数学建模--微分方程第一讲(暑期培训)

1、 微分方程模型微分方程模型 第一讲第一讲 1、微分方程的主要适用范围、微分方程的主要适用范围 我们所关心的研究对象的特征，会随时间我们所关心的研究对象的特征，会随时间(空间空间)的变化而变的变化而变化，这种变化可以是连续的，也可以是不连续的。化，这种变化可以是连续的，也可以是不连续的。 一般来说，如果判断研究对象的某些特征可能会关于时间、一般来说，如果判断研究对象的某些特征可能会关于时间、空间连续，那么应该重点考虑利用微分方程建立模型，至少空间连续，那么应该重点考虑利用微分方程建立模型，至少可以利用微分方程建立某些子问题的模型。可以利用微分方程建立某些子问题的模型。比如，问题中涉及到：比如，问

2、题中涉及到：(1) 物体的运动、振动、受力形变物体的运动、振动、受力形变(2) 生物生物(动植物、微生物动植物、微生物)的数量变化或密度变化的数量变化或密度变化(3) 物质、能量的扩散、传递物质、能量的扩散、传递(4) 消费品在市场上的销售过程消费品在市场上的销售过程(5) 信息的扩散与传播信息的扩散与传播导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微高层建筑、桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的自然环

3、境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或不同物质间的传导不同物质间的传导比如，问题中涉及到：比如，问题中涉及到：(1) 物体的运动、振动、受力形变；物体的运动、振动、受力形变；(2) 生物生物(动植动植物、微生物物、微生物)的数量变化或密度变化；的数量变化或密度变化；(3

4、) 物质、能量的扩散、传递；物质、能量的扩散、传递；(4) 消费品在市场上的销售过程；消费品在市场上的销售过程；(5) 信息的扩散与传播。信息的扩散与传播。导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制链问题；动植物

5、、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或不同物质间的传导程的描述，热量在同种或不同物质间的传导如果研究的是事物在一段时间内的变化情况，或者说在这个如果研究的是事物在一段时间内的变化情况，或者说在这个过程中发生了什么过程中发生了什么微分方程的求解和求数值解微分方程的求解和求数值解如果研究的是事物未来的发展趋势，稳态情形，或者无法如果研究的是事物未来的发展趋势，稳态情形，或者无法/无须获得精确的解无须获得精确的解可以利用微分方程几何理论可以利用微

6、分方程几何理论2、微分方程模型的分析方法、微分方程模型的分析方法3、方程的阶数、方程的阶数注意不同阶方程的实际意义注意不同阶方程的实际意义表达的是某个表达的是某个变量的增长速度变量的增长速度，与其，与其当前当前状态状态和和时间时间变量之间的关系。变量之间的关系。)(,()()1(kxkfkxkx 从几何的角度来理解，表达的是从几何的角度来理解，表达的是函数的导数函数的导数，与，与函数本身函数本身及及自自变量变量之间的关系。之间的关系。表达的是某个表达的是某个变量的增量变量的增量，与，与其其当前状态当前状态和和所处时间段所处时间段之间之间的关系。的关系。如果讨论的事物，有多个变量会如果讨论的事物

7、，有多个变量会随着时间变化，而且可以分析出随着时间变化，而且可以分析出这些变量的增长速度这些变量的增长速度与事物与事物当前当前状态状态和和时间变量时间变量之间的关系，可之间的关系，可以考虑建立一阶微分方程组。以考虑建立一阶微分方程组。)(),(),(,()()(),(),(,()()(),(),(,()(tztytxthtztztytxtgtytztytxtftx )(,()(txtftx 3、方程的阶数、方程的阶数二阶、二阶以上的常微分方程通常用于有运动的物理现象。二阶、二阶以上的常微分方程通常用于有运动的物理现象。通常经济、管理、生态系统等领域，较少有实际量会涉及到二通常经济、管理、生态系

8、统等领域，较少有实际量会涉及到二阶导数，即所谓的加速度。阶导数，即所谓的加速度。偏微分方程比较复杂，比如对于偏微分方程比较复杂，比如对于u(x,y)：u为产品销量；为产品销量；x为产为产品价格；品价格；y为广告宣传费用。为广告宣传费用。,2222yxuxyuxuxu 表示固定表示固定y时，时，u关于关于x的变化速度和加速度的变化速度和加速度表示表示u关于关于x的变化速度，在的变化速度，在y变化时的变化幅度变化时的变化幅度理解为：价格变动时销量的增幅，关于广告费理解为：价格变动时销量的增幅，关于广告费用的变化速度。用的变化速度。4、微分和差分方程模型的解、微分和差分方程模型的解（ 1）解析解（精

