第三章 刚体动力学基础2

1、一大型回转类一大型回转类“观览圆盘观览圆盘”如图所示。圆盘的半径如图所示。圆盘的半径R=25 m，供人乘坐的吊箱高度供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圆盘绕水平轴均速转动，。若大圆盘绕水平轴均速转动，转速为转速为0.1 r/min。 例：例：300601022T)cos(0tRxxBALtRLyyBA)sin(0222)(RLyxAA解：解：求：求：吊箱底部吊箱底部A点的轨迹及点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。点的速度和加速度的大小。吊箱平动吊箱平动University physics AP Fang3002522RAyAxAvvvsm 260/.)cos(dd02tRtaAxAxv2322

2、222sm 107230025/.RaaaAyAxA)sin(dd02tRtaAyAyv)sin(dd0tRtxAAxv)cos(dd0tRtyAAyvUniversity physics AP Fang三、刚体的转动三、刚体的转动University physics AP Fang定轴转动定轴转动: 转轴在所选参考系中固定不动的转动。转轴在所选参考系中固定不动的转动。转动轴转动轴: 刚体转动围绕的那条直线刚体转动围绕的那条直线(转轴可以是固定或变化的转轴可以是固定或变化的)。进动进动定轴转动定轴转动转动转动: 刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运动的运动形式。刚体上的各质点都绕同一直线作圆周运

3、动的运动形式。定点转动定点转动: 在运动过程中，刚体上某一点始终保持不动的运在运动过程中，刚体上某一点始终保持不动的运 动形式。动形式。非定轴转动非定轴转动: 转轴位置随时间变化的转动。转轴位置随时间变化的转动。- 进动进动刚体的刚体的平动平动和和绕定轴转动绕定轴转动是刚体的两种最简单最基本运动是刚体的两种最简单最基本运动University physics AP Fang自由度：自由度：确定一个物体空间位置所需要的独立坐标数目。确定一个物体空间位置所需要的独立坐标数目。3-1-2 刚体的自由度刚体的自由度一、自由度的概念一、自由度的概念火车：火车：自由度为自由度为1飞机：飞机：自由度为自由度

4、为3轮船：轮船：自由度为自由度为2二、刚体的自由度二、刚体的自由度xyzO3个平动自由度个平动自由度 (x、y、z) 。确定质心确定质心C的位置的位置:3个方位角个方位角 (a、b、g )，其中两个是独立的，其中两个是独立的.确定刚体绕瞬时轴转过的角度确定刚体绕瞬时轴转过的角度j 。i = 3+2+1= 6 当刚体受到某些限制当刚体受到某些限制自由度减少。自由度减少。一、描述刚体绕定轴转动的角量一、描述刚体绕定轴转动的角量University physics AP Fang3-2 刚体定轴转动的运动学规律刚体定轴转动的运动学规律定轴转动时，刚体上各质点都绕固定轴定轴转动时，刚体上各质点都绕固定

5、轴作作圆周圆周运动，在任意时刻其上各质点的运动，在任意时刻其上各质点的位移、速度、加速度位移、速度、加速度(线量线量)各不相同。各不相同。运动学中讲过的角坐标、角位移、角速运动学中讲过的角坐标、角位移、角速度、角加速度等概念，以及有关公式都度、角加速度等概念，以及有关公式都可适用于刚体的定轴转动。可适用于刚体的定轴转动。转转动动 平平面面描述刚体定轴转动的物理量是描述刚体定轴转动的物理量是角量角量角坐标、角位移角坐标、角位移角速度、角加速度角速度、角加速度xO参考方向参考方向University physics AP Fang任选刚体上的任意点任选刚体上的任意点P点为参考点点为参考点 若若P在

6、在t 和和 t 后的角坐标为后的角坐标为 1和和 2，则，则)(tP转转动动 平平面面)(ttPxOu 角位移角位移 u 角坐标角坐标 刚体定轴转动的运动方程刚体定轴转动的运动方程)(t12平均角速度平均角速度u 角速度角速度t瞬时角速度瞬时角速度t ddl 刚体转动的刚体转动的角速度矢量角速度矢量k参考方向参考方向zUniversity physics AP Fangu 角加速度角加速度l 0，角加速度方向与角坐标正方角加速度方向与角坐标正方向相同；向相同； 0，角加速度方向与角角加速度方向与角坐标正方向相反。坐标正方向相反。l 刚体定轴转动时，角加速度刚体定轴转动时，角加速度可看成可看成

