二级倒立摆数学模型的建立与仿真

1、二级倒立摆数学模型的建立与仿真专业：控制工程姓名：淡丹学号：1406073摘要本文用分析力学中牛顿力学法及拉格朗日方程建立了二级倒立摆的数学模型。根据已经建立的倒立摆数学模型，对其进行了可控性，可观测性及稳定性的分析与研究，并对状态反馈及状态观测器进行了仿真模拟，分析研究。并通过分析比较得出，加状态观测器并不影响系统的输出的结论。关键词：倒立摆状态空间极点配置状态反馈ABSTRACTNewtonianmechanicsanalysismethodandtheLagrangeequationofamathematicalmodelofdoubleinvertedpendulumhasbeenus

2、edinthispaper.Accordingtotheestablishedmathematicalmodelofinvertedpendulumonthecontrollability,observabilityandstabilityoftheanalysisandresearch,andthestateobserverandstatefeedbackiscarriedonthesimulation,analysisandresearch.Andthroughtheanalysisandcomparisonofresults,plusstateobserverdoesnotaffectt

3、heconclusionsoftheoutputofthesystem.KEYWORDS:invertedpendulumstatespacepoleallocatiostatefeedback二级倒立摆系统的组成二级倒立摆主要由以下四部分组成1 .在有限长的轨道L上作直线运动的小车；2 .与小车校接在一起，并能在竖直平面内分别绕q,q点转动的下、上摆；3 .驱动小车的直流力矩电机和转轮、钢丝等传动部分；4 .使上、下摆稳定在垂直向上的平衡位置，且使小车稳定在轨道中心位置附近的控制器。二级倒立摆的结构简图如图1的监督管理功能，如实时画面，数据采集等数据采集卡安装在计算机内，用完成模/数、数/模

4、转换；功率放大器用于电压和功率放大；电机是系统的执行元件；电位计是系统的测量元件，它分别检测小车相对于轨道中心点的相对位置、下摆相对于铅垂线的角位移、上摆相对于下摆延长线方向的角位移.IUUU电乐比较据一*罐波电笥u算见功率应大图1倒立摆系统的计算机控制系统二级倒立摆系统的整套机械部件安装在一个钢架上，上面固定着导轨、电机底座和转轮等装置。通过导轨支架安装好小车滑行的导轨，小车用电机和转轮通过传动钢丝实现运动。2、结构参数通过实际物理测量，得到二级倒立摆系统的参数如下：小车的等效质量：M=1.0kg;小车与轨道间的滑动摩擦系数：b=5.0kg/s;下摆的质量：m=0.1481kg;下摆平长：l

5、1=0.18m;下摆绕其重心的转动惯量：j1=0.0019kgm2;上摆质量：m2=0.0998kg;上摆平长:12=0.24m;上摆绕其重心的转动惯量：j2=0.0018kgm2;上、下摆重心之间的距离：L1=0.29m;上、下摆之间的转动摩擦系数：F2=0.01kgm2/s;下摆和小车之间的转动摩擦系数：F1=0.01kgm2/s;电机及功率放大器的增益：Ku=15Nt/V03、Lagrange方程介绍Lgarnage方程为d且dt.凶1:T2V2-T-'aq=Fq(i=1,2,.,k)(1-1)式中T一系统的动能函数,%,q,Lganarge变量，分别成为广义坐标和广义速度Qi一

6、作用于系统上的广义力Qi=+Fq(i=12.,k),(1-2)斗式中：V一系统的势能函数V-4有势力的广义力yFqi一非有势力的广义力将式(2-2)代入式(2-l)得d4立+2=Fq(i=1,2,.,k)dt肉因i'四3二、二级倒立摆数学模型的推导二级倒立摆是一个多变量、快速、非线性、强耦合、和绝对不稳定的系统，为了简化建立数学模型的过程，我们做了以下假设：1 .上摆、下摆都是一个均匀的刚体；2 .力矩电机的输出驱动力与其输入电压成正比，且无滞后地直接作用在小车上；3 .车与轨道间的摩擦力仅与小车的速度成正比，下摆与车绞接处的摩擦力仅与摆的角速度成正比，上、下摆绞接处的摩擦力仅与摆的角

