数学分析 含参量反常积分（课堂PPT）

1、2 含参量反常积分 与函数项级数相同, 含参量反常积分的重要内容是判别含参量反常积分的一致收敛性. 在相应的一致收敛的条件下, 含参量反常积分具有连续性, 可微性, 可积性. 含参量反常积分的一致收敛性的判别法与函数项级数的一致收敛性的判别法类似.四、含参量无界函数的反常积分 三、含参量反常积分的性质 二、含参量反常积分一致收敛性的判别 一、含参量反常积分的一致收敛性 一含参量反常积分一致收敛性( ,)f x y ,)RJc 设函数设函数定义在无界区域定义在无界区域上上, 其中其中J,xJ 是任意区间是任意区间. 若若反常积分反常积分 ( )( ,)d(1)cI xf x yy都收敛，则都收敛

2、，则( )I xJ是是上的函数上的函数. . 称称(1)为定义在为定义在J上的含参量上的含参量 x 的无穷限反常积分的无穷限反常积分, 或称或称含参量反常积分含参量反常积分. 定义定义1 若含参量反常积分若含参量反常积分(1)与函数与函数 I(x)对对0 , ,Nc MN ,xJ 使得当使得当时时, 对一切对一切 都有都有 ( ,)d( ),Mcf x yyI x 即即( ,)d,Mf x yy 则称含参量反常积分则称含参量反常积分(1)在在J上一致收敛于上一致收敛于I(x), 或简或简 单地说含参量积分单地说含参量积分(1)在在J上一致收敛上一致收敛. ( )( ,)dcI xf x yyJ

3、注注1 由定义由定义, 在在 上一致收敛的上一致收敛的 充要条件是充要条件是 ()sup( , )d0().Ax JAf x yyA ( )( ,)dcI xf x yyJ注注2 由定义由定义, 在在 上不一致收敛上不一致收敛 的充要条件是的充要条件是 000,McAMxJ 及及00(,)d.Af xyy 例例1 讨论含参量反常积分讨论含参量反常积分 0ed ,(0,)xyxy x的一致收敛性的一致收敛性. . 解解 若若0,xuxy令令则则 ede de,xyuxAAxAxyu于是于是0,)( )suped1,xyAxAxy 因此因此, 含参量积分在含参量积分在(0,) 上非一致收敛上非一致

4、收敛. ,)( )supede0(),xyAAxAxyA 因此因此, 该含参量积分在该含参量积分在 ,) 上一致收敛上一致收敛.而对于任何正数而对于任何正数 , 有有 二含参量反常积分一致收敛性的判别 定理定理19.7 (一致收敛的柯西准则一致收敛的柯西准则) 含参量反常积分含参量反常积分(1) , a b0,Nc 在在上一致收敛的充要条件是上一致收敛的充要条件是: 12,AAN , ,xa b使得当使得当时时, 对一切的对一切的都有都有 21( ,)d.(3)AAf x yy 证证 必要性必要性 ( )( ,)dcI xf x yyJ若若 在在上一致收敛上一致收敛, 则则0,NcANxJ 及

5、及有有 ( ,)d( ),2Acf x yyI x 因此因此,12,A AN 2121( ,)d( ,)d( ,)dAAAAccf x yxf x yxf x yx11( ,)d( )( ,)d( )AAccf x yxI xf x yxI x .22 21( ,)d.AAf x yy 则令则令 2,( ,)d.MAf x yy 得得 ( )( ,)dcI xf x yyJ这就证明了这就证明了在在上一致收敛上一致收敛.例例2 证明含参量反常积分证明含参量反常积分0sind(4)xyyy充分性充分性 若若120,NcMAAN ,)(0), 上上一一致致收收敛敛 其其中中(0,)在在但在但在 内内

