数学建模的思想和方法

1、 数学建模的思想和方法数学建模的思想和方法 主讲人：杨树国主讲人：杨树国 1.1 1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型1.2 1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义1.3 1.3 数学建模示例数学建模示例1.4 1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤1.5 1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类1.6 1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模1.1.数学建模的思想和方法数学建模的思想和方法2.2.数学建模竞赛的的思想和方法数学建模竞赛的的思想和方法 2.1 2.1 参赛目的和原则参赛目的和原则 2.2 2.2 数学建模队伍的组织数学建模队伍的组织2.3 2

2、.3 建模竞赛的步骤和方法建模竞赛的步骤和方法 2.4 2.4 注意事项注意事项 玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物。的替代物。 模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征。中人们需要的那一部分特征。1.1 1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型 启示：启示：

3、很多同学，尤其是非数学专业的同学，把数学很多同学，尤其是非数学专业的同学，把数学建模看得很神秘，总以为它高深莫测，其实并非建模看得很神秘，总以为它高深莫测，其实并非如此如此。实际上，数学建模就是发生在我们身边的实际上，数学建模就是发生在我们身边的事情，可能你不经意间就在进行着数学建模和求事情，可能你不经意间就在进行着数学建模和求解，只不过你不知道罢了。解，只不过你不知道罢了。 可以毫不夸张地说：可以毫不夸张地说：数学建模无时不在，无处不在数学建模无时不在，无处不在! !数学建模无时不在，无处不在数学建模无时不在，无处不在! ! 用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列

4、出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/ /小时小时. .航行问题航行问题: :甲乙两地相距甲乙两地相距750750千米，船从甲到乙顺水航行千米，船从甲到乙顺水航行需需3030小时，从乙到甲逆水航行需小时，从乙到甲逆水航行需5050小时，问船的速度是多小时，问船的速度是多少少? ?x =20y = 5求解求解数学建模无时不在，无处不在数学建模无时不在，无处不在! ! 航行问题求解过程分析航行问题求解过程分析: 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表示船速

5、和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间） 列出数学式子（二元一次方程）；列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。在解决这个问题的过程中，我们经历了如下的步骤：在解决这个问题的过程中，我们经历了如下的步骤：实际上，上述过程就是数学的建模和求解过程，连这实际上，上述过程就是数学的建模和求解过程，连这样的小问题都是数学建模的问题，那么关于数学建模样的小问题都是数学建模的问题，那么关于数学建模的广泛性和普遍性，大家

6、就可想而知了。的广泛性和普遍性，大家就可想而知了。 数学模型和数学建模数学模型和数学建模对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）u数学模型数学模型(Mathematical Model) (Mathematical Model) u数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)Mathematica

7、l Modeling) 1.2 1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展；电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。来越受到人们的重视。 在一般工程技术领域数学建模大有用武之地；在一般工程技术领域数学建模大有用武之地； 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学进入一些新领域，为数学建模开辟

8、了许多处女地。 数学建模的具体应用数学建模的具体应用 分析与设计分析与设计预报与决策预报与决策控制与优化控制与优化规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼 1.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗? ?问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形呈正方形; ; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; ; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚地

9、面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。同时着地。 模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )xBADCOD C B A 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCDABCD绕绕O O点旋转点旋转四个距离四个距离(四只脚

10、四只脚)两个距离两个距离正方形正方形对称性对称性 f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , , f f( ( ), ), g g( ( ) )至少一个为至少一个为0 0数学问题数学问题已知：已知：f f( ( ),),g g( ( ) )是是连续函数连续函数 ; ;对任意对任意 ， f f( ( ) )g g( ( )=0;)=0;且且g g( (0 0)=0)=0，f f( (0 0)0. )0. 证明：存在证明：存在 0 0，使，使f f( ( 0 0)=)=g g( ( 0 0)=0.)=0.地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三

11、只脚着地模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 将椅子旋转将椅子旋转90900 0，对角线，对角线ACAC和和BDBD互换。由互换。由g g( (0 0)=0)=0，f f( (0 0)0)0，知，知f f( ( /2/2)=0, )=0, g g( ( /2/2)0.)0.令令h h( ( )=)=f f( ( ) )g g( ( ),),则则h h(0)0(0)0和和h h( ( /2/2)0.)0.由由f,gf,g的的连续性知连续性知h h为连续函数为连续函数, ,据连续函数的基本性质据连续函数的基本性质, ,必存在必