7、速度成正比；4 .忽略电机的电感；5 .忽略钢丝的弹性。在以上假设前提下，我们采用分析力学中的Lganarge方程来建立系统的数学模型。令：为水平导轨运动的位移，拭、氏分别为下摆和上摆偏移竖直方向的角度。由于系统存在着摩擦力，属于一个耗散系统，因此式(2-3)部分应该加上耗能部分，对于同时受到保守力和耗散力作用的倒立摆系统的Lagrange方程为：=Fq(i=1,2,.,k)-.i簿1二。q式中：qi广义坐标，即r、%、%Fqj一非有势广义力，当qi=r时，Fqi=GoU,U为控制量，G。为增益常数，当qi=4、时，Fq=0T、V、D分别是系统的动能、势能和消耗能nnnT="、V=&

8、#39;：M、D="Di(1-5)i=0i0iz0式中:n一倒立摆的级数，这里n=2Ti一小车和各级倒摆的动能Vi一小车和各级倒摆的势能Di小车和各级倒摆的消耗能(r+sin)十(cos)dt二L滴;+1附乂什+48%即+1蚯口耳4y221AIT2=-J2&2+吗X'(r+Zsin+/2sinS2)+cos+/2cosd2)出L由dtJi+，叫cos。域+4cos%*4y+4sing诋+12sin02,幻'22匕二0匕=叫g48sq匕二吗gx(4cosq+/2cos2)将上述各式Ti,Vi,Di(i=0,1,2)代入式(2-4),得二级倒立摆的数学模型为(2-

9、6)M(仇0)式中;A/=K。KcosjK2cos4KcosKyK*k8s(4-A2ccis%Kjgs(gd)K4-Kstag戈K+耳砧sin色一幻避-巴-K2sin02'ff2-Kasin(用一一耳GqMG(%凡名)=展店时口可&gsin&2K。=A/+g+吗&=叫4+吗ZKi=m2liK$=4+叫*+m2L*4=6+率/式（2-6）式是一个非线性向量微分方程。考虑到系统工作时，是在平衡位置.附近运动，可将式（2-6）在u=0的平衡位置r=日尸%=3=e2=0附近线性化，以线性化后的方程来代替式（2-6）的非线性向量微分方程。具体线性化是忽略二次以上的项（或因

10、为4，外在工5。以内，故sine电日，cos6、1）,可求出关于dr,d»,d%的线性化微分方程，而后将dr,d%,d%改写成r,Qi,便可得到系统的状态方程。根据物理模型的实测数据，可求得平衡点处的常数阵Af(0,0A0)=5GWQ0)=0*0L2479M(0,0)=0.05560.0240.05560.0240.0150.00690.00690.007700000.54760000.23590.3978-105,99552252846利用Matlab中的求逆命令，可以解得M（0,0）阵09609-37524小(0期=-37524129.90.3978T05.9955所以，Xt式（

11、2-6）进行线性化后，系统状态方程为:十人八（。冰0对于下摆有转角e时，取上摆的相对角位移为e2-e1,故令i故式（2-7）可改写为手三一”财7（0,0）河（0.0,0,0区”十%对7（0,0计7；«+陋T0M'（0,0）05I。Q-8)定义状态向量x为则由式（2-8）可得(2-9)式中士G；3它|(0,0)00将物理模型的实测参数代入式（2-9）,得到二级倒立摆的系数矩阵为0000(J0000100040010-1.96氏0940.004-0.004046.12-25.011&76-0.130.240-51.0178,16-20J50.24-0.5700014.41

12、37-56.286462.2532由此可知，二级倒立摆系统的数学模型为.x=AxBuy二Cx式中：A=0001.00000000001.00000000001.00000-1.96000.0940-4.80000.0040-0.0040046.1200-25.010018.7600-0.13000.24000-51.010078.1600-20.75000.2400-0.5700B=00014.4137-52.286462.2532C=100000010000001000三.二级倒立摆稳定性，可控性及可观测性分析3.1系统的稳定性，可控性，可观测性(1)系统的稳定性在设计和分析线性控制系统时，