9、确解）解析解（精确解） 适用于线性系统和少量非线性系统（伯努利方程）适用于线性系统和少量非线性系统（伯努利方程）（2）数值解（近似解）数值解（近似解） 对于多数的线性系统和非线性系统，但不能对系统对于多数的线性系统和非线性系统，但不能对系统 的行为提供一个定性解释。的行为提供一个定性解释。（3）定性解（定性理论分析）定性解（定性理论分析） 用定性理论和稳定性理论分析系统在局部和全局用定性理论和稳定性理论分析系统在局部和全局 的动态行为。的动态行为。 定性理论适用于二维、三维系统。定性理论适用于二维、三维系统。 稳定性理论适用于高维系统。稳定性理论适用于高维系统。 5、微分模型和差分模型的建模方

10、法、微分模型和差分模型的建模方法1、根据规律建模根据规律建模利用数学、力学、物理、化学等利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立模型。学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立模型。2、用微元法建模用微元法建模利用已知的定理与规律寻求微元利用已知的定理与规律寻求微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。直接对函数及其导数应用规律。3、用模拟近似法建模用模拟近似法建模在生物、经济等学科的实际在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也问题中，许多现象的规律性不很

11、清楚，即使有所了解也是及其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现是及其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。6、微分模型的建模原理、微分模型的建模原理在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要

12、寻求的规律。微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一规律。微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲线。具体步骤如下：线。具体步骤如下：1、转化、转化实际问题中，有许多表示实际问题中，有许多表示“导数导数”的常用词，如的常用词，如“速率速率”、”增长增长“（在生物学以及人口问题研究中）、（在生物学以及人口问题研究中）、”衰变衰变“（在放射性问题中）以及（在放射性问题中）以及”边际的边际的“（在经济学中）等。（在经济学中）等。这些词就是信号，这个时候要注意是哪些研究对象这些词就是信号，这个时候要注意是哪些研究对象在

13、变化，对这些规律的表示微分方程也许就能用得上。在变化，对这些规律的表示微分方程也许就能用得上。考虑：我们所研究的对象是否遵循某些原考虑：我们所研究的对象是否遵循某些原则或物理定理呢？是应该用已知的定律呢？则或物理定理呢？是应该用已知的定律呢？还是必须去推导呢？大部分微分方程模型还是必须去推导呢？大部分微分方程模型符合下面的模式：符合下面的模式： 净变化率净变化率=输入率输入率输出率输出率2、准确性和总体特征、准确性和总体特征微分方程是一个在任何时刻都必须正确的微分方程是一个在任何时刻都必须正确的瞬时表达式，这是问题的核心。建立微分瞬时表达式，这是问题的核心。建立微分方程模型，首先要把注意力放在

14、方程文字方程模型，首先要把注意力放在方程文字形式的总关系上：形式的总关系上： 净变化率净变化率=输入率输入率输出率输出率或者：或者：变化率（微商）变化率（微商）=单位增加量单位增加量-单位减少量单位减少量等式通常是利用已有的原则或定律。等式通常是利用已有的原则或定律。3、单位、单位一旦确定了哪些子项应该列入微分方程中，一旦确定了哪些子项应该列入微分方程中，就要确保每一项都采用同样的物理单位。就要确保每一项都采用同样的物理单位。这是在建立微分方程过程中容易疏忽的问题。这是在建立微分方程过程中容易疏忽的问题。4、约束条件、约束条件约束条件是关于所研究对象在某一特定时刻约束条件是关于所研究对象在某一

15、特定时刻的信息（比如初始时刻），它们独立于微分的信息（比如初始时刻），它们独立于微分方程而存在。在建立微分方程模型后，利用方程而存在。在建立微分方程模型后，利用它们来确定模型中有关的常数，这些常数包它们来确定模型中有关的常数，这些常数包括比例系数、原微分方程的其他参数和解中括比例系数、原微分方程的其他参数和解中的积分常数。为了完整，充分地给出问题的的积分常数。为了完整，充分地给出问题的数学陈述，建模过程中应该将这些约束数学陈述，建模过程中应该将这些约束条件和微分方程一起写出。条件和微分方程一起写出。5、概念框架、概念框架前面阐述的都是使用微分方程建模的关键问题。当面临前面阐述的都是使用微分方程

