高二数学归纳推理和类比推理课件

1、高二数学归纳推理和类比推理高二数学归纳推理和类比推理猜想猜想 有人对有人对33108以内且大过以内且大过6之偶数一一进行验之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想算，哥德巴赫猜想(a)都成立。都成立。 高二数学归纳推理和类比推理 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理年证明的，称为陈氏定理(Chens Theorem).“任何任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积而后者仅仅是两个质数的乘积”,通常都简称这个通常都简称这个结果为大偶数可表示为结果为大偶数可表示为 “1+

2、2”的形式。的形式。 1920年，挪威的布朗证明了年，挪威的布朗证明了“9+9”。 1924年，德国的拉特马赫证明了年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。 1932年，英国的埃斯特曼证明了年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。 200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠明珠”。到了到了20世纪世纪20年代，才有人开始向它靠近。年代，才有人开始向它靠近。 高二数学归纳推理和类比推理 1637年，法国数学家费马提出：年，法国数学家费马提出： “将一个立将一个立方数分为两个立方数的和，一

3、个四次幂分为两个方数分为两个立方数的和，一个四次幂分为两个四次幂的和，或者一般地将一个高于二次的幂分四次幂的和，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂的和，这是不可能的为两个同次的幂的和，这是不可能的.” 300多年来，这个问题吸引了很多优秀数学家，多年来，这个问题吸引了很多优秀数学家，法国科学院曾于法国科学院曾于1816年和年和1850年两次悬赏征解，年两次悬赏征解，德国也于德国也于1908年悬赏十万马克征解。年悬赏十万马克征解。 经过三百多年来历代数学家的不断努力，剑桥大经过三百多年来历代数学家的不断努力，剑桥大学怀尔斯终于学怀尔斯终于1995年正式彻底解决这一大难题年正式彻底解决这

4、一大难题.高二数学归纳推理和类比推理 1852年，弗南西斯年，弗南西斯格思里搞地图着色工作时，格思里搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。不同的颜色。” 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的亿判断，终于完成了四色定理的证明。证明。 不少数学家并不满足于计算

5、机取得的成就，他不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。 高二数学归纳推理和类比推理 这种由某类事物的这种由某类事物的对象具有某些特征，推对象具有某些特征，推出该类事物的出该类事物的对象都具有这些特征的推理，对象都具有这些特征的推理，或者由或者由事实概括出事实概括出结论的推理，称为结论的推理，称为（简称（简称）.部分整体部分整体个别个别 一般一般高二数学归纳推理和类比推理 例例1.已知数列已知数列an的第的第1项项a1=1，且，且（n=1 , 2 , ),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式.11nnn

6、aaa分别把分别把n=1,2,3,4代入代入 得得:11nnnaaa23451111,2345aaaa 归纳归纳:1nan 可用可用证明证明这个猜想是正确的这个猜想是正确的.取倒数得：取倒数得：1111 nnaa高二数学归纳推理和类比推理例例2.如图如图,在圆内画一条线段在圆内画一条线段,将圆分成两部分将圆分成两部分;画两画两条线段条线段,彼此最多分割成彼此最多分割成4条线段条线段,同时将圆分割成同时将圆分割成4部分部分;画三条线段画三条线段,彼此最多分割成彼此最多分割成9条线段条线段,同时将同时将圆分割成圆分割成7部分部分.那么那么(1)在圆内画四条线段在圆内画四条线段,彼此最多分割成彼此最

7、多分割成 条线段条线段?同时将圆分割成同时将圆分割成 部分部分?1611高二数学归纳推理和类比推理(2)猜想猜想:圆内两两相交的圆内两两相交的n(n2)条线段条线段,彼此最多分彼此最多分割成割成 条线段条线段?同时将圆分割成同时将圆分割成 部分部分?2n21(2)2nn(2)(1)2ff(4)(3)4ff(3)(2)3ff( )(1)f nf nn 累加得累加得:( )(1)234f nfn 高二数学归纳推理和类比推理例例3.有三根针和套在一根针上的若干金属片有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下按下列规则列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.

8、每次只能移动一个金属片每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测试推测:把把n个金属片从个金属片从1号针移到号针移到3号针号针,最少需要最少需要移动多少次移动多少次?123高二数学归纳推理和类比推理123(1)1f n=1时时,高二数学归纳推理和类比推理123(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f 高二数学归纳推理和类比推理123(3)7f n=3时时,(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f 高二数学归纳推理和类比推理1233(2)1(2)ff 1 3(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f (3)fn=3

9、时时,高二数学归纳推理和类比推理123(3)f 15 n=4时时,n=3时时,(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f (3)7f (2)1(2)ff 1 (3)f(4)f 高二数学归纳推理和类比推理(4)f 15n=4时时,n=3时时,(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f (3)7f (2)1(2)ff 1,1( )2 (1)1,2nf nf nn (3)1(3)ff 归纳归纳:( )21nf n 高二数学归纳推理和类比推理例、数列例、数列an满足满足a1=1， an+1 =2an+1 ，求，求通项公式通项公式an .数列数列是首项为是首项为2公比为公比为 的的12nna 2

