张鸿庆 - 中国传统文化与现代数学

1、中国传统文化与现代数学 数学、武侠、周易、禅宗 张鸿庆大连理工大学2010.11一、数学的三境界与四体系苏 武 慢仙峰绝壁，攀登无数，往往到头虚老；支离破碎，细微末节，多少青春废了；鲸吞碧海，芥纳须弥，中西合璧最好，只凭这微分代数，消融那纤维同调；谁听得，千尺崖前，百丈悬冰，杜宇一声春晓？黑洞路远，夸克关深，行人原自稀少；体系我立，定理自出，此心可通天道；寻根本，识破源流，自有人间真宝。数学难，数学之难，难于上青天，正入万山圈子里，一山才过一山拦。雾里看花，水中望月，无法掌握这变幻莫测的书中世界。人们心中呼喊：“借我一双慧眼吧，让我把这一切看得明明白白，清清楚楚，真真切切！”慧眼何来？谁听得，

2、千尺崖前，百丈悬冰，杜宇一声春晓？鲸吞碧海，芥纳须弥，中西合璧最好只凭这微分代数，消融那纤维同调黑洞路远，夸克关深，行人原自稀少；体系我立，定理自出，此心可通天道寻根本，识破源流，自有人间真宝 这首词的关键是 “寻根本，识破源流。 体系我立，定理自出，中西合璧最好。” 学数浑似学参禅，一经领悟便超然。 五灯会元东方亮，光芒四射照人间。学 数 参 禅破除迷信 张扬自我 众生平等 皆可成佛解粘去缚 方便接引 就近取譬 随机化寻真参实证 圆融无碍 以心传心 心心相印因缘契合 自悟本心 明心见性 见性成佛体验 开悟 解脱 飞升唯天是我师 唯心通天道教学 = 接引 武侠小说是接引的道具数 学 神 功化功

3、大法妙无穷 乾坤挪移显神通 孤独九符孤独剑 九阴九阳有真经非忘象者则无以制象 非遗数者则无以极数至精者无筹策而不可乱 至变者体一而无不周 至神者寂然而无不应 斯盖功用之母 象数之所由立 故曰非至精至变至神则不可得与于斯也 独 孤 九 符R+D B=CA 独孤九符R+D B=CA 独孤九符从线性到非线性数到变系数）从交换到非交换（常系从齐次到非齐次解微分方程言 数 明 理数理同源 理数相倚 理由数显 数自理出物无妄然 必由其理 理一分殊 月映万川知书达理 理在书外 穷心尽性 尽性知天孤独九符 六脉神剑 统之有宗 会之有元言数者必先明理 数与道非二本也事物的性质是将事物与其他事物区分的基本属性内积

4、 双线性 对称外积 双线性 反对称有象斯有对 对必反其为 有内必有外 外者内之对导数 线性 Leibniz 法则1122( , )x yx yx y1221xyx yx y六 脉 神 剑不学数无以言不学理无以立不知哲学无以知根本不知历史无以知源流不知大美无以知天地不知命无以为君子也-()() -()() -()() -()()()0ABBAabca c ba b cbcab a cb c acabc b ac a babcbcacab 反对称 双线性若c和b垂直，在a方向必为零，c和a垂直类似。学数=修道=参禅悟道； 教学=接引 武侠小说是接引的道具林震南 岳不群 风清扬 教学法总教头 掌门人

5、 不及华山背后隐身人南慕容 北乔峰 不及少林无名扫地僧少林七十二绝技与武学障 学武要兼修佛法内力障 六脉神剑与北冥神功 九阳真经与乾坤大挪移 北冥神功以积蓄内力为第一要义，内力既厚天下武学无不为我所用。 犹之北冥，大舟小舟无不载，大鱼小鱼无不容， 是故内力为本，招数为末。 不学数， 无以言； 不学理，无以立；不知哲学无以知根本，不知历史无以知源流，不知大美无以知天地，不知命无以为君子也。数学神功=天眼通 凌空飞渡+降龙十八掌 独孤九剑 化功大法 乾坤大挪移 天眼通，凌空飞渡=数学心学=数学禅宗数学心学=为学者当自立门庭 体系我立，定理自出 六经当注我，我何注六经听数学不如读数学 读数学不如自己

6、做出来山歌都是心中出 哪有船装水载来向大师学习=与大师过招少林寺的功夫要打出山门魔教十长老尽破五岳派剑法。 独孤九剑精义：对手必有破绽，料敌机先。鸠摩智动用十六门少林绝技，虚竹只一招黑虎掏心。郭靖与欧阳克 东邪西毒 玉箫铁筝 箫筝合奏 比拼内功 天山风烈 碧海潮生 天使魔鬼 移魂夺情 骚人雅士 闻声起舞 凡夫俗子 闭耳塞听 大智若愚 自立门庭 敲敲截断 变调抗争 在音律变化的空隙之间，随手一击旋律立 刻大乱 Galois之后 代数变调 我虽武功不如人 只要窥出他人剑中空虚破绽 窥出变化节奏中之关键，便不难以弱击强， 将他剑路一击而断，此即独孤九剑精要。 道理如此精妙 ，又如此简单， 奈何天下武