16、建模的关键问题。当面临一个典型问题是，首先必须有一个明确的概念框架一个典型问题是，首先必须有一个明确的概念框架（建立其他模型也是如此），这个概念框架就是关键步骤。（建立其他模型也是如此），这个概念框架就是关键步骤。具体如下：具体如下：（1）把用语言描述的情况转化为文字方程。）把用语言描述的情况转化为文字方程。（2）陈述出所涉及的原则或物理定律。）陈述出所涉及的原则或物理定律。（3）建立微分方程，配备方程各子项的单位。）建立微分方程，配备方程各子项的单位。（4）给定约束条件，包括初始条件或其他条件。）给定约束条件，包括初始条件或其他条件。（5）给出微分方程的解。）给出微分方程的解。（6）求出微分

17、方程的常数。）求出微分方程的常数。（7）给出问题答案。）给出问题答案。（8）检验答案是否满足问题的要求。）检验答案是否满足问题的要求。在建模过程中，明确了概念框架，然后就是依次完成在建模过程中，明确了概念框架，然后就是依次完成框架中每一步所要做的事情。框架中每一步所要做的事情。7、建立微分方程模型的依据、建立微分方程模型的依据)()()()()()(tqytpxtytqytpxtx根据问题的背景资料，或者我们自己查到的资料，根据问题的背景资料，或者我们自己查到的资料，随着时间随着时间/空间的变化，问题中的某些指标的变化情况，与另外一些空间的变化，问题中的某些指标的变化情况，与另外一些指标的数值

18、或变化情况呈现比例关系，或其他的简单函数关指标的数值或变化情况呈现比例关系，或其他的简单函数关系系，则可以据此建立微分方程模型。，则可以据此建立微分方程模型。建立微分方程模型时，需要注意：建立微分方程模型时，需要注意：(1) 所建立的方程或方程组应满足守恒定律；所建立的方程或方程组应满足守恒定律；(2) 如果希望得到解析解进行深入分析，则尽量简化方程；如果希望得到解析解进行深入分析，则尽量简化方程；(3) 注意掌握微分方程几何理论，用于做定性的讨论；注意掌握微分方程几何理论，用于做定性的讨论；(4) 如果建立的是差分方程模型，也可以粗略的转化为微分如果建立的是差分方程模型，也可以粗略的转化为微

19、分方程进行定性讨论；方程进行定性讨论；(5) 微分方程属于比较理想化的建模方法，适合用于定性讨微分方程属于比较理想化的建模方法，适合用于定性讨论或精度要求不高的情形下。论或精度要求不高的情形下。)()()(txtctxttx8、案例、案例物体的运动、振动、受力形变物体的运动、振动、受力形变导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变制，弹性杆受力形变此类问题一般都可以参照经典的物理原理，建立微分方程模此类问题一般都

20、可以参照经典的物理原理，建立微分方程模型，在此基础上再考虑一些细节问题即可。比如往年美国竞型，在此基础上再考虑一些细节问题即可。比如往年美国竞赛题中的摩托车特技飞跃问题。赛题中的摩托车特技飞跃问题。其中其中 x 表示特技演员的位置向量，表示特技演员的位置向量，g 表示重力加速度，表示重力加速度，k 表示空气阻表示空气阻力系数，力系数，v 表示标量运动速度，表示标量运动速度，m 表示演员表示演员+车的质量。车的质量。运动方程不是模型的运动方程不是模型的难点，但却是一个关难点，但却是一个关键的基础问题。键的基础问题。6、案例、案例生物的数量变化或密度变化生物的数量变化或密度变化自然环境中植物的生长

21、，两种或多种生物之间的相互依赖、自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；促进，食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制传染病的传播与控制一个封闭的环境中，没有天敌的某种生物，其数量变化一般一个封闭的环境中，没有天敌的某种生物，其数量变化一般都可以假设服从都可以假设服从LogisticLogistic规律：规律：()dNraN Ndt(1)dNNrNdtK或或一个封闭的环境中，两个种群竞争，其数量变化一般都可以一个封闭的环境中，两个种群竞争，其数量变化一般都可以假设满足竞争模型：假设满足竞争模型：).1

22、()(),1 ()(NyMxytyNyMxrxtx0)0(),( )()(1 ()(iitititidttdi传染病或病毒的扩散，被感染者的数量变化一般可以用下面传染病或病毒的扩散，被感染者的数量变化一般可以用下面的模型表示：的模型表示：如果存在退出系统的情形，则被感染者的数量变化一般可以如果存在退出系统的情形，则被感染者的数量变化一般可以用下面的模型表示：用下面的模型表示： )( )( )()()()(tidtdrtititsdtdititsdtds 涉及到状态转变时，特别注涉及到状态转变时，特别注意系统的守恒问题！意系统的守恒问题！s i rSISIR222222div grad,CCCC

