其上一定点及其上一定点M，定直线定直线 l ； 求作：求作： O与与 O相切于相切于M点，且与点，且与l 相切相切。 本例还要注意本例还要注意讨论事项。讨论事项。142三角形奠基法三角形奠基法 在尺规作图中，如果求作图形可归结为先在尺规作图中，如果求作图形可归结为先作出某个三角形奠定全部图形的基础，然后，作出某个三角形奠定全部图形的基础，然后，在此基础上作出图形中的其余部分，那么这个在此基础上作出图形中的其余部分，那么这个作为基础的三角形就称为基础三角形，这种作作为基础的三角形就称为基础三角形，这种作图方法称为图方法称为三角形奠基法三角形奠基法。15例例4.已知

11、已知ABC发自同一顶发自同一顶点的高、中线、平点的高、中线、平分角线分角线ha、ma、ta的长，求作这三角的长，求作这三角形。形。ABCMmaTtahaHtamaha16ABCMmaTtahaHO P分析：分析：设设ABC已已作出，高作出，高AHha，中线中线AMma，角角平分线平分线ATta，(如如上图上图)RtAHT和和RtAHM都有两都有两边已知，所以都可边已知，所以都可以作出。以作出。tamaha17讨论：讨论： (1)当当ha、ma、ta三者有两个相等时，三者有两个相等时，ABC应为等应为等腰三角形。这时若三者不都相等，便无解，若都相腰三角形。这时若三者不都相等，便无解，若都相等，便

12、成不定问题，即有无穷多解；等，便成不定问题，即有无穷多解； (2)当当ha、ma、ta三者互不相等时，要解答存在，首三者互不相等时，要解答存在，首选要能作出选要能作出AHM ，其次要能作出，其次要能作出P点并且点并且P和和A还还要落在要落在HM的异侧，的异侧，B、C才能存在。要保证这些事才能存在。要保证这些事项，就非得项，就非得T介于介于H和和M之间。总之，当互不相等时，之间。总之，当互不相等时，有解的条件是：有解的条件是：hata ma当这些条件满足时有当这些条件满足时有一解一解。183.合同变换法合同变换法 在尺规作图中，利用平移、旋转、反射以在尺规作图中，利用平移、旋转、反射以及它们相继

13、使用，把图形的一部分移到某些及它们相继使用，把图形的一部分移到某些特定位置上，构成作图条件，完成作图。这特定位置上，构成作图条件，完成作图。这种作图方法称为合同变换法。种作图方法称为合同变换法。194位似变换法位似变换法 在尺规作图中，当所求图形直接作在尺规作图中，当所求图形直接作图不太方便时，可以先在适当的位置作图不太方便时，可以先在适当的位置作出所求作图形的相似形，然后应用位似出所求作图形的相似形，然后应用位似变换，以放大或缩小，得所求作图形，变换，以放大或缩小，得所求作图形，这种作图方法称为位似变换法这种作图方法称为位似变换法。 20五、正多边形的尺规作图五、正多边形的尺规作图 据说，早

14、在古希据说，早在古希腊时代，人们就已经腊时代，人们就已经解决了解决了3、4、5、6、8、10、12、15 等正多边形的作图问等正多边形的作图问题。题。 是吗？那是吗？那我们还真得好我们还真得好好研究研究好研究研究!21六、几何作图不能问题六、几何作图不能问题 古希腊的三大尺规作古希腊的三大尺规作图不能问题图不能问题三等分任意角问题三等分任意角问题 看，有些几看，有些几何作图不能问题何作图不能问题并非无解。并非无解。 化圆为方问题化圆为方问题 立方倍积问题立方倍积问题22小小结结 尺规作图是初等几何尺规作图是初等几何学习中过程中不可缺少的学习中过程中不可缺少的一种作图方法，自然是一一种作图方法，

15、自然是一位中学教师应了解和学习位中学教师应了解和学习的内容之一。的内容之一。23二、二、 关于关于投投 影影 与与 视视 图图 242005年年安安徽徽省省美美术术加加试试题题25课程标准以课程标准以“视图与投影视图与投影”的要求：的要求：会画基本几何体会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图的三视图(主视图、主视图、左视图、俯视图左视图、俯视图)，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。基本几何体或实物原型。了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开

16、图判断和制作立体模型。立体模型。了解基本几何体与其三视图、展开图了解基本几何体与其三视图、展开图(球除外球除外)之间的关系；之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用(如物体的包如物体的包装装)。观察与现实生活有关的图片观察与现实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、如照片、简单的模型图、平面图、地图等地图等)，了解并欣赏一些有趣的图形，了解并欣赏一些有趣的图形(如雪花曲线、莫比乌斯如雪花曲线、莫比乌斯带带)。通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨

17、认实物的阴影根据光线的方向辨认实物的阴影(如在阳光或灯泡下，观察手的如在阳光或灯泡下，观察手的阴影或人的身影阴影或人的身影)。了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。图中表示。通过实例了解中心投影和平行投影。通过实例了解中心投影和平行投影。26一、图样的要求一、图样的要求 1.明显性：明显性：明显地、全面地反映所表达的空间物明显地、全面地反映所表达的空间物体的原形，直观，使人一目了然；体的原形，直观，使人一目了然； 2.可量性：可量性：能够准确地、详细地反映所表达的空能够准确地、详细地反映所表达的空间物体的大小尺寸、比例

