勾股定理详解与经典例题解析

1、勾股定理（基础）学习目标1 .掌握勾股定理的容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2 .能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3 .通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题.要点梳理要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：要点二、勾股定

2、理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.,所以.要点三、勾股定理的作用1 .已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2 .用于解决带有平方关系的证明问题；3 .与勾股定理有关的面积计算；4 .勾股定理在实际生活中的应用.典型例题类型一、勾股定理的直接应用1、在ABC中，/0=90，/A、/B、/C的对边分别为、.(1)若=5,=12,求；(2)若=26,=24,求.【变式】在ABC中，/0=90,/A、/B、/C的对边分别

3、为、.(1)已知=6,=10,求；(2)已知，=32,求、.类型二、与勾股定理有关的证明2、如图所示，在RtABC中，/0=90,AM是中线，MNLAB,垂足为N,试说明.【变式】如图，在ABC中，/C=90,D为BC边的中点，DELAB于E,则AE2-BE2等于()A.AC2B.BD2C.BCD.DE2类型三、与勾股定理有关的线段长3、如图，长方形纸片ABCD,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE,且EF=3,则AB的长为()A.3B.4C.5D.6类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则

4、b的面积为()A.6B.5C.11D.16类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为8,高为12,若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？巩固练习一.选择题1 .在ABC中，AB=12,AC=9,BC=15,则ABC的面积等于（）A.108B.90C.180D.542 .若直角三角形的三边长分别为2,4,则的值可能有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3 .小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（）A.12米B.10米C.8米D.6米4 .RtABC中，斜边BC=

5、2,则的值为（）A.8B.4C.6D.无法计算5 .如图，ABC中，AB=AC=10,BD是AC边上的高线，DC=2,则BD等于（）A.4B.6C.8D.56 .如图，RtABC中，/C=90,若AB=15,则正方形ADEC正方形BCFG勺面积和为（）A.150B.200C.225D,无法计算二.填空题7 .甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4,乙往南走了3,此时甲、乙两人相距8 .如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃走出了一条“路”，他们仅仅少走了米路，却踩伤了花草.9 .如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm,计算两圆孔中

6、心A和B的距离为mm10 .如图，有两棵树，一棵高8,另一棵高2,两树相距8,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞.11 .如图，直线经过正方形ABCM顶点B,点AC到直线的距离分别是6、8,则正方形的边长是.12 .如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽2.4m,高3.2m,长15nl棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算透过的最大面积是m2.三.解答题13 .如图四边形ABC两周长为42,AB=AA12,ZA=60,ZD=150,求BC的长.14 .已知在三角形ABC中，ZC=90,AD平分/BAC交BC于D,CD=3,BA5,求AC的长.勾股定理逆定理(基础)学习目标1

7、 .理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2 .能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3 .理解勾股数的含义；4 .通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力要点梳理要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形要点诠释：(1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形(2)勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形(1)首先确定最大边(如).(2)验证与是否具有相等关系.若，则4ABC是/C=90的直角三角形；若，则4A

8、B5是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数)，显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5;5、12、13;8、15、17;7、24、25;9、40、41如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形要点诠释：(1)(是自然数)是直角三角形的三条边长；(2)(是自然数)是直角三角形的三条边长；(3)(是自然数)是直角三角形的三条边长；典型例题类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段组成的三角形

9、是不是直角三角形.(1) =7,=24,=25;(2) =,=1,=;(3),()；【变式】一个三角形的三边之比是3:4:5则这个三角形三边上的高之比是()A.20:15:12B,3:4:5C.5:4:3D.10:8:2类型二、勾股定理逆定理的应用例3、已知：为的三边且满足，试判断的形状.例：4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？巩固练习一.选择题1 .在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是(

10、A.9,12,15B,3,4,5C.1.4,4.8,5D.4,7,52 .如图，在单位正方形组成的网格图中标有ABCDEF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CDEF、GHB.ABEF、GHC.ARCF、EFD.GHABCD3.下列说法：（1）在ABC中，若a2+b2wc1则ABC不是直角三角形；（2）若4ABC是直角三角形，/C=90,则a2+b2=c2;（3）在ABC中，若a2+b2=c：则/C=90;（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12,则斜边上的高为.其中说确的有（）.A. 4个B.3个C.2个D.1个4.下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，

11、其中不是直角三角形的是（）.A.1：1：2C.9：25：265.A.C.已知三角形的三边长为一定是等边三角形一定是直角三角形B. 1：3：4D.25：144：169（其中），则此三角形（）.B.一定是等腰三角形D.形状无法确定6 .三角形的三边长分别为、（都是正整数），则这个三角形是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定二.填空题7 .若一个三角形的三边长分别为6,8,10,则这个三角形中最短边上的高为8 .已知两条线段的长分别为11和60,当第三条线段的长为时，这3条线段能组成一个直角三角形（要求三边长均为整数）.9 .已知，则由此为边的三角形是三角形.10 .在ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15,则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是.11 .若一个三角形的三边之比为5:12:13,且周长为60,则它的面积为.12 .如图，AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,则ABC的面积为.三.解答题13 .已知：如图，在正方形ABCD43,F为DC的中点，E为