23、kCktxyz这里的不同之处在于，物质或能量是一定的，不会有新的物这里的不同之处在于，物质或能量是一定的，不会有新的物质或能量产生。比如不考虑重力影响时，空间中不同位置粉质或能量产生。比如不考虑重力影响时，空间中不同位置粉尘、烟雾的浓度变化可以用下面的扩散方程描述：尘、烟雾的浓度变化可以用下面的扩散方程描述：7、案例、案例物质、能量的扩散与传递物质、能量的扩散与传递粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或不同物质间的传导。化学反应过程的描述，热量在同种或不同物质间的传导。 中心室中心室周边室周边室给

24、药给药排除排除)(0tf111)(),(Vtxtc222)(),(Vtxtc12k21k13k)()(02211131121tfxkxkxktx2211122)(xkxktx药物在体内的传递与排出问题药物在体内的传递与排出问题 2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc8、案例、案例消费品在市场上的销售过程消费品在市场上的销售过程新产品入市之后，如果对销量进行预测？或者说，如何描述新产品入市之后，如果对销量进行预测？或者说，如何描述新产品占领市场的过程？新产品占领市场的过程？设需求量有一个上界，并记此上界为设需求量有一个上界，并记此上界

25、为K，记记 t 时刻已销售出的产品数量为时刻已销售出的产品数量为x(t)，则，则尚未使用的人数大致为尚未使用的人数大致为Kx(t)，则基于，则基于阻滞增长模型，可以认为：阻滞增长模型，可以认为：()dxx Kxdt记比例系数为记比例系数为k： ()dxkx Kxdt研究机构预测某种商品近期的销量时，一般采用线性估计办研究机构预测某种商品近期的销量时，一般采用线性估计办法给出销量区间。如果希望预测较长时间内的销量，则可以法给出销量区间。如果希望预测较长时间内的销量，则可以采用上面的形式。采用上面的形式。在预测商品的销量时，连续性模型一般不便于使用，在预测商品的销量时，连续性模型一般不便于使用，采

26、用离散形式的阻滞增长模型更方便一些。采用离散形式的阻滞增长模型更方便一些。xNxrdttdx)1()( ,2,1 ,0),1(1 kNyryyykkkk)1(1()1(1kkkyNrryry 如果考虑更复杂一些的情形，比如部分早期用户更新如果考虑更复杂一些的情形，比如部分早期用户更新对销量的影响，可以采用时滞微分方程。对销量的影响，可以采用时滞微分方程。xNxrdttdx)1()( ,2,1 ,0),1(1 kNyryyykkkk)1(1()1(1kkkyNrryry 考虑早期用户更新的因素，可以采用时滞微分方程。考虑早期用户更新的因素，可以采用时滞微分方程。)()()(1 ()(txtxNt

27、xrdttdx101) 1(1 () 1(kjjjkkkyyNrryry搜集数据，计算方程中的参数，即可得到销量的递推公式搜集数据，计算方程中的参数，即可得到销量的递推公式对于这些方程的求解都可以用对于这些方程的求解都可以用mathematics 8.0 来求，详见附件来求，详见附件1n2011高教社杯 A题题 城市表层土壤重金属污染分析城市表层土壤重金属污染分析n随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证

28、获得的海量数据资料开展城市环的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。日益成为人们关注的焦点。n按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、类区、2类区、类区、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。n现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的现对某城市城区土壤

29、地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（个采样点对表层土（010 厘米深度）进行取样、编号，并用厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。作为该城区表层土

30、壤中元素的背景值。附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？(1)对于地形分布可采用：对于地形分布可采用：Shepard插值方法，

31、插值方法，又称距离平方反比律或又称距离平方反比律或Kriging插值方法。插值方法。对于污染浓度同样采用散乱数据插值方法。对于污染浓度同样采用散乱数据插值方法。而对于污染程度评价指标可采用地质累积而对于污染程度评价指标可采用地质累积指数或内梅罗指数来评价。指数或内梅罗指数来评价。(2)污染原因分析可采用：相关性分析和聚类污染原因分析可采用：相关性分析和聚类分析处理分析处理具体细节可参看附件两篇参考文献！具体细节可参看附件两篇参考文献！(3)分析污染物的传播特征：建立扩散微分方程模型背景知识：环境介质一般是指在自然环境中能够传递物质和能量的媒介，空气，水，土壤是最基本的环境介质。尽管污染物在进入

