高中数学(人教A版)选修2-3之-1.3.1二项式定理(一)

1、1.3.1二项式定理（二项式定理（1）二项式定理，又称牛顿二项式二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克定理，由艾萨克牛顿牛顿于于16641664、16651665年间提出年间提出二项式定理在组合理论、开高二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用及差分法中都有广泛的应用 物理是我物理是我的强项的强项数学上我同样有建树数学上我同样有建树欧几里得在欧几里得在几何原本几何原本卷二卷二设有如下命题：设有如下命题：“任意分一线任意分一线段成两段，则整段上的正方形段成两段，则整段上的正方形等于两分段上的正方形与两分等于两分段上的正方形与两分段所

2、构成矩形的二倍之和。段所构成矩形的二倍之和。” 2222)(bababa aabb 哲人柏拉图：挟著哲人柏拉图：挟著帝迈马斯篇帝迈马斯篇，以手指指天。拉斐尔以达芬奇为原，以手指指天。拉斐尔以达芬奇为原型绘制的此人物。型绘制的此人物。 哲人亚里斯多德：手拿哲人亚里斯多德：手拿伦理学伦理学，另一手伸前。拉斐尔以米开朗基罗，另一手伸前。拉斐尔以米开朗基罗为原型绘制的此人物。为原型绘制的此人物。 哲人苏格拉底正和亚历山大大帝交谈。哲人苏格拉底正和亚历山大大帝交谈。 伊壁鸠鲁：头戴叶冠者。伊壁鸠鲁：头戴叶冠者。 数学家毕达哥拉斯：手执圆规研究毕氏定理。数学家毕达哥拉斯：手执圆规研究毕氏定理。 阿维洛伊：

3、头缠头巾。阿维洛伊：头缠头巾。 赫拉克里特：最前方中央偏左握笔倚书桌思考者。赫拉克里特：最前方中央偏左握笔倚书桌思考者。 第欧里尼第欧里尼 欧几里得：在厚书上写字者。欧几里得：在厚书上写字者。 琐罗亚斯德琐罗亚斯德 天文学家托勒密：手持地球仪者。天文学家托勒密：手持地球仪者。 拉斐尔拉斐尔:雅典学院雅典学院罗马圣彼得教堂梵蒂冈教皇宫罗马圣彼得教堂梵蒂冈教皇宫 ?)(4 ba?)(3 ba?)(2 banba)( 二项式定理研究的是二项式定理研究的是 的展开式的展开式. .222baba ?)(100 ba )()(2baba )()(3baba此法此法有困难有困难?)( nba展开式有几项？每

4、一项是怎样构成的？展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 的展开式是什么？的展开式是什么？)(2121bbaa 问题问题1:1: 展开式中展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？每一项是怎样构成的？展开式有几项？)()(212121ccbbaa 问题问题2:2:多项式乘法的多项式乘法的再认识再认识规律规律: : 每个括号内任取一个字母相乘构每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项成了展开式中的每一项. .)()(bababa 3aba22ab3b 项： 系数： 113C23C33C03C)()(bababa )()(bababa )()(bababa ba2分析分析13C3332232

5、133033)(bCabCbaCaCba 3)(ba 展开式： 探究探究1 1 推导推导 的展开式的展开式. .3)(ba kkba 33 , 2 , 1 , 0 kkC3探究探究2 2 仿照上述过程仿照上述过程, ,推导推导 的展开式的展开式. .4)(ba 1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？展开后各项形式分别是什么？2)各项前的系数代表着什么？各项前的系数代表着什么？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现代表着这些项在展开式中出现的次数的次数问题问题(a+b)4 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)？每个都不取b的情况有1

6、种,即C40 ,则a4前的系数为C40恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44则 (a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b43)你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4探究探究2 2 仿照上述过程仿照上述过程, ,推导推导 的展开式的展开式. .4)(ba 3)(ba 4)(ba 2)(ba 2a22C2 ab2b02C12C03C 2ab ba