12、存在 0 0, ,使使h h( ( 0 0)=0,)=0,即即f f( ( 0 0)=)=g g( ( 0 0).).因为因为f f( ( ) )g g( ( )=0,)=0,所以所以f f( ( 0 0)=)=g g( ( 0 0)=0.)=0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键: : 和和f f( ( ),),g g( ( ) )的确定的确定. .模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法 1.3.2 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题问题( (智力游戏智力游戏) ) 3 3名商人名商人 3 3名随从名随从随从们密约随从们密约, , 在河的任一岸在

13、河的任一岸, , 一旦随从的人数比商人多一旦随从的人数比商人多, , 就杀人越货就杀人越货. .但是乘船渡河的方案由商人决定但是乘船渡河的方案由商人决定. .商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河? ?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策: : 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人员船上的人员要求要求: : 在安全的前提下在安全的前提下( (两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有限经有限步使全体人员过河步使全体人员过河. .河河小船小船( (至多至多2 2人人) ) 模型构成模型构成X Xk k-第第k k次渡河前此岸

14、的商人数次渡河前此岸的商人数y yk k-第第k k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, s sk k=(=(x xk k , y, yk k)-)-过程的状态过程的状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S-S-允许状态集合允许状态集合u uk k-第第k k次渡船上的商人数次渡船上的商人数v vk k-第第k k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk , vk)决策决策D=(D=(u u ,v,v) ) u+vu+v= =1,2-1,2-允许决策集合允许决策集合uk, vk=

15、0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k-状态转移律状态转移律求求d dk k D(D(k k=1,2,=1,2,n),n),使使s sk k S,S,并按并按转移律转移律由由s s1 1=(3,3)=(3,3)到达到达s sn n+1+1=(0,0).=(0,0).多步决策多步决策问题问题 模型求解模型求解xy3322110穷举法穷举法-编程上机编程上机图解法图解法状态状态s s=(=(x,yx,y)-16)-16个格点个格点 -10 -10个点个点允许决策允许决策 -移动移动1 1或或2 2格格; ;k k奇奇, ,左或下移左或下移;k;k偶偶, ,右或上移右或上移.

16、 .s1sn+1d d1 1, , ，d d1111给出安全渡河方案给出安全渡河方案评注和思考评注和思考规格化方法规格化方法, ,易于推广易于推广d1d11允许状态允许状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2 背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 19991625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口( (亿亿) 5 10 20 30 40 50 60) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1

17、908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 20001908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口( (亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长1.3.3 如何预报人口的增长如何预报人口的增长 指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (1798)常用的计算公式常用的计算公式kkrxx)1 (0 x x( (t t)-)-时刻时刻t t的人口的人口基

18、本假设基本假设 : : 人口人口( (相对相对) )增长率增长率 r r 是常数是常数trtxtxttx)()()(今年人口今年人口x x0 0, ,年增长率年增长率r rk k年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长 指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与1919世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于适用于1919世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于

19、短期人口增长预测 不符合不符合1919世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据 人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数( (逐渐下降逐渐下降) ) 阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic(Logistic模型模型) )人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设) 0,()(srsxrxrr r-固有增长率固

20、有增长率( (x x很小时很小时) )x xm m-人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1 ()(mxxrxrr r是是x x的减函数的减函数mxrs 0)(mxr rxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x x( (t t)-S)-S形曲线形曲线, , x x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) ) 参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预

21、报，必须先估计模型参数 r r 或或 r, xr, xm m 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位例：美国人口数据（单位-百万）百万） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计r=0.2557/10, xm=392.1阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) ) 模型检验模型检验把模型计算结果把模型计算结果 与实际数据比较与实际数据比较10./ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxx

22、rxxxxx实际为实际为281.4(281.4(百万百万) )5 .274)2000(x模型应用模型应用-预报美国预报美国2010年的人口年的人口加入加入20002000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数r=0.02490, xm=434.0 x(2010)=306.0阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) ) 数学建模的基本方法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”, ,通过对量测数据的通过对量测数据的统计

23、分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习。我们所指的建模主要指机理分析。来学习。我们所指的建模主要指机理分析。二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构, ,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确