7、学之士竟薄此而不为， 此即剑术与剑意、武功与武道区别之所在。禅宗=体验 开悟 解脱 飞升禅是一种体验，一种达到开悟的理论和方法从枷锁到自由的道路，把单调法乏味的生活，索然平凡的生命变为艺术的充满真实内容的创造真理不立文字 书外别传 以心传心 心心相印就近取譬 随机化寻 真参实证 圆融无碍云门一曲，金口风范，一语截断，万声皆消。解粘去缚 方便接引 因缘契合 自悟本心破除迷信 张扬自我 众生平等 皆可成佛文字障 石中坚与侠客行 禅作者思想 读者思想 道可道，非常道 凌空虚渡抽象语言 抽象语言 书降龙十八掌 = 由周易产生的武功 独孤九剑,化功大法, 乾坤大挪移。 独孤九剑是天下武学的总纲。一招包一

8、路，无招胜有招。将天下武学分类，每类有一个破解模式。敌强愈强，遇上精奇的招数，自然产生相应的招数与之抗御。有招必有破绽，料敌机先，后发先至，乘虚而入，一击而中。化功大法（吸星大法、北冥神功）：吸收消化别人的内力，化为自己的内力。丹田有气，散之任脉。如竹中空，似谷恒虚。由表及里，抽取本质，空箱结构。真事隐而实事显，虚而不屈，动而愈出。乾坤大挪移：由此及彼，应用这一领域的方法解决另一领域的问题。乾坤大挪移 = 由此及彼 = 奇正变换（变奇点为正常点）张无忌大战光明顶声 声 慢寻寻觅觅，冷冷清清，寂寂寞寞依依，万水千山独行，登天无计，有我美梦做伴，怎怕他晚来风急，我来也，正悦目，别有一番天地。 满室

9、书本堆积，翻阅尽，查找蛛丝马迹，中西合璧，探索数学真谛，春风化物细雨，会心处点点滴滴，这次第，唯极乐差可比拟。沁园春 宇宙流万物皆流，大化流行，阴阳对偶。看何处奇异，何处障碍；从何处来，向何处流。亏格示性，指标计数，拓扑场论刚开头。神通有，揽彼造化力，渡我飞舟。科学艺术漫游，读历史峥嵘岁月稠。恰英雄少年，风华正茂；统一数学，思想建构。流形奠基，群论分类，笑傲当年万户侯。凌空起，与天地万物上下同流。数学内容方法几何化、拓扑化、辛化、可视化代数化、算术化、算法化、机械化公理化、逻辑化、形式化、抽象化原理化、道理化、诗词化、艺术化过度的形式化使理解复杂化，妨碍了数学的统一性及其与应用的结合。证明越长

10、越复杂，懂的人越少，定理的可靠性越低。形式化语言不简洁，狭窄而不全面，把各个领域隔离起来，使其邻近领域不能理解，看不到在思想上的相互影响，看不到其直接来源，将十分邻近的学科分解为互不相识的部分。我们应当逆潮流而行。数学的四个体系体系一：几何化、拓扑化、辛化、可视化。学科：几何、拓扑。目标：数学大统一、物理大统一。体系二：代数化、算术化、算法化、机械化。学科：代数、数论。目标：数学机械化。体系三：公理化、形式化、逻辑化、抽象化。 方法：定义、定理、证明（DTP模式）。 目标：Hilbert形式主义纲领。体系四：原理化、道理化、诗词化、艺术化。方法：体验、开悟、解脱、飞升。目标：数学解释体系与猜测

11、系统。 在原理化、诗词化、艺术化的基础上建立数学解释体系和猜测系统。中西合璧，探索数学真谛。用东方文化济西方科学之穷。用哲学家的睿思、诗人的慧眼，将晦涩难懂的现代数学点化成精神上可以纵横驰骋，理性上可以自由翱翔的充满诗情画意的艺术空间。二、机械化数学与非机械化数学数学 = 机械化数学 + 非机械化数学机械化数学 = 数学算法化非机械化数学 = 数学原理化 + 数学诗词化数学原理化 = 一花六瓣 凌空飞渡 五灯会元 以理御数 化功大法 由表及里 乾坤挪移 应用无数数学诗词化 = 数学道理化 道理哲学化 哲学浪漫化 浪漫艺术化 艺术诗词化 诗词模块化 模块网络化中西合璧，探索数学真谛兴于诗，立于理

12、，成于乐数学机械化数学原理化用机械化方法解方程用解方程方法证定理言数者必先明理数与道非二本也代数机器 独孤九符拓扑思想 五灯会元A C = B D + RC Ker D = Ker A与计算机科学相结合算法学家思维模式 原理化机械化取长补短 思想性构造性相映生辉方向已明，涓滴虽微，有成江河之理；持之以恒，日就月将，学有缉熙于光明。本源性原理 对偶性原理 不变性原理 协调性原理 奇正性原理与理论物理相结合物理学家思维模式学 数 参 禅破除迷信 张扬自我 众生平等 皆可成佛解粘去缚 方便接引 就近取譬 随机化寻真参实证 圆融无碍 以心传心 心心相印因缘契合 自悟本心 明心见性 见性成佛体验 开悟