7、是只有正、负的是只有正、负的代数量代数量。tt0lim(瞬时瞬时) 角加速度角加速度t dd22ddtl 刚体转动的刚体转动的角加速度矢量角加速度矢量t dd在一般刚体运动中，角加速度矢量和角速度矢量一般不沿在一般刚体运动中，角加速度矢量和角速度矢量一般不沿同一方向。同一方向。- 的正负与的正负与 相同相同转转动动 平平面面z)(tPxO二、定轴转动刚体上各点的速度和加速度二、定轴转动刚体上各点的速度和加速度rtrddv 速度与角速度的矢量关系式速度与角速度的矢量关系式ravna加速度与角加速度的矢量关系式加速度与角加速度的矢量关系式University physics AP Fang 刚体内

8、各质点具有相同的角位移、角刚体内各质点具有相同的角位移、角速度、角加速度，但由于各质点离转速度、角加速度，但由于各质点离转轴的距离和方向各不相同，所以刚体轴的距离和方向各不相同，所以刚体内各个质点的位移、速度、加速度内各个质点的位移、速度、加速度 (线量线量)各不相同。各不相同。 vrtanaaMOrv2narddartvUniversity physics AP Fang三、刚体定轴转动运动学的两类问题三、刚体定轴转动运动学的两类问题u 第一类问题第一类问题 - 微分问题微分问题u 第二类问题第二类问题 - 积分问题积分问题一飞轮绕定轴转动，其转过的角度与时间的关系为一飞轮绕定轴转动，其转过

9、的角度与时间的关系为 =10 t 2，式，式中中 的单位为的单位为rad，t 的单位为的单位为s 。根据定义，飞轮的角速度为根据定义，飞轮的角速度为t dd飞轮的角加速度为飞轮的角加速度为t dd距转轴距转轴r处质点的切向加速度处质点的切向加速度ra t法向加速度法向加速度2ran例例1：解：解：求：求：(1)飞轮的角速度和角加速度；飞轮的角速度和角加速度；(2)距转轴距转轴r处的质点的切向加速度和法向加速度。处的质点的切向加速度和法向加速度。 t 2020r2022400rtUniversity physics AP Fang电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度电动机转子作定轴转动，开始时

10、它的角速度 0 = 0，经，经150s其转速达到其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度，已知转子的角加速度 与与时间时间t的平方成正比。的平方成正比。根据题意，设根据题意，设 2kt （k为比例常量）为比例常量） 由角加速度的定义，有由角加速度的定义，有2ddktt分离变量并积分，有分离变量并积分，有dtktt020d在这段时间内，转子转过的圈数。在这段时间内，转子转过的圈数。例例2：解：解：求：求：t 时刻转子的角速度为时刻转子的角速度为331kt当当t =150s，转子的角速度为，转子的角速度为1 -srad40060120002则有则有33tk4-33srad10150400

11、3University physics AP Fang4-333srad1015040033tk由此得由此得 331031t 由角速度的定义由角速度的定义 ，得转子在，得转子在150s内转过的角度为内转过的角度为t ddtt d1031331500rad105 .16872因而转子在这一段时间内转过的圈数为因而转子在这一段时间内转过的圈数为2Nr102682105 .168722University physics AP Fang力的力的大小大小、力的、力的方向方向和力的和力的作用线作用线相对于转相对于转轴的位置是决定刚体转动效果的重要因素。轴的位置是决定刚体转动效果的重要因素。3-3-1 力

