《材料力学》第3版课堂教授PPT课件与习题解答
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《材料力学》第3版课堂教授PPT课件与习题解答,材料力学,课堂,教授,PPT,课件,习题,解答
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第14章 静不定问题分析14-1 试判断图示各结构的静不定度。题14-1图解：（a）在平面受力时，一个封闭框具有三个多余内约束，此问题又具有一个多余外约束，故为四度静不定。（b）若无中间铰，两边的刚架分开，二者均为静定刚架。安装此中间铰，使相连处在x、y两个方向的相对位移均受到约束，故为二度静不定。（c）在平面受力时，一个封闭圆环有三个多余内约束，安装一个中间铰，减少一个约束，现安装两个中间铰，故为一度静不定。（d）在平面受力时，一个封闭框有三个多余内约束，此框在左上角和右下角各有一个中间铰，减去两个约束，故为一度静不定。14-2 图示各刚架，弯曲刚度EI均为常数。试求支反力，并画弯矩图。题14-2图（a）解：方法1，常规解法此为一度静不定问题。如图14-2(a)之(1)所示，解除B处水平约束，代以多余反力FBx 。图14-2(a)由，得据图（1）与（2），列弯矩方程如下：， ， 将其代入并利用协调条件，可得（）依据平衡条件，进而可得（）， （）， （）方法2，利用反对称性求解刚架受力如图（3）所示，由平衡方程，可直接求得合支反力F，其值为将其分解，所得结果与方法1所得解完全相同。弯矩图如图（4）所示。（b）解：此为一度静不定问题。载荷状态及单位状态如图14-2(b)所示。图14-2(b)弯矩方程为， ， 将其代入积分后，得代入协调条件得弯矩图如图（3）所示。14-3 图示圆弧形小曲率杆，弯曲刚度EI为常数。试求支反力，对于题(b)，并计算截面A的水平位移。题14-3图（a）解：此为一度静不定问题。由对称性可得（）又由于对称性（A=0），求Cx的载荷状态及单位状态如图14-3（a）所示。图14-3(a)弯矩方程为将其代入积分后，得代入协调条件得（）进而求得（）（b）解：此为一度静不定问题。求的载荷状态及单位状态如图14-3（b）所示。图14-3(b)弯矩方程为将其代入积分后，得代入协调条件得（）进而求得， （）， （P）求的载荷状态及单位状态如图（3）和（4）所示。弯矩方程为将其代入积分后，得到 （）14-4图a所示圆弧形小曲率杆，轴线半径为R，承受集度为q的均布剪切载荷作用。设弯曲刚度EI为常数，试计算截面B的水平位移。题14-4图解：1. 解静不定图示曲杆属于一度静不定。设将铰支座B作为多余约束，则相当系统如图b所示，变形协调条件为横截面B的铅垂位移为零，即(a)由图b可以看出，作用在微段Rda上的切向微外力qRda，在横截面j引起的弯矩为所以，在切向载荷q与多余未知力FBy作用下，截面j的弯矩为(b) 在图c所示铅垂单位载荷作用下，截面j的弯矩则为 根据单位载荷法，得相当系统横截面B的铅垂位移为由此得代入式（a），得补充方程为由此得 2. 计算水平位移 多余未知力确定后，将其代入式（b），得曲杆的弯矩方程为在图d所示水平单位载荷作用下，截面j的弯矩则为 于是，得截面B的水平位移为14-5 图示桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求杆BC的轴力。题14-5图解：此为一度静不定问题。选杆BC为多余杆，求切口处相对位移的载荷状态及单位状态分别如图14-5（a）和（b）所示。图14-5求相对位移的过程列于下表：i1a2a3a4a51FN5由此得代入协调条件得14-6 图示小曲率圆环，承受载荷F作用。设弯曲刚度EI为常数，试求截面A与C的弯矩以及截面A与B的相对线位移。题14-6图解：1求和此为三度静不定问题。有双对称性可利用。由对称条件可得（图14-6a）图14-6由双对称性可知， 据此可方便地求出MC。求qC的载荷状态及单位状态如图（b）和（c）所示。弯矩方程为将其代入积分后，代入协调条件可得进而可求得2求DA/B令原题图中的F=1，即为求DA/B的单位状态。依据图（a），可以写出弯矩方程如下：将其代入积分后，得到（ ）14-8图a所示结构，杆BC与DG为刚性杆，杆1、杆2与杆3为弹性杆，结构承受铅垂载荷F作用。设弹性杆各截面的拉压刚度均为EA，试求各杆的轴力与刚性杆BC的转角。题14-8图解：1. 