13、解脱 飞升唯天是我师 唯心通天道教学 = 接引 武侠小说是接引的道具 学数浑似学参禅，一经领悟便超然。 五灯会元东方亮，光芒四射照人间。五 灯 会 元本源性原理：明示根本 指解源流 正本清源 融会贯通不变性原理：变易不易 不易简易 简易直接 把握整体对偶性原理：阴阳对偶 此长彼消 互逆互补 相反相成协调性原理：一生万象 万象协调 协调正合 正合归一奇正性原理：奇出正合 以奇制胜 奇正相生 循环无穷一生万象意境高 万象归一一念遥阴阳对偶天河渡 变易不易是鹊桥一生万象曰生，天地之大德曰生，生生之为易。易一名而三义，曰变易、不易、简易。大道必易，大理必简，易简而天下之理得，天下之理得而成位乎其中矣。

14、万象协调曰和，协调正合曰中。和则立，不和则废，和实生物，同则不继。中者，不偏不倚无过不及之谓也。中者天下之大本，和者天下之达道。致中和，天地位焉，万物育焉。尊德性而道问学，致广大而尽精微，极高明而道中庸。不偏之谓中，不易之谓庸，中者天下之正道，庸者天下之定理。中庸者，无过不及而平常之定理，充分必要恰当正合之定理，乃天命所当然，精微之极致也。正合归一曰复。反者道之动，弱者道之用，归根曰复，复者其见天地之心乎。一曰本源，万象曰流。明示根本，指解源流，正本清源，返璞归真，本立而道生，洞悉大本大要乃学问之极致。一生万象，放之弥于六合；万象归一，卷之不盈一握。阴阳对偶，此长彼消，互逆互补，相反相成。有象

15、斯有对，对必反其为。一阴一阳之谓道。道生一，一生二，二生三，三生万物，万物负阴而抱阳，冲气以为和。一气混元，两仪化元，三才运元，四象会元。阴阳升降，进退左右，互通变化，错综无穷。道可道，非常道。可道为正，不可道为奇，奇正相生，循环无穷。万物皆流。变易者，万物也，不易者，道也。夫物芸芸各复归其根，归根曰静，故圣人于错综纷纭之中，指认其不变之真体。一生万象是微分 Cv = u万象归一是积分 给定 u，存在 v 使 Cv = u。万象协调是代数 AC = 0协调正合是拓扑 Im C = Ker A言 数 明 理数理同源 理数相倚 理由数显 数自理出物无妄然 必由其理 理一分殊 月映万川知书达理 理在

16、书外 穷心尽性 尽性知天孤独九符 六脉神剑 统之有宗 会之有元言数者必先明理 数与道非二本也事物的性质是将事物与其他事物区分的基本属性独孤九符 一花六瓣不学数， 无以言； 不学理，无以立；不知哲学无以知根本，不知历史无以知源流，不知大美无以知天地，不知命无以为君子也。R+D B=CA 凌空飞渡作者思想文字著作读者思想乾坤大挪移道理=道+理一阴一阳之谓道，物无妄然，必由其理 理一分殊 月映万川言数者必先明理 数与道非二本也有象斯有对，对必反其为，有反斯有仇，仇必和而解。一气混元，两仪化元，三才运元，四象会元。阴阳升降，进退左右，互通变化，错综无穷。天上下雨地下流，气水循环无尽头。人看明月当头照，

17、我看明月顺水流。数象初等代数抽象代数解析几何微积分微分方程函数论泛函分析初等几何拓扑学解析数论代数数论交换代数微分代数微分方程函数论微分几何代数几何代数拓扑微分拓扑数学非交换几何非交换代数代数几何，拓扑交换代数代数几何 非交换代数非交换几何连续函数代数拓扑学 解析函数代数 解析流形 光滑函数代数 算子理论微分流形 代数方程数论 微分方程函数论理想代数簇 微分理想微分代数簇 金凤玉露象数和，象数交会情更多 画中有诗是代数，诗中有画是几何对偶颂一家门作两家门，两家本从一家分天向一中分体用，人于对偶起经纶阴阳升降大道出，进退左右织回文极乐最是行道处，天香桂子落纷纷三、C-D 可积系统给定方程 Au

18、= 0，选择目标方程 Dv = 0，构造变换 u = Cv， 使得00u CvAuDv 若 C Ker D = Ker A，则称 Au = 0 为完全 C-D 可积。 若 C Ker D Ker A，则称 Au = 0 为部分 C-D 可积。 若 C Ker D Ker A，则称 Au = 0 为 C-D 可积。不变性原理变易不易 不易简易 简易直接 把握整体00u CvAuDv Ker Ker CDA选择简单的 C 和 D简易不易简易本源性原理明示根本 指解源流 正本清源 返璞归真 用解一元二次方程的思想解方程。 用解线性代数方程组的思想解方程组C-D 可积系统的基本构造给定 A选择 D构造