32、不同的环境介质之后做着复杂的运动变化，但都是由以下几种基本形式组成的：1、随着介质的迁移运动2、污染物的扩散运动3、污染物的衰减与转化4、污染物被环境介质吸收或吸附5、污染物的沉淀1、迁移运动推流迁移是指污染物在气流或水流作用下产生的空间位置上的转移，单纯的推流作用不能降低污染物的质量和浓度2、污染物的扩散运动由分子的随机热运动引起的质点的扩散现象，分子扩散过程符合Fick第一定律，扩散物质量与其浓度梯度成正比,xxyyzzxxCCCJDJDJDxyzJ 为x方向上的扩散通量，表示在x方向上扩散物质通过单位截面的物质量，D 为x方向上分子扩散系数，指单位浓度梯度下物质在单位时间内通过单位面积的

33、量。由于扩散都是由浓度高处向浓度低处扩散，故取负梯度方向。3、污染物的衰减与转化污染物在环境中的衰减过程可用一级动力学规律描述，即dCKCdt 迁移迁移扩散扩散衰减衰减1、零维模型对于湖泊、某一河段或高空某一区域，当污染物浓度的空间差异可以忽略不计时，可以将所研究的环境单元视为一个污染物能在瞬时分散到空间各部位的连续流完全混合反应器，易得不含空间变量的平衡方程 即零维模型为：污染物传播的基本模型污染物传播的基本模型0QCQCsKVC0000=,dCQCQCSKVCdtVQCCrSdCQCQCrVdtdCrKCQCQCKCVdt V其中： 反应器的容积；流入流出反应器的物质流量输入介质中是污染物

34、浓度；输出介质中的污染物浓度污染物的衰减反应速度；非主要因素引起的污染物量的添加与衰减，如降雨，湖底渗漏当S 0时，即不考虑污染物的源和漏，V可修改为：V2l、一维模型当污染物浓度的空间分布只在一个方向上存在显著差异时，常采用一维模型来进行描述。一维模型是通过一个只在一个方向（设为 轴向）上存在浓度梯度的微小体积元的质量平衡推导的llCtxDluK其中：污染物浓度，它是时间 和空间位置 的函数向上扩散系数,断面平均流速污染物衰减速度常数2222lmlmCCCCCDDuuKCtlmlm3、二维模型：当污染物的浓度分布在横向也存在显著差异，需建立二维的模型，思路与一维模型一样，只是要同时考虑体积元

35、在两个方向上的质量平衡。222222+lmnlmnCCCCCCCDDDuuuKCtlmnlmn4、三维模型：当污染物在空间各方向都存在浓度梯度时，就需要建立三维模型，建模思路同前：利用上述基本模型，针对本题，我们可将模型修改为：利用上述基本模型，针对本题，我们可将模型修改为： 接下来只需利用回归分析方法对接下来只需利用回归分析方法对模型进行参数估计，最后再做模型模型进行参数估计，最后再做模型检验即可。检验即可。 模型的修改：模型的修改：9、微分方程定性分析方法简介、微分方程定性分析方法简介xNxrdttdx)1()( 不求解，直接分析解的一些性态。不求解，直接分析解的一些性态。1、x 只能取正

36、值；只能取正值；2、x 1时，时，t +则则 i(t) 1-1/。 画出解的图象为画出解的图象为 ：1，t +时时i(t) 0. =1-1/iti0i0模型结果分析模型结果分析ii00 t1 0。根据极限的定义，对于充分大的根据极限的定义，对于充分大的t，都应该有，都应该有i(t)/2，把这个结论代入方程组。，把这个结论代入方程组。 模型分析模型分析 )( )( )()()()(tidtdrtititsdtdititsdtds dr/dt=i /2 这会导致这会导致r(t)+，这跟上面，这跟上面r(t)的极限也存在的结的极限也存在的结论有矛盾。论有矛盾。所以只能有：所以只能有： i = 0 ，

37、即传染病最终将消失。，即传染病最终将消失。 其次，考虑随着其次，考虑随着t的变化，的变化，i-s平面上解的轨线变化平面上解的轨线变化情况。大概的走势图为：情况。大概的走势图为： 模型分析模型分析000ln1sssisii10 1/ s )( )( )()()()(tidtdrtititsdtdititsdtds =i10 1/ s)( ),( )()( ),()(tidtdrtititsdtdititsdtds s0 1/ 时，时，i(t) 先升后降至先升后降至0传染病蔓延传染病蔓延s0 1/ 时，时，i(t) 单调降至单调降至0传染病不会蔓延开来传染病不会蔓延开来n1/1/是一个边界点，为了