求解静不定选FN1为多余力，相当系统如图b所示。设各杆轴力均为拉力，并以刚性杆BC与DG为研究对象，则由平衡方程得单位载荷系统如图c所示，由上式并令F=0与FN1=1，得相应内力为根据变形协调条件Dm/m=0，并利用单位载荷法，得补充方程为得由此得2. 角位移计算施加单位力偶如图d所示，并同样以刚性杆BC与DG为研究对象，则由平衡方程得于是得杆BC的转角为 （P）14-9 图示各刚架，弯曲刚度EI均为常数，试画弯矩图。题14-9图（a）解：此为二度静不定问题。有对称性可利用。如图14-9(a)所示，由于C处有铰，所以；又由于C处在对称位置，故知其。铰C左右两边各受切向载荷F/2。相当系统（取左边一半）如图（1）所示，待求未知力仅有FNC一个。图14-9(a)根据对称条件，截面C的水平位移为零，即由此得到（）弯矩图如图（2）所示，最大弯矩为（b）解：此为三度静不定问题。有反对称性可利用。在结构对称面C处假想切开，由于反对称，故有， 待求未知内力仅有FSC一个。求的载荷状态及单位状态如图14-9(b)所示。图14-9(b)弯矩方程为 ， ， 将其代入积分后，得代入协调条件得（）弯矩图如图（3）所示，最大弯矩为14-10 图示各刚架，弯曲刚度EI均为常数，试画刚架的弯矩图，并计算截面A与B沿AB连线方向的相对线位移。题14-10图提示：本题（a）（d）均为三度静不定问题。其中，（a）、（b）均为双对称问题。对称面上，FN可由静力平衡条件求出，只剩下一个未知内力待求，依据协调条件（切口两边相对转角为零）即可求出。（c）、（d）均为双反对称问题，结构对称面上只有待求，而且可由静力平衡条件求出。由于问题比较简单，这里拟直接给出结果。（a）， （ ）（b）， （ ）（c）， （d）， 弯矩图见图14-10。图14-1014-12 图示小曲率圆环，承受载荷F作用。设弯曲刚度EI为常数，试计算支反力。题14-12图解：此为四度静不定问题。有双对称条件可以利用。若圆环无左右刚壁约束，由题14-6之解可得（负号代表压力）， 由F引起的可根据图14-12（a）和（b）来算。图14-12弯矩方程为将其代入积分后，得（ ）设C与D处的水平反力为Fx，根据题14-6所得的A/B，这里有Fx引起的，（ ）代入协调条件最后得（ ）B处支反力为（）14-13 图示桁架，承受载荷F = 80kN作用，各杆各截面的拉压刚度均为EA。试求杆BC的角位移。题14-13图（a）解：此为一度静不定问题。由图14-13a（1）可知，因为反对称，所以有又据图（2）可得（压）， 图14-13(a)求的载荷状态及单位状态可简画如图（2）和（3）。计算过程归纳如下表：i3aFF5于是得（P）（b）解：此为一度静不定问题。由图14-13b（1）可知，由于反对称，故有进而可得 （压）图14-13(b)求的载荷状态及单位状态如图（1）和（2）所示，杆2均视为被切断。计算过程归纳如下表：i12aF32aF于是得（P）14-14 图示结构（均为小曲率圆杆），弯曲刚度EI为常数。试计算截面A与B沿AB连线方向的相对线位移。题14-14图（a）解：此为一度静不定问题。有双对称条件可以利用。取上半部分来分析，受力如图14-14（a）所示。此即为求DA/B的载荷状态，将F换成1，即为求DA/B的单位状态。图14-14(a)取j如图（这样取计算较方便），弯矩方程为将其代入积分后，得 （b）解：此为三度静不定问题。有反对称条件可以利用。先求内力。取相当系统如图14-14(b)(1)，另二内力均为零，图中未画。图14-14(b)求DA/A的载荷状态及单位状态如图（1）和（2）所示。弯矩方程为将其代入积分后，代入协调条件DA/A=0，可得求DA/B的载荷状态及单位状态如图（1）和（3）所示。由于左右异号，而左右同号，不难判断，二者相乘后的积分值必为零，即14-15图a所示桁架，承受载荷F作用，同时，杆3的实际长度比设计长度稍短，误差为d。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用单位载荷法计算各杆的轴力。题14-15图解：设选相当系统如图b所示，则变形协调条件为轴向相对位移Dm/m为零，相应单位载荷系统如图c所示。在载荷F与多余力FN3作用下（图b），杆1与杆2的轴力为 （a）考虑到受力与制造误差，各杆的长度改变量为在单位力作用下，各杆的轴力则为于是得由上式得补充方程为由此得代入式（a），得14-16 图示两端固定杆，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为，截面宽度不变。