量子力学课后总复习

1、首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出1第七章第七章 自旋与全同粒子自旋与全同粒子yyyy-M-d3; 1; 1222,i2,2143;4;22222sSSSSiSSSiSS,2,2SS首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出22022-4-21其中：角动量量子数其中：角动量量子数j是非负的整数或半整数，而磁量子数是非负的整数或半整数，而磁量子数m取取值为值为-j到到+j的的(2j+1)个值。个值。 22211211FFFFF),(),(21trtr( X )2X2)（1 1）角动量的概念：）角动量的概念：JiJJJiJJ,0,2JJjmjjjmJ22) 1(jmmjmJz首首 页页

2、 上上 页页 下下 页页退退 出出32022-4-21（2 2）两个角动量的耦合：）两个角动量的耦合： 21JJJu可证：可证： 是对易组，其共同的本征矢记为：是对易组，其共同的本征矢记为： ),(212221zzJJJJ2121mmjj-称为称为 u也可证：也可证： 也是对易组，其共同的本征矢记为：也是对易组，其共同的本征矢记为： ),(22221zJJJJjmjj21-称为称为 u由无耦合表象求耦合表象：由无耦合表象求耦合表象： ;21mmm212121,),1(),(jjjjjjj21,21121mmCGmjmjCjmjj其中：其中： 是是Clebsch-Gordan系数，其系数，其计算

3、十分复杂，但有表可查。计算十分复杂，但有表可查。jmjjmmjjCcg212121首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出42022-4-21（3 3）利用电子的自旋以及自旋）利用电子的自旋以及自旋- -轨道耦合可解释：轨道耦合可解释：-原子处于强磁场中，由于磁场与原子中电原子处于强磁场中，由于磁场与原子中电子的自旋与轨道磁矩的相互作用，原子的能级发生分裂，导致子的自旋与轨道磁矩的相互作用，原子的能级发生分裂，导致原子光谱出现奇数条分裂的现象称为原子光谱出现奇数条分裂的现象称为）；原子处于弱磁场中，由于自旋；原子处于弱磁场中，由于自旋- -轨道耦合，原子的能级发生轨道耦合，原子的能级发生分

4、裂，导致原子光谱出现偶数条分裂的现象叫做分裂，导致原子光谱出现偶数条分裂的现象叫做。-由于电子具有自旋及旋由于电子具有自旋及旋- -轨之间的耦合，轨之间的耦合，原子光谱线由靠得很近的细线组成的现象。原子光谱线由靠得很近的细线组成的现象。（1 1）：内禀特性完全相同的粒子称为全同粒子，：内禀特性完全相同的粒子称为全同粒子，具有不可区分性，任意交换两个全同粒子，全同粒子系统的物具有不可区分性，任意交换两个全同粒子，全同粒子系统的物理状态不变，或理状态不变，或HamiltonHamilton量具有交换对称性。量具有交换对称性。（2 2）：自旋为整数的玻色：自旋为整数的玻色子系具有交换对称性，自旋为半

5、整数的费米子系具有交换反对子系具有交换对称性，自旋为半整数的费米子系具有交换反对称性。称性。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出52022-4-21u无相互作用费米子系的波函数无相互作用费米子系的波函数-对于对于个费米子、个费米子、 个单粒个单粒子态的玻色系，共有子态的玻色系，共有 个可能的波函数，而且，可写成个可能的波函数，而且，可写成SlaterSlater行列式的形式，因此，费米子系要遵循：行列式的形式，因此，费米子系要遵循： mnCu无相互作用玻色子系的波函数无相互作用玻色子系的波函数-对于对于个玻色子、个玻色子、 个单粒个单粒子态的玻色系，共有子态的玻色系，共有 个可能的波函