19、 C是否 C-D 可积解出 Dv=0Dv=0 是否可解扩张解的概念否否是分析问题代数攻，算术代数两相通 代数本从算术出，带余除法妙无穷算术=四则运算 带余除法 3x7=2x8+5代数=以符代数 带余除法独孤九符会解一次方程，二次方程就会解一切方程了 RDBCARDBCA22101202Aua uauaavuCva221202120(4)040 0 .Dvvaa aaa aDv时，定义新的数54325432100Aua ua ua ua uauauCv5100 .DvvavDv 定义新的代数函数21, 4 A CvB DvBaA CB D其中简记为6543265432100Aua ua ua u

20、a ua uauauCv.00126定义新的代数函数DvbvavvDv765432765432100Aua ua ua ua ua ua uauauCv.00127定义新的代数函数DvcvbvavvDv线性代数方程组 Cramer法则非线性代数方程 Abel定理 Galois理论 可解群 代数函数论 Riemann曲面 单值群非线性代数方程组 代数几何 Grbner基 吴消元法微分方程与代数方程比较代数方程二三四次代数方程有初等根式解Gauss 证明复数域中代数基本定理Abel 证明五次以上方程无根式解公式Galois 群可解是代数方程有根式解的充要条件Hermite 用椭圆函数解五次方程微积

21、分初等函数积分法连续函数存在原函数Liouville 定理Risch-Bronstein 算法微分方程微分方程初等解法Cauchy 证明存在定理Lie 群微分 Galois 理论Poincare 自守函数参考文献1.V.B. Alekseev. Abels Theorem in Problems and Solutions, Based on the lectures of Professor V.I. Arnold. Kluwer Academic Publishers, 2004.2.R. Bruce King. Beyond the Quartic Equation. Birkhause

22、r, 1996.3.M. Bronstein. Symbolic Integration 1 - Transcendental Functions. Springer-Verlag, Heidelberg, 1997. 4.M. Put, M.F. Singer. Galois Theory of Linear Differential Equations. Springer, 2003. . 变易、不易、简易。阴阳对偶，此长彼消，互逆互补，相反相成。nFKF1F2F1nFG1G2G1nG nGe一气混元一气混元代数方程可用根式解的充要条件阴阳升降三才运元互通变化错综无穷方程的Galois群

23、是可解群两仪化元两仪化元正规循环子群正规循环扩张11121( )( )()iiirrFFFFFFFK121 irGGGGGe 1/iiGGK 覆盖多项式 f(x) 的分裂域,是素数阶循环群.根式解11rrrnnn 1( ),.iniiiiiiFFaF其中1iG是的正规子群.iG121/iGal K FGal K FGal K FGal K k分析问题代数攻 Au=0 u=Cv Dv=0 算子方程 代数方程形式展开意境高，有穷无穷一念遥，收敛级数求真解，发散级数当符号级数展开解方程，导数计算按序行，延拓对合完备化，相容可积两相通Riequier-Janet理论 Cartan-Kahler理论 H

24、ilbert多项式 Spencer上同调RDBCA分析三法 独孤九符 一花六瓣 五灯会元 化功大法 乾坤大挪移分析三法：化问题为方程法，解方程法， 用解方程证定理法化功大法：由表及里乾坤大挪移：由此及彼 C-D可积系统可积系统设 Au = 0 是给定方程，Dv = 0 是会解的方程，解方程的基本方法是构造变换 u = Cv，将 Au = 0 变为 Dv = 0，即00u CvAuDv 若算子 A、C、D 满足 C Ker D = Ker A，则称算子 C 和 D 是算子 A 的 C-D 对对，方程 Au = 0 叫做 C-D 可积的可积的。引理引理 假设算子 A、B、C、D 满足关系 AC =

25、 BD，B0 = 0，则有1. C Ker D Ker A，即若 u = Cv ， Dv = 0 则由 Au = 0。2. 若 C 是满射，B 可逆，则有 C Ker D Ker A，即 Au = 0 的一般解可以表示为 u = Cv ， Dv = 0 。设 X 是线性空间，对给定算子 D : X X，若存在集合 ，使 f X，有且仅有一个 v ，则称 D 为可单值化算子可单值化算子， v 叫做定解条件定解条件。定理定理 设 X 是 Banach 空间，AC : X R 是 X 上的泛函， D : X X 是可单值化算子，若 ACD-1 是 Gateaux 可微，并且 由 Dv = 0 可推出