12、矩力矩力臂：力臂：力力 对转轴对转轴z的力矩的力矩: u 若刚体所受力若刚体所受力 在转动平面内在转动平面内 FFdMzrOzdFPsinrd FrFFrtsinrOzdFPF/Fu 若刚体所受力若刚体所受力 不在转动平面内不在转动平面内 F在定轴转动中，只有在定轴转动中，只有 起作用起作用力力 对转轴对转轴z的力矩的力矩平行于转轴平行于转轴 分量不能使刚体发生转动分量不能使刚体发生转动F/FsinrFdFMzF3-3 刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律University physics AP Fang(1) 力对点的力矩力对点的力矩O .FrMO(2) 力对定轴力矩的矢量形式力对定轴力矩

13、的矢量形式力矩的方向由力矩的方向由右螺旋法则右螺旋法则确定确定FrMZ(3) 力对任意点的力矩，在力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴投影，等于该力对该轴 的力矩的力矩讨论讨论FroMrOzdFPF/FdFMzUniversity physics AP FangOiriFifiiiiamfF取一质量元取一质量元ititiitFfma切线方向切线方向it iit iiit iF rf rma r对固定轴的力矩对固定轴的力矩2iirm对所有质元对所有质元2()ititi iiiF rf rmr合内力矩合内力矩 = 0合外力矩合外力矩 M刚体的转动惯量刚体

14、的转动惯量 JimMJ3-3-2 刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律University physics AP Fangl 刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢 量关系式，即量关系式，即力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生角加速度的原因。角加速度的原因。l 刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如 同质点力学中的同质点力学中的 ；l 刚体定轴转动定律中的刚体定轴转动定律中的M、转动惯量、转动惯量J和角加速度和角

15、加速度 三个物三个物 理量都是相对于同一转轴而言的；理量都是相对于同一转轴而言的；JM amFJM 讨论讨论l 刚体定轴转动定律中的刚体定轴转动定律中的M是作用在刚体上的合外力矩；是作用在刚体上的合外力矩；l 刚体定轴转动定律仅适用于惯性系。刚体定轴转动定律仅适用于惯性系。University physics AP Fang2iizrmJ定义式定义式质量不连续分布质量不连续分布2iizrmJ质量连续分布质量连续分布VmrJd2dmmrz处理方法处理方法:在在V上选取上选取一个一个dm, 使得使得dm上上的的r 都一样都一样计算转动惯量的三个要素：计算转动惯量的三个要素： (1)总质量总质量 (

16、2)质量分布质量分布 (3)转轴的位置转轴的位置3-3-3 转动惯量转动惯量(2) 当刚体质量一定，当刚体质量一定，J 与质量分布有关与质量分布有关例：例：圆环绕中心轴旋转的转动惯量圆环绕中心轴旋转的转动惯量dmOmmRJ02d2mRmRmmR02d转动惯量的三个要素转动惯量的三个要素(1) J 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关例：例：两根等长、质量均匀分布的两根等长、质量均匀分布的 细木棒和细铁棒细木棒和细铁棒 绕端点轴绕端点轴 转动惯量转动惯量LzOxdmMLxxJ02d 木铁JJxLxLMx02d231ML质量分布的均匀性对圆环绕质量分布的均匀性对圆环绕中心轴旋转的转动惯量有影响吗中

17、心轴旋转的转动惯量有影响吗?问题：问题：University physics AP FangOLxdmMz20231dMLxxJLLOxdmM2222121dMLxxJ/L/Lz(3) J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关例：例：质量均匀分布的圆盘绕中心轴旋转的转动惯量质量均匀分布的圆盘绕中心轴旋转的转动惯量ROmrdrrrsd2d smddmmrJ02drrRmd22rRmrd22RrrRm032d222RmUniversity physics AP Fang2121MLJz22ZZLJJM 例：例：求均匀细棒对其一端点的转动惯量求均匀细棒对其一端点的转动惯量zMLz平行轴定理平行轴定理zL

18、CMz2MLJJz z刚体绕任意轴刚体绕任意轴刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴两轴间垂直距离两轴间垂直距离结论：结论：刚体的转动惯量与刚体的质量、形状、大小、密度刚体的转动惯量与刚体的质量、形状、大小、密度和转轴的位置均有关。和转轴的位置均有关。 国际单位制：国际单位制：2mkg University physics AP Fang213ML 对薄平板刚体的垂直轴定理对薄平板刚体的垂直轴定理 y rix z yi xi mi2iizrmJ22iiiiymxmyxJJ o（仅对薄刚体板成立）（仅对薄刚体板成立） 例：例：求对圆盘的一条直径的转动惯量求对圆盘的一条直径的转动惯量221mRJzy