24、建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的问题问题 模模型型假假设设针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥想像力发挥想像力使用类比法使用类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据

25、的稳定性分析模型对数据的稳定性分析模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检验模型的合理性、适用性模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证( (归纳归纳) )( (演绎演绎) )表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学问题题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学

26、模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答实践实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论理论实践实践 1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的渐进性模型的强健性模型的强健性模型的可转移性模型的可转移性模型的非预制性模型的非预制性模型的条理性模型的条理性模型的技艺性模型的技艺性模型的局限性模型的局限性数学模型的特点数学模型的特点 应用领域应用领域人口、交通、经济、生态人口、交通、经济、生态数学方法数学方法初等数学、微分方程、规划、统计

27、初等数学、微分方程、规划、统计表现特性表现特性描述、优化、预报、决策描述、优化、预报、决策建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续数学模型的分类数学模型的分类 1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型学习、分析、评价、改进别人作过的模型 亲自动手，认真

28、作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目 2.2.数学建模竞赛的的思想和方法数学建模竞赛的的思想和方法 全国大学生数学建模竞赛是由教育部高等教育司和中国工全国大学生数学建模竞赛是由教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会共同主办的面向大学生的课外科技活动业与应用数学学会共同主办的面向大学生的课外科技活动, ,是是全国高校规模最大的课外科技活动之一全国高校规模最大的课外科技活动之一, ,居教育部四大学科竞居教育部四大学科竞赛之首。赛之首。 本竞赛在每年本竞赛在每年9 9月月( (一般在中旬某个周末的星期五至下周星一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共期一共3 3天，天，7272小时）举行，竞

29、赛面向全国大专院校的学生，小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）。可以参加）。 2008 2008 年全国有年全国有3131个省个省/ /市市/ /自治区自治区( (包括香港包括香港)1023)1023所院校、所院校、1284612846个队（其中甲组个队（其中甲组1038410384队、乙组队、乙组24622462队）、队）、3 3万万8 8千多名千多名来自各个专业的大学生参

30、加竞赛，是历年来参赛人数最多的来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参赛人数最多的一次！可以说，大学生数学建模竞赛是我国高等教育改革的一次！可以说，大学生数学建模竞赛是我国高等教育改革的一次成功实践。一次成功实践。 2.1 2.1 参赛目的和原则参赛目的和原则提高对数学知识应用性的认识提高对数学知识应用性的认识提高对专业知识应用性的认识提高对专业知识应用性的认识培养应用能力和探索精神培养应用能力和探索精神培养创新意识和创新精神培养创新意识和创新精神提高独立解决问题的能力提高独立解决问题的能力提高分析问题解决问题的能力提高分析问题解决问题的能力培养团队精神培养团队精神培养编程能力培养编程能力 提

31、高表达及写作能力提高表达及写作能力参赛目的参赛目的参赛原则参赛原则继承和创新相结合的原则继承和创新相结合的原则理论与实践相结合的原则理论与实践相结合的原则普遍和特殊相统一的原则普遍和特殊相统一的原则分工和合作相统一的原则分工和合作相统一的原则 2.2 2.2 数学建模队伍的组织数学建模队伍的组织组队时，要统筹兼顾，充分利用现有的师生资源。既组队时，要统筹兼顾，充分利用现有的师生资源。既要考虑到每个队伍中学生的年级情况，又要考虑到其要考虑到每个队伍中学生的年级情况，又要考虑到其学生的学习情况、专业背景等，一般来讲，三个学生学生的学习情况、专业背景等，一般来讲，三个学生最好来自不同的专业，每个队伍

32、中既要有理论知识雄最好来自不同的专业，每个队伍中既要有理论知识雄厚的学生又要有编程能力较强的学生，既要有精通理厚的学生又要有编程能力较强的学生，既要有精通理工科知识又要有文笔出众的学生，对于教师亦是如此，工科知识又要有文笔出众的学生，对于教师亦是如此，既要考虑到教师的经验和能力既要考虑到教师的经验和能力，又要考虑到教师的年又要考虑到教师的年龄和体力，既要考虑到与学生的熟悉和默契程度，又龄和体力，既要考虑到与学生的熟悉和默契程度，又要考虑到师生的专业，保证师生资源的合理配置，使要考虑到师生的专业，保证师生资源的合理配置，使师生资源能够最大地得到利用，确保参赛队伍具有很师生资源能够最大地得到利用，