13、首先要考虑的是控制系统的稳定性18-19。一个线性控制系统能够正常工作的首要条件就是它必须是稳定的。由于控制系统在实际运行中，不可避免的会受到外界或内部一些扰动因素的影响，比如系统负载或能源的波动、系统参数和环境条件的变化等，从而会使系统各物理量偏离原来的工作状态。如果系统是稳定的，那么随着时间的推移系统的各物理量就会恢复到原来的工作状态。如果系统不稳定即使扰动很微弱，也会使系统中的各物理量随时间的推移而发散，即使在扰动因素消失后，系统也不可能再恢复到原来的工作状态，显然不稳定的控制系统是无法正常工作的。由于稳定性的研究角度不同，线性控制系统稳定性在不同意义下的描述不尽相同，但是不同意义下稳定

14、性描述的本质是相同的。当线性系统用输入输出模型(微分方程或传递函数)表示时，其稳定性定义通常有如下两种：第一种描述：如果线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋向于零，即被控量趋向于原来的工作状态，则称该系统稳定。反之，若在扰动的影响下，系统的被控量随着时间的推移而发散，则称该系统不稳定。第二种描述：若线性系统在有界的输入量或干扰量的作用下，其输出量的幅值也是有界的，则称系统是稳定的。否则如果系统在有界输入下，产生无界的输出，则称系统是不稳定的。线性控制系统稳定性的充分必要条彳系统的所有极点必须位于s左半平面。(2)系统的可控性线性定常连续系统

15、x=AxBu/c+c3-1y=CxDu如果存在一个分段连续的输入u(t),能在有限时间区间(t0,tf)内，使一系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。如果系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。能控性判据能控性判据一：线性定常连续系统(如(3-1)式)状态完全可控的条件为：当且仅当向量组B,AB,.,AnB是线性无关的，或nXn维矩阵B,AB,.,An'B的秩为n。能控性判据二：(1)当系统特征值互异时，若线性定常连续系统的特征值k213n互异，则状态完全可控的充分必要条件是系统经非奇异线性变换后的对角线

16、标准型：x+Bu的矩阵B中不包含元素全为零的行。(2)当系统含有重特征值时，其重特征值k九重)%g2重广，:Mmk重mi=n;且当i#j时，£黄1j，(3-2)也就是说每一个重特征值只用一个约当块表示。则系统状态完全能控的充分必要条件为，系统经非奇异变换后的约定标准型Ji1.J2hx=一x+Bu(3-3)中，和每个约当块Ji(i=1,2，k)的最后一行相对应的B矩阵中的所有那些行,其元素不全为零。能控标准型:010001X(t)=：000a0_ai_a200x(t)+1a-010pu(t)0'1_l(3-4)y=bb2bnxt(3)系统的可观测性线性定常连续系统x=AxyuC

17、x(3-5)如果对任意给定的输入U,都存在一有限观测时间tf>t0,使得根据t0,tf期间的输出y唯一的确定系统在初始时刻的状态x(t0),则称此状态x(t0)是能观测的。如果系统的所有状态都是能观测的，则称此系统是状态完全能观测的，或简称系统是能观测的。能观测性判据能观测性判据一：线性定常连续系统如式(3-5)状态完全可观测的充分必要条件是其能观测矩阵一CIsCA酒秩。Qo=.:CA:能观测性判据二：(1)当系统特征值互异时，若线性定常连续系统的特征值九15214n互异,则状态完全能观测的充分必要条件是系统经非奇异线性变换后的对角线标准型i二'-2_x=一x!'一y=C