26、 ACv = 0，则存在 上的泛函 Bv 使得ACv = BvDv数学是定义和定理的集合。假设一门数学学科有 n 组定义，后一组定义由前一组定义产生，每组定义产生一组定理，用 uk 表示第 k 组定义，uk+1 = Ckuk，如果只考虑用等式表示定理，则第 k 组定理可用方程 Akuk = 0 表示， 上述模式可以表示为111211210000nCCnnnnuuuuAAAA 112121Ker Ker Ker Ker nCCCnnAAAA 若 Im Ck = Ker Ak+1，k = 1,2,n-1，则称这个序列是正合的正合的。由定理 2 可知存在算子 Bk 满足Ak+1Ck = BkAk11

27、111211210000nnCCnnnnBBuuuuAAAA 上图可以表示为第一行叫做定义链定义链，第二行叫做定理链定理链，定理链是定义链的伴随链伴随链。 由 uk+1 = Ckuk，Akuk = 0推出 Ak+1uk+1 = 0 相当于求超定方程组 Ckuk = uk+1， Akuk = 0 的协调条件协调条件。因此第 k+1 类定理 Ak+1uk+1 = 0，可以由机械化方法产生，并且第 k+1 类定理的个数等于协调条件按的个数。这类定理叫做正定理正定理。 由 Ak+1uk+1 = 0 求 Ck 使得 uk+1 = Ckuk ， Akuk = 0 相当于求算子 Ak+1 的 C-D 对，可

28、以用 Ak+1Ck = BkAk + Rk 模式，即 AC = BD+R 模式解决，这类定理叫做逆定理逆定理。 Ck Ker Ak = Ker Ak+1 表示正定理和逆定理都成立。Ak+1Ck = BkAk 表示第 k+1 类定理可以在第 k 类定义的基础上引进 k+1 类定义得到，也可以不引进第 k+1 类定义而由第 k 类定义推出第 k 类定理，再由第 k 类定理推出第 k+1 类定理。 令 A = Ak+1，C = Ck，B = Bk，D = Ak，u = uk+1，v = vk，则推导正定理的模式和推导逆定理的模式可以用以下模式统一表示正定理v Ker D（若 D = 0，则为v ）u

29、 = Cvu 满足协调条件 Au = 0逆定理给定满足Au = 0求 C 和 D 使（当 C，D 已知时，则验证）C Ker D = Ker Au Ker A， v Ker D 使u = Cv这是一个证明定理的模式，利用这个模式可以证明许多定理。Cramer 法则法则Theorem Let A = (aij)nn be a matrix of linear differential operators, aij(i,j=1,n) with smooth variable coefficients, then there exist a matrix of linear differential

30、 operators B = (bij)nn such that AB is diagonal matrix.Definition For given a nn matrix of linear differential operators A = (aij)nn, the matrix B satisfying the condition in Theorem is called the adjoint matrix of A, denoted by111*1nnnnAAAAAwhere Aij is called the algebraic complement of aij in A.T

31、heorem Let A = (aij)nn by a matrix of linear differential operators, its adjoint matrix A* satisfying AA* = diagD1,Dn, where Dk 0 (k=1,2,n), then the solution of following system of linear inhomogeneous differential equations with variable coefficients1,1,2,nijjija ufincan be written as11*nnuvAuvWhe

32、re vk satisfy,1,kkkD vfkn111212122211nnnnnnAufaaaaaaAaaannnnnnnnnnfffvvvDDDDvvvvAAAAAAAAACvu21212121212221212111000000nnffffuuuu2121Liouville可积 若系统可写成广义Hamilton方程的形式，且存在可数个两两对合的首次积分，则称其在Liouville 意义下是可积的。Lax可积 若系统可写成两个线性微分方程即Lax对的相容条件，则称其为Lax可积。 微分微分Galois理论，理论， 拓扑障碍与示性数拓扑障碍与示性数Theorem 1. For the di

33、fferential equations of Fuchs type the subfield of the differential field Ry1,yn that consists of single-valued functions coincides with the field of rational functions.Theorem 2. A differential equation of Fuchs type is solvable by quadratures or by generalized quadratures if its monodromy group is

34、, respectively, soluble or almost soluble.The differential Galois theory provides at the same time two results:1. If the monodromy group of a differential equation of Fuchs type is soluble (almost soluble) then this equation is soluble by quadratures (by generalized quadratures).2. If the monodromy

35、group of a differential equation of Fuchs type is not soluble (almost soluble) then this equation is not solvable by quadratures (by generalized quadratures).Theorem 3. If the monodromy group of the differential equation is not soluble (almost soluble) then almost every solution of this equation is

36、not representable in terms of single-valued S-functions by means of compositions, meromorphic operations, integrations, differentiations and solutions of algebraic equations.Theorem 4. A non-triangular system with matrices Ais sufficiently small, Ai (a1,ak,n), is strictly non-solvable, i.e. it is no

37、t solvable even using all single-valued S-functions, compositions, meromorphic operations, integrations, differentiations, and solutions of algebraic equations.四、数学诗词化大道至简学海无边不胜繁，大道至简本自然。与其结果千百个，不如抓住线一端。学数参禅学数深似学参禅，一经领悟便超然。五灯会元东方亮，光芒四射照人间。诗先知学海无边多分支，大本大要诗先知。至精至简诗中出，每逢妙处便有诗。数学道理化 道理哲学化 哲学浪漫化 浪漫艺术化 艺术