33、确保参赛队伍具有很强的战斗力。强的战斗力。 2.3 2.3 数学建模竞赛的步骤和方法数学建模竞赛的步骤和方法 数学建模竞赛数学建模竞赛一般在每年一般在每年9 9月中旬举行月中旬举行( (某个周末的星期五至某个周末的星期五至下周星期一共下周星期一共3 3天，天，7272小时小时。周一上午在网上递交电子版的竞周一上午在网上递交电子版的竞赛论文）。赛论文）。 20092009年数学建模竞赛定于年数学建模竞赛定于9 9月月1111日上午日上午8 8：0000开始，赛题将同开始，赛题将同时在时在全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛、高等教育出版社高等教育出版社和和中国数模中国数模以以及及数学中国

34、数学中国等网站发布。等网站发布。 (1)(1)选题选题 拿到赛题后，学生和指导教师要一起来分析和研究各个赛题，拿到赛题后，学生和指导教师要一起来分析和研究各个赛题，要根据各赛题的难易程度和知识成分并结合本队学生的知识特要根据各赛题的难易程度和知识成分并结合本队学生的知识特点和特长来进行选题。点和特长来进行选题。 (2)(2)赛题分解赛题分解 对赛题进行必要的分解，然后根据学生的专业、知识结构和对赛题进行必要的分解，然后根据学生的专业、知识结构和能力进行合理的分工，谁干什么，怎么干，都要心中有数。要能力进行合理的分工，谁干什么，怎么干，都要心中有数。要有主要负责建模的，主要负责编程的，主要负责写

35、作的。但切有主要负责建模的，主要负责编程的，主要负责写作的。但切记分工是相对的，合作是绝对的，怎么配合，怎么互相帮助，记分工是相对的，合作是绝对的，怎么配合，怎么互相帮助，事先都要有充分的考虑。事先都要有充分的考虑。 (3)(3)查阅资料查阅资料 在开始解决各个问题之前，所有学生都必须要先查阅资料，在开始解决各个问题之前，所有学生都必须要先查阅资料，只有掌握具有针对性的第一手资料、阅读和理解了资料，工只有掌握具有针对性的第一手资料、阅读和理解了资料，工作才能进行下去。查阅资料时，可以利用作才能进行下去。查阅资料时，可以利用goolegoole和和baidubaidu等搜等搜索引擎搜索相关网页，

36、也可以通过校园网图书馆内电子资源索引擎搜索相关网页，也可以通过校园网图书馆内电子资源中的中的CNKICNKI数据库，维普科技期刊，万方数据数据库，维普科技期刊，万方数据等数据库来查找等数据库来查找相关的期刊论文和学位论文。相关的期刊论文和学位论文。 (4)(4)分题求解分题求解 一般每个问题都包括建立模型、编程求解和答案书写等三一般每个问题都包括建立模型、编程求解和答案书写等三个部分，建模时个部分，建模时, ,三个学生要合作，要一起来进行思考和分三个学生要合作，要一起来进行思考和分析，搭建出模型的基本框架，然后把具体的细节问题交给负析，搭建出模型的基本框架，然后把具体的细节问题交给负责建模的学

37、生，此时负责编程的学生要基本上了解模型的结责建模的学生，此时负责编程的学生要基本上了解模型的结构，对于一些问题如包括哪些变量、变量之间的关系如何、构，对于一些问题如包括哪些变量、变量之间的关系如何、要采用什么样的算法来求解等等都要心中有数，并且开始动要采用什么样的算法来求解等等都要心中有数，并且开始动手编程，负责写作的学生要把问题分析、模型假设、符号说手编程，负责写作的学生要把问题分析、模型假设、符号说明等框架写出来。明等框架写出来。 (4)(4)模型的验证和修改模型的验证和修改 建立模型、制定算法、编程求解后，一般来说，所得建立模型、制定算法、编程求解后，一般来说，所得到的结果与问题的实际理