如果温度升高T，试计算杆内的最大正应力。题14-16图解：此为三度静不定问题。有对称条件可以利用。1求对称面C上的内力载荷状态、求的单位状态及求的单位状态分别如图14-16（a）,（b）和（c）所示。图14-16求的内力方程为, , ， ， 将其代入得 （1）求的内力方程为， ， 将其代入积分后，得（2）联解方程（1）与（2），得2求杆内的最大正应力最大正应力存在于该杆中段，其值为14-18 图示圆截面小曲率圆环，承受矩为Me的力偶作用。已知圆环的平均半径为R，横截面的直径为d，弹性模量为E，切变模量为G，试计算截面A与B间的相对转角。题14-18图解：此为六度静不定问题。有双对称条件及平面-空间问题的规律可以利用。设竖向直径两端截面为C和D，由于C为对称截面，故有反对称内力为零，即又由于这是平面-空间问题（即平面结构、外载荷均垂直于结构平面的问题），故有结构平面内的内力为零，即由此可知，截面C（或D）待求未知内力只剩下（或）一个（见图14-18a）。图14-18由于双对称，故有由图（a）可得由于双对称，求的载荷状态及单位状态分别如图（b）和（c）所示。内力方程为将其代入积分后，得截面A与B之间的相对转角为14-19图a所示为一水平放置的横截面为矩形的等截面刚架，在截面A，B，C与D处同时承受铅垂载荷F作用，试求横截面G与K的内力。题14-19图解：载荷F垂直于刚架轴线平面，刚架各横截面仅存面外内力分量。由于载荷对于对称面GH为反对称，在对称截面G上，弯矩Mz为零，仅存在剪力FSG与扭矩TG（图b）。由于载荷对于对称面AC为对称，在处于对称位置的横截面G与K上，剪力相同，扭矩也相同，即，根据上述分析，由平衡方程得， 14-20 图示等截面刚架，横截面为圆形，材料的弹性模量为E，泊松比为。试画刚架的弯矩图与扭矩图。题14-20图（a）解：此为六度静不定问题。有对称条件及平面-空间问题的规律可以利用。如图14-20(a）(1)所示，在对称截面C处“切开”，有由于是平面-空间问题，故有至此，待求的未知内力只剩下。图14-20(a)变形协调条件为求的载荷状态及单位状态如图（1）和（2）所示。内力方程为由于，故也可省写。将内力方程代入积分后，得注意到=0.3 ，故有上述计算中用到确定后，画刚架的弯矩图和扭矩图如图（3）和（4）所示，其中， （b）解：法1，解除多余外约束此为六度静不定问题。有对称条件及平面-空间问题的规律可以利用。此静不定刚架的相当系统如图14-20b（1）所示。A端解除多余约束后，由于对称性（关于铅垂面对称），可得（）由于是平面-空间问题，故有实际上，待求的未知多余反力只剩下和。图14-20(b)求和的单位状态分别如图（2）和（3）所示。内力方程为， , ， ， 将其代入及完成积分，并代入协调条件得方程及依次解得刚架的弯矩图和扭矩图如图（4）和（5）所示。法2，解除多余内约束此题亦可在对称面处切开（解除多余内约束），从而得到原静不定刚架的相当系统，如图14-20（b）(6）所示。由平面-空间问题的规律可知，被切截面上只有一种内力偶矩M存在，其矢量是沿铅垂对称面与刚架平面的交线方向（45方向）的。取杆段AB来分析，将内力偶矩分解（按矢量分解容易看清楚）为弯矩和扭矩T 见图14-20(b)(7)，易知二者的大小相等，即 （a）由对称性可知，变形协调条件为（b）式中，为B处对称截面的总转角，为B处横截面由弯矩产生的转角，为B处横截面由扭矩产生的扭转角。用单位载荷法不难求出和，其值分别为 （c）和 （d）将式（c）和（d）代入式（b），并注意到式（a），得由此得即可见，法2所得结果与法1的结果是一致的，弯矩图同图（4），扭矩图同图（5）。14-22 图示阶梯形梁，I1 =2I2 = I，试利用三弯矩方程求解并画弯矩图。题14-22图解：此为二度静不定问题。原静不定梁的相当系统如图14-22（a）所示，待求的未知支点弯矩有（即）和（即）。图14-22在图（a）中，有对于支座0，得三弯矩方程 （a）对于支座1，得三弯矩方程 （b）方程（a）与（b）化简后联立求解，得进而求得支反力为（）， （P）（）， （）该梁的弯矩图如图14-22（b）所示。14-24 图示梁，弯曲刚度EI为常数，试用三弯矩方程求支反力。题14-24图解：此为三度静不定问题。原静不定梁的相当系统如图14-24（a
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