38、诗词化 诗词模块化 模块网络化 在原理化、诗词化、艺术化的基础上建立数学解释体系和猜测系统。中西合璧，探索数学真谛。用东方文化济西方科学之穷。用哲学家的睿思、诗人的慧眼，将晦涩难懂的现代数学点化成精神上可以纵横驰骋，理性上可以自由翱翔的充满诗情画意的艺术空间。学 = 学会 = 会学 = 兴于诗、立于礼、成于乐 = 兴于诗、立于理、成于乐 = 兴于美、立于真、成于真善美 = 兴于艺术、立于科学、成于自然科学与人文科学相 结合 兴于中国传统文化、立于现代数学、成于现代数学 与中国传统文化相结合 兴于武侠小说、立于现代数学、成于现代数学与武 侠小说相结合 兴于诗、立于礼、成于乐不学诗，无以言，不学礼

39、，无以立；礼之用，和为贵。礼者天地之序，乐者天地之和，上好礼，则民易使也。人而不为周南召南，其犹正墙面而立也与！ 关关雎鸠，在河之洲。窈窕淑女，君子好逑。 窈窕淑女，寤寐求之。 求之不得，寤寐思服。悠哉悠哉。辗转反侧。三百五篇孔子皆弦歌之，以求合韶、武、雅颂之音。礼乐自此可得而述，以备王道，成六艺。 孔子学鼓琴师襄子，十日不进。师襄子曰：“可以益矣。”孔子曰：“丘已习其曲矣，未得其数也。”有间，曰：“已习其数，可以益矣。”孔子曰：“丘未得其志也。” 有间，曰：“已习其志，可以益矣。” 孔子曰：“丘得其为人，黯然而黑 ，几然而长，眼如望羊，如王四国，非文王其谁能为此也!”师襄子辟席再拜，曰：“师

40、盖云文王操也。” 诗者天地之心，理者天地之序，乐者天地之和。诗是观照和感受天地的方式，诗人以直觉体验天地之心，将自己的心接通天地之心。诗的构思是意境开拓与创造的过程，是主观情景与客观景物融合而形成的境界和范围。语言的本质和艺术的本质都在于诗。而诗的本质在于真理的建立。诗 = 观照和感受天地的方式 = 破除魔法的语言诗意化 = 浪漫化 = 对功利化世界的反抗 = 从低级自我走向完美的自我生成诗性智慧 = 想象与理性成熟的完美结合 = 人类真正的精神家园但肯寻诗便有诗，灵犀一点是我诗。夕阳芳草寻常物，解用都为绝妙词。微分方程泛中流 几何代数双丰收 喜看数学成一统 八方风雨会中州分析问题几何攻 有穷

41、无穷两相通无穷本从有穷出 先向有穷问无穷内积紧化意境高有穷无穷一念遥强攻无计弱开路无穷有沟紧作桥外积辛化意境高有穷无穷一念遥强攻无计弱开路无穷有沟辛作桥象数交会意境高空间泛函一念遥强攻无计弱开路阴阳对偶过鹊桥象数交会意境高流形映射一念遥强攻无计弱开路阴阳对偶过鹊桥泛函分析紧为先有穷无穷两相连高阶嵌入低阶度便有紧字立中间可积系统辛为先有穷无穷两相连位移动量正则对便有辛字立中间强攻无计弱先行分部积分阶次平微分方程弱形式强制有逆解方程强攻无计弱先行对偶伴随沟自平微分理想李代数运算封闭解方程分析问题几何攻 几何分析两相通阴阳对偶象数对 象数交会妙无穷有界闭凸算子紧集合自身变自身变中不变守恒律动中不动求

42、真根完全可积算子辛方程自身变自身变中不变守恒律动中不动求真根方程应用解为先泛函极值最相关变分原理直接法分片光滑有限元方程应用解为先联络曲率最相关线性联络零曲率可积系统开新篇单调算子序为先紧致偏序两相连双向逼近迭代法有穷无穷一线牵完全可积辛为先守恒转角两相连泊松括号拉氏对有穷无穷一线牵分析代数出同门推广代数到微分调和算子零频解指标定理有前身分析拓扑出同门边缘对偶外微分调和形式上同调指标定理有前身微分方程泛中流 几何代数双丰收喜看数学成一统 八方风雨会中州分析问题代数攻 有穷无穷两相通无穷本从有穷出 先向有穷问无穷分析问题代数攻 算术代数两相通代数本从算术出 带余除法妙无穷形式展开意境高 有穷无穷