7、2 3a13C23C33C3b 4a04C24C14C34C44C ba3 22ba 3ab4b?)( nba探究探究2 2 仿照上述过程仿照上述过程, ,推导推导 的展开式的展开式. .4)(ba nnbabababa)()()( 项：系数：kknba 分析分析相乘相乘个个)(ba naba中选中选个个)( kn bba中选中选个个)( kknC0nC1nCnnCknC)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn 探究探究3 3：请分析请分析 的展开过程，证明猜想的展开过程，证明猜想. .nba)( naban 1 kknba nb展开式：二项展开式的通项二项展开式

8、的通项: 1kT二项式系数二项式系数:), 2 , 1 , 0(nkCkn 项数：项数：次数：次数：共有共有n1项项 各项的次数都等于各项的次数都等于n， kknknbaC )()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn 字母字母a按按降幂降幂排列排列，次数由次数由n递减到递减到0 , 字母字母b按按升幂升幂排列排列，次数由次数由0递增到递增到n .二项式定理二项式定理 ?)1( nx)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn ?)( nbannnkknknnnnnbCbaCbaCaC)()()(110 01kknnnnnnCC xC xC

9、x二项式定理二项式定理 例：求例：求 的展开式的展开式6)12 (xx 解解: :直接展开直接展开)1()2()2()12(5166066xxCxCxx 6665564246)1()1)(2()1()2(xCxxCxxC 2423336611(2) ()(2) ()CxCxxx32231126016024019264xxxxxx 例：求例：求 的展开式的展开式6)12 (xx 先化简后展开先化简后展开32231126016024019264xxxxxx 6366) 12(1)12()12( xxxxxx42651663)2()2()2(1xCxCxx )2()2()2(6656246336Cx

10、CxCxC 例：求例：求 的展开式的展开式6)12 (xx 解解: :例例2：求求(1+2x)7的展开式的第的展开式的第4项的系数项的系数解：解： (1+2x)7的展开式的第的展开式的第4项是项是37 333 171(2 )TCx 33372Cx 3280 x 所以所以(1+2x)7的展开式的第的展开式的第4项的系数是项的系数是280变式练习：变式练习：(1+2x)7的展开式的第的展开式的第4项的二项式系数项的二项式系数是是 _注意注意 二项式系数与系数的区别二项式系数与系数的区别3735C 用一用用一用例例3：求求 展开式中展开式中x3的系数的系数91()xx 解：解： 展开式的通项是展开式

11、的通项是91()xx 99 2991()( 1)kkkkkkC xC xx 由题意得：由题意得：9-2k=3k=3因此因此x3的系数是的系数是339( 1)84C 用一用用一用(2)(2)二项展开式的通项：二项展开式的通项：kknknkbaCT 11.1.二项式定理：二项式定理：2 2思想方法思想方法)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn (1)(1)二项式系数：二项式系数： ), 2 , 1 , 0(nkCkn (2)(2) 用计数原理分析二项式的展开过程用计数原理分析二项式的展开过程. .(1)(1) 从特殊到一般的数学思维方式从特殊到一般的数学思维方式.

12、.(3)(3) 类比、等价转换的思想类比、等价转换的思想. .杨辉，南宋时期杰出的杨辉，南宋时期杰出的数学家和数学教育家数学家和数学教育家1 1、巩固型作业：巩固型作业： 作业本作业本1.3.1(1.3.1(一）一）2 2、思维拓展型作业：思维拓展型作业： 探究二项式系数探究二项式系数 有何性质有何性质. .nnnCC， 2，10nnCC解解: :例：求例：求 的展开式的展开式61(2 x)x 666312x 11(2 x)()(2x 1)xxx 1.1.直接展开直接展开 24265166066)1()2()1()2()2()12(xxCxxCxCxx2.2.先化简后展开先化简后展开32236

13、012164192240160 xxxxxx=-+-+-+66655642463336)1()1)(2()1()2()1()2(xCxxCxxCxxC 解解: :例：求例：求 的展开式的展开式61(2 x)x 思考思考3 3：你能否直接求出你能否直接求出 展开式的第项？展开式的第项？ 思考思考1 1：展开式的第项展开式的第项 的系数是多少？的系数是多少？思考思考2 2：展开式的第项展开式的第项 的二项式系数是多少？的二项式系数是多少？666312x 11(2 x)()(2x 1)xxx 322364x192x240 x 16060121.xxx 31x 62x 516C2x 426C2x 336C2x 246