38、让传染病不蔓延，是一个边界点，为了让传染病不蔓延，需要调整需要调整s s0 0和和1/1/。具体的方法：一是降低。具体的方法：一是降低s s0 0，如接种疫苗，使，如接种疫苗，使S S类人群直接变成类人群直接变成R R类；类；n二是提高二是提高1/1/使之大于使之大于s s0 0，=/ /, ,也就也就是降低是降低而提高而提高，强化卫生教育和隔离病，强化卫生教育和隔离病人，同时提高医疗水平。人，同时提高医疗水平。 模型分析模型分析对参数对参数的估计：的估计：令解两端同时取令解两端同时取t+t+，因为，因为 i i = 0 = 0 ，得到，得到 参数估计参数估计000ln1sssisi 0ln1

39、000 sssis ssss00lnln 根据历史数据和此公式就可以得到根据历史数据和此公式就可以得到的估计值。的估计值。 关于传染病模型，我们还可以进一步考虑更复杂的情关于传染病模型，我们还可以进一步考虑更复杂的情形，如考虑出生率、死亡率、防疫措施的作用、潜伏形，如考虑出生率、死亡率、防疫措施的作用、潜伏期等。期等。 其他类型的传染病模型其他类型的传染病模型nSIES模型模型健康染病潜伏期健康不免疫健康染病潜伏期健康不免疫nSIER模型模型健康染病潜伏期移出系统健康染病潜伏期移出系统nSIRS模型模型健康染病短时免疫健康健康染病短时免疫健康(易感易感)n考虑抵抗能力考虑抵抗能力n考虑地域传播

40、考虑地域传播n考虑传播途径考虑传播途径(接触、空气、昆虫、水源等接触、空气、昆虫、水源等) 对象仍是动态过程，建模目的变成了时间充分对象仍是动态过程，建模目的变成了时间充分长以后会如何？即研究事物最终的发展趋势。长以后会如何？即研究事物最终的发展趋势。 借助微分方程稳定性理论，不求解微分方程，借助微分方程稳定性理论，不求解微分方程，描述事物某些特征的最终稳定状态。描述事物某些特征的最终稳定状态。稳定性模型稳定性模型比如，商品的价格与其价值的变化关系；食肉动物比如，商品的价格与其价值的变化关系；食肉动物与草食性动物数量的变化规律；侵入人体的病菌与与草食性动物数量的变化规律；侵入人体的病菌与白血球

41、的数量变化关系。白血球的数量变化关系。随着时间的推移，最终的结局是什么？随着时间的推移，最终的结局是什么？微分方程稳定性方法建模微分方程稳定性方法建模稳定性模型稳定性模型 由于诸多偶然因素以及参数变化的影响，通常微由于诸多偶然因素以及参数变化的影响，通常微分方程用来做长期预测，效果并不够好，在精度上分方程用来做长期预测，效果并不够好，在精度上难以让人满意。如各种人口模型。难以让人满意。如各种人口模型。 不过即便误差很大，但微分方程稳定性模型反映不过即便误差很大，但微分方程稳定性模型反映出来的发展趋势还是有借鉴意义的。出来的发展趋势还是有借鉴意义的。 另外，很多微分方程稳定性模型的最终目的并不另

42、外，很多微分方程稳定性模型的最终目的并不是预测，而是寻找控制手段。是预测，而是寻找控制手段。事物发展的稳定与不稳定事物发展的稳定与不稳定t这些现象在现实中都有实用背景和研究价值这些现象在现实中都有实用背景和研究价值一、常微分方程稳定性理论一、常微分方程稳定性理论1、一阶微分方程、一阶微分方程 方程右端不显含方程右端不显含t)()(xftx . 0)( )(0 xxf记记作作的的实实根根，：代代数数方方程程奇奇点点平平衡衡点点 的的；否否则则是是不不稳稳定定的的。是是稳稳定定则则称称总总满满足足的的解解稳稳定定性性：若若 ,(t) lim )()(00 xxxtxxfxt 平衡点稳定的几何特征t