43、一念遥收敛级数求真解 发散级数当符号以符代数意境高 算术算符一念遥分析三法先人渡 独孤九符是鹊桥级数展开解方程 导数计算按序行延拓对合完备化 相容可积两相通变易不易解方程 独孤九符有奇功恰当完备出拓扑 交换正合妙无穷牛顿欧拉代数体 轻薄为文晒未休只知严格公理化 不识创造是主流阴阳大道一与零 零一变化妙无穷零射分解消去法 满射分解万物生令 分析 = 泛函分析 几何 = 欧氏几何从有穷维空间到无穷维空间 令 分析 = 可积系统 几何 = 辛几何从有穷维可积系统到无穷维可积系统分析问题几何攻 有穷无穷两相通 无穷本从有穷出 先向有穷问无穷低维探路把门敲去粗取精维数高20 2 aaxbxaxb取极小重

44、新表述有穷维的结果使之适合任意维 (, )2(, ) AAx xB xAxB对称正定 取极小变分原理,tfHfdHdf,tLM LdpdqLax方程，辛结构不动点定理Liouville可积系统变易不易求简易不动点算法单调算子迭代序列不变量理论完全可积系统Broumer不动点定理Shauder不动点定理不变量算法作用-角变量Darboux变换拓扑度理论同伦群同伦不变量拓扑场论同调群同调不变量de-Rham上同调Levay-Shauder不动点定理延展参数法同伦算法Hodge分解Atiyah-Singer指标定理Yang-Mills方程Donaldson-Witten理论阴阳对偶过鹊桥原空间相空间

45、对偶空间弱收敛弱列紧自反Banach空间有界集弱列紧Rellich嵌入定理Lie代数的对偶空间标准Lie-Poisson 结构Kirillov定理椭圆边值问题Riemann-Hilbert问题线性泛函的表示 Riesz定理Poisson括号的矩阵表示Yang-Boxter方程 r矩阵 谱分析反散射方法Fourier分析非线性Fourier分析几何问题分析攻 ，流形曲面两相通； 分析问题几何攻，几何分析两相通；曲面本自平面出，由平及曲妙无穷。 流形映射象数对，阴阳对偶妙无穷。由平及曲曲为先 ，曲率联络最相关。 算子方程解为先 ，曲率联络最相关。联络产生新导数 ，曲率为零旧空间。 联络线性零曲率

46、，可积系统开新篇。令 分析 = 可积系统 从有穷维可积系统到无穷维可积系统令 代数 = Lie代数 从有穷维Lie代数到无穷维Lie代数分析问题代数攻 有穷无穷两相通 无穷本从有穷出 先向有穷问无穷低维探路把门敲，去粗取精维数高，强攻无计弱开路，无穷有沟辛作桥完全可积辛为先，守恒转角两相连，泊松括号拉氏对，有穷无穷一线牵诗化泛函分析古人登高意气豪，绝顶一览众山小。哪知天出九天外，更比九天无限高。分析问题几何攻，有穷无穷两相通。无穷本从有穷出，先向有穷问无穷。低维探路把门敲，去粗取精维数高。强攻无计弱开路，无穷有沟紧作桥。强攻无计弱先行，分部积分阶次平。两侧空间齐同后，正定有逆解方程。算子方程紧

47、当先，有穷无穷两相连。高阶嵌入低阶度，便有紧性立中间。莫道弱字不禁风，坐标投影建奇功。光滑阶次高天半，强弱导数两相通。有界闭凸算子紧，集合自身变自身，变中不变守恒律，动中不动求真根。单调连续正则锥，不出区间自来回，锥改正规算子紧，双向逼近解合围。两端移动不过河，中间变化曲折多，莫道变化无规律，同伦不变代数和。原象转圈意平常，象点旋转分外忙，正转反转不空转，必有零点圈中藏。象点移动不到边，由此及彼曲线牵，同伦不变拓扑度，万象归一满空间。参考书参考书：诗化微分几何序曲 两茫然大学毕业四十年 ，纤维同调两茫然；年逾花甲生疾病 ，犹有雄心破重关。长流水破釜沉舟学几何 ，进展艰难问题多，昼夜不停长流水

48、，渐觉有味写赞歌。月光曲映万川一轮明月映万川 ，满把清辉下人间，请来明月家中坐 ，心随远客上九天。 水调歌头 苏轼 明月几时有， 把酒问青天， 不知天上宫阙，今夕是何年， 我欲乘风归去，又恐琼楼玉宇， 高处不胜寒，起舞弄清影，何似在人间。木兰花慢 辛弃疾可怜今夕月， 向何处去悠悠，是别有人间， 那边才见，光影东头，是天外空汗漫， 但长风浩浩送中秋，飞镜无根谁系，姮娥不嫁谁留？春江花月夜 张若虚春江潮水连海平，海上明月共潮生，滟滟随波千万里，何处春江无月明。 嘉陵江 元稹 千里嘉陵江水声，何年重绕此江行；只应添得清宵梦，时见满江流月明。襄邑道中 陈与义飞花两岸照船红，百里榆堤半日风。卧看满天云不