10、1nna 高二数学归纳推理和类比推理(2004春季上海春季上海)根据图中根据图中5个图形及相应点的个数个图形及相应点的个数的变化规律的变化规律,试猜测第试猜测第n个图形中有个图形中有 个点个点.(1)(2)(3)(4)(5)21nn高二数学归纳推理和类比推理(2005年广东年广东)设平面内有设平面内有n条直线条直线(n3),其中有且仅其中有且仅有两条直线互相平行有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点任意三条直线不过同一点.若若用用f(n)表示这表示这n条直线交点的个数条直线交点的个数,则则f(4)= ,当当n4时时,f(n)= .(用用n表示表示)5(3)(2)2ff(4)(3)3ff(5

11、)(4)4ff( )(1)1f nf nn 累加得累加得:( )(2)234(1)f nfn 1(2)(1)2nn高二数学归纳推理和类比推理高二数学归纳推理和类比推理2.归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题一般性命题(猜想猜想).（简称（简称）?部分整体部分整体个别个别 一般一般高二数学归纳推理和类比推理 1.已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn , 且且 计算计算S1 , S2 , S3 , S4 ,并猜想并猜想Sn的表达式的

12、表达式.12,3a 12(2).nnnSanS12,3S 23,4S 34,5S 456S 猜想猜想:12nnSn 计算得计算得:高二数学归纳推理和类比推理2.归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题一般性命题(猜想猜想).?部分整体部分整体特殊特殊 一般一般高二数学归纳推理和类比推理高二数学归纳推理和类比推理高二数学归纳推理和类比推理圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等

13、与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等, ,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0) )为圆心为圆心, r, r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2 = r= r2 2圆心与弦圆心与弦( (非直径非直径) )中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面( (圆面圆面) )的圆心的连线垂直于截面的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积与球心距离不相等的两截面面积不相等不相

14、等, ,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )为球心为球心, r, r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2 2+(z-z+(z-z0 0) )2 2 = r= r2 2利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积3 34 4V = RV = R3 3球的表面积球的表面积2 2S = 4RS = 4R圆的周长圆的周长 S = 2RS = 2R圆的面积圆的面积2 2S S = =R R高二数学归纳推理和类比推理平面向量平面向量空间向量空间向量a

15、 bab ab ab 112233(,) a bab ab ab 112233(,) aaaaR 123(,)()a b ababab 1 12 23 3 a bab ab abR 112233/,() ababa ba b 1 12 23 30若若 ， 则则 aa a a123( , , )bb b b123( , , )abab ab1122(,)1122abab ab(,)aaaR 12(,)()a ba ba b1 122 a bab abR 1122/,()aba ba b1 1220若若 ， 则则 12aa a (,)bb b12(,)2212|aaa222123|aaaa 高二数

16、学归纳推理和类比推理等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公式通项公式前前n项和项和12)nnaadn（()nmaanm d11()2(1)2nnn aaSn nnad1:2)nnaaq n（n mnmaa q11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq1(1)naand11nnaa q高二数学归纳推理和类比推理等差数列等差数列等比数列等比数列中项中项性质性质22nmn maaa 22nmn maaa 任意实数任意实数a、b都有等都有等差中项差中项 ，为，为2ba当且仅当当且仅当a、b同号时才同号时才有等比中项有等比中项 ，为，为ab232,mmmmmSSSSS成等差数列成等差数列232

17、,mmmmmSSSSS成等比数列成等比数列下标等差下标等差,项等差项等差下标等差下标等差,项等比项等比高二数学归纳推理和类比推理DABC2222BCDABCACDADBSSSS 高二数学归纳推理和类比推理PAPBPCPA PB PC（2004广东，广东，15） 由图由图(1)有面积关系有面积关系:则由图则由图(2)有体积关系有体积关系:PA BPABSPAPBSPA PB PA B CPABCVV PB BA APB BA AC C图图(1)图图(2)高二数学归纳推理和类比推理三角形三角形ABC中，中，2222cosabcbcA 空间：空间：四面体四面体A-BCD中，中，ABCD设二面角设二面角B-AC-D，C-AD-B，D-AB-C的大小依次为的大小依次为 123,22221232cos2cos2cosBCDABCACDABDABCACDACDABDABDABCSSSSSSSSSS高二数学归纳推理和类比推理例例2：(2005年全国年全国)计算机中常用的十六进位制计算机中常用的十六进位制是逢是逢16进进1的计算制，采用数字的计算制，采用数字0-9和字母和字母A-F共共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应个计数符号，这些符