6、数。个可能的波函数。 mnmC1（3 3）：u可以证明可以证明-无相互作用全同粒子系的波函数可由单粒子的波无相互作用全同粒子系的波函数可由单粒子的波函数的直积构成，但需满足交换对称性的要求。函数的直积构成，但需满足交换对称性的要求。-不能有两个或两个以上的费米子处于同不能有两个或两个以上的费米子处于同一个量子态上。一个量子态上。 -（1 1）列举表明电子具有自旋的实验与事实；（）列举表明电子具有自旋的实验与事实；（2 2）正常（简单）和反常（复杂）正常（简单）和反常（复杂）Zeeman效应；（效应；（3 3）全同性原理）全同性原理；（；（4 4）全同粒子、玻色子与费米子；（）全同粒子、玻色子与

7、费米子；（5 5）Pauli不相容原理；不相容原理；（6 6）Pauli矩阵；矩阵； 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出62022-4-21uP P213213的习题的习题 、 题。题。有关有关PauliPauli算符、角动量算符的对易关系：算符、角动量算符的对易关系： 0 xyyx0 xzzx0yzzy; 0,2JJizyxu写出写出2 2个电子的自旋波函数。个电子的自旋波函数。u对于对于2 2个全同粒子、个全同粒子、3 3个单粒子态的体系，忽略粒子间的相互作个单粒子态的体系，忽略粒子间的相互作用，就玻色子系、费米子系、经典粒子系，写出可能的波函数。用，就玻色子系、费米子系、经典粒

8、子系，写出可能的波函数。第五章第五章 微扰理论微扰理论本章主要介绍了利用本章主要介绍了利用近似求解近似求解SchrSchrdingerdinger方程，以及利方程，以及利用用求基态的能量与波函数：求基态的能量与波函数：HamiltonHamilton算符可写成算符可写成- - HHH0首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出72022-4-21-mkkmmmmnmEH),( ;, 2 , 1,)0()0()0()0()0(0),()0()0(mkkmHHH)0(m-ijmjmimlmmlklEH),( ;, 2 , 1,)0()0()0()0()0(0H)0(ml),(,)()0()0()

9、0()1()0(mjmiijmmmkkijHHEH)1()0(mmmEEE)0(mmmEmkkmkmmmmmmmmEEHHEEEEE)0()0(2)0()2()1()0(kkkmkmmmmmEEH)0()0()0()0()1()0(首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出82022-4-21其中：其中：/ )(,),()0()0()0()0()0(0)0()0(mkkmmmmmkkmEEEHHH比较复杂，只考虑到了一级近似，可计算微观粒子受到微扰后比较复杂，只考虑到了一级近似，可计算微观粒子受到微扰后从从 跃迁到跃迁到 的概率：的概率：)0(m)0(n20)(1dxexHiWxitkmkm

10、km：利用基态是最低的能量状态，近似求基态能量和波函数：利用基态是最低的能量状态，近似求基态能量和波函数： （1 1）选取含参量的试探波函数）选取含参量的试探波函数- - ，并计算微观粒子，并计算微观粒子的能量的能量- - )(),()(试探试探HH)(试探（2 2）变分求能量的最小值）变分求能量的最小值-)(0minH（3 3）确定基态）确定基态-)(0试探基)(0minHE基首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出92022-4-21-（1 1）StarkStark效应效应. .uP P153153的习题的习题、 题。题。uP P122122的例题。的例题。第四章第四章 态和力学量的表

11、象态和力学量的表象u当当 很小时，计算很小时，计算HamiltonHamilton算符算符 的能级的能级至二级近似，波函数至一级近似。至二级近似，波函数至一级近似。2330322021H首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出102022-4-21（2 2）-以粒子数算符以粒子数算符 的正交归一本征的正交归一本征矢矢 来表示量子力学。来表示量子力学。：aaNmkkmnnnN,1, ,1,11aannnannnau产生和湮灭算符产生和湮灭算符-mmpixa1,),(21特别是，对于一维线性谐振子特别是，对于一维线性谐振子-uDirac符号符号-；。并记成并记成。mmmmmcc),(),(,)