18、x(3-6)的矩阵C中不包含元素全为零的列。(3)当系统含有重特征值时，其重特征值k九(mi重施M重广，九(mk重)£mi=n;且当i#j时，九#九,上则系统状态完全能观测的充分必要条件为，系统经非奇异变换后的约定标准型-Ji1-J2x=*.xJJk1(3-7)y=Cx中，和每个约当块Ji(i=l,2,，k)的首列相对应的C矩阵中的所有那些列，其元素不全为零。能观测标准型:010-a。100a1x(t)=0*1二aa2-1*0001an_Ly(t)=0001k(t)1x(t)+一bib2u(t)bn上一(3-8)3.2二级倒立摆的可控性、可观测性及稳定性分析(1)二级倒立摆系统的可控

19、性、可观测性程序如下:A=000100;000010;000001;0-1.960.094-4.80.004-0.004;046.12-25.0118.76-0.130.24;0-51.0178.16-20.750.24-0.57;B=00014.4137-52.286462.2532;B1=B'C=100000;010000;001000;rct=rank(ctrb(A,B1)OB=C;C*A;C*A*A;C*A*A*AQ=rank(OB)rct=6OB=1.00001.00001.00001.000001.000001.0000-1.96000.0940-4.80000.0040-

20、0.004046.1200-25.010018.7600-0.13000.2400-51.010078.1600-20.75000.2400-0.57009.7965-0.863923.1980-1.98070.1164-55.007623.7731-97.466846.2695-25.253080.8145-52.5041115.9299-51.261078.6255>>Q=6由以上可知系统是可控和可观测的。(2)二级倒立摆系统的稳定性用函数eig()求矩阵A的特征值与特征向量A=000100;000010;000001;0-1.960.094-4.80.004-0.004;04

21、6.12-25.0118.76-0.130.24;0-51.0178.16-20.750.24-0.57;V,D=eig(A)V=1.0000-0.0006-0.0069-0.0015-0.02650.101900.04200.16060.03990.07950.24830-0.09420.1362-0.08460.15030.08250-0.0059-0.03190.01560.1516-0.348100.40530.7453-0.4246-0.4553-0.84870-0.90830.63180.9004-0.8603-0.2821D=00000009.64760000004.639700

22、0000-10.6452000000-5.7244000000-3.4177由此可知系统有两个极点位于s右半平面，有一个极点位于坐标原点，所以系统不稳定。因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。四：系统反馈矩阵的设计及状态图：首先，使用MATLAB判断系统的能控性矩阵是否为满秩。程序如下：A=000100;000010;000001;0-1.960.094-4.80.004-0.004;046.12-25.0118.76-0.130.24;0-51.0178.16-20.750.24-0.57;B=00014.4137-52.286462.2532;B1=B'C=100000;01

23、0000;001000;rct=rank(ctrb(A,B1)计算结果为：rct=6根据判别系统能控性的定理，该系统的能控性矩阵满秩，所以该系统是能控的。因为系统是能控的，所以，可以通过状态反馈来任意配置极点。不失一般性，不妨将极点配置在s1=-6,s2=-6.5,s3=-7,s4=-7.5,s5=-8,s6=-8.5在MATLABH俞入程序：A=000100;000010;000001;0-1.960.094-4.80.004-0.004;046.12-25.0118.76-0.130.24;0-51.0178.16-20.750.24-0.57;B=00014.4137-52.286462

24、.2532;B1=B'P=-6-6.5-7-7.5-8-8.5;K=place(A,B1,P)计算结果为：K=4.869628.242536.05166.31367.83205.7267因此，求出状态反馈矩阵为K=4.869628.242536.05166.31367.83205.7267如下采用MATLAB/Simulink构造二级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，图所示0B1>Constant卜Gain卜Gain3«1X丫-jcuj2>_>cr)Out1IntegratorGainlL口<7_Nu<-ScopeGain2-五、状态观测器实现状

25、态反馈极点配置及其仿真首先，使用MATLAB判断系统的能观性矩阵是否为满秩。输入以下程序A=000100;000010;000001;0-1.960.094-4.80.004-0.004;046.12-25.0118.76-0.130.24;0-51.0178.16-20.750.24-0.57;B=00014.4137-52.286462.2532;B1=B'C=100000;010000;001000;rob=rank(obsv(A,C)rob=6因为该系统的能观测性矩阵满秩，所以该系统是能观测的。因为系统是能观测的，所以，可以设计状态观测器。而系统又是能控的，因此可以通过状态观测