43、xx0稳定不稳定一阶微分方程一阶微分方程通常判断平衡点稳定性有两种方法，通常判断平衡点稳定性有两种方法，直接求解法直接求解法和和定定性分析法性分析法。定性分析法定性分析法1、若方程为线性，即、若方程为线性，即 f(x) = ax + b，则，则 a 0不稳定；不稳定；2、若方程为非线性，即、若方程为非线性，即 x ( t ) = f(x) ，考虑，考虑 f (x0) 。 f (x0) 0不稳定。不稳定。)()(00 xxxfxf 2、二阶微分方程、二阶微分方程),()(xxtftx ),()()(yxtftyytx所以讨论二阶微分方程的稳定性往往就归结为对二所以讨论二阶微分方程的稳定性往往就归

44、结为对二维一阶方程组的讨论维一阶方程组的讨论 ),()(),()(212211xxgtxxxftx二阶微分方程二阶微分方程 ),()(),()(212211xxgtxxxftx求方程组的平衡点，即求解求方程组的平衡点，即求解 0),(0),(2121xxgxxf下面设法给出下面设法给出P0稳定的判断准则。稳定的判断准则。),(,02010022011xxPxxxx记记为为设设解解得得实实根根为为 .)(lim,)(lim0220110 xtxxtxPtt 稳稳定定，则则应应有有：若若二阶微分方程二阶微分方程 ),()(),()(212211xxgtxxxftx首先将方程组线性化：首先将方程组线

45、性化： )()()()()()(0220011020220011012121xxPgxxPgtxxxPfxxPftxxxxx其系数矩阵为：其系数矩阵为： 2121xxxxggffA二阶微分方程二阶微分方程02 qp 矩矩阵阵的的特特征征方方程程：021| )(Pxxgfp | Aq 2121xxxxggffA二阶微分方程的稳定性由二阶微分方程的稳定性由 p 和和 q 的正负决定。的正负决定。p 0 且且 q 0 时平衡点时平衡点 P0 稳定；稳定；p 0 或或 q 0且且x2(t)0，相应的相轨线应保持在第一象限中。相应的相轨线应保持在第一象限中。0t求（求（3.313.31）的相轨线）的相轨

46、线将两方程相除消去时间将两方程相除消去时间t，得：，得：1111222221()()dxx rxdxxrx分离变量并两边积分得轨线方程：分离变量并两边积分得轨线方程：22 111 212()()rxrxx ex eS（3.32）令令22 111()()rxxx e11 222()()rxxx e两者应具有类似的性质用微积分知识容易证明：用微积分知识容易证明：(0)()0 220r212rx1( )0 x212rx1( )0 x212rxmax有：有：同理：对同理：对2()x121rx有：有：max11rm1( )x2x20 x21x0图3-20 (b)22rma)(1x1x10 x11x0图3

47、-20 (a) 与与 的图形见图的图形见图3-20)(1x)(2x易知仅当易知仅当 时（时（3.32）才有解）才有解maxmaxS记：记：12002121,rrxx讨论平衡点讨论平衡点 的性态。的性态。),(0201xx当当 时，轨线退化为平衡点。时，轨线退化为平衡点。maxmaxS当当 时，轨线为一封闭曲线（图时，轨线为一封闭曲线（图3-21），），即周期解。即周期解。maxmaxS2x1x1x10 x002x0P1x图图3-21证明具有周期解。证明具有周期解。 只需证明：存在两点只需证明：存在两点 及及 ， 当当 x1 时，方程（时，方程（3.32）有两）有两 个解，当个解，当x1= 或或

48、x1= 时，方程恰时，方程恰 有一解，而在有一解，而在x1 时，方时，方 程无解。程无解。1x1x 1x1x 1x1x 1x 1x1x1x 事实上，若事实上，若 ，记，记maxmaxSmax0maxS，则，则由由 的性质，的性质， ， 而而 ，使得：，使得：)(1x11xx 、011xx 011xx )()(11xx。同样根据的性质知，当。同样根据的性质知，当 x1 时时1x1x )(1x。此时：。此时：max1max12)()()(xxSx)(2x由由 的性质，的性质， ，使，使 成立。成立。22xx 、12( ) ()xxS1x1x 当当x1= 或或 时，时， ，)(1xmax1max12

49、)()()(xxSx仅当仅当 时才能成立。时才能成立。022xx 而当而当x1 时，由于时，由于 ，1x1x )(1xmax1max12)()()(xxSx故故 无解。无解。12( ) ()xxS得证。得证。确定闭曲线的走向确定闭曲线的走向21121221:rlxrlx用直线用直线将第一象限划分成四个子区域将第一象限划分成四个子区域在每一子区域，在每一子区域， 与与 不变号，据此确定轨线的走向（图不变号，据此确定轨线的走向（图3-22） 1x 2x 2x1x图图3-221200 xx1200 xx1200 xx1200 xx将将Volterra方程中的第二个改写成：方程中的第二个改写成：222

