高等数学课件积分法(一)

1、积分法（一） 牛顿柯特斯（Newton-Cotes）公式 理查森（Richardson）外推法 罗姆伯格（Romberg）积分法 自适应（Adaptive）积分法 高斯（Gauss）积分法 奇异（Singularities）积分工程中积分运算的不同情况 积分的函数平滑，区间处处有界，且积分区间的下限有限 区间中某点间断，或至少积分的上限或下限为无限大，即积分的奇异性 仅给定函数在某些固定点上的值，而值之间无确定关系，即原函数无法用初等函数表示积分公式 在积分区间内各节点上被积函数的加权代数和 其中 仅是加权系数和节点的某种选择)()(1ibaniixfwdxxfbxxxan21 最简单的方法

2、用等步长，并选择能给出最好逼近的加权系数，即通过将积分区间逐次对分，使其能够逐步改进 更精确的方法 按照提高精度的原则选择节点 任何积分公式，随节点数的逐渐增大，其值越加逼近精确值 可获得高精度且有效的逼近法 先用具有n个节点的积分公式估算其积分值 再用2n个节点重复运算 比较结果 差值在预定误差范围内，结果满意 否则，节点数加倍，继续重复运算，直至满意 等步长积分公式 步长 区间内具有（n+1）个等步长节点 逼近误差总正比于hm，当h减小或n增大时，其误差随hm而趋近于零，称为具有第m阶逼近 可构造一个积分公式，用任一阶次直到m阶多项式的积分表示 m表示积分公式质量好坏的一种度量nabh牛顿

3、柯特斯（Newton-Cotes）公式 最简单而有用的积分公式，选用Lagrange插值函数在每个等步长区间上积分求值 具体方法 将整个积分区间分成n个子区间，包括两个端点，共（n+1）个节点njnabhjhaxj, 2 , 1 , 0 构造n阶Lagrange多项式 积分该多项式 Cotes系数 nkknknkbakkbankkkbanbaxfCabdxxlxfdxxfxldxxLdxxf000)()()()()()()()(dxxlabCbaknk)()(1 Cotes系数性质 Cotes系数表 每一次偶数逼近比前于它的奇数次逼近具有明显改进 奇数次逼近并不比前于它的偶数逼近好nknnkn

4、knkCCC10 当n1时。为梯形公式（Trapezoid rule） 被积函数为常数时，中点公式（矩形公式） 区间分为n个子区间时，整个区间积分)()()(21)(abbfafdxxfba)(2()(abbafdxxfbabanknxfxfabhkafhdxxf00)()(21)()( 当n2时。为辛普生公式（Simpson rule） 区间分为n个子区间时，n必为偶数，只能对偶数子区间进行积分，整个区间积分)()()2(4)(61)(abbfbafafdxxfba)()(4)(2)(2)(4)(3)(12210nnnbaxfxfxfxfxfxfhdxxf举例 1.平滑曲线 精确值 梯形公式

5、计算 多个区间718281828. 1110edxeIx7539. 1)(5 . 0102121eeeI MATLAB函数 quad 格式：q=quad(fun,a,b),q=quad(fun,a,b,tol), q=quad(fun,a,b,tol,trace)等 例如：q=quad(exp(x),0,1) 辛普生法 quad8 格式：同上 8阶牛顿柯特斯法理查森（Richardson）外推法 又称延迟趋向极限法 是Romberg积分法的基础 方法： 步长h，逼近函数g(h)，其泰勒级数为 重复运算g(h/2)的其泰勒级数221)(hchcghg22411212)(hchcggh 可运算得到

6、： 显然当h很小时，上述运算较前面计算的逼近精度将得到很大提高 第n次重复上述运算过程，可得： 通常采用预先约定逼近函数g(h)只含偶次方项，而且积分区间采用对分法划分33222)()(2)( 1hchcghgghgh)(012)()(2)(1121nnnhnnnhghgghg罗姆伯格（Romberg）积分法 对牛顿柯特斯（Newton-Cotes）公式的改进 将牛顿柯特斯（Newton-Cotes）公式和理查森（Richardson）外推法的结合 基本概念是先用一种相对低精度的积分公式算出近似结果，然后，再应用理查森（Richardson）外推法进行改进 选用最简单的梯形公式开始计算，对整个

7、积分区间求积 将积分区间逐步对分为2、4、8、并重复求出其值，分别表示为 通过理查森（Richardson）外推法求出改进的积分值 2阶精度,402010III3421001IIInn 4阶精度 外推计算可多次连续应用，一般公式为)16(15121112IIInn1442111llnllnlIII 实际计算的顺序为 根据所给节点可计算出最好一项 可与前项 进行比较，如果差值满足规定的误差范围，停止计算 Romberg积分过程图,80424140212010IIIIIIInnI2nnI21举例 平滑函数积分 MATLAB程序function R,quad,err,h = romberg( f,a

8、,b,n,tol) % Input - f is the integrand input as a string f % - a and b are upper and lower limits of integration. % - n is the maximum number of rows in the table % - tol is the tolerance % Output - R is the Romberg table % - quad is the quadrature value % - err is the error estimate % - h is the smallest step size used M=1; h=b-a; err = 1; J=0; R=zeros(4,4); R(1,1)=h*(feval(f,a)+feval(f,b)/2 while(errtol)&(Jn)|(J4) J=J+1; h=h/2; s=0; for p=1:M x=a+h*(2*p-1); s=s+feval(f,x); end R(J+1,1)=R(J,1)/2+h*s; M=2*M; for K=1:J R(J+1