26、器实现状态反馈。设计状态观测器矩阵，使的特征值的实部均为负，且其绝对值要大于状态反馈所配置极点的绝对值。通过仿真发现，这样才能保证状态观测器有足够快的收敛速度，才能够保证使用状态观测器所观测到的状态与原系统的状态充分接近。不妨取状态观测器的特征值为：S1=-20,s2=-21,s3=-22,s4=-23,s5=-24,s6=-25。输入以下命令：A=000100;000010;000001;0-1.960.094-4.80.004-0.004;046.12-25.0118.76-0.130.24;0-51.0178.16-20.750.24-0.57;A1=A'C=100000;010

27、000;001000;C1=C'P=-20-21-22-23-24-25;G1=place(A1,C1,P);G=G1'求出状态观测器矩阵为：G=38.26000.1197-0.283617.790344.72640.7555-17.46520.688946.5137275.96101.1437-5.5261690.8092544.3198-7.4808-704.7150-33.5983609.9059采用MATLAB/Simulink构造具有状态观测器的二级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如下图所示0B1>-Constant卜Gain昌图aaae<XdyY)sC

28、S>KD不Out1IntegratorGainl-<<x_HeScopeGain2Gain3六.总结。倒立摆作为一个多变量、非线性、不稳定的典型系统，是控制领域重要的研究对象，是验证各种控制算法的理想模型；很多抽象的概念如系统的稳定性、可控性、可观性、鲁棒性和系统的抗干扰能力等，都可以通过对倒立摆的控制直观的表现出来。针对倒立摆控制方法的研究对两轮自平衡小车及其它相似实验设备的开发都具有重要的研究意义。本文用分析力学中牛顿力学法及拉格朗日方程建立了二级倒立摆的数学模型。根据已经建立的倒立摆数学模型，对其进行了可控性，可观测性及稳定性的分析与研究，并对状态反馈及状态观测器进行了

29、仿真模拟，分析研究。通过比较得出具有状态观测器的二级倒立摆状态反馈系统的控制效果和没有状态观测器的控制系统的控制效果是一样的。可见，加状态观测器并不影响系统的输出。通过本学期线性系统理论的学习使我受益良多，线性系统理论这门课理论性较强学起来非常吃力，加之之前本科是学电气工程的对控制类学科基础知识了解甚少，在刚开始学习时的确遇到了不少困难。很多时候都会产生放弃学习这门课的念头而去学习自己感兴趣的东西，但是最后还是一步步坚持了下来，从一开始的什么都不懂，到后来逐渐建立起概念，一直到现在开始去喜欢这门课，其实兴趣也是建立在你去了解的基础之上的，只有你去了解你才谈得上是否对它感兴趣，而从一开始遇到困难

30、就觉得没兴趣就是典型的知难而退。通过对本次二级倒立摆的仿真控制的学习研究，使自己深深认识到，理论终究还要付诸于实践，只有自己亲自尝试去做一遍才能真正检验自己知识是否真正掌握，好多书上不理解的东西通过这样一次实践，然后回过头再去看理论知识时你会有一种豁然开朗的感觉，而且往往还有额外的收获，通过仿真分析对比研究会使你知识更加准确清晰，往往通过这样一个环节下来，你会有这样的自信：对这块知识的掌握，我相信没有人会比我更清楚。刚开始做二级倒立摆时也遇到过许多难题，比如模型的建立，matlab的掌握与应用，必备的基础知识等，而这些的学习往往需要收集资料，看别人以前做过的东西，然后自己研究，先完成别人做过的，然后在添加自己的东西，这的确需要时间和一定的工作量，有时候即使是别人已经做好的东西看的时候也许要翻阅很多资料，因为它里面也会涉及好多陌生的概念，你必须去阅读才能一步步搞懂。科研本来就是一件苦差事，你必须耐得住寂寞，静得心来去研究，否则怎