49、动，不知云与我俱东。引 力 颂诗人问月意无穷，苹果树下大道通。引力本自弯曲出，四维弯曲度时空。念 奴 娇大江东去，流不尽千古自然规律，孤波乍起，狂喜过，策马穷追不息；乱石穿空，惊涛拍岸，卷起千堆雪，宇宙之舞，分形混沌撞击；喜看几何分析，对偶情正好，正本清源，行云流水谈笑间，疑难瓦解冰消。数学神游，多情应笑我，满头华发，年近古稀，犹自勤学未了。一江流水在文人眼中是一篇绝妙诗词文章在作曲家眼中是动人的音乐旋律在数学家眼中是一组非线性偏微分方程在武学大师眼里是一套连绵不断无懈可击的武功抽刀断水水更流，只因流水间蕴含着一种生生不息之机理非任何力量所能断绝，若有人武功与流水一般，必将无敌于天下一个中心，

50、两个基本点本 源 颂几何问题分析攻 ，流形曲面两相通；曲面本自平面出，由平及曲妙无穷。曲 为 先由平及曲曲为先 ，曲率联络最相关。联络产生新导数 ，曲率为零旧空间。几何诗东 坡 问横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识曲面真面目，只缘身在曲面中。基 本 型一生二来二生三，三生万物基为三；弧长偏离基本量，基本形式定江山。基 本 式基底求导新洞天 ，联络度规两相连；二阶导数求分量 ，基本公式天下传。欧 拉 颂纵横弯曲不一般，条件极值求两端。正交方向主曲率，欧拉公式一线通。高 斯 颂横看成纬竖成经 ，通天测地倍有情。高斯映射面积比，极值相乘定外形。绝 妙 颂基本方程求相容，内蕴外在两分明。高斯曲率内蕴

51、量，一语既出举世惊。黎 曼 颂等距同构求相容，是非曲直自分明。几何从此开生面，黎曼千古留英名。张 量 颂大化流行变为先，阴阳对偶两相连。协变逆变混合变，变中不变是本原。步 步 高低维探路把门敲 ，纵横交错步步高，顾此失彼天河出，人间何处是鹊桥。鹊 桥 颂初值成立起点好 ，路径无关意境高，一阶初值守恒律 ，协调条件是鹊桥。曲 面 颂弧长偏离基本型，形式既定曲面生，正算反算机械化，相容可积两相通。曲 变 平巡回一周万象生，曲率积分总守恒；由平及曲何所之，测地投影曲变平。守 恒 颂测地投影曲变平，守恒破缺细算清，高斯曲率积分式，添平补齐总守恒。示 性 数封闭曲面复连通，曲率积分也守恒，高斯曲率欧拉数

52、，指标定理有先声。关于微积分新体系坐标颂 现代分析场为尊，直则枉来曲则真， 局部同胚立标架，切场对偶全微分， 协变逆变乾坤变，阴阳交乘造化新， 整体标架三要素，纤维流形结构群。 微分颂 一生万象出云门，万象协调满目春，基底求导联络出，换序作差曲率寻； 矢场流去李导数，统一公式外微分，分析对偶余算子，几何对偶同调群。积分颂 万象归一回云门，闭合恰当零调群，括号封闭李代数，理想封闭外微分；延拓对合完备化，正合交换织回文， 拓扑障碍示性类，指标定理天下闻。梦幻曲 统一场论何处寻，大师巨匠苦用心， 希氏空间黎曼面，拓扑场论有奇文。 可交换转非交换，量子化出量子群， 超弦一曲天上有，人间能有几知音。参考

53、书参考书：张鸿庆. 流形上的微积分，大连理工大学出版社，2007.五 、数学大统一与物理大统一数学流初等代数初等数论代数方程理想论Galois理论抽象代数解析几何微积分微分方程函数论泛函分析初等几何综合几何高维几何非欧几何拓扑学解析数论代数数论交换代数微分代数微分方程函数论微分几何代数几何代数拓扑微分拓扑微分代数几何物理量子力学经典力学可观测量 H上的算子状态 Hilbert空间H可观测量 流形上的算子状态 流形量子场论DrinfeldWitten状态 Hopf 代数可观测量 量子群状态 Feyman路径积分可观测量 拓扑不变量广义相对论狭义相对论万物皆气，气者能量也，E = mc2 能量质量

54、相互转换，是以气者质也，质者气也。气聚则生，气散则死，气聚为孤子，质聚为万物，气聚则质聚，是以万物皆孤子也。万物有生死，孤子亦有生死。粒子为阳，波动为阴，非线性为阳，色散为阴，阴阳平衡而生孤子。孤子者亦阴亦阳，一阴一阳之谓道。梦幻曲 统一场论何处寻，大师巨匠苦用心， 希氏空间黎曼面，拓扑场论有奇文。 可交换转非交换，量子化出量子群， 超弦一曲天上有，人间能有几知音。数学问题音乐攻 音乐数学两相通数学本从音律起 音律却因数学成天籁一曲意境高 波动粒子一念遥强攻无计弱开路 阴阳对偶过鹊桥超弦一曲意境高 至大至微一念遥强攻无计弱开路 阴阳对偶过鹊桥付氏变换天眼通 频率动量对时空此长彼消测不准 量子力学有先声九天