6、不一致收敛不一致收敛. . 证证 作变量代换作变量代换,uxy得得sinsindd , (5)AAxxyuyuyu0,A0sinduuu其中其中由于由于收敛收敛, 故对任给的正数故对任给的正数, AM 总存在某一实数总存在某一实数M , 当当时就有时就有sind.Auuu ,MAMA 则则当当时时, ,0 ,x 对对 取取 由由 (5) 式式sind,Axyyy 所以所以(4)在在 0 x 上一致收敛上一致收敛.现证明现证明(4) 在在(0,)内不一致收敛内不一致收敛. 由一致收敛定由一致收敛定义的注义的注2, 只要证明只要证明: 存在某一正数存在某一正数 0, 使得对任何使得对任何(0,)

7、,x使得使得()McAM, 总相应地存在某个总相应地存在某个及某个及某个实数实数由于非正常积分由于非正常积分0sinduuu收敛收敛 (在本节例在本节例6 中我们中我们 将求出这个积分的值将求出这个积分的值), 故对故对000,M 与与总总 0,x 使得使得00sinsindd,Mxuuuuuu 即即0( ,)d.Af x yy 现令现令001sind ,2uuu 由由(5)及不等式及不等式(6)的左端就有的左端就有000sinsindd2.MMxxyuyuyu所以所以(4)在在(0,)内不一致收敛内不一致收敛.收敛之间的联系有下述定理收敛之间的联系有下述定理.关于含参量反常积分一致收敛性与函

8、数项级数一致关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致定理定理19.8 含参量反常积分含参量反常积分(1)在在J上一致收敛的充要上一致收敛的充要 0000sinsinsinddd.(6)Mxuuuuuuuuu 1(nAA其其中中条件是条件是: 对任一趋于对任一趋于的递增数列的递增数列111(, )d( )(7)nnAnAnnf x yyux J0, ,Mc证证 必要性必要性 由由(1)在在上一致收敛上一致收敛, 故故AAM时时，,xJ使得当使得当对一切对一切总有总有( ,)d.(8)AAf x yy 函数项级数函数项级数),c在在J上一致收敛上一致收敛, 其中其中1( )( , )d .nn

9、AnAuxf x yy 又由又由(),nAn所以对正数所以对正数M, 存在正整数存在正整数N,mnN.mnAAM只要当只要当时时, 就有就有由由(8)对一切对一切 ,xJ就有就有11( )( )( ,)d( ,)dmnmnAAnmAAuxuxf x yyf x yy1( ,)d.mnAAf x yy 这就证明了级数这就证明了级数(7)在在J上一致收敛上一致收敛.充分性充分性 用反证法用反证法. 假若假若(1)在在J上不一致收敛上不一致收敛, 则则 00 , ,Mc AAMxJ和和，对对使得使得0(,)d.AAf xyy 1211max1, ,McAAM则则存存在在1 , ,xa b及及 现取现

10、取使得使得 2110(,)d.AAf xyy 一般地一般地, 取取2(1)max ,(2) ,nnMn An则有则有221,nnnnAAMxJ及及 使得使得2210(,)d.(9)nnAnAf xyy nAlimnnA 由上述所得到的数列由上述所得到的数列是递增数列是递增数列, 且且111( )( ,)d .nnAnAnnuxf x yy0, ,nN由由(9)式知存在正数式知存在正数对任何正整数对任何正整数N, 只要只要 就有某个就有某个0,xJ 使得使得21220()(,)d.nnAnnnAuxf xyy 这与级数这与级数(7)在在J上一致收敛的假设矛盾上一致收敛的假设矛盾. 故含参量故含参

11、量现在考虑级数现在考虑级数 .反反常积分在常积分在J上一致收敛上一致收敛.注注 由定理由定理19.8, 含参量反常积分可看作连续型的函含参量反常积分可看作连续型的函函数项级数函数项级数.它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿, 我们我们下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法. 它它用柯西准则证明魏尔斯特拉斯用柯西准则证明魏尔斯特拉斯M判别法和狄利克雷判别法和狄利克雷判别法判别法. . 阿贝耳判别法的证明留给读者阿贝耳判别法的证明留给读者. .魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 M 判别法判别法 设有函数设有函数 g(y),