50、 12xrxx 将其在一个周期长度为将其在一个周期长度为T的区间上积分，得的区间上积分，得001022110()ln( )( )tTtx tTrTx t dtx t 等式左端为零，故可得：等式左端为零，故可得：002121( )tTtrx t dtT同理：同理：001211( )tTtrx t dtT平衡点平衡点P P的两个坐标恰为的两个坐标恰为食用鱼与食肉鱼在一个食用鱼与食肉鱼在一个周期中的平均值。周期中的平均值。解释解释DAncona发现的现象发现的现象 引入捕捞能力系数引入捕捞能力系数，（，（01），），表示单位时间表示单位时间内捕捞起来的鱼占总量的百分比。故内捕捞起来的鱼占总量的百分比

51、。故Volterra方程应为：方程应为：111112111112222212222212()()xr xx xxrxx xxr xx xxrxx x 平衡点平衡点P的位置移动到了：的位置移动到了：2121,rrP由于捕捞能力系数由于捕捞能力系数的引入，的引入，食用鱼的平均量有了增加，食用鱼的平均量有了增加，而食肉鱼的平均量却有所下而食肉鱼的平均量却有所下降，降，越大，平衡点的移动越大，平衡点的移动也越大。也越大。食用鱼的数量反而食用鱼的数量反而因捕捞它而增加，因捕捞它而增加，真的是这样？！真的是这样？！ P-P模型导出的结果虽非绝对直理，但在一定程度上是附模型导出的结果虽非绝对直理，但在一定程

52、度上是附合客观实际的，有着广泛的应用前景。例如，当农作物发生病合客观实际的，有着广泛的应用前景。例如，当农作物发生病虫害时，不要随随便便地使用杀虫剂，因为杀虫剂在杀死害虫虫害时，不要随随便便地使用杀虫剂，因为杀虫剂在杀死害虫的同时也可能杀死这些害虫的天敌，（害虫与其天敌构成一个的同时也可能杀死这些害虫的天敌，（害虫与其天敌构成一个双种群捕食系统），这样一来，使用杀虫剂的结果会适得其反双种群捕食系统），这样一来，使用杀虫剂的结果会适得其反，害虫更加猖獗了。，害虫更加猖獗了。 （3）捕鱼对食用鱼有利而对食肉鱼不利，多捕鱼（）捕鱼对食用鱼有利而对食肉鱼不利，多捕鱼（当然要在一定限度内，如当然要在一定

53、限度内，如1( 11( 21)不稳定不稳定 11 20而且而且q02.2 平衡点的稳定性平衡点的稳定性根据前面的方法不能给出各个平衡点全部的稳定性根据前面的方法不能给出各个平衡点全部的稳定性条件。条件。下面对下面对 1 和和 2 分情况讨论平衡点的稳定性条件。分情况讨论平衡点的稳定性条件。 考虑转到相平面上，即在考虑转到相平面上，即在 x1 - x2 平面上研究平面上研究方程解沿着方程解沿着 t 增加所表现出的趋势。增加所表现出的趋势。x1(t) = r1x1(1-x1/N1- 1x2/N2)x2(t) = r2x2(1- 2x1/N1-x2/N2)可知，在任意时刻，可知，在任意时刻， x1(

54、t)和和x2(t)是增是减由是增是减由 =1-x1/N1- 1x2/N2 和和 =1- 2x1/N1-x2/N2 决定。决定。1、 11S1S2S3O N1/ 2 N1 x1x2N2/ 1N2=0=0这时这时 =0 和和 =0 将相平将相平面分为三个区域：面分为三个区域：S1：x10, x20;S2：x10, x20;S3：x10, x21，21，P2稳定 3、 11，21，21，方程的解不存在统一的发展趋势。)/1()()/1()(2211222222111111NxNxxrtxNxNxxrtx 一一(2)生物互惠共生模型生物互惠共生模型甲乙两种群的相互依存有三种形式甲乙两种群的相互依存有三

55、种形式1) 1) 甲可以独自生存，乙不能；甲乙一起甲可以独自生存，乙不能；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。生存时相互提供食物、促进增长。2) 2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。存时相互提供食物、促进增长。3) 3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。存时相互提供食物、促进增长。第一种情形第一种情形模型模型假设假设 甲可以独自生存，数量变化服从甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律规律; 甲乙一甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。起生存时乙为甲提供食物、促进增长。 乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用促进增长；