19、xzJJJyxJJ 已知已知垂直轴定理垂直轴定理241mRJJyx yx z 圆盘圆盘 R C mUniversity physics AP Fang求空心圆柱绕中心轴的转动惯量求空心圆柱绕中心轴的转动惯量例：例：解：解： 为两个实心圆柱绕中心轴的转动惯量的差值为两个实心圆柱绕中心轴的转动惯量的差值圆盘绕中心轴旋转的转动惯量为圆盘绕中心轴旋转的转动惯量为22ddRmJ Vmdd lRd2 实心圆柱绕中心轴的转动惯量为实心圆柱绕中心轴的转动惯量为2202dRlRJl lR421 lRRm) (2122 空心圆柱绕中心轴的转动惯量为空心圆柱绕中心轴的转动惯量为 )(214142lRlRJ )(21

20、2122RRmzR1R2lmUniversity physics AP Fang求均匀的薄球壳绕直径的转动惯量求均匀的薄球壳绕直径的转动惯量 例：例：解：解：R切为许多垂直于轴的切为许多垂直于轴的圆环圆环zmmrJdd2r24 Rm d2dRrm232mR dsin2dmm sinRr dsin2)sin(dd22mRmrJ dsin2)sin(20mRJUniversity physics AP Fang从半径为从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系的小圆盘，该系统的质量为统的质量为m,两圆盘中心两圆盘中心O 和和O相距为相距为d ，且，且(d +

21、 r) R d O ORr挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的且过中心轴的转动惯量转动惯量 例：例：解：解：求：求：使用补偿法使用补偿法则填满后的总质量为则填满后的总质量为m+m/设小圆盘的质量为设小圆盘的质量为m/2222/rRrRmmm)(222/rRmrm2/21RmmJ）（满2/2/21dmrmJo小oJJJ小满mUniversity physics AP Fang求均匀立方体求均匀立方体( (边长边长l l、质量质量m m) )绕通过面心的中心轴的转动惯量绕通过面心的中心轴的转动惯量 例：例：解：解：设设2mlkJCk k是一个无量纲的量是

22、一个无量纲的量C Cz z立方体绕棱边的转动惯量为立方体绕棱边的转动惯量为 22)21()2(mlklmJJCz分成八个相同的小立方体分成八个相同的小立方体他们绕各自棱边的转动惯量为他们绕各自棱边的转动惯量为228)21(）（）（小lmkJ八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量= =J JC C 即即)21(328kk61k261mlJC小JJC8求求 J J 的标度变换方法：的标度变换方法： University physics AP Fang3-3-4 刚体定轴转动定律的应用举例刚体定轴转动定律的应用举例University physics AP Fang例例

23、1：一刚体系统，如图所示。一刚体系统，如图所示。已知，两轮半径为已知，两轮半径为 R、r，对轴的，对轴的转动惯量为转动惯量为21J ,J，绳子与滑轮间无相对滑动，绳子与滑轮间无相对滑动，求：求：两物的加速度、绳子的张力两物的加速度、绳子的张力?12R r O 解：解：111maTgm222magmTgm1gm21T2TT1T2)JJ(rTRT2121Rm1rm2grmRmJJrmRm22212121raRa21gmrmRmJJrRmrmJJT1222121222211?T 2如何确定如何确定讨论：讨论： 充分利用角量与线量的关系充分利用角量与线量的关系 转动定律与牛顿第二定律联用转动定律与牛顿第二定律联用例例2：一个系统，如图示，一个系统，如图示， 已知已知32/mlJ 现有一水平力作用于棒，距轴为现有一水平力作用于棒，距轴为 l 处，处，求：求：轴对棒的作用力（也称轴反力）？轴对棒的作用力（也称轴反力）？解：解：设轴对棒的作用力为设轴对棒的作用力为 N ,yxN,NxNyNOCmg lFJFl 质心运动定理质心运动定理cxxmaNFcyymamgN)l l(FFJFl