12、(jiijnnijFFFF首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出112022-4-21F0 IFmmmmmmGF),(jiijS SS1旧新新旧或SSSASASSAA旧新新旧或首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出122022-4-21-（1 1）证明：表象变换不改变算符的本征值；）证明：表象变换不改变算符的本征值； （2 2）证明：表象变换不改变矩阵的迹；）证明：表象变换不改变矩阵的迹；（4 4）求算符）求算符 、 ，在坐标表象、动量表象中的矩阵元。，在坐标表象、动量表象中的矩阵元。xp x （3 3）求态矢）求态矢 、 在坐标表象在坐标表象、动量表象中的表示。、动量表象中的表示

13、。xpipex0021)()()(00 xxxx第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量uP P117117的习题的习题 。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出132022-4-21 ipx,xixL,pipL,LiLL,0,2LL),() 1(),(22lmlmYllYL),(),(lmlmzYmYL)()(000 xxxxxxpipexp0021)(0),(),(FFFF或者dV*),(FGGF)(FGGF首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出142022-4-21令：令： ，则：，则：rrurR)()(urUmrllEum)(2) 1(2222 u中心力场问题（中

14、心力场问题（氢原子氢原子）-)1(),(22222rriprUmrLmpHrr1),()(),(,lnnYrRrEErlmnlnlmn比如，氢原子比如，氢原子中的电子：中的电子：,122224nEnemEesn)6 .132(24电离能eVemEse，, 3 , 2 , 1,1222nnaes)(22半径近似Bohremas首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出15nm,12221,nmcccF2022-4-21（2 2）测量结果要表为）测量结果要表为（也称（也称）：）：),(12FcFnmmm),(,11mmnnmmcccc;),(,mkkmmmmF（3 3）测量结果不随时间变化，称力

15、学量为运动恒量或）测量结果不随时间变化，称力学量为运动恒量或：,1HFitFtF判断力学量是不是判断力学量是不是为：为：0,; 0HFtF，比如：空间平移对称，比如：空间平移对称动量守恒动量守恒；空间选择对称；空间选择对称角动量守恒；空间反演对称角动量守恒；空间反演对称宇称守恒；宇称守恒；时间平移对称时间平移对称能量守恒。能量守恒。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出162022-4-212222)()(FFFFFKiGFKGF,4)()(2224)()(,4)() (2222222xzyxLLLpxuP P9292的习题的习题。u设微粒处于态矢设微粒处于态矢 ，求，求 的可能值、概率

16、的可能值、概率和期望值。和期望值。12112YYzLL2和-厄米算符的本征值是实数；厄米符属于不同本征值厄米算符的本征值是实数；厄米符属于不同本征值的本征函数正交；会判断算符是否为厄米算符；熟悉坐标、动的本征函数正交；会判断算符是否为厄米算符；熟悉坐标、动量、轨道角动量算符间的对易关系；求量、轨道角动量算符间的对易关系；求 的本征方程的本征方程；熟悉守恒量的条件及其与对称性的关系；会证明、会写算符；熟悉守恒量的条件及其与对称性的关系；会证明、会写算符的测不准关系式；设态为的测不准关系式；设态为 ，求，求 。 iLzlmYyxLL和首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出172022-4-2

17、1u利用测不准关系式利用测不准关系式, ,估算一维线性谐振子的零点能。估算一维线性谐振子的零点能。第二章第二章 波函数和波函数和Schrdinger方程方程),(trtr2),(tr),(),(trieC,首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出182022-4-211222c122211cc21c)(2*miJtEinnertr)(),(首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出192022-4-21uP P4444的习题的习题。uDeltaDelta势垒的隧道效应计算；建立势垒的隧道效应计算；建立Schrdinger方程；方程；-量子隧道效应；概率流或粒子流密度及其计算；写量子隧道效应；概率流或粒子流密度及其计算；写微粒的微粒的Schrdinger方程；判断波函数方程；判断波函数 是否为同是否为同一波函数；波函数的统计解释；波函数的标准化条件；态叠加一波函数；波函数的统计解释；波函数的标准化条件；态叠加原理及其理解；定态波函数的形式。原理及其理解；定态波函数的形式。ieC,首首 页页