12、使得使得 ( ,)( ) ,.f x yg yxJ cy 若若( )d( ,)dccg yyf x yyJ收收敛敛, ,则则在在上一致收敛上一致收敛.( )dcg yy 收收敛敛, ,12,NcA AN证证 由于由于21( )d.AAg yy 因此因此12, , ,A ANxc d及及 2211( , )d( )d.AAAAf x yxg yy 从而从而 ( ,)dcf x yyJ在在上一致收敛上一致收敛.狄利克雷判别法狄利克雷判别法 设设(i) 对一切实数对一切实数 ,Nc含参量正常积分含参量正常积分( ,)dNcf x yy J对参量对参量 x 在在 上一致有界上一致有界, 即存在正数即存

13、在正数M, 对一切对一切,Nc,xJ 及一切及一切都有都有( ,)d;Ncf x yyM,xJ ( ,)g x y(ii)对每一个对每一个函数函数关于关于 y 单调且当单调且当则含参量反常积分则含参量反常积分( ,) ( ,)dcf x y g x yy在在J上一致收敛上一致收敛.证证 0,().2NcANg AM 有有时时, 对参量对参量 x , ( ,)g x y一致收敛于一致收敛于0,y 于是于是, 12,A AN 由积分第二中值定理，由积分第二中值定理，21( , ) ( , )dAAf x y g x yy 221112()( , )d()( , )dAAAAg Af x yyg A

14、f x yy221112()( , )d()( , )dAAAAg Af x yyg Af x yy 221112()( , )d()( , )dAAAAg Af x yyg Af x yy .22MMMM ( ,) ( ,)dcf x y g x yyJ由一致收敛的柯西准则由一致收敛的柯西准则,在在上一致收敛上一致收敛.阿贝耳判别法阿贝耳判别法 设设(i) ( ,)dcf x yyJ在在上上一一致致收收敛敛；,xJ ( ,)g x y(ii) 对每一个对每一个函数函数为为 y 的单调函数的单调函数, 且且( ,)g x yJ对对参量参量 x,在在上一致有界上一致有界,则含参量反常积分则含参量

15、反常积分( ,) ( ,)dcf x y g x yy在在J上一致收敛上一致收敛.例例3 证明含参量反常积分证明含参量反常积分20cosd(10)1xyxx在在(,) 上一致收敛上一致收敛.证证 由于对任何实数由于对任何实数 y 有有22cos1,11xyxx 及反常积分及反常积分20d1xx 收敛收敛, 故由魏尔斯特拉斯故由魏尔斯特拉斯M判判 别法别法, 含参量反常积分含参量反常积分(10)在在(,) 上一致收敛上一致收敛. 0sined(11)xyxxx在在0,d上一致收敛上一致收敛.证证 由于反常积分由于反常积分0sindxxx 收敛收敛(当然当然, 对于参量对于参量y,0,d( ,)e

16、xyg x y 它在它在上一致收敛上一致收敛), 函数函数对每一对每一例例4 4 证明含参量反常积分证明含参量反常积分0,xd 0,0ydx 个个单调单调, 且对任何且对任何都有都有( ,)e1.xyg x y 故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分(11)在在0 , d上一致收敛上一致收敛. .例例5 证明证明: 若若( ,) , ,)f x ya bc 在在上连续上连续, 又又( ,)dcf x yy( ,)dcf x yy在在 , )a b上收敛上收敛, 但在但在 处发散处发散, 则则 xb 在在 , )a b上不一致收敛上不一致收敛.证证 用反证法用反证法

17、. 假若积分在假若积分在 , )a b上一致收敛上一致收敛, 则对于则对于0 , ,Mc ,A AM 任给任给总存在总存在当当时对一切时对一切 , )xa b 恒有恒有( ,)d.AAf x yy ( ,) , ,f x ya bA A 在在( ,)dAAf x yy因因上连续上连续, 所以所以x,xb 是是的连续函数的连续函数. 在上面不等式中令在上面不等式中令 得到当得到当 AAM 时时,( ,)d.AAf b yy ( ,)dcf x yyxb 而而是任给的是任给的, 因此因此 在在处收敛处收敛, ( ,)dcf x yy , )a b这与这与假设矛盾假设矛盾. 所以积分所以积分 在在上