18、等；间物体的大小尺寸、比例等； 3.可解性：可解性：图样分成的各个部分图样分成的各个部分( (点、线、面、点、线、面、圆等圆等) )，能较好地表达物体的结构形式，解决空间，能较好地表达物体的结构形式，解决空间物体几何元素的定位、定量问题，反映出制造该物物体几何元素的定位、定量问题，反映出制造该物体的技术要求等内容。体的技术要求等内容。27二、投影法的基本概念二、投影法的基本概念 几个概念：几个概念：蓄 投影中心(S)、投影面(P)、投影点(A)、投影线(SA)ABCABCS P28三、投影法的分类三、投影法的分类 1.中心投影法中心投影法 (见上页图见上页图) 2.平行投影法平行投影法正投影法

19、斜投影法PPABCABCABCFABCF29四、平行投影的基本性质四、平行投影的基本性质 平行投影的基本平行投影的基本特性是：特性是：1.1.点的投影仍是点点的投影仍是点 2.2.直线的投影一般直线的投影一般仍是直线，仅当仍是直线，仅当直线平行于投影直线平行于投影方向时，直线的方向时，直线的投影是点投影是点。 FA C B BCAP30 3.3.直线上的点的直线上的点的投影仍在直线上，投影仍在直线上，且分某线段所成且分某线段所成两线段长度之比两线段长度之比等于它们的投影等于它们的投影长度之比长度之比 FA C B BCAP314.4.两平行直线两平行直线的投影仍平行，的投影仍平行，且两线段长度

20、且两线段长度之比等于它们之比等于它们的投影长度之的投影长度之比比 PA BD C BADCF32 5.5.当线段和平面图当线段和平面图形平行于投影面形平行于投影面P P时，它们的投影反时，它们的投影反映线段的实长和平映线段的实长和平面图形的真形面图形的真形 PCDEFCDE A BB A 33A BC PB A6.6.当直线、平面、柱面平行当直线、平面、柱面平行于投影方向时，它们投影具于投影方向时，它们投影具有积聚性有积聚性( (图图1515132)132)积聚性积聚性当直线、平面、当直线、平面、柱面平行于投影方向时，在柱面平行于投影方向时，在投影面投影面P P上直线投影成点，上直线投影成点，

21、平面、柱面投影成线平面、柱面投影成线( (直线直线或曲线或曲线) )的性质。的性质。CF34P不同的物体在同一投影面上不同的物体在同一投影面上的投影可能相同的投影可能相同 因此，要用平行投影因此，要用平行投影完全确定一个物体的形状，完全确定一个物体的形状，就必须采用一定的方法来就必须采用一定的方法来加以补充，这些方法就是加以补充，这些方法就是轴测投影轴测投影(直观图直观图)和正投和正投影三视图影三视图。35五、轴测投影图五、轴测投影图(直观图直观图) 本内容在高中立体几何及高等几何中均已本内容在高中立体几何及高等几何中均已详细学习，关键是抓住在斜二测及正等测画图详细学习，关键是抓住在斜二测及正

22、等测画图中，中，Ox、Oy、Oz各轴之间的夹角和各轴上线各轴之间的夹角和各轴上线段的长度与实长之比。段的长度与实长之比。(在此不赘述在此不赘述)36六、正投影三视图六、正投影三视图 1.空间投影面空间投影面 水平投影面水平投影面(H)、正立投影面正立投影面(V)、侧立投影面侧立投影面(W) WVH37移去物体后：移去物体后： 在在H面上的正投影叫做面上的正投影叫做俯视图俯视图(水平投影水平投影) 在在V面上的正投影叫面上的正投影叫做做主视图主视图(正面投影正面投影) 在在W面上的正投影叫面上的正投影叫做做左视图左视图(侧面投影侧面投影) 主视图、俯视图、左主视图、俯视图、左视图合起来称为视图合

23、起来称为正投影三正投影三视图视图。简称为。简称为视图视图。WVH2.三视图三视图38三视图所反映物体的有关尺寸三视图所反映物体的有关尺寸 俯视图反映了物体的俯视图反映了物体的顶面形状和长、宽两个顶面形状和长、宽两个方向的尺寸；方向的尺寸；WVH长宽长宽高高n主视图反映了物体的正主视图反映了物体的正面形状和高、长两个方向面形状和高、长两个方向的尺寸；的尺寸；n左视图反映了物体的侧左视图反映了物体的侧面形状和宽、高两个方向面形状和宽、高两个方向的尺寸。的尺寸。393.三视图画法三视图画法 由于三视图只由于三视图只能画在同一张纸上，能画在同一张纸上，所以三投影面需转所以三投影面需转化为一个面。规定：

24、化为一个面。规定：V V面不动，面不动，H H面向下面向下旋转旋转9090，W W面向右面向右旋转旋转9090，这样一，这样一来，来，H H面和面和W W面就同面就同V V面重合成一个平面。面重合成一个平面。WVHWVHWVHHVWHWVWVHVWHVWH40WVHWVHWVHHVWHWVWVHVWHVWH再看一下这个展示的过程再看一下这个展示的过程41作三视图的基本法则和要求：作三视图的基本法则和要求： 三视图中，三视图中，主视图主视图与与左视图左视图同高同高；主视图主视图与俯视图与俯视图同长同长；俯视；俯视图与图与左视图左视图同宽同宽。因。因此，画图时，图与图此，画图时，图与图之间有时用虚线相连之间有时用虚线相连.主视图主视图俯视图俯视图左视图左视图高高宽宽宽宽长长42七、组合体三视图的画法七、组合