38、想值都会有一定的出入，甚至到的结果与问题的实际理想值都会有一定的出入，甚至有时所得的结果非常离谱，简直不可思议。此时一定不有时所得的结果非常离谱，简直不可思议。此时一定不要慌，大家要集中起来认真分析，一个问题一个问题地要慌，大家要集中起来认真分析，一个问题一个问题地去排除，如可以先检查一下模型是不是有问题，是不是去排除，如可以先检查一下模型是不是有问题，是不是在建模的时候有些因素没有考虑到；如果模型没有什么在建模的时候有些因素没有考虑到；如果模型没有什么问题，那么再检查一下程序编写得是不是有问题等等，问题，那么再检查一下程序编写得是不是有问题等等，一个正确模型的建立，肯定不会一蹴而就的，要经过

39、不一个正确模型的建立，肯定不会一蹴而就的，要经过不断的修改和反复验证，直至与问题相符合为止。断的修改和反复验证，直至与问题相符合为止。 （5 5）论文成稿与修改）论文成稿与修改 常言道：常言道：“编框编篓，全在收口编框编篓，全在收口”，一个模型建立的好坏，一个模型建立的好坏固然很重要，但是最后论文的书写也非常重要，要注意用标固然很重要，但是最后论文的书写也非常重要，要注意用标准的数学语言来进行表述，各个问题的解答基本上都要包括准的数学语言来进行表述，各个问题的解答基本上都要包括这样几个部分：问题分析，问题假设，符号说明（通用的符这样几个部分：问题分析，问题假设，符号说明（通用的符号在前面统一说

40、明，具体各分题的符号在各个问题解答之前号在前面统一说明，具体各分题的符号在各个问题解答之前说明）等等，每个问题的叙述都应具有独立性和自含性，即说明）等等，每个问题的叙述都应具有独立性和自含性，即阅卷人单独阅览某个问题时不需要阅读全文，就能获得该问阅卷人单独阅览某个问题时不需要阅读全文，就能获得该问题必要的信息。题必要的信息。 整篇论文要内容完整，论点鲜明突出，论据充分确凿，论整篇论文要内容完整，论点鲜明突出，论据充分确凿，论述条理清楚，分析透彻，具有说服力；整个推导过程要严谨，述条理清楚，分析透彻，具有说服力；整个推导过程要严谨，实验曲线、模拟结果和结论正确；要语言准确，语句通顺，实验曲线、模

41、拟结果和结论正确；要语言准确，语句通顺，行文流畅，叙述简明扼要，层次清晰，结构严谨；撰写规范，行文流畅，叙述简明扼要，层次清晰，结构严谨；撰写规范，格式正确，曲线的线条要均匀清晰、整洁美观，问题分析假格式正确，曲线的线条要均匀清晰、整洁美观，问题分析假设、建立模型等各栏目齐全、合理，没有遗漏项目。设、建立模型等各栏目齐全、合理，没有遗漏项目。 一篇好的论文要经过不断的修改才能最终定稿、上交。一篇好的论文要经过不断的修改才能最终定稿、上交。 2.4 2.4 注意事项注意事项(1)(1)选题要慎重选题要慎重 一般来讲，选好了赛题后，除非万不得已，不要轻易一般来讲，选好了赛题后，除非万不得已，不要轻

42、易换题，因为每个竞赛试题都有很大的难度，在规定的时换题，因为每个竞赛试题都有很大的难度，在规定的时间内完成任务，压力很大、时间很紧张、基本上都不够间内完成任务，压力很大、时间很紧张、基本上都不够用，半道换题就不更用说了。用，半道换题就不更用说了。(2)(2)资料要充足资料要充足 很多学生不喜欢查资料，上来就开始进行赛题的分析很多学生不喜欢查资料，上来就开始进行赛题的分析和研究，要时刻牢记：兵马未动、粮草先行。资料就是和研究，要时刻牢记：兵马未动、粮草先行。资料就是我们的粮草！我们的第一个任务就是要查阅大量的资料。我们的粮草！我们的第一个任务就是要查阅大量的资料。 (3)(3)要合理分配时间，解答过程要全面要合理分配时间，解答过程要全面 各个问题的解答基本上都要包括问题分析，问题假设，各个问题的解答基本上都要包括问题分析，问题假设，符号说明，建立模型，模型求解，模型验证等几个部分，符号说明，建立模型，模型求解，模型验证等几个部分，有很多学生把工作的重点都放在了前一两个问题，对后面有很多学生把工作的重点都放在了前一两个问题，对后面问题的建模和求解不