18、上不一致收敛不一致收敛.三、含参量反常积分的性质定理定理19.9 (含参量反常积分的连续性含参量反常积分的连续性)设设( ,) ,)f x yJc 在在上连续上连续, 若含参量反常积分若含参量反常积分( )( ,)d(12)cI xf x yy nA证证 由定理由定理19.8, 对任一递增且趋于对任一递增且趋于 的数列的数列 在在 J 上一致收敛上一致收敛, 则则 I (x) 在在 J 上连续上连续. . 1() ,Ac 函数项级数函数项级数 111( )( ,)d( )(13)nnAnAnnI xf x yyuxJ( ,) ,)f x yJc 在在在在上一致收敛上一致收敛. . 又由于又由于

19、 上连上连续续, , 故每个故每个 ( )nuxJ都都在在上连续上连续. 根据函数项级数的根据函数项级数的连续性连续性定理定理, 函数函数 I (x) 在在 J 上连续上连续. . 这个定理也证明了在一致收敛的条件下这个定理也证明了在一致收敛的条件下, 极限运算极限运算 与积分运算可以交换与积分运算可以交换: :00lim( ,)d(,)dccxxf x yyf xyy0lim( ,)d .(14)cxxf x yy定理定理19.10 (含参量反常积分的可微性含参量反常积分的可微性) ( ,)( ,)xf x yfx y与与 ,)Jc 设设在区域在区域 上连续上连续. 若若 ( )( ,)dc

20、I xf x yyJ( ,)dxcfx yyJ在在 上收敛上收敛, , 在在上一致收敛上一致收敛, 则则I (x) 在在 J 上可微上可微, 且且 ( )( ,)d(15)xcI xfx yy 1(),nAAc 证证 对任一递增且趋于对任一递增且趋于 的数列的数列令令1( )( ,)d .nnAnAuxf x yy由定理由定理19.3推得推得 1( )( ,)d .nnAnxAuxfx yy( , )dcf x yy由由在在J上一致收敛及定理上一致收敛及定理19.8, 可得函数可得函数 项级数项级数111( )( ,)dnnAnxAnnuxfx yy在在 J上一致收敛上一致收敛, 因此因此根据

21、函数项级数的逐项求导根据函数项级数的逐项求导 定理定理, , 即得即得111( )( )( ,)d( ,)d ,nnAnxxAcnnI xuxfx yyfx yy或写作或写作d( ,)d( ,)d ,dccf x yyf x yyxx最后结果表明在定理条件下最后结果表明在定理条件下, 求导运算和积分运算求导运算和积分运算 可以交换可以交换. , ,)a bc ( )( ,)dcI xf x yy , a b上连续上连续, ,若若 在在 上一致收敛上一致收敛, 则则I (x)在在 , a b 上可积上可积, 且且 d( ,)dd( ,)d ,(16)bbaccaxf x yyyf x yx ,

22、a b 上可积上可积.又由定理又由定理19.9的证明中可以看到的证明中可以看到, 函数项级数函数项级数(13)在在 , a b( ) , nuxa b在在上一致收敛上一致收敛, 且各项且各项 上连续上连续, 因此因此证证 由定理由定理19.9知道知道 在在 , a b上连续上连续, 从而从而I (x)在在 ( )I x定理定理19.11 (含参量反常积分的可积性含参量反常积分的可积性) 设设 在在( ,)f x y111( )d( )dd( ,)dnnbbbAnaaaAnnI xxuxxxf x yy11d( ,)d ,(17)nnAbAanyf x yx这里最后一步是根据定理这里最后一步是根

23、据定理19.6关于积分顺序的可交关于积分顺序的可交 换性换性. (17)式又可写作式又可写作 ( )dd( ,)d .bbacaI xxyf x yx这就是这就是(16)式式. .根据函数项级数逐项求积定理根据函数项级数逐项求积定理, , 有有( ,)daf x yxy关关于于 ,c d(i) 在任何在任何 上一致收敛上一致收敛, ( ,)dcf x yy , a b 关于关于 x 在任何在任何 上一致收敛上一致收敛; (ii)积分积分 d( ,)dd( ,) d(18)accaxf x yyyf x yx与与中有一个收敛中有一个收敛. . 则必有则必有d( ,)dd( ,)d(19)acca

24、xf x yyyf x yx . .( ,)f x y ,) ,)ac 定理定理19.12 设设在在上连续上连续, 且且 d( ,)dacxf x yy也收敛也收敛. dc 当当时时, ,d( ,)dd( ,)dddcaacIyf x yxxf x yyd( , )dd( , )dddcaacyf x yxxf x yyd( , )dadxf x yy证证 不妨设不妨设 (18) 中第一个积分中第一个积分收敛收敛, ,由此推得由此推得 根据条件根据条件(i)及定理及定理19.11, , 有有d( , )ddadIxf x yyd( , )dd( , ) d . (20)AadAdxf x yy

25、xf x yy由条件由条件(ii), 对于任给的对于任给的 0 ,GaAG 有有使使当当时时, ,d( ,)d.2Adxf x yy 有有( ,)d.2()df x yyAa 把这两个结果应用到把这两个结果应用到(20)式式, 得到得到,22dI 使得当使得当 时有时有dM选定选定A 后后, 由由 ( ,)dcf x yy的一致收敛性的一致收敛性, 存在存在Mc, 即即lim0 ,ddI 这就证明了这就证明了(19)式式.例例6 计算计算0sinsined(0,).pxbxaxIxpbax解解 因为因为sinsincosd ,babxaxxy yx所以所以0sinsinedpxbxaxIxx0

26、ecosd dbpxaxy yx0decosd .(21)bpxaxxy yecosepxpxxy 0edpxx由于由于及反常积分及反常积分 收敛收敛, 根根据据M判定法判定法, 含参量反常积分含参量反常积分 0ecosdpxxy x , a becospxxy 在区间在区间 上一致收敛上一致收敛. .由于由于 在在 0,) , a b 上连续上连续, 根据定理根据定理19.11交换积分交换积分(21) 的顺序的顺序, 积分积分I 的值不变的值不变. 于是于是 220decosddbbpxaapIyxy xypyarctanarctan.bapp 例例7 计算计算0sind .axxx解解 在

27、上例中在上例中, 令令 b = 0, 则有则有0sin( )edarctan(0).(22)pxaxaF pxpxp由阿贝耳判别法可得上述含参量反常积分在由阿贝耳判别法可得上述含参量反常积分在 0p 上上 一致收敛一致收敛. 于是由定理于是由定理19.9,( )0F pp 在在上连续上连续, 且且0sin(0)d .axFxx又由又由(22)式式00(0)lim( )lim arctansgn.2ppaFF pap 例例8 计算计算 20( )ecosd .(23)xrrx x 22ecosexxrx解解 由于由于 对任一实数对任一实数r成立及反常积成立及反常积20edxx (,)r分分收敛收

28、敛, 所以积分所以积分(23)在在 上上收敛收敛. . 2200ecosdesind .(24)xxrrxxxrx x由于由于 22esine0 ,xxxrxxxr对一切对一切成立及反常积分成立及反常积分20edxxx收敛收敛, 根据根据M判定法判定法, 含含参量参量反常积分反常积分(24)在在 (,)上一致收敛上一致收敛.考察含参量反常积分考察含参量反常积分综合上述结果由定理综合上述结果由定理19.10即得即得2200( )esindlimesindAxxArxrx xxrx x 220011limesinecosd22AAxxArxrrx x 20ecosd( ) .22xrrrx xr

29、于是有于是有2ln ( )ln ,4rrc 24( )e.rrc (0),c 20(0)ed,2xx 从而从而 又由又由(23)式式,24( )e.2rr ,2c 因此得到因此得到所以所以四、含参量无界函数的反常积分设设( ,) ,)f x yRJc d在在区区域域上有定义上有定义. 若对若对x的某的某些些值值, y = d 为函数为函数( ,)f x y的瑕点的瑕点, 则称则称( ,)d (25)dcf x yy为含参量为含参量x的无界函数反常积分的无界函数反常积分, 或简称为含参量反或简称为含参量反常积分常积分. 若对每一个若对每一个 ,xJ积分积分(25)都收敛都收敛, 则其积则其积xJ在在上取值的函